2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中面積的存在性問題》專項(xiàng)檢測(cè)卷（附答案）

2025年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)中面積的存在性問題》專項(xiàng)檢測(cè)卷附答案

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一'選擇題

1.如圖，拋物線y=；/+|久一2與％軸交于點(diǎn)A,B,與y軸交于點(diǎn)C,下列結(jié)論：正確的是（）

①點(diǎn)4B的坐標(biāo)分別是（—4,0）和（1,0）

②點(diǎn)P為（0,血），當(dāng)乙4PB<90°時(shí)，m<-2.

③拋物線上存在點(diǎn)E（除C外），使得△ABE的面積與△ABC面積相等的點(diǎn)E有3個(gè).

④點(diǎn)F是拋物線對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△ACF是直角三角形時(shí)，點(diǎn)F的縱坐標(biāo)分別是5,-5,孚-1,-孚-L

A.①②B.①③C.①③④D.①②③④

2.如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)O,E,F分別是邊AD,CD上的點(diǎn)（不與A,D,C

重合），其中DE=DF,過點(diǎn)E,F分別作8。的平行線交ZB,BC于G,H兩點(diǎn)，順次連接E,F,H,G四

點(diǎn).甲，乙，丙三位同學(xué)給出了三個(gè)結(jié)論：

甲：隨著DE長(zhǎng)度的變化，可能存在EG=FH=

乙：隨著DE長(zhǎng)度的變化，四邊形EFHG的面積存在最大值，不存在最小值；

丙：當(dāng)四邊形EFHG的面積是菱形4BCC的面積的一半時(shí)，四邊形EFHG一定是正方形.下列說法正確的

是（）

A.甲，乙,丙都對(duì)B.甲，丙對(duì)，乙不對(duì)

C.甲，乙對(duì)，丙不對(duì)D.甲不對(duì)，乙，丙對(duì)

二、填空題

3.如圖，已知拋物線y=/-3光+2與久軸交于4B兩點(diǎn)，且與y軸交于點(diǎn)C,若拋物線上存在點(diǎn)P,使得

△PAB的面積為1,則點(diǎn)P的坐標(biāo)是.

4.如圖，已知二次函數(shù)y=-/+bx+c的圖象與％軸交于4（一3,0）、B（LO）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C,若在拋

物線上存在一點(diǎn)P（與點(diǎn)C不重合），使SA4BP：S“BC=5:3,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

5.如圖，點(diǎn)A、B在y的圖象上,已知A、B的橫坐標(biāo)分別為一2、4,連接。4、0B.若函數(shù)y=，/的

圖象上存在點(diǎn)P,使APAB的面積等于△AOB的面積的一半，則這樣的點(diǎn)P共有個(gè).

三'解答題

6.如圖，已知二次函數(shù)y=/+2%-3的圖象與x軸交于/、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C.若在拋物線上存

在一點(diǎn)P,使SMBP：S"BC=4：3,求點(diǎn)P的坐標(biāo).

J

\YC

7.如圖，已知二次函數(shù)y=x?+bx+c過點(diǎn)A(1,0),C(0,-3)

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）在拋物線上存在一點(diǎn)P使^ABP的面積為10,請(qǐng)直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo).

8.如圖，拋物線y=32+x-|與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，頂點(diǎn)為P.

（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)；

（2）在拋物線是否存在點(diǎn)E,使^ABP的面積等于△ABE的面積？若存在，求出符合條件的點(diǎn)E的坐

標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

（3）坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)F,使得以A、B、P、F為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？直接寫出所有符

合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo).

9.如圖，二次函數(shù)了=/+b%+c的對(duì)稱軸是％=1,圖象與X軸相交于點(diǎn)4（一1,0）和點(diǎn)B,交y軸于點(diǎn)C.

圖1圖2

（1）求此二次函數(shù)的解析式；

（2）點(diǎn)P是對(duì)稱軸上一點(diǎn)，當(dāng)△BOCS^APB時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)（請(qǐng)?jiān)趫D1中探索）；

（3）二次函數(shù)圖象上是否存在點(diǎn)M,使△ABC的面積Si與△ABM的面積S2相等？若存在，請(qǐng)求出所有

滿足條件的點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由（請(qǐng)?jiān)趫D2中探索）.

10.如圖1,拋物線y=——+3x+4和直線y=x+1交于A,B兩點(diǎn)，過點(diǎn)B作直線BC1久軸于點(diǎn)C.

（1）求NBZC的度數(shù).

（2）如圖2,點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒或個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，以

每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿線段C4向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P,Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也

隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒（t>0）.以PQ為邊作矩形PQNM,使點(diǎn)N在直線BC上.

①當(dāng)t為何值時(shí)，矩形PQNM的面積最??？并求出最小面積；

②直接寫出當(dāng)t為何值時(shí)，恰好有矩形PQNM的頂點(diǎn)落在拋物線上.

11.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn).拋物線y=K2+故經(jīng)過點(diǎn)p（i,3）,拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)C,點(diǎn)

A在拋物線上，橫坐標(biāo)為zn,點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3巾+2,2）.

