2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題

1.已知正方形ABCD邊長(zhǎng)為1,對(duì)角線AC,3。相交于點(diǎn)O,過(guò)點(diǎn)O作射線OE,OF,分

別交AD,于點(diǎn)E,F,且

Ml圖2圖3

(D如圖1,當(dāng)OELAD時(shí)，求證：四邊形AEOF是正方形；

(2)如圖2,將射線OE,繞著點(diǎn)。進(jìn)行旋轉(zhuǎn).

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，判斷線段OE與OP的數(shù)量關(guān)系，并給出證明；

②四邊形OE4P的面積為二

(3)如圖3,在四邊形尸QMN中，PQ=PN,ZQPN=NQMN=90。,連接PM.若PM=9,

請(qǐng)直接寫(xiě)出四邊形PQMN的面積.

2.綜合與實(shí)踐

將正方形ABCD的邊A8繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至A9,記旋轉(zhuǎn)角為a.連接班'，過(guò)點(diǎn)。作DE

垂直于直線班'，垂足為點(diǎn)E,連接CE,

RDS用圄

⑴如圖1,當(dāng)。=60。時(shí)，△DEB'的形狀為_(kāi)______,連接如，可求出k的值為_(kāi)_____；

CE

⑵當(dāng)0。</<360°且打中90°時(shí).

①（1）中的兩個(gè)結(jié)論是否仍然成立？如果成立，請(qǐng)僅就圖2的情形進(jìn)行證明；如果不成立，

請(qǐng)說(shuō)明理由；

②當(dāng)以點(diǎn)E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，求黑的值，若AB=2君,請(qǐng)

直接寫(xiě)出此時(shí)點(diǎn)E到CD的距離.

3.（1）觀察猜想：如圖1,已知C3G三點(diǎn)在一條直線上（CD〉DG）,正方形ABCD和

正方形DE/G在線段CG同側(cè)，"是CG中點(diǎn)，線段?！迸cAE的數(shù)量關(guān)系是，位置關(guān)

系是;

（2）猜想證明：在（1）的基礎(chǔ)上，將正方形。EfG繞點(diǎn)￡（旋轉(zhuǎn)。度（0。<“<360。），試

判斷（1）中結(jié)論是否仍成立？若成立，僅用圖2進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）拓展延伸：如圖3,矩形A3。和矩形DEFG中，2=獸例=3,將矩形DEFG繞

CDDCJ

-3

點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)任意角度，連接AE,CG,"是CG中點(diǎn)，若求點(diǎn)目運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng).

4.“綜合與實(shí)踐”課上，老師提出如下問(wèn)題：如圖1,Rt^ABC中，ZABC=90°,BD為AC

邊上的中線.將沿射線BC的方向平移，得到.EFG,其中點(diǎn)A,B,。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分

別為E,F,G,如圖2,當(dāng)線段E尸經(jīng)過(guò)點(diǎn)。時(shí)，連接DC,GC,請(qǐng)判斷四邊形DRTG的形

狀，并說(shuō)明理由.

圖1圖2圖3

數(shù)學(xué)思考

(1)請(qǐng)回答老師提出的問(wèn)題；

深入探究

(2)老師將圖2中的EFG繞點(diǎn)廠按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到△PF。，其中點(diǎn)E,G的對(duì)應(yīng)點(diǎn)

分別為尸，。，線段房,。廠分別與邊交于點(diǎn)N.如圖3,當(dāng)尸時(shí)，讓同學(xué)們

提出新的問(wèn)題.

①“勤學(xué)小組”提出問(wèn)題：試猜想線段尸加和取的數(shù)量關(guān)系，并證明；

②“善思小組”提出問(wèn)題：若VA5c中，AB=6,BC=S,請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)四邊形DNVC的面

積.請(qǐng)解答上述兩個(gè)小組提出的問(wèn)題.

5.如圖1,點(diǎn)。是正方形兩對(duì)角線的交點(diǎn)，分別延長(zhǎng)OD到點(diǎn)G,OC到點(diǎn)E,使

OG=2OD,OE=2OC,然后以O(shè)G、OE為鄰邊作正方形OEPG,連接AG,DE.

圖1圖2

⑴求證：DE1AG；

（2汝口圖2,正方形ABCZ）固定，將正方形OEFG繞點(diǎn)。逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)。角（0。<a<360。）,

得到正方形OEF'G'；

①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)NQ4G'是直角時(shí)，求a的度數(shù)；

②若正方形的邊長(zhǎng)為2,在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，W長(zhǎng)的最大值為.

6.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：

在“綜合與實(shí)踐”活動(dòng)課上,老師給出了一張如圖1所示的正方形紙片A5CD,點(diǎn)E在線段BC

2

上，點(diǎn)廠在線段C。上，且滿足CE=CF=1A8,連接AC.

數(shù)學(xué)思考：

圖】圖2

（1）線段EF與AC的數(shù)量關(guān)系為，位置關(guān)系為

猜想證明：

⑵如圖2,連接8。交AC于點(diǎn)。，將△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn),取線段跖的中點(diǎn)并記為G,

連接OG,Z)P,猜想線段OG與。尸之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

拓展探究：

⑶在(2)的基礎(chǔ)上繼續(xù)將△CEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，若AB=6,當(dāng)D,G,P三點(diǎn)共線時(shí)，直

接寫(xiě)出線段OG的長(zhǎng).

