中考數(shù)學 相似三角形

熱點中考數(shù)學相似三角形中考數(shù)學中《相似三角形》部分主要考向分為三類：一、黃金分割及平行線分線段成比例（每年1道，3分）二、相似三角形的判定與性質(zhì)（每年1~2道，3~12分）三、相似三角形的應用（每年1~2題，3~14分）相似三角形在中考數(shù)學中的地位永遠都是無法撼動的第一，不管是對相似三角形性質(zhì)、判定、亦或是應用的考察，都有出題類型多變，出題形式隨意的特點，并且，因為其高度的融合性，不管是在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中，都可以作為壓軸題的問題背景出現(xiàn)，也是解決壓軸題問題不可或缺的方法途徑?；谝陨咸卣?，相似三角的考察難度可以從中等跨越到較難，屬于中考數(shù)學中較為重要的壓軸考點?？枷蛞唬浩叫芯€分線段成比例【題型1比例與比例線段】1、比例的性質(zhì)：；2、比例中項：，此時，c為a、b的比例中項；3、比例線段：在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段簡稱比例線段；1．（2025·廣東揭陽·一模）如圖所示為一測量電路，Ry為待測電阻，Rx為可調(diào)電阻，R，R1，R2為已知電阻，E為直流電壓源，A為電流表，調(diào)節(jié)Rx的電阻時會出現(xiàn)一種現(xiàn)象，即當電流表讀數(shù)為0時，有RyR1=R2Rx，這個現(xiàn)象叫做電橋平衡，并且此時的電阻R對電路無影響．由上式便可通過Rx的電阻求得A．增大12Ω B．增大8Ω C．減小3Ω2．（2025·廣東深圳·一模）已知a，b，c，d成比例線段．若a=5cm，b=10cm，d=8cm，則cA．2.5cm B．4cm C．10cm3．（2025·上海黃浦·一模）已知線段a=2cm，b=3cm，如果線段c是線段a和b的比例中項，那么線段c的長為（A．6cm B．6cm C．?64．（2024·湖南益陽·模擬預測）小明家鄉(xiāng)有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則mn的值為5．（2025·上海虹口·一模）已知線段a是線段b、c的比例中項，b=2?cm，c=8?cm，那么a=【題型2黃金分割】黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．1．（2024·廣東深圳·三模）黃金分割比被稱之為比例之王，在藝術創(chuàng)作和建筑設計上有很多例子．不過，事實上黃金分割符合的是西方美學，而東方美學更鐘愛于白銀分割．其中愛國品牌紅旗汽車H9的設計中應用了白銀分割（圖1)；福州華林寺大殿——現(xiàn)存最古老木構建筑物中也大量運用了白銀比例．東方人之所以喜歡白銀分割比，因為在日常生活中隨處都可以見到白銀分割的身影，比如常用到的A4紙，對折后得到兩個全等的A5紙、A5紙折疊后得到兩個全等的A6紙等等（圖2)，A4紙，A5紙、A6紙等的長與寬的比都等于白銀比，這樣的矩形稱為白銀矩形．如圖3，若菱形的邊長與高之比為白銀比，則稱這個菱形為白銀菱形，以白銀菱形作為平面鑲嵌圖形從而構造出具有對稱美的圖形，則這個矩形地毯的長寬比為()A．2 B．2+1 C．5?1 2．（2025·江西·模擬預測）定義：若線段AB上有一點C滿足AC=5?12AB或BC=5?12AB，則稱點C為線段AB的黃金分割點．在如圖所示的五角星圖案中，已知點M,N是線段3．（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦AB=80cm，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即AC2=AB?BC，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D4．（2024·江蘇常州·模擬預測）20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作EF將矩形窗框ABCD分為上下兩部分，BE>AE．已知AB為2米，則線段BE的長為米．小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發(fā)現(xiàn)可以通過折疊得到黃金矩形．請根據(jù)每一步的操作完成以下填空．（假設原矩形紙片的寬MN為2cm①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則NC=______cm；②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則AC=_______cm；③折出內(nèi)側矩形的對角線AB，并把AB折到圖3中所示的AD處，則AD=AB=_______cm；④展平紙片，按照所得到的點D折出DE，則CDBC=_______，我們將這個比值稱為黃金比，將寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形，如圖4矩形活動二：類似的，我們將底與腰的比等于黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，已知線段a，請你根據(jù)以下步驟作出以2a為腰長的黃金三角形△A步驟一：作一條線段GH，使得GH的長度等于△A步驟二：作一條線段PQ，使得PQ的長度等于△A步驟三：作黃金三角形△A【題型3平分線分線段成比例】滿分技巧如圖：AB∥CD∥EF1．（2025·河南·一模）如圖是一架人字梯及其側面示意圖，已知AB∥CD∥EF，AC=50cm，CE=30cm，A．27cm B．50cm C．72cm2．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，直線a∥b∥c，直線m、n分別與直線a、b、c相交于點A、B、C和點D、E、F，若AB=2，BC=3，DE=3，則A．103 B．152 C．4 3．（2025·江蘇南京·模擬預測）如圖，AB⊥BD,CD⊥BD，垂足分別為B、D，AC和BD相交于點E，EF⊥BD垂足為F．則下列結論錯誤的是（