（1）求拋物線解析式;

（2）當(dāng)點(diǎn)B落在拋物線上時(shí)，求點(diǎn)A的橫坐標(biāo);

（3）若時(shí)，當(dāng)拋物線在點(diǎn)P和點(diǎn)2之間的部分（包括P、4兩點(diǎn)）的最高點(diǎn)與最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)之差

為2—m時(shí)，求m的值；

（4）連結(jié)B4并延長(zhǎng)交拋物線對(duì)稱軸于點(diǎn)。，以為鄰邊作團(tuán)DBCM,若團(tuán)DBCM的邊和拋物線只

有三個(gè)交點(diǎn)（不包括點(diǎn)4）,設(shè)其中兩個(gè)交點(diǎn)（不包括團(tuán)DBCM的頂點(diǎn)）分別為點(diǎn)E、點(diǎn)F.當(dāng)以點(diǎn)C、E、4、D

（或以點(diǎn)C、F、4、D）為頂點(diǎn)的四邊形的面積是團(tuán)DBCM面積的J時(shí)，直接寫出所有滿足條件的m值（寫

4

出兩個(gè)值即可）.

12.拋物線Ci：37=。/+8久—3交*軸于人、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），交y軸負(fù)半軸于點(diǎn)C,0B

OC=30A.

(1)求拋物線Ci的解析式；

(2)點(diǎn)P為拋物線。在第一象限內(nèi)一點(diǎn)，若乙4co=乙PCB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(3)如圖2,將拋物線的向左平移1個(gè)單位，得到新的拋物線。2,直線y=kx-l(k>0)交拋物線C2于

M,N兩點(diǎn)，直線MP,NP與拋物線。2都只有唯一公共點(diǎn)，直線MP，NP分別交x軸于S,T兩點(diǎn)，若△PST

的面積為挈，求k的值.

13.如圖，拋物線y=a/+b久+c經(jīng)過4(—1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)P,與直

線BC相交于點(diǎn)M,連接AC,PB.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)設(shè)對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)N,在對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)G,使以0、N、G為頂點(diǎn)的三角形與AAOC相似？

如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)G的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使AQMB與APMB的面積相等，若存在,求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

14.已知拋物線y=ax2+bx+6過2(-2,0),3(6,0)交y軸于點(diǎn)C.

(1)求拋物線解析式及其頂點(diǎn)坐標(biāo)；

(2)已知點(diǎn)D為第一象限內(nèi)的拋物線上一點(diǎn)，點(diǎn)E,F分別在線段BC,OC上，若四邊形CDEF既是中心

對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形，求其周長(zhǎng)與面積之比；

(3)點(diǎn)C與點(diǎn)P關(guān)于x軸對(duì)稱，連接P0交線段BC于Q,若S-PQ=|SABPQ，求點(diǎn)D坐標(biāo).

15.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線丫=9-gx-4與x軸交于A,B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè))，與y

軸交于點(diǎn)C.

(1)求點(diǎn)A,B,C的坐標(biāo)；

(2)點(diǎn)P從A點(diǎn)出發(fā)，在線段AB上以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q從B點(diǎn)出

發(fā)，在線段BC上以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也停止運(yùn)

動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t為多少秒時(shí)，APBQ的面積S最大，并求出其最大面積；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)APBQ面積最大時(shí)，在BC下方的拋物線上是否存在點(diǎn)M,使△BMC的面

積是APBQ面積的1.6倍？若存在，求點(diǎn)M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

16.如圖，拋物線y=ax2+bx+c經(jīng)過A(-1,0)、B(3,0)、C(0,3)三點(diǎn)，對(duì)稱軸與拋物線相交于點(diǎn)

P、與直線BC相交于點(diǎn)M,連接PB.

(1)求該拋物線的解析式；

(2)拋物線上是否存在一點(diǎn)Q,使^QMB與△PMB的面積相等？若存在，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，

說明理由；

(3)在第一象限、對(duì)稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在一點(diǎn)R,使^RPM與小RMB的面積相等？若存在，

直接寫出點(diǎn)R的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

17.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A坐標(biāo)為(2,4),直線x=2與x軸相交于點(diǎn)B,拋物線y=x?的

頂點(diǎn)在直線AO上運(yùn)動(dòng)，與直線x=2交于點(diǎn)P,設(shè)平移后的拋物線頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m.

(1)如圖1,若m=-1,求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

(2)在拋物線平移的過程中，當(dāng)APMA是等腰三角形時(shí)，求m的值；

(3)如圖2,當(dāng)線段BP最短時(shí)，相應(yīng)的拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使△QMA的面積與△PMA的面積相

等？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

18.下圖是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的圖象，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為M(l,—4).

(1)求出圖象與久軸的交點(diǎn)4B的坐標(biāo)；

(2)在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P,使SAP4B=,SAM4B?若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說

明理由；

(3)將二次函數(shù)的圖象在久軸下方的部分沿久軸翻折，圖象的其余部分保持不變，得到一個(gè)新的圖象，請(qǐng)

你結(jié)合這個(gè)新的圖象回答：當(dāng)直線y=x+b(b<1)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，b的取值范圍.