7.小紅在學(xué)習(xí)了三角形的相關(guān)知識(shí)后，對(duì)等腰直角三角形進(jìn)行了探究，如圖，在Rt^ABC

中，AB=BC,ZABC=9Q°,點(diǎn)、D,￡分別在邊AB,AC上(不同時(shí)在點(diǎn)A),連接DE.

B(D)C(E)

圖1

(1)問(wèn)題解決：如圖1,當(dāng)點(diǎn)DE分別與點(diǎn)8,C重合時(shí)，將線段OE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到線段所，連接AF,AF與的位置關(guān)系是,數(shù)量關(guān)系是

(2)問(wèn)題探究：如圖2,當(dāng)點(diǎn)。，E不與點(diǎn)B,C重合時(shí)，將線段ZJE繞點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。,

得到線段正，連接AF,A尸與BC的位置關(guān)系是怎樣的？請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)拓展延伸：如圖3,當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合，且。為的中點(diǎn)時(shí)，將線段繞點(diǎn)E順時(shí)

針旋轉(zhuǎn)90。，得到線段FE,點(diǎn)G是點(diǎn)C關(guān)于直線A3的對(duì)稱點(diǎn)，若點(diǎn)G,D,尸在一條直線

上，求笠AF的值.

EC

8.在學(xué)習(xí)全等三角形的知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：它是由兩個(gè)共頂點(diǎn)且頂

角相等的等腰三角形構(gòu)成，在相對(duì)位置變化的同時(shí)，始終存在一對(duì)全等三角形.通過(guò)查詢資

料，他們得知這種模型稱為“手拉手模型”.如圖①，在Rtz\AC3中，ZACB=90°,AC=CB,

點(diǎn)、D,E分別在ACBC邊上，CD=CE,連接DE,AE,3D,M是AE的中點(diǎn)，連接CM.

圖①圖②備用圖

⑴觀察猜想

請(qǐng)直接寫(xiě)出CM與8。的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；

⑵類比探究

將圖①中△DCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖②的位置，判斷（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若

成立，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；

⑶解決問(wèn)題

若AC=4,CD=2,將圖①中的ADCE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出CM的最大

值與最小值.

9.在VA2C中，ABAC=90°,AB=AC=2逝,。為BC的中點(diǎn)，E,尸為別為線段A8,

A￡)上任意一點(diǎn)，連接所，將線段所繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段EG,連接尸G,AG.

(D如圖1,點(diǎn)E與點(diǎn)8重合，且G廠的延長(zhǎng)線過(guò)點(diǎn)C,若點(diǎn)尸為PG的中點(diǎn)，連接尸。，求PO

的長(zhǎng)；

(2)如圖2,跖的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)點(diǎn)N在A8上，ZAGN=ZAEG且GN=MF,求證：

AM+AF=42AE;

⑶如圖3,尸為線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，E為A8的中點(diǎn)，連接CE,H為直線BC上一動(dòng)點(diǎn)，連

接,將4CEH沿EH翻折至ABC所在平面內(nèi)，得到C'EH,連接CG,直接寫(xiě)出線段

CG長(zhǎng)度的最小值.

10.如圖1,VABC與△E3D均為等邊三角形，將△EBD繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為a(其

中0。＜。＜180。)，連接AE,CD,M是AE的中點(diǎn)，BC=^BD.

⑴求證：AE=CD-,

（2）如圖2,連接ZW,當(dāng)瓦）的延長(zhǎng)線經(jīng)過(guò)點(diǎn)C時(shí)，請(qǐng)判斷四邊形MEBD的形狀，并說(shuō)明理

由；

⑶如圖3,連接CM,若BD=2,在繞點(diǎn)8旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，求C加的最大值.

11.問(wèn)題情境：數(shù)學(xué)課上，老師引導(dǎo)同學(xué)們以“正方形中線段的旋轉(zhuǎn)”為主題開(kāi)展數(shù)學(xué)活動(dòng).已

知正方形A3CD中，AB=2,點(diǎn)E是射線CD上一點(diǎn)（不與點(diǎn)C重合），連接BE,將8E繞

點(diǎn)E順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到FE,連接DF.

特例分析：（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)。重合時(shí)，則/AZ>

深入談及：（2）當(dāng)點(diǎn)E不與點(diǎn)。重合時(shí)，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)?jiān)趫D2

與圖3中選擇一種情況進(jìn)行證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

12.從特殊到一般再到特殊是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要模式，某數(shù)學(xué)興趣小組擬做以下探究學(xué)習(xí).

在中，ZACB=90°,AC=BC,將線段2C繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)a(0°<a<180°)

得到線段。C,取AD中點(diǎn)H,直線CH與直線3。交于點(diǎn)E,連接AE.

(1)【感知特殊】

如圖1,當(dāng)《=30。時(shí)，小組探究得出：為等腰直角三角形，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程;

(2)【探究一般】

①如圖2,當(dāng)0。<&<90。時(shí)，試探究線段E4,EC,￡8之間的數(shù)量關(guān)系并證明；

②當(dāng)90。<0<180。時(shí)，直接寫(xiě)出線段胡，EC,之間的數(shù)量關(guān)系.

