2025年中考數(shù)學(xué)?？寄Ｐ蜌w納

初中數(shù)學(xué)中考?？寄Ｐ?/p>

知識點概覽

目錄

知識一三角形中的倒角模型...........................................2

模型1.三角形中的倒角模型之“A”字模型.......................................................2

模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型.......................................................2

模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型........................................................3

模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型.............................................3

模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型.....................................4

模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型.............................................5

模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型.........................................5

知識二全等三角形模型...............................................6

模型1.全等三角形模型之截長補短模型........................................................6

模型2.全等三角形模型之倍長中線模型........................................................7

模型3.全等三角形模型之一線三等角模型......................................................7

模型4.全等三角形模型之手拉手模型..........................................................8

模型5.全等三角形模型之半角模型...........................................................10

模型6.全等三角形模型之90。-90。對角互補型..................................................12

模型7.全等三角形模型之60。-120。對角互補型.................................................13

模型8.全等三角形模型a—180°-?對角互補型.................................................14

模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型.................................................15

知識三相似三角形模型..............................................16

模型1.相似三角形模型之“A”字模型..........................................................16

模型2.相似三角形模型之“X，字模型（“8”字模型）.............................................16

模型3.相似三角形模型之“AX，字模型（“48”字模型）..........................................17

模型4.相似三角形模型之“母子型”模型（共邊共角模型）......................................18

模型5.相似三角形模型之一線三等角模型.....................................................19

模型6.相似三角形模型之手拉手模型.........................................................20

模型7.相似三角形模型之半角模型...........................................................21

模型8.相似三角形模型之對角互補模型.......................................................23

模型9.相似三角形模型之矩形中的十字架型...................................................25

模型10.相似三角形模型之等邊三角形中的斜十字型...........................................26

必記核心知識點

知識一三角形中的倒角模型

模型1.三角形中的倒角模型之“A”字模型

如圖，B、份別是/物輛邊上的點，連結(jié)8G形狀類似于英文字母4故我們把它稱為“心字模型。

條件：如圖，在AA3c中，ZKN2分別為N3、/4的外角;

結(jié)論：①/l+/2=/A+180°；②N3+/4=/D+/E

證明：@'：Z1=ZA+ZACB.\Z1=ZA+18O°-Z2AZl+Z2=ZA+180°o

②在AABC中，/A+/3+/4=180。；在AAOE中，ZA+ZD+ZE=180°/.Z3+Z4=ZD+ZEo

模型2.三角形中的倒角模型之“8”字模型

圖1圖2

1）8字模型（基礎(chǔ)型）

條件：如圖1,AO、BC相交于點O,連接AB、O；結(jié)論：?ZA+ZB=ZC+ZD;?AB+CD<AD+BC.

證明：在AABO中，ZA+ZB+ZAOB=180°；

在ACOD中，ZC+ZD+ZC<9Z）=180o；

VZAOB=ZCOD：.ZA+ZB=ZC+ZD；

在AA80中，AB<AO+BO；在ACOD中，CDCCO+DO；

：.AB+CD<AO+BO+CO+DO=AD+BC；：.AB+CD<AD+BCo

2）8字模型（加角平分線）

條件：如圖2,線段AP平分/54O,線段CP平分/BC。；結(jié)論：2NP=NB+/D

證明：?線段A尸平分線段C尸平分/BCDAZBAP=ZPAD,ZBCP=ZPCD

VZBCP+ZP=ZBAP+ZB①ZPAD+ZP=ZPCD+ZD②

①+②得2/P=/B+/D,則/尸=g（ZB+/。），即2/P=NB+ND

模型3.三角形中的倒角模型之燕尾模型

圖1圖2

基本模型：條件：如圖1,凹四邊形/a9結(jié)論：?ZBCD=ZA+ZB+ZD；@AB+AD>BC+CD?