）A．AEEC=BEC．EFAB=DF4．（2025·浙江·模擬預測）如圖，在△ABC中，AB=AC，點G是重心，連接AG交BC于點D，BC=4，cos∠ACB=25，F(xiàn)是邊AC上一點，當FG⊥AD時，則CFA．1 B．53 C．32 5．（2025·上海崇明·一模）如圖，AB∥CD∥EF，AE:CE=3:2，BF=6，那么BD的長等于．6．（2025·上海長寧·一模）如圖，AB∥CD∥EF，如果AD=2，DF=1.5，BC=2.4，那么7．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在△ABC中，CG平分∠ACB，過點A作AH⊥CG交BC于點H，且H是BC的中點．若AH=4，CG=6，則AB的長為考向二：相似三角形判定與性質(zhì)【題型4相似三角形的性質(zhì)】相似三角形的性質(zhì)：對應邊成比例、對應角相等、對應邊上的“三線”之比=相似比、對應面積之比=相似比的平方、對應周長之比=相似比。另外，相似三角形之前還有有關平行線分線段成比例的基本性質(zhì)的考察。1．（2025·河南開封·一模）如果兩個相似三角形的對應邊之比是1:4．那么它們的面積之比是（

）A．1:4 B．1:6 C．1:8 D．1:162．（2025·重慶·模擬預測）如圖，△ABC與△DEF位似，點O為位似中心，已知OA:OD=2:3，△ABC的面積為8，則△DEF的面積為（

）A．8 B．12 C．18 D．243．（2025·河北邯鄲·一模）嘉嘉的作業(yè)紙不小心被撕毀了（如圖所示），已知△ABC∽△DEF．測得AC=3cm，DF=4cm，△DEF的面積為16cmA．6cm2 B．9cm2 C．4．（2025·重慶·模擬預測）如圖，△ABC與△A′B′C′位似，點O為位似中心，若A．15 B．20 C．10 D．55．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，DE∥AC，若S△BDES△CDE

A．13 B．14 C．19【題型5相似三角形的判定】重點記“AA”與“SAS”類型，小題勿忘“SSS”類型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有兩個角對應相等的兩個三角形相似，其次是對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。三邊對應成比例的兩個三角形相似不長出現(xiàn)，但是個別小題，特別是和網(wǎng)格結合的問題小題中，也是有出現(xiàn)幾率的。1．（2025·湖南長沙·一模）如圖，下列條件不能判定△ABD∽A．∠ADB=∠ABCB．∠DBA=∠C C．AB2=AD?AC2．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE⊥DF，垂足為點G．求證：△ADE∽△DCF．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF，延長BC到點H，使CH=DE，連接DH．求證：∠ADF=∠H．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形ABCD中，點E，F(xiàn)分別在邊DC，BC上，AE=DF=11，DE=8，∠AED=60°，求CF的長．3．（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB邊上的高，求證：△ACD∽△CBD．4．（2025·上海徐匯·一模）在矩形ABCD中連接AC，過點D作AC的垂線交AC于E，AB于F．(1)證明：△ABC∽△DEA；(2)若EF=1，ED=2，連接FC，求tan∠FCA5．（2025·湖北·一模）（1）如圖1，在△ABC中，∠ABC=90°，BH⊥AC于點H，求證：（2）如圖2，已知∠ABC=∠D=90°，E為BD上一點，且AE=AB，若ABBC=4（3）如圖3，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，AB=BC，E為邊CD上一點，且AE=AB，BE⊥CD，求考向三：相似三角形的應用【題型6相似三角形的應用】相似三角形在實際生活中的應用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見題目類型：1.利用投影、平行線、標桿等構造相似三角形求解2.測量底部可以到達的物體的高度3.測量底部不可以到達的物體的高度4.測量河的寬度1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，小杰從燈桿AB的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他在燈光下的影長CD=3米，然后他轉身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米2．（2025·山東東營·一模）如圖所示，在洞孔成像問題中，已知玻璃棒AB與它的物像A′B′平行，已知玻璃棒AB=12厘米，根據(jù)圖中給定的尺寸，那么它的物像AA．5 B．6 C．8 D．43．（2024·四川自貢·中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法．