(3)【應(yīng)用遷移】

己知AC=?,在線段DC的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)AE=3時(shí)，求線段EC的長(zhǎng).

13.綜合與實(shí)踐

問(wèn)題情境：如圖1,正方形ABCD和正方形ABiGR有公共頂點(diǎn)A,AB=2亞+2,A耳=2,

現(xiàn)將正方形A4C2繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為磯0°<0<360。)，連接。，，BBt.

⑴猜想證明：猜想圖2中與B片的數(shù)量關(guān)系并證明；

(2)探究發(fā)現(xiàn)：如圖3,當(dāng)a=90。時(shí)，連接3￡),延長(zhǎng)交2月于點(diǎn)E,求證：垂直平

分叫；

(3)拓展延伸：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)瓦。的面積最大時(shí)，直接寫(xiě)出此時(shí)旋轉(zhuǎn)角a的度數(shù)和

△2瓦。的面積.

14.問(wèn)題情境：“綜合與實(shí)踐”課上，楊老師提出如下問(wèn)題：將圖1中的正方形紙片沿對(duì)角線

剪開(kāi)，得到兩個(gè)全等的等腰直角三角形紙片，表示為VABC和DEF,其中

ZACB=ZDEF=90°,將VABC和所按圖2所示方式擺放(點(diǎn)C,B,E三點(diǎn)共線)，其

中點(diǎn)8與點(diǎn)。重合(標(biāo)記為點(diǎn)8).連接AF,取AF的中點(diǎn)過(guò)點(diǎn)尸作NF〃AC交CM的

延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.

（2）深入探究：楊老師將圖2中的ABEF繞點(diǎn)8順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)C,B,E三點(diǎn)不在一

條直線上時(shí)，如圖3所示，并讓同學(xué)們提出新的問(wèn)題并解決新問(wèn)題.

①“洞察小組”提出問(wèn)題是（1）中的結(jié)論是否仍然成立，若成立，請(qǐng)你證明，若不成立；請(qǐng)

你寫(xiě)出新的結(jié)論，并證明；

②“思辨小組”提出問(wèn)題是：若正方形的邊長(zhǎng)是4,把圖2中的△3EF繞點(diǎn)8順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)

一周，當(dāng)點(diǎn)C,B,尸三點(diǎn)共線時(shí)，請(qǐng)你直接寫(xiě)出—CEN的面積.

15.如圖①，在等腰直角三角形A3C中，N54c=90。，D,E分別為A3,AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為

線段DE上一動(dòng)點(diǎn)（不與。，E重合），將線段AF繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90。得到AG,

連接BRCG.

⑴求證：△ABF^Z\ACG.

(2)如圖②，連接EG,FG,FG交AC于點(diǎn)H.

①證明：在點(diǎn)尸的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，總有NFEG=90。；

②若A8=AC=20，直接寫(xiě)出當(dāng)。尸的長(zhǎng)度是多少時(shí)，為.AG"為等腰三角形?

16.通過(guò)類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例,

請(qǐng)補(bǔ)充完整.原題：如圖1,點(diǎn)E、歹分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZEAF=45°,

連接防，試猜想跖、BE、。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系

(1)思路梳理：把一ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△APG,可使48與AD重合，由

ZADG=ZB=90°,得，/FDG=180。，即點(diǎn)RD、G共線，易證△AFG絲,故

EF、BE、O尸之間的數(shù)量關(guān)系為.

⑵類比引申：如圖2,點(diǎn)E、尸分別在正方形A2CD的邊CB、DC的延長(zhǎng)線上，ZE4F=45。.連

接跖，試猜想EF、BE、O尸之間的數(shù)量關(guān)系為,并給出證明.

(3)聯(lián)想拓展：如圖3,在VABC中，已知4BAC=45。,垂足于點(diǎn)。，且

BD=6,CD=4.求的長(zhǎng).

17.通過(guò)類比聯(lián)想，引申拓展研究典型題目，可達(dá)到解一題知一類的目的，下面是一個(gè)案例,

請(qǐng)補(bǔ)充完整.原題：如圖1,點(diǎn)E、歹分別在正方形ABCD的邊BC、CD上，ZEAF=45°,

連接E尸，試猜想￡F、BE、。產(chǎn)之間的數(shù)量關(guān)系.

⑴把一ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△ADG,可使AB與重合，由ZADG==90°,

得，ZFZ)G=180°,即點(diǎn)RD、G共線，易證..AFG也,故EP、BE、DF之

間的數(shù)量關(guān)系為.

⑵如圖2,點(diǎn)E、尸分別在正方形A3CD的邊CB、C。的延長(zhǎng)線上，ZE4F=45°.連接EF,

試猜想E尸、BE、D尸之間的數(shù)量關(guān)系為,并給出證明.

(3)如圖3,在VABC中，ZBAC=90°,AB=AC,點(diǎn)。、E均在邊BC上，且

ZBAD+ZEAC^45°.若BD=2,EC=2框,直接寫(xiě)出AD?的值和AE的長(zhǎng).

