高中數學北師版第一章8《最小二乘估計》導學案

§8最小二乘估計1．了解最小二乘法的思想．2．能根據給出的線性回歸方程系數公式建立線性回歸方程．最小二乘法求線性回歸直線方程y＝bx＋a時，使得樣本數據的點到它的__________最小的方法叫做最小二乘法．其中a，b的值由以下公式給出：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝，,a＝.))a，b是線性回歸方程的系數．線性回歸分析涉及大量的計算，形成操作上的一個難點，可以利用計算機非常方便地作散點圖、回歸直線，并能求出回歸直線方程．因此在學習過程中，要重視信息技術的應用．【做一做】已知某工廠在某年里每月生產產品的總成本y(萬元)與該月產量x(萬件)之間的回歸直線方程為y＝0.974＋1.215x，計算x＝2時，總成本y的估計值為______．什么是最小二乘法？剖析：結合最小二乘法的發(fā)展過程和在實際生活中的應用來了解最小二乘法．最小二乘法的思想是通過最小化誤差的平方和找到一組數據的最佳函數匹配，是用最簡單的方法求得一些絕對不可知的真值，而令誤差平方之和為最小，是處理各種觀測數據，測量方差的一種基本方法，是一種數學優(yōu)化技術．在統(tǒng)計中，主要是利用最小二乘法求線性回歸方程，這是最小二乘法思想的應用．最小二乘法不僅是數理統(tǒng)計中一種常用的方法，在工業(yè)技術和其他科學研究中也有廣泛應用，比如洪水實時預報等等．題型一閱讀理解題【例題1】假設關于某設備的使用年限x(年)和所支出的維修費用y(萬元)有如下統(tǒng)計資料：x23456y2.23.85.56.57.0若由資料知，y與x線性相關．(1)求回歸直線方程y＝bx＋a中a與b的值；(2)估計使用年限為10年時，維修費用是多少？分析：先求出回歸直線方程，若回歸直線方程為y＝bx＋a，則在x＝x0處的估計值為y0＝bx0＋a.反思：知道x與y線性相關，就無需進行相關性檢驗，否則，應先進行相關性檢驗，若兩個變量不具備相關關系，或者說，它們之間的線性相關關系不顯著，即使求出回歸直線方程也是毫無意義的，而且用其估計和預測的量也是不可信的．題型二信息提煉題【例題2】某產品的原料中兩種有效成分A和B的含量如下表所示：12345678910A(%)24152319161120161713B(%)67547264392258434634用x(%)表示A的含量，y(%)表示B的含量．(1)作出散點圖；(2)y與x是否線性相關？若線性相關，求出回歸直線方程(結果保留到小數點后4位小數)．分析：作出散點圖，可判斷y與x是否線性相關，如果線性相關，可用計算器求a，b的值．反思：求回歸直線方程，通常是用計算器來完成的．在有的科學計算器中，可通過直接按鍵得出回歸直線方程中的a，b.如果用一般的計算器進行計算，則要先列出相應的表格，有了表格中的相關數據，回歸直線方程中的a，b就容易求出來了．題型三線性回歸分析的應用【例題3】下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對照數據：x3456y2.5344.5(1)請畫出上表數據的散點圖；(2)請根據上表提供的數據，用最小二乘法求出y關于x的線性回歸方程y＝bx＋a；(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤．試根據(2)求出的線性回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前降低多少噸標準煤？(參考數值：3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5)分析：(1)以產量為橫坐標，以生產能耗對應的測量值為縱坐標在平面直角坐標系內畫散點圖；(2)應用計算公式求得線性相關系數b，a的值；(3)實際上就是求當x＝100時，對應的y的值．反思：求線性回歸直線方程的步驟如下：①列表表示xi，yi，xiyi；②計算eq\x\to(x)，eq\x\to(y)，eq\i\su(i＝1,n,x)eq\o\al(2,i)，eq\i\su(i＝1,n,x)iyi；③代入公式計算b，a的值；④寫出線性回歸方程．可以利用線性回歸方程進行預測變量的值．1某商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，則其回歸方程可能是()．A．y＝－10x＋200B．y＝10x＋200C．y＝－10x－200D．y＝10x－2002下表是x與y之間的一組數據，則y關于x的回歸直線必過點()．x0123y1357A．(2,2)B．(1.5,2)C．(1,2)D．(1.5,4)3對有線性相關關系的兩個變量建立的回歸直線方程y＝a＋bx中，回歸系數b()．A．小于0B．大于0C．等于0D．以上都有可能4給出下列說法：①回歸方程適用于一切樣本和總體；②回歸方程一般都有局限性；③樣本取值的范圍會影響回歸方程的適用范圍；④回歸方程得到的預測值是預測變量的精確值．其中正確的是________(將你認為正確的序號都填上)．5某個服裝店經營某種服裝，在某周內獲純利潤y(元)與該周每天銷售這種服裝件數x之間的一組數據關系見下表：x3456789y66697381899091已知：，，(1)求，；(2)畫出散點圖；(3)求純利潤y與每天銷售件數x之間的回歸直線方程．