2025年中考數學總復習《二次函數中菱形的存在性問題》專項檢測卷（附答案）

2025年中考數學總復習《二次函數中菱形的存在性問題》專項檢測

卷附答案

學校:姓名：班級：考號：

1.如圖，已知拋物線、=加+云+3(叱0)經過點A(LO)和點8(3,0),與y軸

交于點C,

(1)求此拋物線的解析式；

(2)若點尸是直線8C下方的拋物線上一動點(不點5、。重合)，過點

尸作y軸的平行線交直線BC于點D,設點P的橫坐標為m；

①用含m的代數式表示線段P。的長.

②連接尸3、PC,求△PBC的面積最大時點尸的坐標；

⑶設拋物線的對稱軸與BC交于點E,點M是拋物線的對稱軸上一點,

N為y軸上一點，是否存在這樣的點"和點N,使得以點。、E、M、

N為頂點的四邊形是菱形？如果存在，請直接寫出點”的坐標；如果

不存在，請說明理由.

2.如圖，拋物線y=-—+bx+c交直線y=r+4于坐標軸上氏c兩點，交x

軸于另一點A,連接AC.

⑵點。為線段3c上一點，過點。作直線〃/AC,交x軸于點E.連接

求VADE面積的最大值；

⑶若在直線/上存在點乙使得以點AC2P為頂點的四邊形為菱形，

求點尸的坐標.

3.如圖，一次函數y=f+3的圖象與x軸和y軸分別交于點8和點c,

二次函數y=-Y+笈+c的圖象經過3,c兩點，并與X軸交于點A點

知（九。）是線段。8上一個動點（不與點。、B重合），過點”作X軸的垂

線，分別與二次函數圖象和直線3C相交于點。和點E,連接8.

⑴求這個二次函數的解析式.

⑵①求上、CE的值（用含機的代數式表示）.

②當以C,D,E為頂點的三角形與VABC相似時，求機的值.

（3）點廠是平面內一點，是否存在以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱

形？若存在，請直接寫出點〃的坐標；若不存在，請說明理由.

4.如圖，在平面直角坐標系中，拋物線>=加+區(qū)+2過點（1,3）,且交工

軸于點A（T，。），5兩點，交y軸于點C

⑴求拋物線的表達式;

⑵點尸是直線BC上方拋物線上的一動點，過點尸作3c于點D,

過點尸作》軸的平行線交直線于點E,求APDE周長的最大值及此

時點尸的坐標；

⑶在（2）中APDE周長取得最大值的條件下，將該拋物線沿射線。方

向平移逐個單位長度，點”為平移后的拋物線的對稱軸上一點.在

平面內確定一點M使得以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形,

寫出所有符合條件的點N的坐標，并寫出求解點N的坐標的其中一

種情況的過程.

5.如圖1,一段高架橋的兩墻43由拋物線一部分ACB連接，為確

保安全，在拋物線一部分AC5內修建了一個菱形支架如CE,拋物線的

最高點。到A3的距離OC=4米，NODC=60。，點E在拋物線一部分

ACB上，以所在的直線為入軸，0。所在的直線為丁軸，建立平面

直角坐標系xQv,確定一個單位長度為1米.

(1)求此拋物線對應的函數表達式.

(2)如圖2,現在將菱形ODCE做成廣告牌，且在菱形內再做一個內接

矩形MNPQ廣告牌，設邊EP長度為機米，試求內接矩形MNPQ的面積

工(用含機的式子表示)；

(3)若已知矩形MNPQ廣告牌的價格為80元/米2,廣告牌其余部分的價

格為160元/米2,試求完成菱形廣告牌所需的最低費用.

6.如圖，直線y=m+70).與拋物線y=*+bx+c交于A(-l,0),8(2,3)

(2)若點C在拋物線上，且VABC的面積為3,求點C的坐標；

(3)若點尸在拋物線上，PQLOA交直線AB于點。，點“在坐標平面內,

當以B,P,Q,M為頂點的四邊形是菱形時,請直接寫出點〃的坐標.

7.如圖，經過AQ0),3(4,0)兩點的拋物線y=T-法+C與y軸交于點C.

(1)求拋物線對應的函數表達式及點。的坐標；

⑵若線段BC上有一動點M(不與5,。重合)，過點M作軸交

拋物線于點N.

①當線段的長度最大時，求此時點M的坐標；

②是否存在一點使得四邊形四為菱形？若存在，求出點”的

坐標；若不存在，請說明理由.

8.已知如圖：拋物線交x軸于點網1，。)、點C(5，。)，交丁軸于點4(0,5),

點3、點。關于y軸對稱.

(1)求拋物線解析式.

(2)點尸是拋物線上對稱軸右側一點，連接AD,AADP面積最大時，求

出AADP最大面積和此時點P的坐標.

(3)點M在對稱軸上，點。是第一象限內一點，以點A、D、M、Q為

頂點的四邊形是菱形時，直接寫出點。的坐標.