18.如圖1,正方形和正方形題七，A,E,8三點(diǎn)共線，AB=8,AE=46，將正

方形AEFG繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)研0。4。445。)，連接BE,DG.

圖1圖2圖3

(1)如圖2,求證:BE=DG；

(2)如圖3,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)反瓦G三點(diǎn)共線時(shí)，試求8E的長(zhǎng);

(3)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在某時(shí)刻，使得NB￡A=120。，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出BE的長(zhǎng);

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.將一塊直角三角板的直角頂點(diǎn)繞矩形A2CD的對(duì)角線的交點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)(圖①=圖②，

AD=8,AB=6,圖中的“、N分別為直角三角形的直角邊與矩形A3。的邊CD、3C的交

⑴如圖①，當(dāng)三角板一直角邊與OD重合時(shí)，求證：CD-+CN2=BN2.

⑵如圖②中3N=5、求的值.

(3汝口圖②，連接"N,直接寫(xiě)出"N的最小值為.

20.【探究與證明】

【問(wèn)題情境】如圖1,點(diǎn)E為正方形A5c。內(nèi)一點(diǎn)，AE=2,BE=4,ZAEB=90°,將直

角三角形ABE繞點(diǎn)A逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)a度（0V/V180。）點(diǎn)8、E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)

【問(wèn)題解決】

⑴如圖2,在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，點(diǎn)9落在了AC上，求此時(shí)C￡的長(zhǎng)；

⑵若。=90。，如圖3,得到八位比‘（此時(shí)8'與。重合），延長(zhǎng)BE交。E于點(diǎn)R

①試判斷四邊形但E'的形狀，并說(shuō)明理由；

②連接CE,求CE的長(zhǎng).

21.在AASC中，AC=AB,/◎￡=120。，點(diǎn)。是邊A3上的一動(dòng)點(diǎn).尸是邊C。上的動(dòng)

點(diǎn).連接AF并延長(zhǎng)至點(diǎn)E,交2C于G,連接BE.S.ZE+ZBDF=180°,NAFC=60。.

圖1

(1汝口圖1,若BC=66,BE=4,求CD的長(zhǎng).

(2)如圖2,若點(diǎn)。是AB的中點(diǎn)，求證：AE=DF+也BF.

(3)如圖3,在(2)的條件下，將ABDE繞點(diǎn)8順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)中的三角形記作△28月,

2

取2g的中點(diǎn)為連接CM.當(dāng)CM最大時(shí)，直接寫(xiě)出A需]\4的值.

EM

22.如圖1,在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，連接AC,點(diǎn)E在BC上，且BE=EC,將點(diǎn)C

繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至P點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)角的度數(shù)為a,連接防，與AC相交于點(diǎn)G,連接所，交

AC于點(diǎn)當(dāng)點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到與點(diǎn)A重合時(shí)旋轉(zhuǎn)停止.

(1)如圖2,當(dāng)a=60。時(shí),

①求證：EF1BC-,

②點(diǎn)〃在線段AC的什么位置？請(qǐng)說(shuō)明理由;

(2)在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，是否存在△?如為等腰三角形的情況？如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出所的長(zhǎng);

如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

《2025年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)提升訓(xùn)練：旋轉(zhuǎn)綜合壓軸題》參考答案

1.

【分析】(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)證明四邊形AEO歹是矩形，再得=即可解決問(wèn)題；

(2)①證明AEOWBFO(ASA),可得。E=O/即可；

②先根據(jù)正方形的性質(zhì)得。4=O3=OC,ZAOB=ZBOC=90°,則/。防=NQ4E=45。，

NOCF=NOBF=45°,所以NO3E=NOCF,由OE_LOF1得NEOF=90。，則

ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,即可證明△3OE絲△(%?,于是得BE=CF,根據(jù)四邊形

OEAF的面積=ZIAOB的面積=:正方形ABCD的面積，即可解決問(wèn)題；

4

(3)延長(zhǎng)M2至點(diǎn)G,使G。=MN,連接PG,證明-PGQ、PMN(SAS)，可得PG=RW,

ZGPQ=ZMPN,所以△PGM為等腰直角三角形，所以四邊形尸QMN的面積=等腰直角三

角形尸GM的面積，進(jìn)而可以解決問(wèn)題.