(1)如圖1，小張在測量時發(fā)現(xiàn)，自己在操場上的影長EF恰好等于自己的身高DE．此時，小組同學測得旗桿AB的影長BC為11.3m(2)如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學測得小李的眼睛距地面高度DE=1.5m，小李到鏡面距離EC=2m，鏡面到旗桿的距離(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大．在更新測量工具，優(yōu)化測量方法后，測量精度明顯提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點始終處于同一水平線上．如圖5，在支架上端P處，用細線系小重物Q，標高線PQ始終垂直于水平地面．如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并標記觀測視線DA與標高線交點C，測得標高CG=1.8m，DG=1.5m．將觀測點D后移24m到D′處，采用同樣方法，測得C′4．（2023·四川攀枝花·中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數(shù)學興趣小組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標桿EF和GH，兩標桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標桿EF后退2m到D處（即ED=2m），從D處觀察A點，A、F、D在一直線上；從標桿GH后退4m到C處（即CG=4m），從C處觀察A點，A、H、C三點也在一直線上，且B、E、D、

5．（2025·陜西咸陽·一模）某校初三學生開展主題為“測量校園涼亭高度的方案設計”的數(shù)學綜合與實踐活動．甲、乙、丙三位同學制作出一個簡易測高儀．取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條AB長0.4m，木條CD長0.6m，DB長0.2m（接頭處忽略不計）．為了便于校正豎直位置，在點B處懸掛一個鉛垂，這樣就制作出一個簡易測高儀．任務：測量校園內(nèi)涼亭MN的高度（涼亭頂端M與底部N的距離）．工具：簡易測高儀、卷尺．實踐活動實踐操作甲手持測高儀，C端朝上D端朝下，從測高儀的，點A經(jīng)過點C望向涼亭頂端M，調(diào)整人到?jīng)鐾さ木嚯x，使得點M與點C，A恰好在一條直線上，然后標記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點E的位置，如示意圖所示．示意圖獲取數(shù)據(jù)乙負責測量，得到點B到地面的垂直距離BE=0.58m解決問題利用得到的數(shù)據(jù)求出涼亭MN的高度．6．（2025·湖南長沙·一模）小明晚上在路燈下的示意圖如下，線段MN表示直立的燈桿，燈泡P在其上端某處，線段AB表示一棵樹，線段BC表示它在地面上的影子，線段EF表示小明．(1)請確定燈泡P所在的位置，并畫出小明站在EF處的影子；(2)若小明的身高EF=1.5m，當小明離燈桿的距離NF=4m時，影子長為3m7．（2025·陜西西安·一模）學習完銳角三角函數(shù)知識后，雷瑩老師組織學生開展測量物體高度的實踐活動，格格所在小組的任務為測量校園里一棵樹的高度，由于有圍欄保護，他們無法到達樹的底部．于是，格格所在小組經(jīng)過討論后決定利用平面鏡和測傾器進行實地測量，并完成了如下的測量報告：課題測量樹的高度測量工具平面鏡、測傾器和皮尺測量示意圖及說明說明：①D、C、B、F四點共線，DE、AB均垂直于DF；②平面鏡放置于C處，且大小忽略；③測傾器放置于F處，且高度忽略．測量過程及相關數(shù)據(jù)格格站在D處，恰好可以通過平面鏡看到樹的頂端A，格格眼睛與地面高度DE=1.5米，格格到平面鏡的距離CD=4.5米，平面鏡到測傾器的距離為CF=34米，測得∠AFB=39°，參考數(shù)據(jù)sin請你根據(jù)以上測量報告，求樹AB的高度．8．（2024·廣東·模擬預測）九年級（1）班課外活動小組想利用標桿測量佛山千燈湖市民廣場醒獅雕塑的高度，見圖（醒獅雕塑線條圖）．已知點A，C，E在同一直線上，標桿高度CD=2.8m，標桿與雕塑的水平距離BD=20m，人的眼睛與地面的高度EF=1.8m，人與標桿CD的水平距離DF=29．（2024·陜西咸陽·模擬預測）【學科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．