2025年中考數(shù)學二輪總復習：銳角三角函數(shù)及其應用

微專題23銳角三角函數(shù)及其應用

考點精講

構建知識體系

考點梳理

1.銳角三角函數(shù)（6年5考）

定義：如圖①，在R3A3C中，ZC=90°,NA為△ABC中的一銳角，則NA的正弦：sinA

二St/2的余弦…SA=!|=S—，2的正切"—

2.特殊角的三角函數(shù)值（6年8考）

zd1￡

1

示意圖

7311

a30°45°60°

1

sina③遺

2T

V2

cosa④⑤

T

tana⑥i⑦

3.銳角三角函數(shù)的實際應用（6年3考）

⑴仰角'俯角：如圖②，圖中仰角是N1,俯角是N2

⑵坡度（坡比）、坡角：如圖③，坡角為a,坡度（坡比》=tana=/

第1頁共12頁

（3）萬向角：如圖④，A點位于。點的北偏東30°方向，3點位于。點的南偏東60°方向，C

點位于。點的北偏西45°方向

鉛一視線

垂夕——水平線

線

、視線

圖②圖③圖④

練考點

1.如圖，在R3ABC中，ZC=90°,AC=1,BC=2,則cos3的值為.

C.R

第1題圖

2.如圖，A。是△ABC的高，AB=4,ZBAD=60°,tanZCAD=|,則BC的長為.

A

RDC.

第2題圖

3.在RtAABC中，ZC=90°.

(1)若NA=60°,則sinA=,cosA=；

(2)若tanA=l,則NA=°.

4.如圖，從熱氣球尸看一面墻底部3的俯角是.（用字母表示）

A

R

第4題圖

高頻考點

考點1銳角三角函數(shù)（6年5考）

例1（2024東莞一模）如圖，AABC的頂點都在正方形網(wǎng)格的格點上，則tanA的值是（）

A,-B.-C.-D.2

553

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B

AC

例1題圖

變式1（2024江西）將圖①所示的七巧板，拼成圖②所示的四邊形ABCD,連接AC,則tanZCAB

圖①圖②

變式1題圖

考點2銳角三角函數(shù)及其應用（6年3考）

例2小明家與小華家住在同一棟樓,他倆對所住樓對面商業(yè)大廈的高進行了測量.（結果

均保留整數(shù)）

（1）如圖①，小明與小華在樓下點A處測得點A到“的距離為50m,測得商業(yè)大廈頂部N的

仰角為58°,試求商業(yè)大廈的高MN；

（參考數(shù)據(jù)：sin58°^0.85,cos58°^0.53,tan58°^1.60）

N

例2題圖①

⑵現(xiàn)在商場樓下停了一輛車，沒辦法直接測量出AM的長度，小華想了其他辦法也可以測量.

①如圖②，小明與小華在樓頂?shù)?處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°,測得商業(yè)大廈底

部〃的俯角為60°,已知MNLAM,AB=56m,試求商業(yè)大廈的高MN；

（參考數(shù)據(jù)sin37。=0.60,cos37°M）.80,tan37°^0.75,后”73）

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例2題圖②

②如圖③，小華站在點A處測得塔尖商業(yè)大廈頂部N的仰角為45°,向前走了35m到達點3

處測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為61°,已知小華眼睛到地面的高度AC（3D）為1.6m,點A,

B,航在同一水平線上，MN1AB,試求商業(yè)大廈的高MN；

（參考數(shù)據(jù)：sin61°^0.87,cos61°^0.48,tan61°^1.80）

例2題圖③

⑶如圖④，大廈樓頂上有一信號塔E,H三點共線），小明和小華想測得塔尖R到地面

的高度，小明在樓頂?shù)?處，測得商業(yè)大廈頂部N的仰角為37°,小華在大廈樓頂G處測得

信號塔頂部R的仰角為60°,已知MN±AM,EFLNE,AB=56m,AM=50m,

GE=10m,試求塔尖R到地面的高度.（結果保留整數(shù)）（參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos

37°^0.80,tan37°^0.75,V3^1.73)

AMH

例2題圖④

真題及變式

命題點銳角三角函數(shù)及其應用（6年9考）

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模型分析

1.（2022廣東11題3分）sin30°=.