【詳解】(1)證明：二?四邊形ABCD是正方形，

AZZMB=90°,ZZMC=45°,

VOE1OF,OE1AD,

：.Z.DAB=ZOEA=/EOF=90°,

四邊形AEO尸是矩形，

,?ZZMC=45°,

OE=AE,

四邊形AEOB是正方形；

(2)解：@OE=OF,

證明：???四邊形ABC。是正方形，

OA=OB,ZEAO=ZFBO=45°,

?/NEOF=ZAOB=90°,

：.ZEOA=ZFOB,

：.ASA),

OE=OF-

②：四邊形ABC。是正方形，

/.AC=BD,AC±BD,OA=OC=^AC,OB=OD=^BD,

：.OA=OB=OC,ZAOB=Z.BOC=90°,

???/OBE=ZOAE=45°,ZOCF=ZOBF=45°,

???ZOBE=ZOCF9

?；OE1OF,

：.ZEOF=90。,

???ZBOE=ZCOF=90°-ZBOF,

???BOE^COF(ASA),

ABOE的面積iCOb的面積，

???四邊形QE4F的面積MAOB的面積=J正方形ABC。的面積=qx1=1；

444

(3)解：如圖，延長(zhǎng)M2至點(diǎn)G,使GQ=M7V,連接尸G,

?.?/QPN=/QMN=9伊,

：.ZPQM+ZN=180°,

?.?ZPQM+ZPQG=180°,

.??ZPQG=ZN,

?.?PQ=PN,

:.PGQ”P(pán)MNQSAS),

：.PG=PM,ZGPQ=ZMPNf

：.ZGPM=NGPQ+ZQPM=/MPN+ZQPM=90°,

???△PGM為等腰直角三角形，

?.?PM=9,

1QI

...四邊形尸。跖V的面積=等腰直角三角形尸GM的面積：X92=2.

22

【點(diǎn)睛】此題是四邊形的綜合題，考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性

質(zhì)，根據(jù)正方形性質(zhì)求出三角形全等的條件是解題的關(guān)鍵.

2.(1)等腰直角三角形；五

BF

⑵①(1)中的兩個(gè)結(jié)論仍然成立，證明見(jiàn)解析；②—的值為1或3,此時(shí)點(diǎn)E到CO的距

DE

離為2塢或

【分析】(1)由正方形的性質(zhì)得/或心=45。，—=—,ZBAD=90°,AB=AD,由旋轉(zhuǎn)

BD2

的性質(zhì)得AB=AB',/BAB'=60。，推出一A5B'為等邊三角形，/3ND=30。，ZAB'B=60°,

ZAB'D=75°,ZDB'E=45。，證明ADEB'為等腰直角三角形，得出NBDC=ZB'DE=45°,

—,證明即可得解；

DB'2

ry(y

(2)①由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得=AB"=得到乙483=90。一一，ZAB'D=135°,

22

/EFZ>=45。，證明△由'是等腰直角三角形，得出塔=0,由正方形的性質(zhì)得當(dāng)=后,

NBDC=45°,證明即可得出結(jié)論；

②若以點(diǎn)？，E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論：第一種以C。

為邊時(shí)，則CD〃3'E,此時(shí)點(diǎn)8'在線段54的延長(zhǎng)線上，此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，

BE=CD=B'E,即可得解；第二種以CD為對(duì)角線時(shí)，由平行四邊形的性質(zhì)得

B，F(xiàn)=EF=LB，E,點(diǎn)F為CD中點(diǎn)、,證明△BCFs^CBTs△9C,得出

2

nnf

——=—；—=,=2,則BB'=4B'F>BE=6B'F,BE=2B'F)即可得解.

CFBFCB

【詳解】(1)解：如圖，

?/四邊形ABCD是正方形，

ZBDC=45°,ZBCD=ZBAD=90°,AB=AD,

：-------cosZBDC=COS45°=—,

BD2

：AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至AQ,旋轉(zhuǎn)角為a=60。，

/.AB=AB',ZBAB'^60°,

：.AB=AD=AB,為等邊三角形，ZB'AD=ABAD-ZBAB'=90°-60°=30°,

ZAB'B=60°,ZAB'D=|x(180°-ZB'AD)=1x(180°-30°)=75°,

ZDB'E=180。—ZAB'B-ZAB'D=180°—60。-75。=45°,

,/DE工BB',

：.ZDEB'=90°,

：.ZB'DE=90°-ZDB'E=90°-45°=45°=NDB'E,

?.DE=B'E,

△DE?為等腰直角三角形,

NBDC=NB'DE=45°,-----=cosZB'DE=cos45°=—,

DB'2

NBDC-ZB'DC=ZB'DE-ZB'DC,即ZBDB'=ZCDE,

..CDy/2_DE

,茄一萬(wàn)一訪’

AB'DBS^EDC,

昵=咤，=正

：.CECDV2，

故答案為：等腰直角三角形；立;

（2）①兩個(gè)結(jié)論仍然成立,

證明：如圖，連接80,

?.?四邊形ABC。是正方形,

ZBDC=45°,ZBCD=ZBAD=90°,AB=AD=BC=CD,

「力5

??--------cosZBDC=cos45°=—,

BD2

吧」=叵

，CD叵,

^2

：AB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至4夕，旋轉(zhuǎn)角為a,

AB=AB',NBAB'=a,

11zy

ZAB'B=-x(180°-NBAB)=-x(180°-a)=90°-—,AD=AB'.