9.在平面直角坐標系中，拋物線y=-Y+bx+c與％軸交于A(-3,0),3(1,0)

兩點，與y軸交于點。.

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖甲，在y軸上找一點。，使AC。為等腰三角形，請直接寫出

點D的坐標；

(3)如圖乙，點尸為拋物線對稱軸上一點，是否存在尸、。兩點使以點

4C,P,。為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出P、。兩點的坐

標，若不存在，請說明理由.

10.如圖，拋物線產加+法+c過點4(-1⑼,3(3,0),C(0,3).

(1)求拋物線的解析式；

(2)設點p是直線3C上方拋物線上一點，求出P3C的最大面積及此時

點尸的坐標；

(3)若點M是拋物線對稱軸上一動點，點N為坐標平面內一點，是否存

在以為邊，點氏GM、N為頂點的四邊形是菱形，若存在，請直接

寫出點N的坐標；若不存在，請說明理由.

11.如圖，拋物線股加+弧+c與X軸交于A,B(TO)兩點，與y軸交

備用圖

(1)求拋物線的解析式；

(2)已知人為正數，當。<x<i+左時，y的最大值和最小值分別為加，n,

且=求人的值；

(3)點尸是平面內任意一點，在拋物線對稱軸上是否存在點。，使得

以點A,C,P,。為頂點的四邊形是菱形？若存在，求出點。的坐

標；若不存在，請說明理由.

12.如圖，拋物線、=4尤2+云+°與％軸負半軸交于點4與％軸正半軸

交于點8與y軸負半軸交于點CA(T,O),3(1,0),ZACB=90°.

備用圖

(1)點。的坐標為;拋物線的函數表達式為;

⑵點。是0A上一點(不與點A、。重合)，過點。作入軸的垂線，交

拋物線于點E,交AC于點尸，當〃=/時，求點E的坐標；

⑶設拋物線的對稱軸/交入軸于點G,在(2)的條件下，點又是拋

物線對稱軸上一點，點N是坐標平面內一點，是否存在點V、N,使

以A、E、M.N為頂點的四邊形是菱形.若存在，直接寫出點N的

坐標；若不存在，請說明理由.

13.如圖，拋物線y=#+bx+c與x軸交于A、3兩點(點A在點3左邊)，

與y軸交于點c.直線y=gx-2經過8、C兩點，點尸是拋物線上一動點.

(1)求拋物線的解析式；

(2)當拋物線上的點尸的在BC下方運動時，求BCP面積的最大值.

(3)連接OP，把△OCP沿著y軸翻折，使點P落在P的位置，四邊形CPOPC

能否構成菱形，若能，求出點尸的坐標，如不能，請說明理由；

14.如圖，拋物線y=Y+bx+c與X軸交于A、3兩點，與>軸交于c點，

OA=2,0c=6,連接AC和BC.

(1)求拋物線的解析式；

(2)在拋物線對稱軸上是否存在一點。使得ACD的周長最小，若存在，

請求出，點坐標，若不存在，請說明理由；

⑶若點“是y軸上的動點，在坐標平面內是否存在點N,使以點A、C、

M.N為頂點的四邊形是菱形？若存在，請直接寫出點N的坐標；

若不存在，請說明理由.

15.如圖，拋物線y=*+bx+c交y軸于點A(0,2),交X軸于點8(4,0)、C

兩點，點。為線段。B上的一個動點(不與0、B重合)，過點。作DMA

(1)求拋物線的解析式；

⑵連接3和BN,當的面積最大時，求出點。的坐標及.ABN的最

大面積；

(3)在平面內是否存在一點尸，使得以點A,M,N,尸為頂點，以AM為

邊的四邊形是菱形？若存在，請求出點尸的坐標；若不存在，請說明

理由.

參考答案

1.⑴y=/-4x+3

（2）①一療+3相；②g-j

（3）存在，點M的坐標為M（2,3）或以（2,1+2忘）或黑（2,1-2忘）.

【分析】本題是二次函數綜合題，考查了二次函數的圖象和性質，待

定系數法求函數解析式，菱形的性質等知識，利用數形結合和分類討

論的思想解決問題是關鍵.

（1）利用待定系數法，將點41，。）和點陽，。）代入拋物線解析式，求出

a、6的值，即可求解；

（2）①先確定直線BC解析式，根據過點尸作》軸的平行線交直線BC

于點。，可用含根的式子表示出尸和。的坐標，即可求解；

②用含m的代數式表示出△MC的面積，得到S關于機的二次函數,

即可求解；

（3）先求出拋物線的對稱軸，進而得到點￡的坐標，過點￡作跖八軸

于點乙得到CF=2=￡F,CE=2后,根據菱形的性質，分兩種情況討

論：①當CE為菱形的對角線時，CM=EF=2.②當CE為菱形的邊時，

ME=CE=2梃，即可得出點〃的坐標.

