2025年中考第一次模擬考試卷：數(shù)學(xué)（青島卷）（解析版）

2025年中考第一次模擬考試

數(shù)學(xué)?全解全析

第I卷

一、選擇題（本大題共9個小題，每小題3分，共27分.在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題

目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）

1.隨著我國科技事業(yè)的不斷發(fā)展，國產(chǎn)無人機(jī)所使用的芯片越來越先進(jìn)，在芯片上某種電子元件大約只占

0.00000065mm2.將0.00000065用科學(xué)記數(shù)法表示為（）

A.0.65x10-8B.6.5x107C.6.5xlO^8D.65xl0"6

【答案】B

【難度】0.94

【知識點】用科學(xué)記數(shù)法表示絕對值小于1的數(shù)

【分析】本題考查科學(xué)記數(shù)法的表示方法，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為axlO"的形式，其中1＜同＜10,"為整

數(shù)，表示時關(guān)鍵要正確確定。的值以及〃的值，要看把原數(shù)變成。時，小數(shù)點移動了多少位，〃的絕對值與

小數(shù)點移動的位數(shù)相同.當(dāng)原數(shù)絕對值210時，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，〃是負(fù)數(shù)，即可.

【詳解】解：0.00000065=6.5xW7

故選：B.

【答案】A

【難度】0.94

【知識點】中心對稱圖形的識別、軸對稱圖形的識別

【分析】本題考查的是中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念，理解軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義是正確

解決本題的關(guān)鍵.

根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，

這個圖形就叫做軸對稱圖形；把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180。，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重

合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，進(jìn)行逐一判斷即可.

【詳解】解：A.該圖形既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項符合題意;

B.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不符合題意；

C.該圖形不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故此選項不合題意；

D.該圖形是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此選項不合題意.

故選：A.

3.實數(shù)。、b在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子不成立的是（）

ab

iiii1A

-2-1012

A.a<bB.|?|<|&|C.a+b<0D.a—b<0

【答案】B

【難度】0.85

【知識點】根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子的正負(fù)

【分析】本題考查了數(shù)軸上的點與式子符號的確定，掌握數(shù)軸的特點是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)數(shù)軸特點可得，a<-l<0<b<l,\a\>l>\b\,由此即可求解.

【詳解】解：根據(jù)圖示可得，a<-l<0<b<l,問>1>同，

:.A、a<b,正確，不符合題意；

B、\a\>\b\,原選項錯誤,符合題意；

C、a+b<0,正確，不符合題意；

D、a-b<0,正確，不符合題意；

故選：B.

4.如圖，已知44BC三個頂點的坐標(biāo)分別為A（0,4）,,C（-2,2）,將zUBC向右平移3個單位，

得到AA'8'C',點、A,B,C的對應(yīng)點分別為A,B',C,再將AAEC繞點9順時針旋轉(zhuǎn)90。，得△A?C?,

點A,B',C的對應(yīng)點分別為A"、B”、C"則點A'的坐標(biāo)為（）

A.（3,-2）B.（5,0）C.（6,0）D.（6,1）

【答案】B

【難度】0.85

【知識點】求繞某點（非原點）旋轉(zhuǎn)90度的點的坐標(biāo)、由平移方式確定點的坐標(biāo)

【分析】本題考查坐標(biāo)與圖形變化：旋轉(zhuǎn)變化、平移變化，解題的關(guān)鍵是正確作出圖形.利用平移變換,

旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)正確作出圖形，可得結(jié)論.

【詳解】解：如圖，4（5,0）.

5.如圖，直角三角板的直角頂點A在直線機(jī)上，且直線加〃〃，若Nl=25。，則/2的度數(shù)是（）

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)平行線的性質(zhì)求角的度數(shù)、三角形內(nèi)角和定理的應(yīng)用、三角板中角度計算問題

【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，由4=25?？傻肗3=65。，進(jìn)而由平行線的性質(zhì)得

Z4=Z3=65°,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求解，掌握平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：,?,NBACn%。，XI=25°,

：.Z3=90°-N1=90°-25°=65°,

9?m//n,

???N4=N3=65。，

"=60°,

?.N2=180°-/4-NC=180°-65°-60°=55°,

C.5和6之間D.6和7之間

【答案】B

【難度】0.65

【知識點】二次根式的混合運(yùn)算、無理數(shù)的大小估算、不等式的性質(zhì)

【分析】本題考查二次根式混合運(yùn)算、無理數(shù)估算及不等式性質(zhì)，先由二次根式混合運(yùn)算法則計算得到

（3岳-岳）十君=3囪-2,再由無理數(shù)估算得到6=庖<屈<風(fēng)=7,最后由不等式性質(zhì)即可得到答

案，熟練掌握二次根式混合運(yùn)算、無理數(shù)估算方法是解決問題的關(guān)鍵.