AB'AD=ZBAB'-ABAD=a-90。，

11zy

ZAB'D=-x(180°-ZDAB')=-x(180°-a+90°)=135°--,

ZEB'D=ZAB'D-ZAB'B=135°-/一(90°一?j=45°,

,/DELBB',

：.NEDB=90°—ZEB'D=90。一45°=45°=ZEB'D,

.EB'=ED,

.是等腰直角三角形，

.ZBDC=ZB'DE=45°,—=cosZB'DE=cos45°=—,

DB'2

.DEV2,

V

.ZBDC+Z.EDC=ZB'DE+ZEDC,即ZB'DB=NEDC,

?巴s”

CDDE

?Z\B'DBS/\EDC,

.曳江亞,

CECD

.(1)中的兩個(gè)結(jié)論不變，依然成立；

②若以點(diǎn)8',E,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形時(shí)，分兩種情況討論:

第一種：以CD為邊時(shí)，則CD〃3'E,

此時(shí)點(diǎn)B'在線段54的延長(zhǎng)線上，如圖所示,

此時(shí)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合,

ABE=CD=B'E,EDLCD,

,1?H=b

?/AB=2s/5,

，ED=AB=2加,

此時(shí)點(diǎn)E到CO的距離為2右;

第二種：當(dāng)以C。為對(duì)角線時(shí)，如圖所示，

?.?四邊形CB'DE是平行四邊形，

AB'F=EF=-B'E,OE=B'C,點(diǎn)產(chǎn)為CD中點(diǎn)，DE//B'C,

2

：.BC=CD=2CF,

?/DE^BB',

：.ZDEB'=90°,

：.NCB'E=NDEB'=90。,

：.NBB'C=180?！猌CB'E=90°,

,?NBC尸=90°,

NBCF=ZCB'F=ZBB'C,

,：ZCBF=ZB'BC,NBFC=ZCFB',

：.△BCFs^CB'FsABB'C,

,BC_CB'_BB'

"CF-CB7-'

BB'=2CB'=4B'F,

：.BE=BB'+B'E=4B'F+2B'F=6B'F,B'E=2B'F,

.BE6B'F.

.?----=-------=3,

B'E2B'F

過(guò)點(diǎn)E作EGLCD于點(diǎn)G,

?/AB=245,

：.CF=-AB=-x2y/5=y/5,

22

BF=^BC2+CF2=J(2扃+02=5,

CF_A/5

=sinZCBB'=

BCBF-V

CB'=—BC=—x245=2,

55

：.DE=B'C=2,

?/DE//B'C,

：.NB'CF=NEDF,

?/Z.CBB'+ZBCB'=90°=ZB'CF+NBCB,

NCBB'=ZB'CF=NEDF,

/.—=sinZEDF=sinZCBB'=—,

DE5

.”小口口2百

??EG=DE=---,

55

綜上所述，黑的值為1或3,此時(shí)點(diǎn)E到C。的距離為2后或短.

BE5

【點(diǎn)睛】本題是四邊形綜合題，考查了正方形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性

質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、銳角三角函數(shù)，平行四邊形

的性質(zhì)、分類討論等知識(shí)，證明△gDBs△即c、進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵.

3.(1)DH=-AE,AEVDH-(2)成立，證明見(jiàn)解析；(3)9兀

2

【分析】(1)根據(jù)正方形ABCO和正方形?！闒G,得到ZAT>C=90。繼而得到AE_LDH；設(shè)

正方形ABCD的邊長(zhǎng)為歷正方形。班6的邊長(zhǎng)為b,根據(jù)題意，得AE=AD-DE=a-b；

結(jié)合H是CG中點(diǎn)，得到。〃=生產(chǎn)=胃，繼而得到

22

八八cc-a+ba-b1-

Dti-CD-CH=a--------=------=—AE.

222

(2)結(jié)論仍然成立.理由如下，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)尸，使得CD=DP,連

2

接GP,根據(jù)正方形的性質(zhì)，證明ADE空、PDG,延長(zhǎng)H2AE二線交于點(diǎn)。根據(jù)三角形

中位線定理，得到GP〃。。，得到NQDP=ZDPG=/DAQ,結(jié)合NQDP+NADQ=90。，

證明即可.

(3)延長(zhǎng)。到點(diǎn)。，使得，連接GQ,根據(jù)三角形中位線定理，得到

DHGQ,O”=《GQ,根據(jù)矩形的性質(zhì)，證明aADEsQ〃G,得黑=盥=照=痣，

22DUCr(JCrZUri

3

結(jié)合DE=3,￡>"=5&￡1得至(］。0=3?！?=9,取CO的中點(diǎn)。，連接OH,結(jié)合H是CG中

10

點(diǎn)，得到。〃==。6=：,根據(jù)圓的定義，判定點(diǎn)”在以點(diǎn)。為圓心，以0H為半徑的圓上，

22

其周長(zhǎng)為2萬(wàn).0a=9萬(wàn).

【詳解】(1)AEYDH,S.DH=^AE.理由如下：

正方形ABCD和正方形DEFG,

ZADC=90°

AE±DH；

設(shè)正方形ABC。的邊長(zhǎng)為a,正方形DEfG的邊長(zhǎng)為6,

根據(jù)題意，得AE=AD—DE=a—b；

是CG中點(diǎn)，

.CD+DGct+b

??CH=-y-丁

DH=CD-CH=a-^-=^—^-=-AE.

222

故答案為：DH=\AE,AELDH.