【解決問題】阿房宮遺址被聯(lián)合國確定為世界上最大的宮殿基址，屬于世界奇跡．上天臺是阿房宮殿祭祀天神的建筑物，重現(xiàn)的上天臺，是根據(jù)有關史料營造．如圖2，小江和小海兩位同學想利用學過的知識來測量上天臺AB的高度．一天，他們帶著測量工具來到上天臺前，但由于整體規(guī)劃的原因，無法到達上天臺底部B．于是小江在地面上的點C處放置了一個平面鏡，小海從C處出發(fā)沿著BC方向移動，當移動到點E處時，恰好在平面鏡內(nèi)看到上天臺的頂端A的像，此時，測得CE=2.4?m，小海眼睛到地面的距離DE為1.6m；然后，小江沿CB方向移動到點G，用測角儀測得上天臺頂端A的仰角為45°，此時，測得CG=11.5?m，測角儀的高度FG也為1.6m．已知點B，G，C，E在同一水平直線上，且AB,FG,DE均垂直于BE，求該上天臺的高度【題型7位似變換】位似圖形滿足的條件：①所有經(jīng)過對應點的直線都相交于同一點（該點叫做位似中心）；②這個交點到兩個對應點的距離之比都相等（這個比值叫做位似比）1．（2023·河南洛陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A2,4，B4,1，以原點O為位似中心，將△OAB擴大為原來的4倍，則點A．12,1 C．8,16或?16,?8 D．8,16或?8,?162．（2025·河南安陽·一模）如圖，已知線段AB的兩個端點坐標分別為A1,1，B2,1，以原點O為位似中心在第一象限內(nèi)畫線段CD，若CD=2，則點D的坐標為（A．4,2 B．32,3 C．2,4 3．（2025·浙江溫州·模擬預測）如圖，A，B是⊙O上的點，A′，B′是⊙O外的點，△AOB和△A′OB′是位似圖形，位似中心為點O，點A，B對應點是點A′，B′，OB′交⊙OA．3 B．4 C．5 D．64．（2025·廣西·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A′B′C′是位似圖形，位似中心為點O．若點A?3,1A．?4,?8 B．?4,8 C．?8,4 D．4,?85．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖?ABCD與?AEFG關于點A成位似圖形，若他們的位似比為2:3，則?ABCD與?AEFG的面積比為（

）A．4:9 B．1:9 C．2:3 D．1:36．（2025·遼寧沈陽·一模）如圖，原點O是△ABC和△A'B'C'的位似中心，點A1,0與點A'?2,07．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在直角坐標系中，A0,?1，B2,0，以A為位似中心，把△ABC按相似比1:3放大，放大后的圖形記作△ADE，則點D的坐標為8．（2024·吉林·模擬預測）如圖，以點O為位似中心，作△ABC的位似圖形△A′B′C′．已知△ABC的面積為3，9．（2024·陜西西安·模擬預測）⊙O1與⊙O2的半徑分別為R、r，如果在直線O1O2取一點P，使O1PO2P=Rr(1)如圖①，已知⊙O1和點P，畫⊙O2，使⊙O2與⊙O1關于點(2)如圖②，已知⊙O1和⊙O2關于點P位似，直線l經(jīng)過點P且與⊙O1相切，切點為（建議用時：30分鐘）一、單選題1．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，在?ABCD中，點O是邊CD上一點，連接AO并延長，交BC的延長線于點E．若CO=2OD，BC=6，則BE的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．182．（2025·山東·一模）如圖，?ABCD中，∠DAB的平分線交DC于點E，交BC的延長線于點F，若AD=3，AB=5，則CF的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（2025·江蘇宿遷·一模）如圖，△ABC的中位線DE=5cm，把△ABC沿DE折疊，使點A落在邊BC上的點F處，若A、F兩點間的距離是8cm，則△DEF的面積為（A．5cm2 B．10cm2 C．4．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，在正方形ABCD中，G為CD邊中點，連接AG并延長交BC邊的延長線于點E，對角線BD交AG于點F．已知FG=2，則線段AE的長度為（