［詳解］解：（3岳_呵用

3岳-屈

-~忑-

_3x^xV573x74

y/3A/3

=3指-2,

3A/5=A/45,>6=V36<A/45<V49=7,

.-.4<3A/5-2<5,即（3岳一至）十退的值應(yīng)在4和5之間，

故選：B.

7.如圖，點E在正方形ABC。的邊CD上，將繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。到Z\A班'的位置，連接砂，過

點A作砂的垂線，垂足為點H,與交于點G,若BG=3,CG=2,則CE的長為（）

44

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)正方形的性質(zhì)求線段長、根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解、線段垂直平分線的性質(zhì)、用勾股定理解三

角形

【分析】連接EG,旋轉(zhuǎn)得到4尸=尸=OE,三線合一得到AG垂直平分砂，得到Gf^EG,設(shè)

DE=BF=x,在Rt^GCE中，利用勾股定理進(jìn)行求解即可.

【詳解】解：連接EG,

FBGC

?正方形ABC。，

AB=BC=CD=AD=BG+CG=5,=NC=AABC=90°,

???旋轉(zhuǎn)，

??.AE=AF,DE=BF,ZABF=ZD=90°,

：.ZABF-^-ZABC=180°f

???￡5,G三點共線，

?：AH上EF,

???FH=EH,

???AG垂直平分所，

：.GF=EG,

^DE=BF=x,貝lj：GF=EG=3+x,CE=CD-DE=5-x,

在RtzXGCE中，EG2=CG2+CE2,

/.(3+4=2?+(5-尤y,

解得…

故選C.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，中垂線的判定和性質(zhì)，勾股定理，熟練掌握相關(guān)知識點,

利用勾股定理構(gòu)造方程進(jìn)行求解，是解題的關(guān)鍵.

8.如圖，在ZUBC中，AB=AC,以AC為直徑的。。與AB,分別交于點O,E,連接AE,DE,

若NBED=45。,AB=2,則陰影部分的面積為（）

【答案】A

【難度】0.65

【知識點】求扇形面積、圓周角定理、等腰三角形的定義

【分析】本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理的應(yīng)用，扇形面積的計算.連接OE,OD,證明

^^AOD=AAED?可得§陰影=S扇形。4。，求解/AOD=90。，再利用扇形的面積公式計算即可.

【詳解】解：連接OE,OD,

：AC為。。的直徑,

?.ZAEC=90°,

'：AB=AC,

BE=CE,

即點￡是BC的中點，

???點。是AC的中點，

???OE是ZM3C的中位線,

???OE//AB,

?v=q

??-LAED，

S陰影=S扇形QAD,

ZAEC=90°,

.??ZAEB=90°,

*.*/BED=45。，

：.ZAED=45°f

：.ZAOD=90°,

90?ixl2_7i

S扇形QAD

360~4

故選：A.

9.如圖，拋物線＞=依2+法+。(。70)與工軸交于點(-3,0),其對稱軸為直線x=-g,結(jié)合圖象分析下列結(jié)

論：

①abc＞0；

②對于任意實數(shù)機(jī)，都有工。-工6"“〃》+加；

42

③當(dāng)尤＜0時，y隨尤的增大而增大；

@3a+3b+c=0；

⑤若小馬(%＜々)為方程a(x+3)(x-2)=l的兩個根，則一3cxi＜馬＜2.

其中正確結(jié)論的個數(shù)有()個.

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)二次函數(shù)的圖象判斷式子符號、根據(jù)二次函數(shù)圖象確定相應(yīng)方程根的情況、二次函數(shù)圖象

與各項系數(shù)符號、拋物線與X軸的交點問題

【分析】本題主要考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系、二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征、拋物線與X軸的交點，

解題時要熟練掌握并能靈活運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)是關(guān)鍵.依據(jù)題意，根據(jù)拋物線開口向下，對稱軸是直線

b1

再結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)逐個進(jìn)行判斷可以判斷得解.

2a2

【詳解】解：：拋物線開口向下，

??av0.

又,/拋物線與y軸交于正半軸，

c>0.

又???對稱軸是直線x=-9b=-；1,

2a2

b=a<0.

abc>0,故①正確.

由題意，當(dāng)％=—萬0寸，y取最大值為wQ+'b+c，

???對于任意實數(shù)m，都有am2+bm+c<—a+—b+c.

42

-a--b>am2+bn,故②錯誤.

42

由題意，：拋物線的對稱軸是直線X=且開口向下，

.?.當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故③錯誤.