證明：連接AC并延長至點尸；在ZkABC中，ZBCP=ZBAC+ZB；在△ACD中，ZDCP=ZCAD+ZD；

XVZBAD=ZBAC+ZDAC,NBCD=NBCP+/DCP；:/BAD+/B+/D=/BCD。

延長6出近點P；在ZW舛，A8+AQ>BC+C。；在△切沖，CQ+QD>CD

gp.AB+AQ+CQ+QD>BC+CQ+CD故筋+CD。

拓展模型1：條件：如圖2,B附外NABC,勿平分N42C；結(jié)論：Z^l（ZJ+ZC）o

2

證明：平分NA2C,0D平分NADC；AZABO^^-ZABC；ZADO^^ZADC；

22

根據(jù)飛鏢模型：NBOD=NA瞅NA吩NA=L/A冊L/AgNA；/BCD=/ABC^NADC+/A；

22

：.2/BOD=/ABC+/ADC+2/A=/BOA/A；即工（NZ+NC）。

2

模型4.三角形中的倒角模型之雙內(nèi)角角平分線模型

1）兩內(nèi)角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在AABC中，NABC和NACB的平分線BP,CP交于點P；結(jié)論：N尸=90°+g/A。

證明：和/ACB的平分線8尸，CP交于點P,:.NPBC=^NABC,ZPCB=-ZACBo

22

o

AZ^=180-(ZPBC+APCB)=180°-1(.NABC+/ACB)=180°-1(180°-ZA)=90°+LZ^o

222

2)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型1

條件：如圖2,BP、CP平分/ABC、ZDCB,兩條角平分線相交于點尸；結(jié)論：2ZP=ZA+ZDo

證明：?:BP、CP平分/ABC、ZDCB,：.ZPBC=-ZABC,ZPCB=-ZDCB

22

AZJP=180°-QPBC+/PCB)=180°-1Q/ABC+/DCB)=180°-1(360°-//-/〃)=4QA+/D)。

222

即：2NP=4A+ND。

3)凸多邊形雙內(nèi)角平分線的夾角模型2

條件:如圖3,CP、DP平分/BCD、NCDE,兩條角平分線相交于點尸；結(jié)論：2ZP=ZA+/B+NE-180°。

證明：CP,0P平分/BCD、ZCDE,：.ZPCD^-ZBCD,ZPDC^-ZCDE

22

：.ZP=180°-(ZPCD+ZPDC)=180°1(4BCD+/CDE)=180°1(540°NA+/D+4

22

￡40°o即：2/P=/A+/D+/E-\80°o

模型5.三角形中的倒角模型之一內(nèi)角一外角雙角平分線模型

1)一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型

條件:如圖1,在A4BC中,BP平分/ABC,CP平分NACB的外角，兩條角平分線相交于點P；結(jié)論：NP=g/A.

證明：?:BP、CP平分/ABC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22

j_]_

:.NP=/PCD-/PBC3(ZACD-ZABC)=2

2)一個內(nèi)角一個外角平分線的夾角模型(累計平分線)

條件：如圖2,ZA=a,ZABC,ZACD的平分線相交于點片，/耳BC,/耳CD的平分線相交于點P2,ZP2BC,

的平分線相交于點A……以此類推；結(jié)論：/巴的度數(shù)是會.

證明：VBPi，CPi平分/ABC、ZACD,：.ZPBC=-ZABC,ZPCD=-ZACD

22

11111a

———CL---0C--

：.NP\=NP\CD-/P\BC=2(/ACD-NAEC)=2/A=2。同理：5=2/p、=*,/只=2"

模型6.三角形中的倒角模型之雙外角角平分線模型

1)兩外角平分線的夾角模型

條件：如圖1,在AABC中，BO,CO是△ABC的外角平分線；結(jié)論：ZG>=90°-1zA.