2

(2)結(jié)論。〃=,4￡,4石，?！ㄈ匀怀闪?理由如下，

2

延長(zhǎng)C。到點(diǎn)P,使得CD=DP,連接GP,延長(zhǎng)“2AE二線交于點(diǎn)。

是CG中點(diǎn)，

/.GPDH,DH=-GP,

2

/.ZQDP=ZDPG,

,/正方形ABC。和正方形DEFG,

:.ZADP=NEDG=90°,ZQDP+ZADQ=90°,AD=DC=PD,ED=GD,

：.ZADE=90°-ZEDP=ZPDG,

AD=PD

?.?]NADE=ZPDG

ED=GD

：.ADEgPDG（SAS）,

：.PG=AE,/DAE=ZDPG,

??.DH=^AE,ZDAE+ZADQ=90°,

DH=-AEZAQD=90°,

29

故DH=LAE,AE上DH.

2

（3）如圖，延長(zhǎng)。到點(diǎn)Q,使得CZ）=。。，連接GQ,

根據(jù)三角形中位線定理，得到0HGQ,DH=gGQ,

???矩形A5CD和矩形DEFG,

：.ZADQ=ZEDG=90°,

：.ZADE=90°-ZEDQ=ZQDG,

..ADDE

?~CD~~DG"

.ADDE

^~DQ~~DG"

,AD_DQ

**DG?

:?ADEs.QDG,

?_A__D____D__E_____A_E_____A_E__

QD~DG~QG~2DH'

3

VDE=3,DH=—AE,

2

.DE121

??-------_人__?

DG233

:.DG=3DE=9,

取C。的中點(diǎn)o,

連接OH,

'/H是CG中點(diǎn),

19

OH=-DG=~,

22

根據(jù)圓的定義，判定點(diǎn)"在以點(diǎn)。為圓心，以為半徑的圓上,

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相似的

判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，圓的定義，熟練掌握三角形全等的判定和性質(zhì)，三角形相

似的判定和性質(zhì)，三角形中位線定理，圓的定義是解題的關(guān)鍵.

1QO

4.（1）矩形，見(jiàn)解析；（2）①PM=FM.見(jiàn)解析；②w

【分析】（1）四邊形DFCG是矩形，由平移的性質(zhì)得到=從而

得到/EFC=/ASC=90。，根據(jù)8。為AC邊上的中線，推出BD=CD=,進(jìn)而

2

證明△BCD是等腰三角形，推出3/=仃，CF=DG,證明四邊形CG是平行四邊形，

再根據(jù)4/C=90。，即可證明四邊形NCG是矩形；

⑵①由平移的性質(zhì)得到NE=4AD=EG,BD=FG,BD\FG,從而得到NEFG=NBDF,

由（1）可得80=4）,進(jìn)而得到/E=/EFG=/A=/3DF,在圖3中，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得

到ZP=NE,￡F=尸尸，根據(jù)平行線的性質(zhì)推出=易證FM=FD,再根據(jù)四邊

形。9CG是矩形，推出尸。=!尸尸=9,即可證明=②過(guò)點(diǎn)/作用LBD,垂

足為H,過(guò)點(diǎn)N作垂足為K,利用勾股定理求出AC=10,由①可求

DF=DE=^EF=^AB=3,BF=FC=^BC=4,由平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到

CD=FG=BD=FQ=^AC=5,根據(jù)PQ〃8O,易證VWWNsVEPQ,得至i]

MNFMFNIs

==由①知PM=EM,從而得到硒=7/。=7,利用三角形面積公式

PQFPFQ22

1119/--------------------------------Q

SBFD=-BFDF=-BDFH,求出m=<,利用勾股定理求出。"=JDF2-"=w'

._____________I11

NH=y/FN2-FH2=—,從而得到DN=D8-M/=而，再根據(jù)推出

BFNK4

/FBD=/KND,利用余弦的定義得到cosNEBO=——=cosZKND=——=—,求出

BDDN5

4?2

NK=-DN=-f最后根據(jù)四邊形DNFC的面積等于SCDF+SFDN求解即可.

【詳解】（1）四邊形。門(mén)CG是矩形，

理由如下：平移得到&EFG,

DG=BF.DG//BF,EF//AB,

.\ZEFC=ZABC=90%

BD為AC邊上的中線，

:.BD=CD=AD=-AC

29

.?.△BCD是等腰三角形，

/EFC=ZABC=90。,

:.EFVBC,

:.BF=CF,

:.CF=DG,

CF//DG,

二?四邊形。尸CG是平行四邊形，

/DFC=90。,

二?四邊形。尸CG是矩形；

（2）①PM=FM,

證明：在圖2中，,ABD平移得到-EFG,

/.ZE=ZA,AD=EG,BD=FG,BDFG,

:"EFG=/BDF

由（1）可得，BD=AD,

...EG=FG,

:.ZE=ZEFG=ZA=ZBDF,

在圖3中，一EFG旋轉(zhuǎn)得到APFQ,

,\ZP=ZE,EF=PFf

PQ//BD,

:.ZP=ZDMF,

:.ZBDF=ZDMF,

:.FM=FD,

由圖2可知，四邊形。尸CG是矩形,

:./FDG=900,

ED=FD=-EF,

2

:.FD=-PF=FM,

2

???PM=FM；

②過(guò)點(diǎn)尸作垂足為H,過(guò)點(diǎn)N作NKLO尸，垂足為K,

?*-AC7AB'Be?=10,

DF=DE=-EF=-AB=3,BF=FC=-BC=4,

222

由平移和旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到CD=FG=BD=FQ=^AC=5,

PQ//BD,

NFMNKFPQ,

.MN_FM_FN

'~PQ~~FP~~FQ"

由①知PM=R0,

:.FN=：FQ=3,

SBFD=；BFDF=gBDFH,

..rri—,

DH=^!DF2-FH2=-,NH=YIFN2-FH2,

510

DN=DH-NH=—,

10

NK//BF,

??.ZFBD=ZKNDf

BFNK4

cosZFBD=——=cosZKND=——=—,

BDDN5

472

NK=-DN=—,

525

四邊形DN尸。的面積等于SCDF+sFDN

iiii971R3

s+S=-DFCF+-DFNK=-x3x4+-x3x—=—.