???拋物線與x軸交于點(-3,0),

**?9a—3b+c=0.

又?：b=a,

9a-3b+c=9a-3a+c=6a+c=0.

3a+3b+c=3a+3a+c=6a+c=0,故④正確.

由題意，,??拋物線的對稱軸是直線無=-;，且與X軸交于點(-3,0),

拋物線與x軸的另一交點為(2,0).

二拋物線為y=a(x+3)(x-2).

方程a(x+3)(x-2)=l的根可以看作直線y=l與拋物線y=a(x+3)(x-2)的交點的橫坐標(biāo).

y=1在x軸上方,

二若石,%(%<9)為方程a(x+3)(x-2)=l的兩個根，則-3cxi〈尤2<2,故⑤正確.

綜上，正確的有①④⑤共3個.

故選：C.

第n卷

二、填空題(本大題共6個小題，每小題3分，共18分)

10.(-3/葉+8。％2+(_2叫=.

【答案】5a6b2

【難度】0.65

【知識點】整式四則混合運(yùn)算

【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)相關(guān)運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可.

【詳解】解：(-3°3"+8〃8

^9a6b2-4a6b2

=5器2,

故答案為：5a6b2.

11.《步輦圖》是唐朝畫家閻立本的作品，如圖是它的局部畫面，裝裱前是一個長為54cm,寬為27cm的矩

形，裝裱后，整幅圖畫寬與長的比是11:20,且四周邊框的寬度相等，則邊框的寬度應(yīng)是多少cm?設(shè)邊框的

【難度】0.65

【知識點】列分式方程

【分析】本題主要考查了列分式方程，分別表示裝裱后的長和寬，再根據(jù)比例列出方程即可.

【詳解】解：裝裱后的長為(54+2x)cm,寬為(27+2x)cm,根據(jù)題意，得

27+2x_11

54+2720

27+2%_11

故答案為:54+27-20

12.如圖，是甲、乙兩人10次射擊成績(環(huán)數(shù))的條形統(tǒng)計圖，如果甲又連續(xù)射擊了5次，且環(huán)數(shù)均為9環(huán),

那么S/（填“<"、"=”或">”）

【答案】<

【難度】0.65

【知識點】由條形統(tǒng)計圖推斷結(jié)論、求方差、求加權(quán)平均數(shù)

【分析】本題考查了方差，條形統(tǒng)計圖，根據(jù)條形統(tǒng)計圖和題意得出甲、乙的成績，再分別求出它們的方

差即可判斷求解，掌握方差的計算方法是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：甲的成績?yōu)椋?,8,8,8,9,9,9,9,9,9,9,10,10,10,10,

.——8x4+9x7+10x4八

..踴=---------------=9,

?片_1（8-9）2+（8-9）2+（8-9）2+（9-9）2+（9-9）2+（9-9）2+（9-9）2+（9-9）2

-S甲15+?_9）2+?_9）2+（］0_切2+（］0_9）2+（］0_9）2+（］0_男2

乙的成績?yōu)椋海?,8,8,9,9,9,9,10,10,10

/.S/1（（8-9）2+（8-9『+（8-9『+（9-9『+（9-9『+（9-9）2+（9-9『+（10-9）2+（10-9『+（10-9）2）=0.6,

<S乙2,

故答案為：<.

13.如圖，正八邊形的邊長為2,對角線A3、CD相交于點E.則線段的長為

D

【答案】2+20

【難度】0.65

【知識點】正多邊形的內(nèi)角問題、根據(jù)矩形的性質(zhì)與判定求線段長、用勾股定理解三角形

【分析】本題考查正多邊形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，掌握正八邊形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系是正確

解答的前提.

根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出四邊形DEGP是矩形，AAFG、VBDE是等腰直角三角形，AF=DF=BD=GE=2,

再根據(jù)矩形的性質(zhì)以及直角三角形的邊角關(guān)系求出AG,GE,跖即可.

360°

根據(jù)正八邊形可得ZAFD=ZFDB=180°--------=135°,AF=DF=BD,

8

由題意可知，四邊形。EG尸是矩形，AAFG、V3DE是等腰直角三角形，

AF=DF=BD=GE=2,

在RMACE中，AF=2,AG=FG,

：.AG2+FG2=2AG2=2FG2=AF2,

AG=FG=—AF=y/2,

2

同理=,

:.AB=AG+GE+BE=s/2+2+y/2=2+2y/2，

故答案為：2+2丘.

14.如圖，點C、E在坐標(biāo)軸上，矩形OCDE分別交某反比例函數(shù)于點RG,OC=6,OE=4,9G的

面積為9,則該反比例函數(shù)解析式為.