19.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ACDE的頂點(diǎn)C點(diǎn)坐標(biāo)為C(1,-2),點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為弓，將ACDE

繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△CBO,點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B在x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為點(diǎn)A.

(1)圖中，NOCE等于多少；

(2)求拋物線的解析式；

(3)拋物線上是否存在點(diǎn)P,使SAPAEqSACDE?若存在，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理

20.如圖，拋物線y=-x?+bx+c與x軸交于A,B兩點(diǎn)，其中A(3,0),B(―1,0),與y軸交于點(diǎn)

C,拋物線的對(duì)稱軸交x軸于點(diǎn)D,直線y=kx+bi經(jīng)過點(diǎn)A、C,連接CD.

(1)分別求拋物線和直線AC的解析式；

(2)在直線AC下方的拋物線上，是否存在一點(diǎn)P,使得△ACP的面積是小ACD面積的2倍，若存在，

請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由；

(3)在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)Q,使線段AQ繞Q點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段QAi,且點(diǎn)Ai

恰好落在該拋物線上？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

21.如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，OM經(jīng)過原點(diǎn)0,且與萬軸、y軸分別相交于4(-6,0),B(0,-8)兩點(diǎn).

(1)請(qǐng)求出直線AB的函數(shù)表達(dá)式；

(2)若有一拋物線的對(duì)稱軸平行于y軸且經(jīng)過點(diǎn)頂點(diǎn)C在。M上，開口向下，且經(jīng)過點(diǎn)B,求此拋

物線的函數(shù)表達(dá)式；

(3)設(shè)(2)中的拋物線交X軸于D,E兩點(diǎn)，在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得SAPDE=^SAABC?若存

在，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

22.如圖，直線y=-x+3與x軸，y軸分別交于B,C兩點(diǎn)，拋物線y=-x?+bx+c經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，點(diǎn)A是

拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn).

y

(1)求此拋物線的函數(shù)解析式;

(2)在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使SAPAB=2SACAB,若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

23.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B坐標(biāo)為(0,2),點(diǎn)E為線段AB上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)

E不與點(diǎn)A,B重合)，以E為頂點(diǎn)作NOET=45。，射線ET交線段OB于點(diǎn)F,C為y軸正半軸上一點(diǎn)，

且OC=AB,拋物線y=-V2x2+mx+n的圖象經(jīng)過A,C兩點(diǎn).

(1)求此拋物線的函數(shù)表達(dá)式；

(2)求證：ZBEF=ZAOE；

(3)當(dāng)△EOF為等腰三角形時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)；

(4)在(3)的條件下，當(dāng)直線EF交x軸于點(diǎn)D,P為(1)中拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，直線PE交x軸于點(diǎn)G,

在直線EF上方的拋物線上是否存在一點(diǎn)P,使得AEPF的面積是AEDG面積的(2北+1)倍.若存在，請(qǐng)

直接寫出點(diǎn)P坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

24.如圖

如圖(1),在平面直角坐標(biāo)系中，直線y=-久+4與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,二次函數(shù)y=

~^x2+bx+c的圖象經(jīng)過B,C兩點(diǎn)，且與x軸的負(fù)半軸交于點(diǎn)A.

(1)求二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖(2),點(diǎn)D是拋物線第四象限上的一動(dòng)點(diǎn)，連接DC,DB,當(dāng)SXDCB=S&ABC時(shí)，求點(diǎn)

D坐標(biāo)；

(3)如圖(3),在(2)的條件下，點(diǎn)Q在C4的延長(zhǎng)線上，連接DQ,AD,過點(diǎn)Q作QP〃y軸，

交拋物線于P,^AQD=^ACO+^ADC,請(qǐng)求出PQ的長(zhǎng).

25.如圖，在直角坐標(biāo)系中，0為原點(diǎn).點(diǎn)A在x軸的正半軸上，點(diǎn)B在y軸的正半軸上，tanNOAB=2.二

次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象經(jīng)過點(diǎn)A,B,頂點(diǎn)為D.

(1)求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；

(2)將AOAB繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。后，點(diǎn)B落到點(diǎn)C的位置.將上述二次函數(shù)圖象沿y軸向上或

向下平移后經(jīng)過點(diǎn)C.請(qǐng)直接寫出點(diǎn)C的坐標(biāo)和平移后所得圖象的函數(shù)解析式；

(3)設(shè)(2)中平移后所得二次函數(shù)圖象與y軸的交點(diǎn)為Bi,頂點(diǎn)為Di.點(diǎn)P在平移后的二次函數(shù)圖

象上，且滿足APBB1的面積是APDD1面積的2倍，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

26.如圖(1),二次函數(shù)了=a/一5x+c的圖像與x軸交于4(一4,0),B(b,0)兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C(0,

(1)求二次函數(shù)的解析式和b的值.

(2)在二次函數(shù)位于％軸上方的圖像上是否存在點(diǎn)M,使SABOM=^SA4BC?若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)M的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說明理由.