【詳解】⑴解：拋物線1加+8+3（叱0）經過點41，0）和點3（3,0）,

解得;二，

拋物線解析式為V=V-4X+3；

(2)解：如圖:

①在拋物線y=#-4x+3中,令x=0,則產3,即C(0,3),

設直線BC的解析式為"入+〃，將將點8(3,0)、C(0,3)代入得:

,解得:

6=3

二直線8C的解析式為：y=-x+3,

設網機,]-4/〃+3),貝|Z)(m,—wi+3),

PD=—m+3——4m+3)=—m2+3m

故用含機的代數式表示線段口的長為-病+而；

223丫27

②S.PBC=S”+SBPD=^-PDOB=1(-^+3=-^m+^-m=-^

m

乙乙乙乙乙~2J+至，

點P(m,nr-4祖+3)是直線BC下方的拋物線上一動點,

/.0<m<3,

3

，當力=5時，S有最大值，此時％=療_4〃?+3=-

4

3_3

：.P

2，-4

故△P3C的面積最大時點P的坐標為(I，3

4)9

(3)解：存在這樣的點加和點N,使得以點。、E、M.N為頂點的

四邊形是菱形，理由如下:

y=X2—4x+3=^x—2)2—1,

二拋物線的對稱軸為直線尤=2,

當x=2時，y=-x+3=l,

過點E作砂D軸于點/，則跖=2,OF=1,

:.CF=2=EF,

:.CE=VCF2+EF2=2A/2，

以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，

①當CE為菱形的對角線時，此時點能與點尸重合，CM=EF=2,

，M（2,3）；

②當CE為菱形的邊時，此時ME=CE=2拒，

以（2,1+20）,M（2,1-2點），

故使得以點C、E、M、N為頂點的四邊形是菱形，點〃的坐標為必（2,3）

或私（2,1+2夜）或

2.(1)y=-x2+3x+4

(2)|

(3)(孚-1,-半)或(4,5)

【分析】(1)根據直線y=f+4,求出3(4,0),C(0,4),再代入二次函數

解析式即可.

(2)根據二次函數解析式，得到4T。)，從而得出口=好+4,再根據

直線/〃AC,設為E=4X+〃，將。(%,-帆+4)代入得“=_5:〃+4,得出

yDE=4x-5m+4,則與"一1,0),從而得出現皿=-，所2)2+[,得出面積最

4o2

大值.

(3)根據菱形的性質進行分類討論，①AC=CD,根據以私-利+4),C(0,4)

得出CZ)="w=&7,求出機的值從而求解；②AC=M),。(租,-加+4),A(-l,0),

得出AD=J2療-6帆+17=江，求出機的值從而求解.

【詳解】(1)直線尸-+4于坐標軸上氏C兩點，

..B(4,0),C(0,4),

拋物線y=-Y+bx+c的圖象過8,c兩點，代入得，

f0=—16+4Z?+c

[4=c'

解得仁:’

二拋物線的解析式為：y=7+3x+4；

(2)如圖，

拋物線的解析式為：y=7+3x+4,

當y=o時，-爐+3%+4=0,

解得:X,=-1,X2=4,

4T0),

C(0,4),

；?%C=4X+4,

直線/〃AC,

設為14x+w,

點。為線段BC上一點，設。(%,-加+4),代入得，〃=-5%+4,

/.yDE=4x-5m+4,

AE=—m,

4

m_m+22

SvADE=^-g|(4)=-1^+|-m=—|(m-2)+-|,

Z4o2oZ

當機=2時，5^有最大值：.

(3)存在，理由如下：

4T0),C(0,4),

-AC=A/12+42=V17，

以點ACRP為頂點的四邊形為菱形,

①AC=CD,

￡)(m,—m+4),C(0,4),

?.CD=y/n^+m2=,2/=-717，

??m=土--?

2

點。為線段BC上一點,

直線/〃AC,以點AC。,P為頂點的四邊形為菱形,

??.AC=DP,

D(m,—m+4),

/.P(m-1,—m)

@AC=AD

D(m,—m+4),A(-l,0),

AD=7(m+l)2+(m-4)2=j2"-6m+17=歷,

叫=0,牝=3,

當機=0時，。(0,4)與點C(0,4)重合，不符合題意，舍去,

當〃2=3時，0(3,1),

直線/〃AC,以點AC。，尸為頂點的四邊形為菱形，

AC=DP,

D(jn,—m+4),

/.P(m+l,-m+8)

AP(4,5)

綜上所述：尸的坐標為(華-1,-孚)或(4,5)

【點睛】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、面積最值、平面

直角坐標系中兩點之間的距離等相關知識點，知曉兩直線平行，斜率

相等是解決本題的關鍵.

3.（1）＞=--+2彳+3；

（2）①。+3”?，CE=yfim;②|■或g;

（3）存在，點”的坐標為（1,0）或（2,0）或（3一也0）.