【難度】0.65

【知識點】求反比例函數(shù)解析式、根據(jù)圖形面積求比例系數(shù)（解析式）

【分析】本題考查了待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式，矩形的性質(zhì)，正確地求出反比例函數(shù)的解析式是

解題的關(guān)鍵.

由反比例函數(shù)k的幾何意義得到AOCG的面積=AOE尸的面積,根據(jù)△。尸G的面積=矩形的面積-aCG的

面積-△。麻的面積尸G的面積可求出左，即可求出答案.

【詳解】解：設(shè)反比例函數(shù)解析式為＞=8,

X

???矩形OCDE分別交某反比例函數(shù)于點RG,OC=6,OE=4,

/.尸,4）,G[6,,A℃G的面積=AOEF的面積=1,

△（?尸G的面積=矩形的面積-AOCG的面積-AOEF的面積-ADFG的面積=9,矩形的面積=4x6=24,

解得上=12（負(fù)值已舍去），

12

反比例函數(shù)解析式為y=一.

12

故答案為：y=-.

15.如圖，AC±CB,AC=CB,以BC為直徑作半圓O,P為弧BC上一點,且NC4P最大，延長AP、CB,

交于點D則sinD的值為.

3

【答案】-/0.6

【難度】0.65

【知識點】相似三角形的判定與性質(zhì)綜合、求角的正弦值、切線的性質(zhì)和判定的綜合應(yīng)用、應(yīng)用切線長定

理求證

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，切線的性質(zhì)和判定，切線長定理，根據(jù)切線的性質(zhì)和判定

得到NACB=90。=NOPD,利用切線長定理得到AC=AP,證明AOPDSAACB,設(shè)OC=OB=OP=x,

35

BD=m,則AC=AP=2x,利用相似的性質(zhì)得到x=m，進(jìn)而得到。。=彳相，再根據(jù)正弦的定義求解，

22

即可解題.

【詳解】解：連接。尸，,

A

VP為弧BC上一點，且/C4P最大，

:.OPLAD,ZOPD=90°,

ACLCB,

AP與圓。相切于點P,AC與圓。相切于點C,

:.ZACB=9(r=/OPD,AC=AP,

■.■ZD=ZD,

「.△OPDSAACB,

OPPDOP

'AD-CD-AC?

???AC=CB9

設(shè)OC=OB=OP=x,BD=m,貝”AC=AP=2x,

.x+mPD1

AD2x+m2’

AD=2x+2m,PD=x+—m,

2

?/AD—AP=PD,

/.2m=x+—mf

3

/.x=—m,

2

/.OD=x+m=—m,

2

三、作圖題（本大題滿分4分，請用直尺、圓規(guī)作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡）

16.如圖，已知線段。和/a,求作ZABC,使AB=a,ZA=yZa,/8=/a（使用直尺和圓規(guī)，并保留

作圖痕跡）.

【答案】見解析

【難度】0.65

【知識點】作線段（尺規(guī)作圖）、尺規(guī)作一個角等于已知角、作角平分線（尺規(guī)作圖）

【分析】先作線段=再作NZMB=Nna4=cr,再作的角平分線AC,AC與￡）3的交點為C,

則/ABC即為所求作的三角形

【詳解】如圖，先作線段AB=a,再作==再作—DR的角平分線AC,AC與的交點

為C,則ZM2C即為所求作的三角形

【點睛】本題考查了尺規(guī)作圖，作線段等于已知線段，作一個角等于已知角，作角平分線，掌握基本作圖

是解題的關(guān)鍵.

四、解答題（本大題共9個小題，共71分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

2x+1<3

17.（本題滿分9分，第1小題4分，第2小題5分）（1）解不等式組：工1-3%

-+-----<11；

124

（2）化簡:

x2-lxx2-4x+4

【答案】（1）-3<x<l；（2）---y

（尤-2）

【難度】0.65

【知識點】分式加減乘除混合運(yùn)算、求不等式組的解集

【分析】本題考查的是分式的混合運(yùn)算及解一元一次不等式組.

（1）分別求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可；

（2）原式括號中兩項通分并利用同分母分式的減法法則計算，約分得到最簡結(jié)果.

2尤+1<3①

【詳解】解：⑴\x1-3無，臺，

-+----<1?