證明：CO平分NCBE、ZBCF,：.ZOBC=-ZEBC,ZOCB=-ZBCF

22

：.Z0=180°-CZOBC+ZOCB)=180°-1(ZEBC+ZBCF)=180°-1(ZA+ZACB+ZABC+ZA)

22

J_J_

=180°-2(180°+/A)=90°+2//。

2)旁心模型旁心：三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個角的外角平分線交于一點

條件：如圖2,B岡令/ABC,切平分N2謝］外角，兩條角平分線相交于點2；結(jié)論：A母分/CAD。

證明：如圖3,過點打乍川￡LH4、DNLAC、DHLBC,

,:B置令/ABC,切平分乙4廓外角，

.*.DH=DM,DH=DN,；.DM=DN,；.AD平分/CAD。

模型7.三角形中的倒角模型之高線與角平分線分線模型

1)條件：如圖1,在口ABC中，AD,AE分別是口ABC的高和角平分線，結(jié)論：ZDAE=1(ZC-ZB).

2)條件：如圖2,尸為口ABC的角平分線AE的延長線上的一點，F(xiàn)DLBC于D,結(jié)論：ZDFA=1(ZC-ZB).

A

圖1圖2

1)證明：?；AE平分/R4C,：.ZEAC=^ZBAC,

'：ZBAC=180°-ZB-ZC,ZE4C=1(1800-ZB-ZC)=90°-1zB-izC,

Z.NEAD=NEAC-NDAC=90°-1zB-|zC-(90°-ZC)=-(ZC-ZB)；

222

2)證明：如圖，過A作AG_LBC于G,由(2)可知：Z￡AG=1(ZC-ZB),

???AG1BC,ZAGB=90°,FD1BC,：.ZFDC=90°,ZAGD=ZFDC,FD//AG,

ZAFD=ZEAG,ZAFD=-(ZC-ZB).

2

知識二全等三角形模型

模型1.全等三角形模型之截長補短模型

條件：為AABC的角平分線，ZB=2ZCo結(jié)論：AB+BD=ACo

證明：法1(截長法)：在線段AC上截取線段A夕=43,連接。及

為AABC的角平分線，AZBAD=ZB'AD,'：AD=AD,：.AABD^AAB'D(SAS)

ZB=ZAB'D,BD=B'D,VZB=2ZC,：.ZAB'D=2ZC,：.ZAB'D=2ZC,：.ZB'DC=ZC,

：.B'C=B'D,：.BD=B'C,AB'+B'C=AC,：.AB+BD=ACo

法2(補短法)：延長AB至點C使得AC=AC,連接2C。

：AD為ZvlBC的角平分線，AZC'AD=ZCAD,'：AD=AD,/.ACADIACAD(SAS)

.\ZC=ZC,?:/B=2/C,：.ZB=2ZC,：.ZBDC'=ZC,：.BC'=BD,

\'AB+BC'=AC,：.AB+BD=ACo

模型2.全等三角形模型之倍長中線模型

1）倍長中線模型（中線型）

圖1圖2

條件:AD為以臺。的中線。結(jié)論：AABD蘭AECD

證明：延長至點E,使OE=A。，連結(jié)CE。

「AD為AABC的中線，:.BD=CD,VZBDA=ZCDE,:.4ABD9叢ECD（S4S）

2）倍長類中線模型（中點型）

條件：AABC中，D為BC邊的中點，E為AB邊上一點（不同于端點）。結(jié)論：AEDB^4FDC。

證明：延長即，使DF=DE,連接C凡

?.?。為BC邊的中點，:.BD=DC,?:/BDE=NCDF,；.AEDB咨4FDC（SAS）

模型3.全等三角形模型之一線三等角模型

1）一線三等角（K型圖）模型（同側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角（“K型圖”）鈍角一線三等角

條件：NA=NCED=NB,AE=DE；結(jié)論：QABE^ECD,AB+CD=BC。

2）一線三等角（K型圖）模型（異側(cè)型）

銳角一線三等角直角一線三等角鈍角一線三等角

條件：NDCF=NABC=NAED,AE=DE；結(jié)論：QABE^ECD,AB-CD=BC。

1)(同側(cè)型)證明：VZAEC=ZB+ZBAE,ZB=ZAED,：.ZAEC=ZAED+ZBAE,

*.?ZAEC=ZAED+ZCED,NBAE=/CED□

在A4BE和ZECD中，ZB=ZC,ZBAE=ZCED,AE=ED；J.QABE^ECD,

：.AB=EC,BE=CD,'：BC=BE+EC,：.AB+CD=BC.