【分析】（1）利用直線求出點3、C的坐標，代入二次函數丁=-/+心+°,

利用待定系數法求解；

（2）①由點M（〃z,0）,可得點￡＞（〃?,-療+2"?+3）,點/也一m+3）,利用兩點

的距離公式即可求解；

②分情況討論。?當△皿CSADEC時，6.當△ABCs^CED時，利用相似三

角形的性質即可求解；

（3）當以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形時，討論畫出所有的

情況，再利用菱形的四邊相等，求解對應機的值，從而得到點”的坐

標.

【詳解】（1）解：將x=。代入一次函數y=f+3得：尸3,

???點c坐標（0,3）,

將尸。代入一次函數y=-x+3得：X=3,

二點B坐標（3,0）,

將點C、8代入拋物線＞=-/+6尤+。得,

f-9+3Z?+c=0

[c=3，

解得

?二拋物線＞=*+2%+3.

(2)解：①設點M(見0),

點D\m,—m1+2根+3),點E(m,—m+3),

二.DE=-m2+2m+3-(-m+3)=-nr+3m,

CE=+(3+m—3)2=\/2m,

DE=-m2+3m,CE=6m;

②。OB=OC=3,

?**NOBC=45°,BC=V32+32=372，

將y=。代入拋物線y=7+2%+3,

解得再=-1,9=3,

「?點A坐標(TO),

.\AB=49

軸，

ZDEC=ZMEB=ZOBC=45°,

。.當△ABCsADEC時，緇窄,

DEEC

即「^=兆，解得機=?，

—m+3m721n5

6.當△ABCsMED時，—,

即六=解得加=|，

72nl-m+3m2

綜合上述，當以C,D,E為頂點的三角形與VABC相似時，機的值為g

或：

（3）解：存在，

以C,D,E,尸為頂點的四邊形為菱形時，需滿足以下三種情況:

由(2)可得，點C(0,3),D(/n,-m2+2m+3),E(m,-m+3),

CD2=m2+(-m2+2m+3-3)2=m2+(-m2+2m)2,

CE2=2m2,DE2=（-m2+3m）2,

①當CD=CE時，m2+（-m2+2m）2=2m2,

解得叫=1,供=3（舍去），

此時點M的坐標為。，0）；

②當C￡>=￡>E時，m2+（-m2+2iri）2={-m2+3m）2,

解得利=2或0（。舍去），

此時點”的坐標為（2,。）；

③當CE=DE時，2m2=（-m2+3m）2,

解得叫=3+0（舍去），㈣=3-及，/=0（舍去）,

此時點”的坐標為(3-①。)；

綜合上述，存在，點”的坐標為(1，。)或(2，。)或(3-也0).

【點睛】本題是二次函數的綜合題，主要考查了待定系數法，一次函

數上點的坐標特點，二次函數上點的坐標特點，菱形的性質，三角形

相似的性質，本題的解題關鍵是分情況討論，做到不重不漏.

Ia

4.(l)y=--^2+-^+2

(2)APDE周長的最大值哼2,止匕時點尸(2,3)

(3)以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形時?之(或，，？或

2’2

1乙乙)

【分析】(1)把。，3)、A(TO)代入嚴加+=+2計算即可;

(2)延長尸E交X軸于，可得/DEP=/BC。,進而得到DPEOBC,

蓍黑者,求出所的最大值即可；

(3)先求出平移后的解析式，再設出V,N的坐標，最后根據菱形

的性質和判定計算即可.

【詳解】(1)把(1,3)、A(TO)代入尸加+及+2得，

11

a=——

解得「，

b=-

I2

拋物線的表達式為y=-32+1+2；

(2)延長尸E交X軸于F，

,過點尸作于點。，過點尸作》軸的平行線交直線8C于點E,

I.ZDEP=ZBCO,ZPDE=ZCOB=90°,

DPEOBC,

.DPE周長PE

''08C周長―BC，

pp

DPE周長=——OBC周長，

BC

J當尸E最大時APDE周長的最大

拋物線的表達式為v=-；/+1+2,

8（4,0）,

?二直線BC解析式為y=-gx+2,BC=-JOC2+OB2=275

設尸（機,-；病+|帆+2）,則《根,_g根+2]

PE=--m~+—m+2-\~—m+2\=--m2+2m=--（m-2\'+2,

22I2J22、，，

.?.當帆=2時尸E=2最大，此時尸（2,3）

8OC周長為OC+O8+BC=6+26,

???△PDE周長的最大值為4、（6+2"）="旦此時尸⑵3）,

即APDE周長的最大值哼2,此時點尸（2,3）；

（3）?..將該拋物線沿射線。方向平移百個單位長度，可以看成是向

右平移2個單位長度再向下平移一個單位長度，

???平移后的解析式為＞=-*-2）2+*一2）+2一1=一#+1一4,此拋物線對

稱軸為直線x=g

設,N(s,r)