）

A．6 B．8 C．10 D．125．（2024·安徽亳州·模擬預測）如圖，BE是△ABC的中線，點F在BE上，延長AF交BC于點D，若BF=3EF，則BDDC=（A．43 B．65 C．326．（2023·浙江杭州·三模）如圖，在△ABC中，點D,E分別在AB和AC上，DE∥BC，M為BC邊上一點，連接AM交DE于點N，若DNNE=1A．S△ADNS△ADEC．S△ANE<2S7．（2024·安徽宣城·模擬預測）如圖，AD是△ABC的中線，∠B=90°,AB=3,CE⊥BC于點C,CE=5，且∠ADE=90°，則AE的長為（

）A．13 B．11 C．8 D．68．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=5，AC=12，D為BC上一點，且滿足AD=CD，E為AC的中點，連接BE交AD于點F，則△ABF的面積為（

A．6 B．8 C．10 D．12二、填空題9．（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）AB經(jīng)小孔O在屏幕（豎直放置）上成像A′B′．設AB=36cm，A′B′=24cm．小孔O到AB的距離為10．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，鐵道口的欄桿短臂長1米，長臂長16米，當短臂端點下降0.3米，長臂端點升高米．11．（2025·山西朔州·一模）如圖，在平面直角坐標系中，△ABC與△A′B′C′關于原點O位似，點B的坐標為3,1，點B′的坐標為6,2，點A12．（2023·四川成都·二模）如圖，以點O為位似中心，作四邊形ABCD的位似圖形A′B′C′D′，已知OA13．（2025·廣東茂名·模擬預測）如圖，D是△ABC中BC上的中點，連接AD，BE是△ABD的中線，BE的延長線與AC交于點F，則S△ADFS14．（2025·廣東·模擬預測）小周要在一塊三角形鋼板ABC中裁出一個矩形，裁剪方案如圖所示，頂點D、E在邊BC上，頂點F，G分別在邊AC、AB上，已知tanB=2，BC=10，S△ABC=40，則當矩形DEFG的面積最大時，GD15．（2025·陜西咸陽·模擬預測）響鈴塔位于陜西省榆林市境內(nèi)，作為全國重點文物保護單位，對研究陜北元代建筑、歷史、宗教文化等的發(fā)展提供了寶貴的歷史資料．某校項目式學習小組開展了測量響鈴塔高度的項目活動，共擬定了如下表所示的兩種測量方案：方案方案①方案②測量示意圖測量說明測量員在地面上的點C處測得塔頂A的仰角∠ACB的度數(shù)，在地面上豎立一根標桿DE，發(fā)現(xiàn)地面上的點F、標桿頂端E和塔頂A在一條直線上，AB⊥BC、ED⊥BC，點B、D、F、C在一條直線上，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)測量員在地面上的點C處測得塔頂A的仰角∠ACB的度數(shù)，在地面上的點D處放置一面平面鏡（大小不計），測量員站在地面上的點E處，眼睛位于點F處時恰好在平面鏡內(nèi)看到塔頂A的像，AB⊥BE、FE⊥BE，點B、C、D、E在一條直線上，圖中所有的點都在同一平面內(nèi)測量結果∠ACB=45°，DE=3?m，∠ACB=45°，CD=9?m，請你選擇上述兩種方案中的一種，計算響鈴塔的高度AB．你選擇的是方案_____．16．（2025·廣東·模擬預測）【問題情境】如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ACB=α，點D在邊BC上.將線段DB繞點D順時針旋轉得到線段DE（旋轉角小于180°），連接BE，CE、以CE為底邊在其上方作等腰三角形FEC，使∠FCE=α，連接AF．【嘗試探究】（1）如圖1，當α=60°時，易知AF=BE；如圖2，當α=45°時，則AF與BE的數(shù)量關系為______；（2）如圖3，請判斷∠EBC與∠FAC的數(shù)量關系，并說明理由；【拓展應用】（3）如圖4，當α=30°且點B，E、F三點共線時.若AF=23，BD=1517．（2025·貴州·一模）【閱讀理解】“趙爽弦圖”被譽為中國古代數(shù)學的圖騰，如圖①即“趙爽弦圖”，該圖由4個全等的直角三角形圍成一個大正方形和中間的一個小正方形，巧妙地證明了勾股定理．根據(jù)“趙爽弦圖”的結構特點，可聯(lián)想一些直角問題是否可以通過構造“弦圖”結構得以解決．【初步探究】（1）如圖②，M，N是正方形ABCD內(nèi)的點，且△ABM≌△CDN，AM⊥BM，連接MN，則∠CNM的度數(shù)為；（M，N不重合）【問題解決】（2）如圖③，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，P為AC邊上一個動點（不與點A，C重合），連接BP，過點C作CD⊥BP于點D，E是BP上一點，且CD=DE，過點E作EF⊥DB交BC于點F，試判斷三條線段CD，PD，EF【拓展探究】（3）在（2）的條件下，當EFCD=12，