2)(異側(cè)型)證明：；NDCF=/ABC,：.ZECD=ZABE,

'：ZABC=ZAEB+ZA,ZAED=ZAEB+ZCED,ZABC=ZAED,

：.ZAEB+ZA=ZAEB+ZCED,；.ZA=ZCED,

在zlABE和ZECD中，ZA=ZCED,ZECD=ZABE,AE=ED；：.QABE^JECD,

：.ABEC,BECD,"：BC=EC-BE,：.AB-CD=BC.

模型4.全等三角形模型之手拉手模型

1)雙等邊三角形型

條件：AABC和均為等邊三角形，C為公共點；連接BE,AZ)交于點入

結(jié)論：①△ACD四△2CE；②BE=AD；③NAFM=NBCM=60。；④CF平分/BFD。

證明：:△ABC和△OCE均為等邊三角形，：.BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD=6Q°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即：ZBCE=ZACD,:.AACD咨ABCE(SAS),

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又,：NCMB=/AMF,：.ZAFM=ZBCM=60°,

過點C作CPIADCQIBE,則/CQB=NCE4=90。，又,：4CBE=4CAD,BC=AC,：.ABCQ^/\ACP(AAS)

：.CQ^CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分NBFD。

2)雙等腰直角三角形型

條件：△ABC和△DCE均為等腰直角三角形，C為公共點；連接BE,AO交于點N。

結(jié)論：①△ACD/△2CE；②BE=AD；③/ANM=/BCM=90。；④CN平分/BND。

證明：：AABC和△OCE均為等腰直角三角形，：.BC=AC,CE=CD,NBCA=/ECD=90°

：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即:.AACD沿乙BCE(SAS),

：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,又?：NCMB=NAMN,：.ZANM=ZBCM=9Q°,

過點C作CPIADCQIBE,則/CQB=NCB4=90。，又,：2CBE=2CAD,BC=AC,：.ABCQ^/\ACP(AAS)

：.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分NBND。

3)雙等腰三角形型

條件：BC=AC,CE=CD,ZBCA=ZECD,C為公共點；連接BE,AO交于點八

結(jié)論：①△ACD/△3CE；②BE=AD；③/BCM=/AFM；④CF平分/BFD。

證明："；NBCA=/ECD,：.ZBCA+ZACE=ZECD+ZACE,即/BCE=/AC。，

又；BC=AC,CE=CD,:.LACD咨ABCE(SAS),：.BE=AD,ZCBE=ZCAD,

又Z.ZBCM=ZAFM,過點C作則NCQB=/CB4=90°,

又?：/CBE=/CAD,BC=AC,：.ABCQ^AACP(.AAS)

:.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CF平分/BFD。

4)雙正方形形型

條件：四邊形ABCD和四邊形CEPG都是正方形，C為公共點；連接BG,ED交于點N。

結(jié)論：①LBCG會ADCE；②BG=DE；③NBCM=/DNM=9。。；④CN斗分NBNE。

證明：：四邊形ABCD和四邊形CEFG都是正方形，：.BC=AC,CE=CG,ZBCD=ZECG=90°

ZBCD+ZDCG=ZECG+ZDCG,即NBCG=NDCE,:.ABCG沿4DCE（SAS）,

：.BG=DE,ZCBG=ZCDE,又,：/CMB=/DMN,：.ZBCM=ZDNM=9Q°,

過點C作CP_LDE,CQ人BG,則NCPD=/CPB=90。,又,：/CBG=NCDE,BC=DC,：.4BCQ會4DCP(AAS)