;尸（2,3）,A（-1,O）

22

（"-3）2=；+72812

PA2=18,PM?--2I+(M-3)2,AM2—+1I+(n-0)=----Fn,

224

當以為對角線時，此時以點A,P,M,N為頂點的四邊形是菱形

，必與肱V互相平分，^PM=AM

?g+("3『='+"2,解得〃=_1

(7、

一+s

2-13+02_n+t

PAMN中點坐標為

2222

7

5

7-s=——

2

2,解得＜

9

n+t=3

2

此時N[,|]；

當PA為邊長且AM和PN是對角線時，此時以點A,P,M,N為頂點

的四邊形是菱形

AM與PN互相平分，且正”=出

?9(（〃-3）:18,解得〃=3土平

-4+

(7.、

----1

2+s3+/2_n+0

PN，切中點坐標為

2222

7

1

2+s=-1心力/口2

2，解得

3+1=〃+0t=士近'

2

此時或N:，-乎卜

同理，當以為邊長且AN和尸河是對角線時，此時以點A,P,M,N

為頂點的四邊形是菱形

AN和互相平分，且=

,+"2=18,此方程無解；

綜上所述，以點4P,M,N為頂點的四邊形是菱形時或

【點睛】本題是二次函數的綜合題，考查了待定系數法，相似三角形

的性質與判定，菱形的性質及應用，中點坐標公式等知識，解題的關

鍵是用含字母的代數式表示相關點的坐標及相關線段的長度.

5.⑴)=_：尤2+4

(2)S=-V3m2+4^/7i

⑶960石元

【分析】(1)過點。作軸于點作DV_Ly軸于點N,在RtODN

中，OV_Ly軸，ZODN=300,勾股定理得出ND的長，進而得出。RG,2),

根據。C=4得出點。的坐標，進而利用待定系數法求出函數解析式；

(2)待定系數法求出直線8的解析式，直線8的解析式，設矩形

MNPQ中，QM=PN=x米，則與f=「代入》=冬和一冬+4,得

/f,4-^-，由軸對稱得DN=EP=m，得出MN=DN=m,根據

"N的長度列得4-￥x=m,求出-石”，得到PN=46-6m,再根

據S=W.PN求出函數解析式;

（3）根據（1）可得5*「￥"2=4百，求出菱形ODCE的面積，再求

出總費用卬與機的函數關系式，利用函數的性質解答即可.

【詳解】（1）解：如圖，過點。作軸于點“，作DNLy軸于點

N,

圖I

;四邊形8CE是菱形,

I.CD=OD,

'：/ODC=60。，

。8是等邊三角形，

.，.OD=OC=4,ZODN=-ZODC=30°,

2

在RtODN中，ON_Ly軸，ZODN=30°,

ON=^OD=2,DN=Jor>2_ON?=抬-聽=2』,

：.。（2后2）,

,?OC=4,

AC（0,4）,

設拋物線對應的函數表達式為y=加+c（a關。）,

將C（0,4）,。（262）代入得

c=4,解得"有

12a+c=2

c=4

???拋物線的函數表達式為y=2尤2+4；

（2）設直線的解析式為y=履，將。（2后2）代入，

得2瓶=2,解得“=￡,

直線OD的解析式為y=;

設直線CD的解析式為了=如+〃，將點。（0,4）,“2百,2）代入得

「〃一46

2國+T,解得［3,

直線CD的解析式為y=-^x+4；

設矩形MNPQ中，加=PN=x米，則為=/=3，

代入y=#x和y=-^-x+4,

得咕⑦電4一空；

?srV3Xy/ix^3

??MN=44-------------=4--x,

663

由軸對稱得DN=EP=%

?.?MN〃y軸，

/.ZMND=ZOCD=60°,ZNMD=ZCOD=60°,

*?-MN。是等邊三角形，

/.MN=DN=m,

：.4一叵x=m,

3

解得x=46一百加,

/.PN=46—6m,

/.內接矩形MNPQ的面積S=AW.PN=M4百-圓）=_?2+4?,

由（1）可得Sg,=4"2=4百，

???菱形ODCE的面積=2S雙=2x4百=8后，

總費用卬=80卜后》2+4國）+160［8殍卜&2+4后川=80+加-2）2+960否,

，當機=2時，W最小，最小值為9606,

???完成菱形廣告牌所需的最低費用為960石元.

【點睛】此題考查了二次函數的實際應用，菱形的性質，矩形的性質，

正確掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

6.（1）y=-%2+2x+3

（2）點C的坐標為（0,3）或（1,4）或［耳I^^或［葉產，三姮1

（3）點M的坐標為（2,1）或（0,3）或（2,3戊+1）或（2,-3夜+力

【分析】（1）將A（T。）、以2,3）代入二次函數解析式，利用待定系數法

即可解答；

（2）根據題意分當點C在直線上方時和點C在的下方兩種情況

即可解答；

（3）設點尸（。，-6+2“+3）根據菱形的性質分情況討論即可解答.