2.（2019廣東15題4分.人教九下例題改編）如圖，某校教學樓AC與實驗樓3。的水平間距CD

=15舊米，在實驗樓頂部3點測得教學樓頂部A點的仰角是30°,底部C點的俯角是45°,

則教學樓AC的高度是米（結果保留根號）.

4

□

、

、

、2

□3

□、

□3_0歲

□

□45

□/

□

□

CD

154米

第2題圖

3.（2023廣東18題7分）2023年5月30日，神舟十六號載人飛船發(fā)射取得圓滿成功，3名航

天員順利進駐中國空間站.如圖中的照片展示了中國空間站上機械臂的一種工作狀態(tài).當兩臂

AC=BC=10m,兩臂夾角NACB=100°時，求A,3兩點間的距離.（結果精確到0.1m,參

考數(shù)據(jù)sin50°^0.766,cos50°^0.643,tan50°^1.192）

第3題圖

4.（2024廣東18題7分）中國新能源汽車為全球應對氣候變化和綠色低碳轉型作出了巨大貢獻.

為滿足新能源汽車的充電需求，某小區(qū)增設了充電站，如圖是矩形尸QW充電站的平面示意

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圖，矩形A3CD是其中一個停車位.經(jīng)測量，ZABQ=60°,AB=5.4m,CE=1.6m,GH±CD,

GH是另一個車位的寬，所有車位的長寬相同，按圖示并列劃定.

根據(jù)以上信息回答下列問題：（結果精確到0.1m,參考數(shù)據(jù)舊心1.73）

⑴求PQ的長;

（2）該充電站有20個停車位，求PN的長.

第4題圖

拓展訓練

5.（2024中山一模）中國北斗衛(wèi)星導航系統(tǒng)是中國自行研制的全球衛(wèi)星導航系統(tǒng)，其由空間段、

地面段和用戶段三部分組成，可在全球范圍內全天候、全天時為各類用戶提供高精度、高可靠

定位、導航、授時服務.如圖，小敏一家準備自駕到風景區(qū)C游玩，到達A地后，導航顯示車

輛應沿北偏西45°方向行駛10千米至3地，再沿北偏東60°方向行駛一段距離到達風景區(qū)C,

小敏發(fā)現(xiàn)風景區(qū)C在A地的北偏東15°方向.

（1）求NC的度數(shù)；

⑵求3,C兩地的距離.（如果運算結果有根號，請保留根號）

北

新考法

6.［項目式學習］（2024蘭州）單擺是一種能夠產(chǎn)生往復擺動的裝置.某興趣小組利用擺球和擺線

進行與單擺相關的實驗探究，并撰寫實驗報告如下.

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實驗主題探究擺球運動過程中高度的變化

實驗用具「擺球，擺線，支架，攝像機等

，囪①，在支架的橫桿點。處用擺線懸掛一個擺球，將擺球拉高后松手，擺球

開始往復運動.（擺線的長度變化忽略不計）

實驗說明如圖②，擺球靜止時的位置為點A,拉緊擺線將擺球拉至點B處/BOA

=64°,BD=2Q.5cm；當擺球運動至點C時，ZC0A=31°,CELQ4.（點

A,B,C,D,E在同一平面內）

實驗圖示

圖①圖②

第6題圖

解決問題：根據(jù)以上信息，求ED的長.（結果精確到0.1cm）

參考數(shù)據(jù)：sin37°^0.60,cos37°^0.80,tan37°心0.75,sin64°^0.90,cos64°^0.44,

tan64°^2.05.

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考點精講

②E③]④[⑤;⑥]⑦“

cb2223

教材改編題練考點

12V5

1.-----

5

2.2V3+1

3.⑴亨,I；(2)45

4.ZBPC

高頻考點

例1C【解析】如解圖，連接格點3D,CD在Rt“3D中，tanA=1^=g.