；.CQ=CP,根據(jù)角平分線的判定可得：CN平分NBN。。

模型5.全等三角形模型之半角模型

1)正方形半角模型

條件：四邊形ABCD是正方形，NECF=45°；結(jié)論：①ABCE出ADCG；②LCEFqACGF；?EF=BE+

DF-,④AA所的周長=2AB；⑤CE、CF分別平分和NEFD。

證明：將△CBE繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90。至△CDG,即△CBE四/XCDG,

?.ZECB=ZGCD,ZB=ZCDG=90°,BE=DG,CE=CG；

是正方形，:.NB=NCDF=NBCD=9。。,BA=DA；：.ZCDG+ZCDF^180°,故RD、G共線。

丫ZECF=45°,ZBCE+ZDCF=45°,：.ZGCD+ZDCF=ZGCF=45°,ZECF=ZGCF=45°,

,:CF=CF,/.△CEF^ACGF,：.EF=GF,,：GF=DG+DF,：.GF=BE+DF,：.EF=BE+DF,

：.\AEF^]^^z=EF+AE+AF=BE+DF+AE+AF=AB+AD=2AB,過點C作CHIEF,則/C〃E=90°,

?：ACEF^/\CGF,（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：△C3E@

ZHEC=ZCBE,同理可證：ZHFC=ZDFC,即CE、C尸分別平分NBEP和NEFD。

2）等腰直角三角形半角模型

條件：AABC是等腰直角三角形（ZBAC=90°,AB=AC）,ZDAE=45°；

結(jié)論：①ABAD2ACAG；②△ZME//XGAE；③NECG==90。；?DE2=BD2+EC2；

證明：將△ABO繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。至A4CG,即△BAD經(jīng)△C4G,

ZBAD=ZCAG,ZB=ZGCA=45°,AD=AG,BD=CG；

ZDAE=45°,：.ZBAD+ZEAC=45°,NCAG+NEAC=NGA￡=45°,ZDAE=ZGAE=45°,

?：AE=AE,：.ADAE^/\GAE,：.ED=EG,：AABC是等腰直角三角形，AZACB=45°,;.NECG=9。。,

：.GET=GC2+EC2,：.DET=BD2+EC2；

3）等邊三角形半角模型（120。-60。型）

條件：AABC是等邊三角形，ABDC是等腰三角形，5.BD=CD,ZBDC=120°,/EDF=60。；

結(jié)論：①△8￡>E之△C￡）G；②AEDFmAGDF；③EF=BE+CF；④AAEF的周長=2A&

⑤DE、DF分別平分和ZEFCo

證明：將△DBE繞點。順時針旋轉(zhuǎn)120。至△DCG,即△BDE也

ZEDB=ZGDC,ZDBE=ZDCG,BE=GC,DE=DG；

VZBDC=120°,ZEDF=60°,:./BDE+/CDF=60。,：.ZGDC+ZCDF=ZGDF=60°,故/GDF=/EDF,

,:DF=DF,：.4EDF"AGDF,：.EF=GF,*:GF=CG+CF,：.GF=BE+CF,：.EF=BE+CF,

：.\AEF的周長=EF+AE+AF=5E+CP+AE+AF=AB+AC=2AB,

過點D作DH/EF,DM±GF,則/D郎=NDMF=90。，

VAEDF^AGDF,，。蛆。以（全等三角形對應(yīng)邊上的高相等），再利用HL證得：4DHF名△DMF,

：.ZHFD=ZMFD,同理可證：ZBFD=ZFED,BPDE,。尸分別平分/BE尸和/EFC。

4）等邊三角形半角模型（60。-30。型）

條件：AABC是等邊三角形，ZEAD=30°；

1([\Y

結(jié)論：①△BD4g△(7班；②△D4Eg△胡E；③/ECF=120°；@DE2=(-BD+EC)2+BD；

2UJ

證明：將△ABD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)60。至八4?！?，即△BADTZkCAF,