【詳解】（1）解：???拋物線產T+6x+c經過點A（TO）,5（2,3）兩點,

—1—Z?+c=0

—4+2Z?+c=3

???解得仁，

.，.拋物線的解析式為，="+2工+3；

(2)解：設點c的坐標為(x,y),

如圖1,當點C在直線上方時，過點3作軸，垂足為￡),連接

CD,

???點。（2，。），

A（-l,0）,3（2,3）,

AD=3,BD=3,

x

??ABC~S4；+SBDC—SADC——3xj；+—x3x（2—x）——x3x3=3,

y=%+3,

???點c在直線y=x+3上，

???點c在拋物線上，

.?.點c是直線y=x+3與拋物線的交點，

??x+3=—f+2x+3,

解得：石=。，％2=1,

???點c的坐標(0,3)或(1,4)；

設直線AB的解析式為：y=kx+b(k^O),

貝叱露，解得：憶:

y=x+i,

???直線"X+3是直線AB向上平移2個單位得到的，

將直線A3向下平移2個單位，得到直線y=x-i,與拋物線的交點與

點組成的三角形的面積也為3,

即：當點C在直線48下方時，為直線y=xT與拋物線的交點，

??x~l=—f+2x+3,

(3)解：由(2)知：直線"為y=x+i,設直線與y軸的交點為E,

當x=o時，y=i,

，直線AB與y軸的交點為：￡（0,1）,

OE=OA,

ZOAE=ZOEA=45°,

設點尸（凡"+2。+3）,則：點Q（a,a+1）,

?.?以氏為頂點的四邊形是菱形，

當也為邊，則：BMPQ,即：點”的橫坐標為：2,

點尸在點。上方時：①如圖，當PQ=8P時，

PQ1OA,

NPQB=45。,

ZMQB=45°,

ZPQM=90°,

：.NBPQ=90。,

；.PBx軸，

8(2,3),

.??點網。，3),

BM=BP=2,

???點/(2,1);

②當PQ=BQ時，如圖，過點3作^^p。，則：BF=2-a,

?/ZPQB=45°,

BQ=C（2-"）,

PQ=—a2+Q+2,

??\/^（2—〃）=—a?+a+2,

解得：％=2（舍），%=0-1,

BM=BQ=3及-2,

（2,3忘+1）；

當點P在點。下方時：如圖:

同上②法可得：近（2-a）=h,

解得：%=2（舍），%=-夜T，

I.BM=BQ=3皈+2,

M（2,-3A/2+1）；

當PQ為對角線時，如圖，則：BM±PQ,

3加〃了軸，即點河的縱坐標為3,

設相交與點G,

?/ZPQB=45°,

ZBQM=90°9

：./PBQ=90。,

JPQ=2BG,

艮°：2（2_a）=-〃2+〃+2,

解得：。=1或4=2（舍去）；

BM=2,

A/（O,3）；

綜上所述，點M的坐標為（2,1）或（0,3）或（2,3點+1）或（2,-3&+1）.

【點睛】本題考查了二次函數的綜合應用.熟練掌握二次函數的性質，

利用數形結合和分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵.

7.（1）拋物線對應的函數表達式為y=-尤2+5》-4,點。的坐標為（0,-4）

⑵①點”的坐標為（2,-2）；②不存在點"使得四邊形OCMN為菱形.理

由見解析

【分析】（1）利用待定系數法解答，即可求解；

（2）①先求出直線BC對應的函數表達式，可點M的坐標為（列加-4）,

則點N（〃d5〃L4）,從而得到M7=（_W+5W_4）_（加-4）,再根據二次函

數的性質，即可求解；②假設存在點又使得四邊形OC肱V是菱形，則

MN=CO=NO=4,可得根=2,從而得到點N的坐標為⑵2）,進而得到

ON手CO,即可.

【詳解】（1）解：將點41，。），3（4,。）代入〉=-/-云+。,

得，—l—b+c=Ob=-5

—16-4Z?+c=0,解得c=-4

???拋物線對應的函數表達式為y=-丁+5x-4.

當x=0時，y=-4,即點。的坐標為（0,-4）.

（2）解：①設直線8C對應的函數表達式為產爪-4,

將點3（4,0）代入,得4左-4=0,解得左=1,

???直線BC對應的函數表達式為y=X-4.

設點M的坐標為（〃?,〃7-4）,則點N（祖，-蘇+5%一4）,

MN=（-府+5〃z-4）-（〃z-4）=-nV+4m=-（^m-2y+4.

V-l<0,

當利=2時，MN取得最大值，

此時點M的坐標為（2,-2）.

②不存在.

理由：假設存在點又使得四邊形是菱形，則肱V=CO=NO=4,

+4=4,解得m=2,

???點N的坐標為⑵2）.

ON=V22+22=2"牛CO,

.?.不存在點M使得四邊形OCMN為菱形.

【點睛】本題考查了二次函數綜合運用，線段最值問題,菱形的性質，

熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵.