答案：基礎知識·梳理距離的平方和eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\x\to(x)\x\to(y),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\x\to(x)2)eq\x\to(y)－beq\x\to(x)【做一做】3.404由回歸直線方程y＝0.974＋1.215x得，當x＝2時，總成本y的估計值為y＝0.974＋1.215×2＝3.404.典型例題·領悟【例題1】解：(1)列表：i12345xi23456yi2.23.85.56.57.0xiyi4.411.422.032.542.0eq\x\to(x)＝4，eq\x\to(y)＝5eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xi2＝90，eq\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi＝112.3其中，b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))xiyi－5\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(5),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－5\x\to(x)2)＝eq\f(112.3－5×4×5,90－5×42)＝eq\f(12.3,10)＝1.23，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝5－1.23×4＝0.08.所以a＝0.08，b＝1.23.(2)回歸直線方程為y＝1.23x＋0.08.當x＝10時，y＝1.23×10＋0.08＝12.38，即使用年限為10年時，維修費用約為12.38萬元．【例題2】解：(1)散點圖如圖所示．(2)因為散點圖中各點大致都分布在一條直線附近，所以y與x之間存在線性相關關系．經計算可得eq\x\to(x)＝17.4，eq\x\to(y)＝49.9，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝3182，eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi＝9228，故b＝eq\f(\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))xiyi－10\x\to(x)\x\to(y),\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))x\o\al(2,i)－10\x\to(x)2)＝eq\f(9228－10×17.4×49.9,3182－10×17.42)≈3.53238≈3.5324，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)≈49.9－3.53238×17.4≈－11.5634，所以所求回歸直線方程為y＝3.5324x－11.5634.【例題3】解：(1)散點圖如圖所示．(2)由題意，得eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xiyi＝3×2.5＋4×3＋5×4＋6×4.5＝66.5，eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6,4)＝4.5，eq\x\to(y)＝eq\f(2.5＋3＋4＋4.5,4)＝3.5，eq\o(∑,\s\up6(4),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝32＋42＋52＋62＝86，∴b＝eq\f(66.5－4×4.5×3.5,86－4×4.52)＝eq\f(66.5－63,86－81)＝0.7，a＝eq\x\to(y)－beq\x\to(x)＝3.5－0.7×4.5＝0.35.故線性回歸方程為y＝0.7x＋0.35.(3)根據回歸方程可預測，現在生產100噸甲產品的生產能耗為0.7×100＋0.35＝70.35(噸標準煤)，故預測生產100噸甲產品的生產能耗比技改前減少了90－70.35＝19.65(噸標準煤)．隨堂練習·鞏固1．A∵商品銷售量y(件)與銷售價格x(元/件)負相關，∴b＜0，排除選項B，D.又∵x＝0時，y＞0，∴答案為A.2．D回歸直線方程必過中心點(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))，即(1.5,4)，故選D.3．D4．②③樣本或總體具有線性相關關系時，才可求回歸方程，而且由回歸方程得到的函數值是近似值，而非精確值，因此回歸方程有一定的局限性．所以①④錯．5．解：(1)eq\x\to(x)＝eq\f(3＋4＋5＋6＋7＋8＋9,7)＝6(件)，eq\x\to(y)＝eq\f(66＋69＋73＋81＋89＋90＋91,7)＝eq\f(559,7)≈79.86(元)．(2)散點圖如下：(3)由散點圖知，y與x有線性相關關系．設回歸直線方程為y＝bx＋a.由eq\o(∑,\s\up6(7),\s\d