ZBAD=ZCAF,ZB=ZFCA=60°,AD=AF,BD=CF；

,：ZDAE=30°,：,ZBAD+ZEAC=3Q°,：.ZCAF+ZEAC=ZFAE=30°,：.ZDAE=ZFAE=30°,

'：AE=AE,：.ADAE^/\FAE,：.ED=EF,ABC是等邊三角形，/.ZACB=60°,Z.ZECF=120°,

V3V3

過點F作FH-1BC,/.ZFCH=60°,ZCFH=30°,：.CH=-CF=-BD,FH=——CF=——BD,

2222

1J3

,/在直角三角形中：FE1=FH2+EH2,：.DE2=(-BD+EC)2+(——BD)2

22

模型6.全等三角形模型之90。-90。對角互補型

1）“共斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（異側(cè)型）

條件：如圖，已知/AOB=/Z)CE=90。，OC平分/AOB.

結(jié)論：①CD=CE,②OD+OE=COC,③S“CE=50°理+S口c”=^OC2.

CzZJCzSLIClzCUCC/Lz2

證明：過點C作CM_LO。，CN±OB,:./CMD=NCNE=9Q。,：OC平分/AOB,：.CM=CN,

又：NA08=/￡>(?￡■=90°,:.NMCN=90°,：.ZMCD=ZNCE,：.AMCD^/\NCE；：.CD=CE,

根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，；./CON=45。，OM=ON,

又OD+OE=OM-DM+ON+NE,：.OD+OE=OM+ON=2ON=亞OC,

2

4MCD會MNCE,：.SAMCD=SANCE'S0DCE=Sa0NCD+SacNE=SD0NCD+SacMD=Sa0NCM=^OC

2）“斜邊等腰直角三角形+直角三角形”模型（同側(cè)型）

結(jié)論：①CD=CE,②OE—OD=GOC,③用COE-S口C0?=LOC2.

證明：過點C作CM_LO。，CNLOB,：.ZCMD=ZCNE=9Q°,VOC^ZAOB,:.CM=CN,

又?..NAO2=NDCE=90°,:.NMCN=90。,：.ZMCD=ZNCE,

:AMCD必NCE；：.CD=CE,MD=NE,根據(jù)上述條件易證：四邊形ONCM為正方形，

ZCON=45°,OM=ON,XOE-OD=ON+NE-(DM-OM),：.OE~OD=ON+OM=2ON=^2.OC,

AMCDANCE，(2

AMCD會ANCE,：.S=SSLCOE-SLCOD=SacNE+SLCON-SLCMD-SLCM0)=SLCON+SLCM0=1OC-

模型7.全等三角形模型之60。-120。對角互補型

1)“等邊三角形對120。模型”(1)

條件：如圖，已知NAOB=2NZ)CE=120。，0c平分NAOR

結(jié)論：①CD=CE,②。。+OE=OC,③SUC,UDU+SU口CUOc,E=24OC、

證明：過點C作CAf_LOZ),CNLOB,：.ZCMD=ZCNE=90°,：OC平分NAOB,：.CM=CN,

又,.?NAOB=2/r)CE=120°,ZAOB+ZDC￡=180°,AZCDO+ZCEO=180°,

ZCDO+ZCDM=180°,AZMDC=ZCEO,：.4MCD9叢NCE；：.CD=CE,MD=NE,

十八1百

VOC^-^-ZAOB,：.ZCON=ZCOM=60°,：.ON=OM=—OC,NC^MC^—OC.

22

又,/OE+OD=ON+NE+OM-DM,：.OE+OD=ON+OM=OC,

2

,：AMCD^ANCE,：.SAMCD=SANCE，-"-SacOD+SaC0E=SOCMO-SacMD+SaCNE+SacON=SOCON+SacM0=—OC。

2）“等邊三角形對120。模型”（2）

條件：如圖，已知NAOB=2/OCE=120。，0c平分/AOB,4DCE的一邊與8。的延長線交于點。，.

結(jié)論：①CD=CE,②OD—OE=OC,③一星^=@OC?.