CrnDFFDN22222525

【點(diǎn)睛】本題考查平移的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，矩形的判定，直角三角形的特征，相似三角形

判定與性質(zhì)，解直角三角形等腰三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，綜合性較強(qiáng)，熟練運(yùn)用平

移與旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

5.(1)見(jiàn)解析

⑵①當(dāng)NQ4G=90°時(shí)，以=30°或150°；②4+0

【分析】(1)延長(zhǎng)ED交AG于H,根據(jù)四邊形ABCD是正方形，可推出一AOG^_DOE(SAS),

得到NAGO=NOEO,再由NAGO+NG4O=90。，得到NG4O+"EO=90。，推出

ZAHE=90°,得證；

(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，/Q4G'是直角時(shí)有兩種情況，當(dāng)a由0。增大到90。過(guò)程中，由

0A1

ZOAG'=90°,—；=-，得到ZAGG'O=30。，再由0。//AG',推出NDOG'=ZAG'O=30°,

OG2

即可；當(dāng)。由90。增大到180。過(guò)程中，NQ4G=90。，同理可求N50G=30。，即可求得答

案；②在圖1連接OF,根據(jù)正方形性質(zhì)求出和。/，由題意可知當(dāng)a=315。，A、。、

尸'在一條直線上，此時(shí)A9的長(zhǎng)最大，由AO+OP即可得到答案.

：.OA=OD,OALOD,

四邊形OEfG是正方形

:.OG=OE

在/AOG和片中,

OA=OD

<ZAOG=/DOE,

OG=OE

AOG空。OE(SAS),

:.ZAGO=/DEO,

ZAGO+ZG4(9=90°,

:.ZGAO+ZDEO=90°f

/.ZAHE=180°-(ZGAO+Z￡)EO)=180°-90°=90°,

即O￡_LAG；

(2)①在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，NQ4G成為直角有兩種情況：

如圖2,。由0。增大到90。過(guò)程中，

當(dāng)NQ4G=90。時(shí)，

OA=OD=-OG=-OGr,

22

nAi

在RtAiOAG，中，----——

OG'2

:.ZAG'O=30°,

OA1OD,OA1AG',

OD//AG',

:.NDOG'=ZAGO=30。,即a=30°；

a由90。增大到180。過(guò)程中，當(dāng)Na4G'=90。時(shí)，如圖

G'——

同理可求N8OG'=30。，

:.a=NDOG'=1800-ZBOG'=180°-30°=150°,

綜上所述，當(dāng)NQ4G'=90。時(shí)，</=30?；?50。；

②如圖，連接。尸，

G

四邊形OEFG是正方形,

:.ZFOE=45°,OG=GF,ZOGF=90°

,?正方形ASCD的邊長(zhǎng)為2,

:.OA=-AC^->JAB2+BC2--V22+22=0,

222

OG=2OD=2OA=2x0=2&，

貝IOF=JOG'+G12=1(2后+(20)2=4,

當(dāng)。=360°-ZFOE=360°—45°=315°時(shí)，

A、0、9在一條直線上，此時(shí)AF的長(zhǎng)最大，

最大值為AO+OF=4+&,

故答案為：4+V2.

【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)

角和定理，平行線的性質(zhì)，勾股定理，二次根式的化簡(jiǎn)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

6.(1)EF=|AC；EF1AC

(2)(?G=—DF,理由見(jiàn)解析

2

(3)714+2^777-2

C'P'7

【分析】。）連接即，則A6=BC=CD,BDLAC,AC=BD，根據(jù)題意得m=呆=1,

CBCD3

ppo

判定ECFsBCD,有——=——=-,EF//BD,NCEF=NCBD,即可得到

BDBC3

EF=|AC;EF1AC；

(2)連接GC,由(1)知，△口》和△CB。都是等腰直角三角形.可證得△CGRs^cOD,

有—=—,進(jìn)一"步證得△OCGs/VX7/7,得至！I—=—.在Rt^OCD中,

COCDDFCD

cosZOCD=即可；

2

⑶當(dāng)點(diǎn)G在線段上時(shí)，由題意得CE=CF=4,得到￡1尸石G=CG=PG.利用勾股定理

得。G,即可求得。方，利用（2）的結(jié)論即可求得OG；當(dāng)點(diǎn)尸在線段DG上時(shí)，同上求得

DF,利用（2）的結(jié)論即可求得OG.

2

【詳解】（1）解：EF=-AC;