(3)如圖(2),作點(diǎn)4關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱點(diǎn)E,連接CE,作以CE為直徑的圓.點(diǎn)E’是圓在x軸上方圓弧

上的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)E'不與圓弧的端點(diǎn)E重合，但與圓弧的另一個(gè)端點(diǎn)可以重合)，平移線段AE,使點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)

E，線段AE的對(duì)應(yīng)線段為a,E‘，連接E,C，AA>A4的延長(zhǎng)線交直線E,C于點(diǎn)N,求儀的值.

27.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線丫=公2+以+4與％軸交于A(-2,0),B兩點(diǎn),與y軸交于點(diǎn)C,

(1)求拋物線的函數(shù)表達(dá)式;

(2)如圖1,連接3C,點(diǎn)。在直線8c上方的拋物線上，過點(diǎn)。作8C的垂線交2C于點(diǎn)E,作y軸

的平行線交3c于點(diǎn)?若CE=3EF,求線段。廠的長(zhǎng)；

(3)直線y=-x+加(m<4)與拋物線交于尸，Q兩點(diǎn)(點(diǎn)尸在點(diǎn)。左側(cè))，直線PC與直線BQ的交

點(diǎn)為S,AOCS的面積是否為定值？若是，請(qǐng)求出此定值；若不是，請(qǐng)說明理由.

28.如圖，已知拋物線y=-久2+b久+c與直線ZB相交于2(—3,0),B(0,3)兩點(diǎn).

(1)求這條拋物線的解析式；

(2)設(shè)C是拋物線對(duì)稱軸上的一動(dòng)點(diǎn)，求使NCB4=90。的點(diǎn)C的坐標(biāo)；

(3)探究在拋物線上是否存在點(diǎn)P,使得APAB的面積等于3?若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，

請(qǐng)說明理由.

四'實(shí)踐探究題

29.【發(fā)現(xiàn)問題】如圖1,在一根4cm長(zhǎng)的鐵絲AB上任取一點(diǎn)C彎折后，再連接形成△ABC(如圖2),當(dāng)

點(diǎn)C在不同位置及NC取不同的大小時(shí)，AABC的面積也不同.

A

圖1圖2

圖3

【提出問題】△ABC的面積是否存在最大值？

【分析問題】由于點(diǎn)C的位置及NC的大小都是不確定的，故可借助函數(shù)關(guān)系式來探究.設(shè)ZC=

S“BC=y(cm2).對(duì)于ZC,可以先確定幾個(gè)特定的便于計(jì)算的角度進(jìn)行嘗試，然后再推廣到一般的情形.

【解決問題】

(1)如圖3,當(dāng)ZC=3O。時(shí)，試求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并判斷此時(shí)△ABC的面積是否存在最大值？

如果存在，4c的值為多少？

(2)當(dāng)ZC=90。時(shí),SMBC記為了1，當(dāng)=135。時(shí),S-BC記為丫2,若存在一個(gè)AC的值，使得3Vly2—%=

1,請(qǐng)求出AC的長(zhǎng)；

(3)△ABC的面積是否存在最大值？如果存在，最大值是多少，此時(shí)的ZC多大，點(diǎn)C在什么位置？如

果不存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

1.【答案】C

2.【答案】C

3.【答案】(0,2),(3,2)

4.【答案】(2,-5)或(-4,-5).

5.【答案】4

6.【答案】點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2魚-1,4)或(-2金—1,4)或(-1,—4)

7.【答案】(1)根據(jù)曲線上點(diǎn)的坐標(biāo)與方程的關(guān)系，把A(1,0),C(0,-3)代入)二次函數(shù)y=x2+bx+c

中，求出b、c的值，即可得到函數(shù)解析式是y=x?+2x-3.:二次函數(shù)y=x?+bx+c過點(diǎn)A(1,0),C(0,

-3),

..?{fl+cb=+—c3=0'解傳{fcb==_23.

二次函數(shù)的解析式為y=x2+2x-3.

(2)求出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到AB的長(zhǎng)，再設(shè)P(m,n),根據(jù)△ABP的面積為10可以計(jì)算出n的值，

然后再利用二次函數(shù)解析式計(jì)算出m的值即可得到P點(diǎn)坐標(biāo)：

*.*當(dāng)y=0時(shí),x2+2x-3=0,解得：xi二-3,X2=l.

AA(1,0),B(-3,0).

AABM.

設(shè)P(m,n),

?.?△ABP的面積為10,..qAB?|n|=10,解得：n=±5.

當(dāng)n=5時(shí)，m2+2m-3=5,解得：m=-4或2.

：.P(-4,5)(2,5).

當(dāng)n=-5時(shí)，m2+2m-3=-5,方程無解.

???P(-4,5)(2,5).

8.【答案】解：⑴令y=0,則#+x_|=0,

解得Xl=-3,X2=l,

.?.點(diǎn)A坐標(biāo)為(-3,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,0)；

(2)存在.

拋物線的對(duì)稱軸為直線x=-1,令x=-l,則y=?l-|=-2,

；.P點(diǎn)坐標(biāo)為(-1,-2),

△ABP的面積等于△ABE的面積，

.?.點(diǎn)E到AB的距離等于2,

設(shè)E(a,2),

把E(a,2)代入拋物線的解析式得，|a2+a-|=2,解得a=-1-2直或-1+2金,

..?符合條件的點(diǎn)E的坐標(biāo)為(-1-2也2)或(-1+2/，2).