UCCzLzUCC/ii4

證明：過點C作CM_LO。，CN±OB,ZCMD=ZCNE=9Q°,：OC平分/AOB,：.CM=CN,

又：/AOB=2/nCE=120°,ZAOB+ZDCE=1SO°,ZAOB+ZMCN=1SO°,ZDCE=ZMCN=60°

：.ZDCE-ZMCE=ZMCN-ZMCE,：.ZMCD=ZNCE,:AMCD沿4NCE；：.CD=CE,MD=NE,

F八1V3

；OC平分/AOB,/.ZCON=ZCOM=60°,：.ON=OM=-OC,NC=MC=——OC=

22

又,/0D-0E=0M+DM-(NE-ON),：.0D-0E^0N+0M^0C,

2

；AMCD冬ANCE,：.S&MCD=S&NCE'：?SncoD-Snc0E=SLCM0+5:CMfl-(SDCAf￡-SLC0N)=Snc0N+SLCM0=^-OC。

模型8.全等三角形模型a-180。以對角互補型

1)“a對180。r模型"

條件：四邊形ABC。中，AP=BP,ZA+ZB=180°o結(jié)論：OP平分/A08。

證明：過點P作P￡_LOA,PF.LOB,：.ZAEP=ZBFP=90°,

VZA+ZB=180°,ZOAP+ZP4￡=180°,：.ZEAP=ZBo

"AP=BP,：./XPAE^/\PBF,：.PE=PF,尸平分/AOB。

注意：如下圖：①A六BP,②//+/后180°,③0呼分/A0B,以上三個條件可知二推一。

模型9.全等三角形模型之正方形中的十字架型

條件：1）如圖1,在正方形ABC。中，若E、尸分別是BC、CO上的點，AELBFx結(jié)論：AE=BF。

證明：；四邊形A8CD是正方形，ZABE==90°,AB=BC,：.ZBFC+ZCBF=90°

-.-AE±BF,：.ZAEB+ZCBF=90°,ZAEB=ZBFC,：.AAB￡^ABCF（SAS）,:.AE=BF。

條件：2）如圖2,在正方形ABC。中，若E、F、G分別是BC、CD、AB上的點，AE±GF；結(jié)論：AE=GF。

證明：在PC上取一點P,使得連結(jié)BP。

；四邊形ABCD是正方形，.,.4B//C。，.,.四邊形BPFG是平行四邊形，...GB/BP,GF=BP,

同1）中證明，可得AE=GG

條件：3）如圖3,正方形A8CD中，若E、F、G、H分別是BC、CD、AB、AO上的點，EHLGF；

結(jié)論：HE=GF。

證明：在FC、BE上取一點尸、Q,使得GB=PF,AH=QE,連結(jié)8尸、AQ.

；四邊形ABCD是正方形，.?.AB//CD.,.四邊形8PFG是平行四邊形，；.G尸//BP,GF=BP,

同理可證得：四邊形AQE"是平行四邊形，〃/，AQ=HF,同1）中證明，可得HE=GF。

知識三相似三角形模型

模型1.相似三角形模型之“A”字模型

，，從，，字模型圖形（通常只有一個公共頂點）的兩個三角形有一個“公共角”（是對應(yīng)角），再有一個角相等或夾

這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例，就可以判定這兩個三角形相似。

①，幺”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型

.ADAEDE

證明：ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.AADE^AABC,""AB=AC=^C°

ADAEDE

②反“A”字模型條件：如圖2,NAED=/B；結(jié)論：AADEsAACB^AC=AB=^C°

證明:AZA=ZA,（公共角）AADE^AACB,釬。

ACAnnC

③同向雙“4”字模型條件：如圖3,EF//BC；

結(jié)論：AAEF^AABC,AAEG^/\ABD,AAGF^>AADC<^>==

BDCDAD

證明：：EF〃2C,AZAEF=ZABC,ZAFE=ZACB,：.AAEF^AABC,

同理可證：AAEGsAABD,AAGF^AADC,，言=77；=/。

AnACnC

④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4,AABC的內(nèi)接矩形。EFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊

上，且AM」BC；結(jié)論：△ADGs/\ABC,AADNs^ABM,AAG^AACM<^>DG=AN_=AN_O

BCABAM

證明：是矩形J.DG//EF,：.ZADG=ZABC,ZAGD=ZACB,J.AADG^AABC,

同理可證：AADNSAABM,AAGNs叢ACM,；.DG=AN_=AN_

BCABAM

模型2.相似三角形模型之“k，字模型（“8”字模型）

“8”字模型圖形的兩個三角形有“對頂角”，再有一個角相等或夾對頂角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個

三角形相似.