124

由①得，x<l,

由②得，x——3,

故不等式組的解集為：-3<x<l；

尤+2x-1）x

2

21x?-2尤x-4x+4）x-4

x+2x-1X

x(x—2)d)2_x-4

/尤2—4尤2—尤)尤

2

、元(x—2)2x(x—2)Jx-4

-4—x~+xx

x(^x—2)~x—4

x-4x

尤(x—2)~x—4

(%-2)2,

18.（本小題滿分6分）3月14日是國際數(shù)學(xué)日，也稱“萬日”.2024年3月14日某校七年級300名學(xué)生參

加了華容道、魯班鎖、九連環(huán)等六項數(shù)學(xué)趣味游戲比賽.比賽采取積分制，每參加一項可獲得10至20分，

達(dá)到90分及90分以上的學(xué)生可獲得“萬日”徽章.學(xué)校為了解學(xué)生的積分情況，隨機(jī)抽取了機(jī)名學(xué)生，并對

他們的積分進(jìn)行整理、描述，繪制成下面的統(tǒng)計圖（數(shù)據(jù)分為5組：20Vx<40,40Vx<60,60Vx<80,

80Vx<100,100<x<120)；

七年級優(yōu)名學(xué)生積分頻數(shù)分布直方圖七年級優(yōu)名學(xué)生積分扇形統(tǒng)計圖

徽章

(1)下列抽取樣本的方式中，最合理的是(填寫序號)；

①從七年級的學(xué)生中抽取優(yōu)名男生；

②從七年級參加魯班鎖游戲的學(xué)生中抽取名學(xué)生；

③從七年級學(xué)號末位數(shù)字為5或0的學(xué)生中抽取M名學(xué)生.

(2)求加的值，并補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖；

⑶求100這一組對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù).

【答案】⑴③(2)m=40,圖見解析(3)81°

【難度】0.65

【知識點】求扇形統(tǒng)計圖的圓心角、條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖信息關(guān)聯(lián)、調(diào)查收集數(shù)據(jù)的過程與方法

【分析】本題考頻數(shù)分布直方圖、扇形統(tǒng)計圖、用樣本估計總體、抽樣調(diào)查的可靠性，能夠讀懂統(tǒng)計圖表，

掌握抽樣調(diào)查的可靠性是解答本題的關(guān)鍵.

(1)根據(jù)抽樣調(diào)查的可靠性可得答案.

(2)用20Wx<40的頻數(shù)除以扇形統(tǒng)計圖中204x<40的百分比，可得加的值；用加的值分別減去其他各

組的頻數(shù)，可得積分為100VxW120的頻數(shù)，補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖即可.

(3)用360。乘以積分為100W120的人數(shù)所占的百分比，即可得出答案.

【詳解】(1)解：由題意知，抽取樣本的方式最合理的是③從七年級學(xué)號末位數(shù)字為5或0的學(xué)生中抽取加

名學(xué)生.故選：③.

(2)解：由題意得，m=410%=40.

積分為100〈x〈120的人數(shù)為40-4-11-7-9=9(人).

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如圖所示.

七年級優(yōu)名學(xué)生積分頻數(shù)分布直方圖

Q

(3)解：100〈xW120這一組對應(yīng)的扇形的圓心角度數(shù)是360。又一=81。.

40

19.(本小題滿分6分)慶祝北京冬奧會三周年暨奧林匹克歷史知識產(chǎn)權(quán)授權(quán)產(chǎn)品“冰墩墩”蛇年新春特別版

“蛇墩墩”系列新品在北京發(fā)布，現(xiàn)場發(fā)布了五個形象的“蛇墩墩”手辦，產(chǎn)品在設(shè)計上則采用了“五福臨門”

的寓意.小明收集了如圖所示的五張印有“蛇墩墩”圖案的卡片：A.“福星蛇墩墩”，8.“祿星蛇墩墩”，C.“壽

星蛇墩墩”，。.“喜星蛇墩墩”，E.“財星蛇墩墩”(除正面內(nèi)容不同外，其余均相同)，現(xiàn)將五張卡片背面

朝上，洗勻放好.

ABCDE

(1)小明從五張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片是“福星蛇墩墩”的概率是;

(2)小明從五張卡片中隨機(jī)抽取一張卡片，不放回，記下卡片正面內(nèi)容后，再將剩下四張卡片洗勻后從中隨

機(jī)抽取一張卡片，記下卡片正面內(nèi)容，請用列表法或畫樹狀圖法，求小明兩次抽取的卡片中都沒有抽到“福

星蛇墩墩”的概率.

【答案】(嗚(2)|

【難度】0.65

【知識點】根據(jù)概率公式計算概率、列表法或樹狀圖法求概率

【分析】本題主要考查了簡單的概率計算，樹狀圖法或列表法求解概率：

(1)根據(jù)概率計算公式求解即可；

(2)先列表或畫樹狀圖得到所有等可能性的結(jié)果數(shù)，再找到兩次抽取的卡片都沒有抽到“福星蛇墩墩”的結(jié)

果數(shù)，最后依據(jù)概率計算公式求解即可.