(3)所有符合條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)為(-1,2)、(3,-2)、(-5,-2).

9.【答案】(1)y-x2—2x—3

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)是(1,2)或(1,-2)

(3)存在，點(diǎn)M的坐標(biāo)是(2,-3),(1+近,3)或(1一近,3)

10.【答案】⑴Z-BAC=45°

(2)①當(dāng)時(shí)，矩形PQNM的面積最?。荷疲虎凇眧、1腎"或2.

11.【答案】(1)y=x2+2x

(2)點(diǎn)4的橫坐標(biāo)血=+，—i

一3

(3)T產(chǎn)或-2或-3sm

(4)-3+2月或-3-2丹或-5+27TU或-5-2J10

12.【答案】(1)y=x2—2x—3

(2)點(diǎn)P的坐標(biāo)(4,5)

(3)k=2

13?【答案】⑴y=-x2+2x+3；(2)存在，G(L3)或(1,—3)或(1片)或(L—或;(3)存在,

Q(呼,去巧或(寫/巧或(2,3).

14.【答案】(1)拋物線解析式為y=—3^+2久+6,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,8)

(2)1:1

(3)￡)(2V6,4V6-6)

15.【答案】解：⑴當(dāng)x=0時(shí)，y=|x2-|x-4=-4,.?.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-4)；

當(dāng)y=0時(shí),有|x2-|x-4=0,解得:xi=-2,X2=3,

...點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-2,0),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0).

(2)設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b(k,0),

將B(3,0)、C(0,-4)代入y=kx+b,/、七箕°,解得：［k=寺，

(b=-4

...直線BC的解析式為y=1x-4.

過點(diǎn)Q作QE〃y軸，交x軸于點(diǎn)E,如圖1所示，

圖1

當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(2t-2,0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(3-|t,-g),

；.PB=3-(2t-2)=5-2t,QE=1t,

SAPBQ=^PB,QE=-^t2+2t=-季(t-2+^.

-g<0,.?.當(dāng)t4時(shí)，APBQ的面積取最大值，最大值為宗

(3)當(dāng)APBQ面積最大時(shí)，t4,

此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為4，0),點(diǎn)Q的坐標(biāo)為47)-

假設(shè)存在，設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(m,|m2-|m-4),則點(diǎn)F的坐標(biāo)為(m,|m-4),

；.MF奇m-4-(^m2--4)=-1m2+2m,

SABMC~MF,OB=-m2+3m.

△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，-m2+3m=fxl.6,即irf-3m+2=0,解得：mi=l,012=2.

4

???0VmV3,???在BC下方的拋物線上存在點(diǎn)M,使△BMC的面積是△PBQ面積的1.6倍，點(diǎn)M的坐標(biāo)

16.【答案】解：(1)把三點(diǎn)代入拋物線解析式

'0=a—b+c

0=9。+3b+c,

、3=c

q=-]

即得：b=1,

c=3

所以二次函數(shù)式為y=-x2+2x+3；

(2)由y二-x2+2x+3=-(x-1)2+4,

則頂點(diǎn)P(1,4),

由B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)可求直線BC解析式為y=-x+3,

設(shè)過點(diǎn)P與直線BC平行的直線為：y=-x+b\

將點(diǎn)P(1,4)代入，得y=-x+5,

則過點(diǎn)P與直線BC平行的直線與拋物線聯(lián)立，有則存在點(diǎn)Q,

-x2+2x+3=-x+5,

即x2-3x+2=0,

解得x=l或x=2,

代入直線則得點(diǎn)(1,4)或(2,3),

已知點(diǎn)P(1,4),

所以點(diǎn)Q(2,3),

由對(duì)稱軸及直線BC解析式可知M(1,2),PM=2,

設(shè)過P(1,0)且與BC平行的直線為y=-x+f,

將P'代入，得y=-x+l,

AQ(2,3)或(3-”或Q(3+”-1-V17).

(3)由題意求得直線BC代入x=l,則y=2,

AM(1,2),

由點(diǎn)M,P的坐標(biāo)可知：

點(diǎn)R存在，即過點(diǎn)M平行于x軸的直線，

則代入y=2,貝-x?+2x+3=2,整理得x2-2x-1=0,

解得x=l-應(yīng)(在對(duì)稱軸的左側(cè)，舍去)，x=l+V2,

即點(diǎn)R(1+V2，2).