B

例1題解圖

變式11【解析】根據(jù)題意，易知AB=CD設AB=2,則CD=3D=2,?.,NABD=45°+

45°=90°,N3DC=90°,.?.A3〃CD,?'.四邊形A3CD是平行四邊形.如解圖，設AC,BD

交于點。，：.BO=-BD=1,：.tanZCAB=—=~.

2AB2

變式1解圖

例2解：⑴〈MNLAM,

.?.在RtZkAMN中，tanNMAN="^,/MAN=58°,AM=50,

AM

：.MN=AM-tan58°^50X1.60=80,

答:商業(yè)大廈的高MN約為80m；

⑵①如解圖①，過點B作3CLMN于點C,

四邊形是矩形，

.\BA=CM=56,

在R33CM中，tanNM3C=0=V^?L73,

BC

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：.BC=C^M-^32.4,

tan60°

在RtABCN中，tan/NBC=江,

BC

：.NC=BCtan31°?32.4X0.75=24.3,

MN=CM+NC=56+24.3=80.3弋80,

答：商業(yè)大廈的高約為80m；

例題解圖①

②如解圖②，連接CD并延長交于點E,

由題意可知，四邊形ABDC,3MED均為矩形,

AC=BD=ME=1.6,CD=AB=35,

設EN=x,

:在RtACEN中，/ECN=45°,

：.EN=CE=x,

：.DE=CE-CD=x~35,

?.?在RtAONE中，ZNDE=61°,

：.tanZNDE=—=^—^l.80,

DEx—35

解得好《78.8,:.ENF8.8,

:.MN=EN+MEF8.8+1.6=80.4心80,

答：商業(yè)大廈的高MN約為80m；

例題解圖②

(3)如解圖③，過點3作即于點C,交MN于■點、D,9即為R到地面的高度.

易得DN=CE,AB=DM=CH=56,

由題意得3D=AM=50,/NBD=37°,GE=10,

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在R33DN中，DN=BDtan37°心37.5,

在RtZkERG中，EF=GEtan60°心17.3,

/.FH=EF+CE+CH=EF+DN+AB?17.3+37.5+56=110.8^111,

答：塔尖R到地面的高度約為111m.

例題解圖③

真題及變式

1.-

2

2.(15+15V3)【解析】如解圖，設過點3的水平線與AC交于點E,易得四邊形3DCE為矩

形，則3E=CD=15g,,.?NCBE=45°CE=BE=15b，在RtAABE中，AE=5Etan30°

=15V3X—=15,I.AC=AE+EC=(15+15b)米.

I:D

15%米

第2題解圖

3.解：如解圖，連接A3,過點C作SLAB于點D,

"：AC=BC,ZACB=100°,

11

/.ZACD=-ZACB=-X100°=50°，(3分)

22

：.AD=ACsin50°^10X0.766=7.66(m),

：.AB=2AD=2X1.66^15.3(m),

答：A,3兩點間的距離約為15.3m.(7分)

第3題解圖

4.解：(1)由題意，得NQ=90°,ZABQ=6Q°,AB=5.4m,

.?.在RtZkABQ中，ZBAQ=30°,30=5.4Xcos60°=2.7m,

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AQ=5.4Xsin60°=^-m,（1分）

:四邊形ABC。為矩形，CE=1.6m,

AZABC=90°,ZCBE=180°-ZABC-ZABQ=30°,

在RfCBE中,BC=-=^-m,BE=CE=3.2m

sin30°

：.BC=AD=—m,

同理可得，在RtZkPAD中，ZPAD=60°,

.../M=ADcos60。=Wxcos60。=?m,（3分）

27V37V3,1

：.PQ=PA-\-AQ=——^=—^6.Im,

102

答：PQ的長約為6.1m；(4分)

⑵：充電站有20個停車位,

：.QM=QB+20BE,

由（1）得，Q5=2.7m,BE=3.2m,

：.QM=2.7+3.2X20=66.7m,

?四邊形PQMN為矩形，

：.PN=QM=66.1m,

答：PN的長為66.7m.（7分）

5.解：（1）如解圖，由題意，得NA4D=45°