【詳解】(1)解：：一共有5張卡片，卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的卡片有1張，且每張卡片被抽到的概

率相同,

.??小明從中隨機(jī)抽取一張卡片，抽取的卡片上的文字是“福星蛇墩墩”的概率為%

（2）解：畫樹狀圖下:

開始

BCDEACDEABDEABCEABCD

由樹狀圖可知，共有20種等可能的結(jié)果，兩次抽取的卡片中都沒有抽到“福星蛇墩墩”的有12種,

123

則小明兩次抽取的卡片中都沒有抽到“福星蛇墩墩”的概率為

20.（本小題滿分6分）實驗是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的重要途徑.如圖是小亮同學(xué)安裝的化學(xué)實驗裝置，安裝

要求為試管口略向下傾斜，鐵夾應(yīng)固定在距試管口的三分之一處.現(xiàn)將左側(cè)的實驗裝置圖抽象成右側(cè)示意

圖，已知試管AB=27cm,=試管傾斜角為ZABG為12。（參考數(shù)據(jù)：sin12。=0.21；cos12。。0.98）

（1）求試管口B與鐵桿DE的水平距離3G的長度;

（2）實驗時，導(dǎo)氣管緊靠水槽壁MN,延長8”交CN的延長線于點E且于點N（點C,D,N,F

在一條直線上），經(jīng)測得：OE=29cm,MN=9cm,NABM=147。，求線段ON的長度.

【答案】（1）8.82cm⑵26.93cm

【難度】0.65

【知識點】其他問題（解直角三角形的應(yīng)用）

【分析】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，矩形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的判定等知識，理解題意是解

題的關(guān)鍵；

（1）由題意可求得助的長，再由余弦函數(shù)定義即可求得3G的長；

（2）由正弦函數(shù)求得EG；延長GB,NM交于點H,則得四邊形DA歸G是矩形，求得NH,MH,再由條

件得BH=HM,最后由DNuGHuBG+B”即可求解.

【詳解】（1）解：?.?AB=27cm,BE=-AB,

BE=—x27=9cm,

3

/.BG=9cosl2°=9x0.98=8.82(cm)；

FG

(2)W：vsinl20=—,

BE

EG=9sinl2°(cm),

延長GB,M0交于點H,

NH=DG=DE—EG=Q9—9sinl2°）cm,DN=GH,

:.HM=NH-MN=（20-9sinl20）cm,

Q/ABG=12。，/ABM=147。，

.\^FBG=135°,

..NMBH=45。,

NMBH=ZBMH=45°,

/.BH=HM=（20-9sinl20）cm,

:.DN=GH=BG+BH

=9cosl2°+20-9sinl2°

=9x0.98+20-9x0.21

=26.93（cm）；

答：線段。N的長度為26.93cm.

21.（本小題滿分8分）陽光玫瑰葡萄鮮脆多汁，口感極佳，是一種比較暢銷的水果，某水果店以16元/千

克的價格購進(jìn)某種陽光玫瑰葡萄，規(guī)定銷售單價不低于成本價，且不高于28元/千克，試銷期間發(fā)現(xiàn)，該

種陽光玫瑰葡萄每周銷售量y（千克）與銷售單價x（元/千克）滿足一次函數(shù)關(guān)系，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示：

銷售單價X（元/千克）222426

銷售量y（千克）200180160

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)銷售單價定為多少時，水果店每周銷售陽光玫瑰葡萄獲利1600元？

(3)當(dāng)銷售單價定為多少時，水果店每周銷售陽光玫瑰葡萄獲得的利潤w(元)最大？最大利潤是多少元？

【答案】(l)y=T0x+420(16WxW28)；

(2)當(dāng)銷售單價定為26元時，水果店每周銷售陽光玫瑰葡萄獲利1600元；

(3)當(dāng)銷售單價定為28元時，水果店每周銷售陽光玫瑰葡萄獲得的利潤最大，最大利潤是1680元.

【難度】0.65

【知識點】營銷問題(一元二次方程的應(yīng)用)、銷售問題(實際問題與二次函數(shù))、其他問題(一次函數(shù)實際應(yīng)用)

【分析】(1)設(shè)y與尤之間的函數(shù)關(guān)系式為了=履+。，將x=22,y=200和》=24,y=18。分另I]代入y=Zx+6

即可求解；

(2)根據(jù)題意得(x-16)(-l0x+420)=1600,然后解方程并檢驗即可；

(3)由題意得川=-10/+580%一6720=-10(%一29)2+169。，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解；

本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，二次函數(shù)的應(yīng)用，掌握知識點的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