8.⑴y=Y-6x+5

（2）當點尸的坐標為生]時，AAP尸面積最大為g

⑶Q（4,5+啊,0（4,5-啊.

【分析】（1）由已知條件，設拋物線解析式為:y=（T）（x-5）,將點

4（0,5）代入得：〃（。-1）（。-5）=5,求出。的值，最終得到拋物線解析式；

（2）根據題意，點尸是拋物線上對稱軸右側一點，設可租,>-6租+5）,

加>3,連接AP,DP,設過，尸的直線解析式為股質+M求出直線的

加解析式為：y="‘、6"；+為+--6〃：+5,設與y軸交于點4,則

A]O,病片+5；分兩種情況，點A，在x軸上方時，S△皿,=gxA4，x（x右?）

=求出最大面積，此時的點p坐標；點A在X軸下方時，

s△曲=g（蘇-M7+10）,即便加=5時，S△的=15<￡,從而得到當點尸的坐

標為冷時，A4DP面積最大為g

（3）由題意知，點A、。、M、。為頂點的四邊形是菱形，分兩種情

況討論：當點”在x軸下方，利用菱形的性質，可以證明

△AO/汪△QHM（AAS）,求出。（4,5-M）；當點M在x軸上方，同理可證

△AOD=△Q/nr（AAS）,求出Q，（4,5+M）.

【詳解】（1）解：拋物線交％軸于點,拗）、點*0）,

???設拋物線解析式為:y=<x-i)(%-5)

將點4(0,5)代入得:?(0-1)(0-5)=5

a=l,

二拋物線解析式為：y=(xT(7)

艮［Jy=/—6x+5.

(2)?點。與點即。)關于y軸對稱,

.-.D(-l,0)

y=x2-6x+5=(x-3)~-4

對稱軸為x=3,

點尸是拋物線上對稱軸右側一點，

設「(/〃，病-6〃z+5),m>3,

連接AP,DP,

設過，尸的直線解析式為尸代+6,

0(-1,0)

>'.—k+b=0,艮左=6,

mk+b=m2—6m+5,

?，-mb+b=m2—6m+5

.77m2-6m+5

…b=k=------

m+1

m2-6m+5m2-6m+5

即過，尸的直線解析式為y=---------xH-----------

m+1m+1

y

設倏與軸交于點則Im+1

如圖，點A在x軸上方,

r

?e-S/\ADPA4x(xp-xp)

1-m2+1Im

一_y__________x(m+l)

-2m+1

121

+——

8

..當租=》時,

SAW有最大值弁，此時點尸的坐標為

O

如圖，點A在x軸下方,

1m2-m+10

^/\ADP一_y______x__(m__+l)

~2m+1

=；(療-m+10),

,i____,171

此時3＞。，當機＞3時，S“p面積取值較大，即便m=5時，5AAPP=15＜--,

故當點尸的坐標為仔。時，S△四面積最大為

(3)由題意知:

點加在對稱軸x=3上，點。是第一象限內一點，

在RtAOD,

AD=yjAD2+OD2=A/52+12=A/26,

若以點A、。、“、。為頂點的四邊形是菱形，

貝UAD=DM=V26,

如圖，當點”在X軸下方，過點“，作M2//AZ),過點“作X軸平行線，

過點。作y軸平行線，交于點不?！敖籜軸于點F，對稱軸交X軸于點E,

EM=YIDM2-DE2=A/10，

四邊形尸為矩形,

FH=EM=回，

由四邊形ADMQ是菱形知，

AD=QM,且ZAOD=ZQHM=90°,ZADO=ZQMH,

AAOD^AQHM(AAS),

.-.MH=DO=1,2H=AO=5,

2F=5-V1O,

e（4,5-710）；

如圖，當點M在x軸上方，同理AD=DVT=每，

在RtADEM'中，

EM'=y/DM'2-DE2=710，

作MQ//AD,過點”作x軸平行線，過點。作V軸平行線，交于點W,

可證/\AOD^/\QH'M'(AAS),

：.M'H=DO=1,Q'H'=AO=5,

由四邊形EM'H'F為矩形,

FH'=EM'=y/io,

0(4,5+啊,

綜上Q（4,5+W）或Q（4,5-W）.

【點睛】本題考查了待定系數法求拋物線解析式，二次函數的最值問

題，三角形的性質，菱形的性質，全等三角形的判定及性質，利用二

次函數的圖像與性質，掌握菱形的性質，分類討論所有情況，是解答

本題的關鍵.

9.⑴,=一-一2%+3；

（2）（0,0）或（0,-3）或（0,3-3匈或（0,3+3市）;

⑶存在，P（-l，3-a）,0卜4，_板）或P（T3+而），0/4,而）或尸（T1）,

0（一2,2）或尸卜1,9），Q（2,3+g）或尸卜1,一婦），2（2,3-714）

【分析】（1）將A（-3,0）,網1,。）代入y=*+法+c,求出友c,即可得出答

案；

（2）分別以點。為頂點、以點A為頂點、當以點C為頂點，計算即可；

（3）拋物線y=-x2-2x+3的對稱軸為直線X=-1,設尸（-M）,。（租,“），求

出AC?=18,AP2=t2+4,PC2^t2-6t+W,分三種情況：以AP為對角線或

以AC為對角線或以CP為對角線.