17.【答案】解：(1)設(shè)OA所在直線的函數(shù)解析式為y=kx,VA(2,4),二？!^%；.k=2,.'OA所在直

線的函數(shù)解析式為y=2x.由題意，把x=-l,代入得，y=-2,.?.拋物線的頂點(diǎn)M(-1,-2),.?.拋物

線解析式為：y=(x+1)2-2=x2+2x-1,當(dāng)x=2時(shí)，y=7,...點(diǎn)P(2,7)；(2)如圖1,

在拋物線平移的過程中，設(shè)頂點(diǎn)坐標(biāo)(m,2m)當(dāng)APMA是

等腰三角形時(shí)，.?.有PA=PM,由點(diǎn)A(2,4),可求：tan/A多cos/A=等，過點(diǎn)M作MN垂直于直

線x=2,過點(diǎn)P作PH_LAM,連接MP,拋物線解析式為：y=(x-m)2+2m,當(dāng)x=2時(shí)，y=m2-2m+4,

此時(shí)，MN=2-m,AN=4-2m,AP=4-(m2-2m+4)=-m2+2m,AH=APx等二-2.店加,

AM=2AH=zlvW±8V5m；.?.第=攣，代入解得：mg或m=2(舍去).”號(hào)；(3)如圖2,

5/iM544

?.?頂點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為m,且在直線OA上移動(dòng)，，y=2m..?.頂點(diǎn)

圖2

M的坐標(biāo)為(m,2m)....拋物線函數(shù)解析式為y=(x-m)2+2m..?.當(dāng)x=2時(shí)，y=(2-m)2+2m=m2-

2m+4..,?點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,m2-2m+4).VPB=m2-2m+4=(m-1)2+3,?,?當(dāng)m=l時(shí)，PB最短.當(dāng)線

段PB最短時(shí)，此時(shí)拋物線的解析式為廣(X-1)2+2即y=x2-2x+3.假設(shè)在拋物線上存在點(diǎn)Q,使

SAQMA=SAPMA.設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,x2-2x+3).①點(diǎn)Q落在直線OA的下方時(shí)，過P作直線PC〃AO,

交y軸于點(diǎn)C；PB=3,AB=4,...AP=1,；.OC=1,...C點(diǎn)的坐標(biāo)是(0,-1),：點(diǎn)P的坐標(biāo)是(2,3),

,直線PC的函數(shù)解析式為y=2x-1,,.,SAQMA=SAPMA,...點(diǎn)Q落在直線y=2x-1±,Ax2-2x+3=2x-1,

解得xi=2,X2=2,即點(diǎn)Q(2,3),.?.點(diǎn)Q與點(diǎn)P重合，，此時(shí)拋物線上存在點(diǎn)Q(2,3),使△QMA與

AAPM的面積相等,②當(dāng)點(diǎn)Q落在直線OA的上方時(shí)，作點(diǎn)P關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱稱點(diǎn)D,過D作直線DE〃AO,

交y軸于點(diǎn)E,?.?AP=1,??.EO=DA=1,，E、D的坐標(biāo)分別是(0,1),(2,5),.?.直線DE函數(shù)解析式

為y=2x+l,?；SAQMA=SAPMA,.,.點(diǎn)Q落在直線y=2x+l上，/.x2-2x+3=2x+l,解得：x=2+V2,或x=2-VL

代入y=2x+l,得:y=5+2或或y=5-2V2,A△QMA的面積與^PMA的面積相等時(shí)，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為：(2+V2,

5+2V2),(2-V2,5-2V2).

18.【答案】解：(1)因?yàn)镸(l,-4)是二次函數(shù)y=(x+m)2+k的頂點(diǎn)坐標(biāo)，

所以y-(x—I)2—4=x2—2x—3,

令x2-2x-3=0,

解之得Xi--1,x2-3.

；.A,B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(-1,0),B(3,0)；

(2)在二次函數(shù)的圖象上存在點(diǎn)P,使SAPAB=/SAMAB，

設(shè)P(x,y).

1

又,；SAMAB=21ABiX|-4|=8,

?*.2|y|=3x8,即丫=±5.

二?二次函數(shù)的最小值為-4,

；.y=5.

當(dāng)y=5時(shí)，x=—2或x=4.

故P點(diǎn)坐標(biāo)為(—2,5)或(4,5)；

(3)如圖，

\M

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過A(-L0)時(shí)-1+b=0,可得b=1,又因?yàn)閎<1,

故可知y=x+b在y=x+1的下方，

當(dāng)直線y=x+b經(jīng)過點(diǎn)B(3,0)時(shí)，3+b=0,則b=—3,

由圖可知符合題意的b的取值范圍為—3<b<1時(shí)，直線y=x+b(b<1)與此圖象有兩個(gè)公共點(diǎn).

19.【答案】解：(1)?.?△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到ACBO,；.NOCE=/BCD；故答案為BCD；(2)作CHLOE

于H,如圖，一\°卜”亍豕4一>'CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到△CBO,；.CO=CE,CB=CD,OB=DE,

.,.OH=HE=1,.,.OE=2,；.E點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),設(shè)B(m,0),D(.,n),VCD2=(1-^)2+(-2-

n)2,CB2=(1-m)2+22,DE2=(2-2+n2,(1-善)2+(-2-n)2=(l-m)2+22,(2-2+n2=m2,

；.m=3,n=-孝，AB(3,0),設(shè)拋物線解析式為y=a(x-1)2-2,把B(3,0)代入得4a-2=0,解

得a弓，.?.拋物線解析式為y=|(x-1)2-2,即y=#-x-|；(3)存在.A與點(diǎn)B關(guān)于直線x=l對(duì)稱，

AA(-1,0),「△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到ACBO,；.△CDE0△CBO,；.SACDE=SACBO=》2?3=3,設(shè)P(t,

-

^t2-t-怖)，SAPAE=^SACDE>.,.13?32-t-||=1?3,it2-t-|=1或并t-1=-1,解方程*-t-|=1

得ti=l+V6,t2=l-V6,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+痣，1)或(1-V6,1);解方程，2-t-9=-1得ti=l+V2,

t2=l-V2,此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+a，-1)或(1-V2,1);綜上所述，滿足條件的P點(diǎn)坐標(biāo)為(1+①，1)

或(1-痣，1)或(1+VL-1)或(1-VL1).