【詳解】(1)解：設(shè)y與X之間的函數(shù)關(guān)系式為丫=區(qū)+6,

將x=22,y=200和x=24,y=180分另j代i入y=爪+6,

[200=22k

得q

180=2必+。'

???y與%之間的函數(shù)關(guān)系式為y=-10^+420(16<x<28)；

(2)解:根據(jù)題意得(x—16)(—10x+420)=1600,

解得占=26,%=32(舍)，

答：當(dāng)銷售單價定為26元時，水果店每周銷售陽光玫瑰葡萄獲利1600元;

(3)解：由題意得W=(X-16)(-10X+420)=-10X2+580X—6720,

W=-10(X-29)2+1690,

V-10<0,

二當(dāng)29時，w隨X的增大而增大，

V16<x<28,

二當(dāng)x=28時，w最大為1680,

答：當(dāng)銷售單價定為28元時，水果店每周銷售陽光玫瑰葡萄獲得的利潤最大，最大利潤是1680元.

22.（本小題滿分8分）【實例】求值:1+2+22+23+24……+210

解:^P=l+2+22+23+24……+210?

將等式兩邊同時乘2,得:2P=2+22+23+24+25……+2”②

將②式減去①式，得：2尸_尸=2“_1，

2341011

即P=l+2+2+2+2……+2=2-1

【運(yùn)用】（1）1+2+22+23+24......+220=；

【拓展】⑵計算：1+3+32+33+34+……+3%

【遷移】（3）如圖，點M在線段AN的延長線上，且線段MN=20,第一次操作：分別取線段4〃和AN的

中點N、；第二次操作：分別取線段4%和AM的中點M?、N2；第三次操作：分別取線段AM?和A%

的中點M3、N,；……連續(xù)這樣操作10次，則每次的兩個中點所形成的所有線段之和

MN+M2N2+M3N3+……MWNW的值為多少?

A-N3M3N2M2ANM

【答案】（1）221-1;（2）（3）20-20xW或T

2256

【難度】0.65

【知識點】含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算、線段中點的有關(guān)計算、圖形類規(guī)律探索

【分析】本題主要考查圖形和數(shù)字的變化規(guī)律，線段的中點的性質(zhì)，發(fā)現(xiàn)圖形和數(shù)字得變化規(guī)律是解題的

關(guān)鍵.

（1）仿照閱讀材料求解即可；

（2）仿照閱讀材料求解即可；

（3）根據(jù)線段中點的性質(zhì)得出M1M+M2N2+M3N3+……MioNo=gx20+1g]x20+…+x20,進(jìn)而

仿照閱讀材料求解即可.

【詳解】解：（1）TSP=1+2+22+23+24……+220①

將等式①的兩邊同時乘以2得：2F=2+22+23+24……+221②

將②式減去①式，得：P=221-l，

1+2+22+23+24…+220=221-1.

故答案為：2"-l.

(2)設(shè)5=1+3+32+33+34+……+310?

將等式兩邊同時乘3,得:3S=3+32+33+34+……+3”②

將②式減去①式，得2s=3"-1

A"—1Q11_1

=即1+3+32+33+34+……+310=2_zl

22

(3)-：MN=20,叫、M是線段和AN的中點，

MXNX=AM{-ANi=^[AM-AN)=-MN=\O,

同理可得MzN?=g/|N|=5

iyiiy

MioNio=—2M9/NY9

/.MiNi+M2N2+M3N3+……MloA^lo=1x2O+[|jx20+---+||jx20

設(shè)。=20x①

將①式減去②式，得g0=20x

10

1205115

:?Q=20x1—=20-20x=20-

21024256

23.（本小題滿分8分）如圖，在菱形A5C。中，E、F、G、H分別是邊"、BC、CD、OA的中點，連

接石尸，F(xiàn)G,GH,HE.

⑴求證：四邊形石FGH是矩形;

(2)若EF=4,ZFGC=30°,求菱形ABCD的面積.

【答案】⑴證明見詳解⑵32后

【難度】0.65

【知識點】利用菱形的性質(zhì)求線段長、與三角形中位線有關(guān)的證明、證明四邊形是矩形、解直角三角形的

相關(guān)計算

【分析】(1)連接AC,BD,根據(jù)E、/、G、X分別是邊AB、BC、CD、加的中點得到M=HG=JAC,

EH=FG=；BD,EF//HG//AC,EH〃FG〃BD,從而得到四邊形EFGH是平行四邊形，再根據(jù)菱

形ABC。得到AC23少，即可得至UNAO3=90。，從而得到/EEH=90。，即可得到證明；

(2)根據(jù)所=4得到AC=2￡F=8,結(jié)合菱形性質(zhì)得到OC=4,根據(jù)NFGC=30。得到

NODG=NFGC=30。,即可得到OD,即可得到答案；

【詳解】(1)證明：連接AC,BD,

YE、F、G、H分別是邊A3、BC、CD、ZM的中點，

/.EF=HG=-AC,EH=FG=-BD,EF//HG//AC,EH〃FG〃BD,

22

.?.四邊形EFGH是平行四邊形,

?..四邊形ABCD是菱形，

ACJ.BD,

ZAO8=90°,

'：EF//HG//AC,EH〃FG〃BD,

：.NFEH=90°,

；?四邊形跳GH是矩形;