【詳解】（1）解：⑴???4（-3,0）,B（LO）兩點在拋物線上,

.1O=-（-3）2-3/7+C

*'I0=-l2+Z?+c

解得，r二之，

，拋物線的解析式為：y=T-2x+3；

（2）令尤=。，y=3,

c（o,3）,

由ACD為等腰三角形，如圖甲,

當以點。為頂點時，DA=DC,點。與原點。重合，

0（0,0）；

當以點A為頂點時，AC=AD,AO是等腰AC。中線，

，OC=OD,

：.r?（o,-3）；

當以點C為頂點時，AC=CD=7tM2+OC2=V32+32=3A/2

???點D的縱坐標為3-30或3&+3,

???綜上所述，點D的坐標為（0，。）或（0，-3）或（0,3-3?或（0,3+3?.

（3）存在，理由如下：

拋物線＞=一一2》+3的對稱軸為：直線》=-1,

設尸（-1,二），

'：A（-3,0）,C（0,3）,

則AC?=（-3）2+32=18,

AP2=（-1+3）2+『=r+4,

PC2=(-l)2+(r-3)2=t2-6t+10,

?.■以4c、尸、。為頂點的四邊形是菱形，

.0?分三種情況：以AP為對角線或以AC為對角線或以CP為對角線,

當以釬為對角線時，則”=CA,如圖1,

解得：r=3±&7,

4T,3_g）或？（_1,3+煙

?.?四邊形ACPQ是菱形，

AP與CQ互相垂直平分，即AP與C0的中點重合,

當川-1,3-歷）時，

?m+0-3-1n+30+3-A/17

??—，―，

2222

解得：m=-4,n=-V17,

AQ（-4-V17）

當弘-1,3+a）時，

?m+0-3-1n+30+3+-J17

2222

解得：m=-4,n=V17,

/.Q2s而)

以AC為對角線時，則PC=",如圖2,

t~-6r+10=r2+4,

解得：r=l，

?—

???四邊形APCQ是菱形,

與尸?；ハ啻怪逼椒?，即AC與CQ中點重合,

?HI—1—3+0n+10+3

2222

解得：m=-2,n=2,

???2(-2,2)；

當以CP為對角線時，則AP=AC,如圖3,

圖3

/+4=18,

解得：f=±g,

2卜1,硝￡卜1,-佝，

?.?四邊形ACQP是菱形，

，AQ與CP互相垂直平分，即狼與CP的中點重合，

?-3+m0-1H+03±V14

??—,—，

2222

解得：m=2,n=3±A/14

Ae4（2,3+^）,e5（2,3-^）,

綜上所述，符合條件的點p、Q的坐標為：「卜1，3-后），。卜4,-g）或

P（-1,3+Vi7）,。卜4,府）或「（—1,1）,。（一2,2）或尸卜1,9），。（2,3+9）或

P（-l,-714）,2（2,3-714）

【點睛】本題是二次函數綜合題，考查了解析式的求法、等腰三角形

的判定、菱形的性質、坐標與圖形的性質、分類討論等知識，熟練掌

握菱形的性質和坐標與圖形的性質是解題的關鍵.

10.(1)y=一九2+2尤+3

（2）P3C的最大面積為1，

（3）存在,（4,后）或（4,-后）或卜2,黃+3）,卜2,々1?+3）,見解析

【分析】（1）利用待定系數法代入求解即可；

（2）利用待定系數法先確定直線BC的解析式為廣T+3,設點

尸3T2+2尤+3）（0<X<3）,過點尸作尸?？谳S于點O,交BC于點、E,得出

PE=-^+3X,然后得出三角形面積的函數即可得出結果；

（3）分兩種情況進行分析：若BC為菱形的邊長，利用菱形的性質求

解即可.

【詳解】（1）解:將點4（-1，0）,以3,0）,?0,3）代入解析式得：

a-b+c=O

<9。+3。+c=0,

c=3

a=-1

解得：，b=2,

c=3

拋物線的解析式為k與+2x+3；

（2）設直線BC的解析式為廣質+6,將點5、。代入得：

f3k+b=0

jb=3'

解得:仁:,

直線BC的解析式為y=-尤+3,

3（3,0）,

03=3,

設點P（元,3+2x+3）（0<x<3）,過點尸作軸于點0,交BC于點E,

如圖所示:

E（x,-x+3）,

二.PE-—爐+2%+3-（-x+3）-—爐+3x,

5"RC=-xPExOB=+3x）x3=-—x2—x=x-^-\+—,

"B