①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型

①“8”字模型

△：ABOAOB

條件：如圖1,AB//CD；結(jié)論:/\AOBsCOD=~CD~OCT~ODQ

?-AO。OB

證明:???A8〃C0,AZA=ZC,/B=ND,：.AAOB^ACOD,'t~CD=~dc='ODo

②反“8”字模型

條件：如圖2,NA=NO；結(jié)論：AAOBSADOCQ等=果=黑。

證明:ZAOB=ZDOC,（對頂角）/.△AOB^ADOC,?,?等=果=尊。

③平行雙“8”字模型

條件：如圖3,AB//CD；結(jié)論：AE=fiE=ABo

DFCFCD

證明：：人？〃。/）,.?./4=/￡>,ZAEO=ZDFO,：.AAEO^^\DFO,

同理可證：ABEOSACFO,△ABOsADCO,：.妊=吧=些。

DFCFCD

④斜雙“8”字模型

條件：如圖4,Z1=Z2；結(jié)論：△AODs^BOC,AAOB^Ar>OC^>z3=Z4o

證明:：/l=/2,NA0D=N20C（對頂角），：.AAOD^/\BOC,：.AO:BO=DO:CO,BPAO:DO=BO:CO；

?.,/AOB=NDOC（對頂角），:.△AOBs^DOC,.*.Z3=Z4=

模型3.相似三角形模型之“AW字模型（“A8”字模型）

①一“A”+“8”模型②兩“4”+“8”模型（反向雙“4”字模型）③四“A”+“8”模型

RBB

圖1圖2圖3

①一"4，，+”8，，模型條件：如圖1,DE//BC；

結(jié)論：AADE^^ABC,ADEFsACBF,o絲=絲=匹=空=住。

ABACBCFCBF

證明:：OE〃BC,ZADE=ZABC,ZAED=ZACB,：.AADE^AABC,，％=蕓=黑

ADACnC

"DE//BC,：.ZFDE=ZFCB,ZDEF=ZCBF,：.ADEF^^\CBF,:.些=尤=里。

BCFCBF

.AD_AEDE_DF_FE

?,瓦一就一菸一7E一茄。

②兩“A”+“8”模型條件：如圖2,DE//AF//BC；

結(jié)論：

ADAFsADBC,ACAF^/\CED,OJ_=J_+J_?

AFBCDE

AZDAF=ZB,ZDFA=ZDCB,:ADAFs叢DBC,.?.空=竺。

DCBC

,:DE〃AF,：.ZCAF=ZE,ZCFA=ZCDE,：./\CAF^ACED,.?.空=竺。

CDDE

兩式相加得到：空+色=竺+竺，即1=竺+竺，故工=工+工。

DCDCBCDEBCDEAFBCDE

③四“A”+“8”模型3條件：如圖3,DE//GF//BC；結(jié)論：AF=AG,—+—=—=—=—o

BCDEAFAGGF

證明:同②中的證法，易證：—+-L=X,_L+_L=_L,

BCDEAFBCDEAG

,BPAF=AG,故1?1_1_2。

AFAGBCDEGFGF

F

模型4.相似三角形模型之“母子型”模型（共邊共角模型）

“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點和另外一個不是公共的頂點，由于小三角形寓于大三角形中，恰似

子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三

角形相似。

1）“母子”模型（斜射影模型）

條件：如圖1,ZC=ZABD；結(jié)論：AA