⑵解：；￡F=4,

AC=2EF=8,

.四邊形9CD是菱形,

OC=-AC=4,

2

ZFGC=30°,

/ODG=/FGC=34°,

BD=2OD=8A/3,

/.S=-AC-BD=-X8X8A/3=325/3.

22

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)及矩形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是根

據(jù)中位線得到線段的關(guān)系.

24.（本小題滿分10分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=ar2+bx+c的圖像與x軸交于A（_l,0）,

3（3,0）兩點，與y軸交于點。（0,-3）,“是拋物線上的一個動點.

（1）求該二次函數(shù)的解析式.

（2）若點M在直線的下方，則當(dāng)點M運(yùn)動到什么位置時，/WBC的面積最大？并求出&WBC的面積的

最大值.

（3）若N是x軸上的一動點，是否存在點使以8,C,M,N為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求

出點M的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.

【答案】⑴y=/-2x-3

（2）當(dāng)，〃=：時，△MBC有面積最大值?，此時點M的坐標(biāo)為M?

⑶存在，點M的坐標(biāo)為（2.-3）或0+3）或（1-6,3）

【難度】0.4

【知識點】面積問題（二次函數(shù)綜合）、特殊四邊形（二次函數(shù)綜合）、待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、利用平

行四邊形的性質(zhì)求解

【分析】（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法求解即可；

（2）過點M作y軸得平行線交直線BC于點P,連接MC、MB,再求得直線BC得解析式為y=x-3,設(shè)

M,則PM=m-3-^m2-2m-3^--m2+3m,進(jìn)而用m表示出Z\MBC的面積，

最后運(yùn)用二次函數(shù)的性質(zhì)即可解答；

（3）由題意可得：3（3,0）,C（0,-3）,設(shè)“（加，療-2m-3）,N（〃,O）,然后分3C、BM、M為對角線，分

別根據(jù)平行四邊形對角線相互平分解答即可.

【詳解】（1）解：將點4B,C代入二次函數(shù)解析式，

a-b+c=0ci—\

可得9〃+3Z?+c=0,解得<b=-2,

c=—3c=-3

???二次函數(shù)表達(dá)式為y=V-2x-3；

（2）如圖，過點M作y軸得平行線交直線BC于點尸，連接MC、MB,

設(shè)直線BC得解析式為y="+，，將5,。坐標(biāo)代入,

0=3k+tk=l

可得°，解得

t=-5

所以直線BC得解析式為y=x-3,

設(shè)療—2m—3),則PM=m—3—{ni1-2m—3)=—M+3m,

?0ABMC~"BMP丁Q&CMP

=^XMPX(^XB-XC)

3

——<0,

2

...當(dāng)…*,5c有面積最大值可，此時點〃的坐標(biāo)為網(wǎng)丁工

（3）解：存在,

由題意可得：8（3,0）,C（0,-3）,

設(shè)療-2利-3）,N（〃,0）以對角線分類，

當(dāng)BC為對角線時，根據(jù)平行四邊形對角線互相平分,

fx+x=x+xIm+n=3

BcMN即42

由中點坐標(biāo)公式可得:\y+y=yM+y

BcNnr-2m—3=—3

[m=0\m=2

解得：.（舍棄）或1，

[〃=3[n=1

所以點M的坐標(biāo)為（2,-3）；

當(dāng)為對角線時，同理可得：

\xB+xM=xc+xN\m+3=n

1^+^+[m-2m-3=-3

m=0\m=2

解得:（舍棄）或〃=5

〃=3

所以點”的坐標(biāo)為（2,-3）；

當(dāng)3N為對角線時，同理可得：

XX=X+X

[BNCMAnf3+?=W

〈，即〈7

++m

[yByN=ycyM[-2m-3-3=o

m=l+y/lm=1-^7

解得:或，

n=—2+幣n=-2-幣

所以點M的坐標(biāo)為0+五,3）或（1-"3）.

綜上，點M的坐標(biāo)為（2,-3）或（1+萬,3）或（1-4,3"

【點睛】本題主要考查了求二次函數(shù)解析式、二次函數(shù)