20.【答案】⑴y=-x2+2x+3,y=-x+3；(2)存在，(-1,0)或(4,—5)；(3)存在，(1,2)或(1,

-3)

2

21.【答案】⑴y=-ix-8；(2)y=-%-6%-8；(3)這樣的P點(diǎn)存在，且有三個(gè)，Pi(—3,1),

P2(-3+V2,-l),P3(-3-V2,-l)

22.【答案】(1)y=—/+2久+3；(2)存在這樣的P點(diǎn)，且坐標(biāo)為：(“U+1,-6),(-V10+1,-6)

23.【答案】(1)解：如圖①，VA(-2,0)B(0,2).-.OA=OB=2

AB2=OA2+OB2=22+22=8AB=2V2OC=ABOC=2V2,即C(0,2/)又...拋物線y=V^+mx+n

的圖象經(jīng)過A、C兩點(diǎn)，則可得：/4/—2m±n=°解得：］血=一旺.?.拋物線的表達(dá)式為

(n=2V2<-n=2V2

y=-V2x2-V2x+2V2(2)證明：VOA=OBZAOB=90°/.ZBAO=ZABO=45°X

ZBEO=ZBAO+ZAOE=45°+ZAOE,ZBEO=ZOEF+ZBEF=45°+ZBEF；.ZBEF=ZAOE(3)解：當(dāng)

△EOF為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論①當(dāng)OE=OF時(shí)，NOFE=NOEF=45。在△EOF中，

NEOF=180。-NOEF-NOFE=180。-45。-45。=90。又^.^NAOB=90。則此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，不符合題意，此

種情況不成立.②如答圖②，當(dāng)FE=FO時(shí)，ZEOF=ZOEF=45°,在△EOF中，

ZEFO=180°-ZOEF-ZEOF=180。-45。-45。=90。/.ZAOF+ZEFO=90°+90°=180°；.EF//AO/.

ZBEF=ZBAO=45°又,:由(2)可知，ZABO=45°.\ZBEF=ZABO.*.BF=EF/.EF=BF=OF=1oB=1x2

=1AE(-l,1)③如圖③，當(dāng)EO=EF時(shí)，過點(diǎn)E作EHLy軸于點(diǎn)H在△AOE和ABEF中，NEAO=NFBE,

EO=EF,ZAOE=ZBEF.\AAOE^ABEFABE=AO=2VEH±OB

ZEHB=90°.\ZAOB=ZEHB：.EH//AOZ.NBEH=/BAO=45。在RtABEH中，

?.?NBEH=NABO=45°，EH=BH=BECOS45°=2X￥=V^.*.OH=OB-BH=2-&；.E(-V2,2-四)綜上所述，當(dāng)

△EOF為等腰三角形時(shí)，所求E點(diǎn)坐標(biāo)為E(-l,1)或E(-VL2-/)⑷解：P(0,2/)或P(-1,

24?【答案】(1)解：y=-1x+4與x軸交于點(diǎn)B,與y軸交于點(diǎn)C,則B(8,0)、C(0,4),

2

把B,C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入二次函數(shù)，得：f0=-5x8+8b+c,

Ic=4

解得，\b=l

(c=4

二次函數(shù)的表達(dá)式為：y=—^x2+|x+4

■1O-1Q

2

(2)解：令y=0,代入y=--%+,久+4，得：—a，+[%+4=0，解得：xr=8,x2=—2,

AA(-2,0),

由A、B、C點(diǎn)坐標(biāo)得：AB2=AC2+BC2,

.,.ZACB=90°,

過點(diǎn)D作DLLCB交BC于L點(diǎn)，

"?'SADCB=SAABC,

；.DL=AC,

又?；DL〃AC,

四邊形DLCA為平行四邊形，又NACB=90。，

四邊形DLCA為矩形，

AZCBA=ZBAD,

.\tanZBAD=tanZCBA=盥=1,

D(JL

設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(m,n),

則n——^m2+|m+4，…①，tanNBAD=i…②，

聯(lián)立①②解得：m=10或m=-2(舍去)，

則D(10,-6)

(3)解：如下圖：設(shè)直線CD與x軸交于R,過點(diǎn)D作DMJ_x軸，DTLy軸,

VC(0,4),D(10,-6),

直線CD所在的方程為：y=-x+4,

令y=0,則R(4,0),

AOR=OC=4,

.\ZRCO=45°,

.,.ZACO+ZDCB=90°-45°=45°,

又?.?/CDA=NDCB,

.\ZAQD=ZACO+ZADC=ZACO+ZDCB=45°,

?..四邊形DLCA為矩形，則△AQD為等腰直角三角形，

；.AQ=AD,

X,/ZDAB+ZQAN=ZAQN+ZQAN=90°,即：ZDAB=ZAQN,

RtAAQN絲RtAADM(AAS),

；.AN=DM=6,QN=AM=12,

AN(-8,0),

把x=-8代入二次函數(shù)表達(dá)式，解得P(-8,-24),

貝ijPQ=PN-QN=24-12=12.

25.【答案】(1)解：由題意，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(0,2),

；.OB=2,

VtanZOAB=2,即需=2.

AOA=1.

.?.點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0).

又：二次函數(shù)y=x2+mx+2的圖象過點(diǎn)A,

/.0=l2+m+2.

解得m=-3,

所求二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2

由于NBAC=90。，可知NCAE=NOBA,△CAE^AOBA,

可得CE=OA=1,AE=OB=2,可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為(3,1).

由于沿y軸運(yùn)動(dòng)，故圖象開口大小、對(duì)稱軸均不變，

設(shè)出解析式為y=x2-3x+c,代入C點(diǎn)作標(biāo)得1=9-9+c,c=l,

所求二次函數(shù)解析式為y=x2-3x+l.

(3)解：由(2),經(jīng)過平移后所得圖象是原二次函數(shù)圖象向下平移1個(gè)單位后所得的圖象,

?.?點(diǎn)P在平移后所得二次函數(shù)圖象上，

設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(X,x2-3x+l).

在小PBB/DAPDDI中，SAPBBI=2SAPDDI,

.?.邊BBi上的高是邊DDi上的高的2倍.

①當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的右側(cè)時(shí)，x=2(x-|),得x=3,

.?.點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)；

②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，同時(shí)在y軸的右側(cè)時(shí)，x=2(1-x),得x=l,

...點(diǎn)P的坐標(biāo)為(1,-1)；

③當(dāng)點(diǎn)P在y軸的左側(cè)時(shí)，x<0,又-x=2(|-x),

得x=3>0(舍去)，

二所求點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)或(1,-1)

26.【答案】(1)解：?二次函數(shù)y=a/一5%+c的圖像與％軸交于做_4,0),B(b,0)兩點(diǎn)，與y軸交于

點(diǎn)C(0,—4)1

.[16a+20+c=0

7c=-4f

解得：1=一3

=-4

J二次函數(shù)的解析式為y=-%2-5%-4,

當(dāng)y=0時(shí)，得：———5%—4=0,

解得：勺=-4,x2=-1,

AB(-1,0),

J二次函數(shù)的解析式為y=--一5%-4,b--1；

(2)解：不存在.理由如下：

如圖，

設(shè)—m2—5m—4),

4,0),B(—1,0),C(0,-4),

C.AB=-1—(—4)=3,OB=1,OC=4,

?點(diǎn)M在二次函數(shù)位于工軸上方的圖像上，且SABOM=^SMBC，

111

?X1X(—7712—5171-4)=xX3X4?

整理得：m2+5m+8=0,

=52-4x8=-7<0,

...方程無實(shí)數(shù)根，

不存在符合條件的點(diǎn)M；

(3)解：如圖，設(shè)C?交x軸于點(diǎn)M,

丁力(—4,0),<7(0,一4),

AOA=OC=4,

???點(diǎn)E與點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，

：.OE=OA=OC=4,

"：^AOC=Z.EOC=90°,

：.AOAC=AOCA=45°=4OCE=乙OEC,

：.AC=EC,

為圓的直徑，

J.^CE'E=90°,

?.?平移線段AE,使點(diǎn)E移動(dòng)到點(diǎn)E‘，線段AE的對(duì)應(yīng)線段為//，

①當(dāng)點(diǎn)E'與點(diǎn)。不重合時(shí)，

--AE=AE，AE||AE，

四邊形ZEE'A'是平行四邊形，

■'-AA||E,E，AA=EE，

:.乙ANE'=/-CE'E=90°,4MAN=AMEE',

：.^ANC=90°,

在RtAANM^WRtACOM中，

'."MAN=90°—ZAMN,AMCO=90°-ACMO,

：.AMAN=AMCO,

"：^OAC=乙OCE=45°,

"CAN=^ECE',

又?：乙ANC=乙CE'E=90°,

^△71/VC^A中，

(AANC=乙CE'E

\^CAN=乙ECE‘，

(AC=CE

：.AANC=△CE'E(AAS),

：.CN=EE',

.MA'=CN,

.?應(yīng)

CN~L

②當(dāng)點(diǎn)E‘與點(diǎn)。重合時(shí)，此時(shí)點(diǎn)N與點(diǎn)。重合，

：.AA'=EE'=OE=4,CN=CO=4,

CN-4T

綜上所述，M的值為L(zhǎng)

CN

27.【答案】(1)解：:?拋物線對(duì)稱軸為x=l,A(-2,0)

AB(4,0)

設(shè)拋物線解析式為y=a(x+2)(久-4)=ax2-2ax-8a

???拋物線與y軸交點(diǎn)為(0,4)

1

.?.a=-2

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