熱點中考數(shù)學相似三角形解析中考數(shù)學中《相似三角形》部分主要考向分為三類：一、黃金分割及平行線分線段成比例（每年1道，3分）二、相似三角形的判定與性質(zhì)（每年1~2道，3~12分）三、相似三角形的應用（每年1~2題，3~14分）相似三角形在中考數(shù)學中的地位永遠都是無法撼動的第一，不管是對相似三角形性質(zhì)、判定、亦或是應用的考察，都有出題類型多變，出題形式隨意的特點，并且，因為其高度的融合性，不管是在選擇題、填空題、解答題的壓軸題中，都可以作為壓軸題的問題背景出現(xiàn)，也是解決壓軸題問題不可或缺的方法途徑。基于以上特征，相似三角的考察難度可以從中等跨越到較難，屬于中考數(shù)學中較為重要的壓軸考點。考向一：平行線分線段成比例【題型1比例與比例線段】1、比例的性質(zhì)：；2、比例中項：，此時，c為a、b的比例中項；3、比例線段：在四條線段中，如果的比等于的比，那么這四條線段叫做成比例線段簡稱比例線段；1．（2025·廣東揭陽·一模）如圖所示為一測量電路，為待測電阻，為可調(diào)電阻，R，，為已知電阻，E為直流電壓源，A為電流表，調(diào)節(jié)的電阻時會出現(xiàn)一種現(xiàn)象，即當電流表讀數(shù)為0時，有，這個現(xiàn)象叫做電橋平衡，并且此時的電阻R對電路無影響．由上式便可通過的電阻求得的電阻，現(xiàn)已知，．當時電流表讀數(shù)為0，那么此時將減小，則需要如何變，電流表示數(shù)才能為0？A．增大 B．增大 C．減小 D．減小【答案】A【分析】本題考查了比例式，讀懂題意，則根據(jù)，，，，求出，因為將減小，故把代入算出調(diào)整后的，即可作答．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，∵將減小，∴調(diào)整后的，∵電流表示數(shù)才能為0，∴，∵，，，則，解得，∴，即增大，故選：A．2．（2025·廣東深圳·一模）已知，，，成比例線段．若，，，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查成比例線段，解題的關鍵是掌握：若四條線段，，，成比例，則（或），是有順序的，位置不能隨意顛倒．據(jù)此列式解答即可．【詳解】解：∵，，，成比例線段，且，，，∴，即，∴．故選：B．3．（2025·上海黃浦·一模）已知線段，，如果線段c是線段a和b的比例中項，那么線段c的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)比例中項的定義，成比例線段，構建方程即可解決問題．本題考查比例中項的定義，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，利用成比例線段性質(zhì)列出等式，屬于中考?？碱}型．【詳解】解：解：∵線段c是線段a和b的比例中項，∴，∵，，，∴，故選：B．4．（2024·湖南益陽·模擬預測）小明家鄉(xiāng)有一小山，他查閱資料得到該山“等高線示意圖”（如圖所示），山上有三處觀景臺A，B，C在同一直線上，將這三點標在“等高線示意圖”后，剛好都在相應的等高線上，設A、B兩地的實際直線距離為m，B、C兩地的實際直線距離為n，則的值為．【答案】2【分析】本題考查了比例線段．根據(jù)題意，得出、兩地的實際直線距離，、兩地的實際直線距離，然后求根據(jù)比例線段求值即可．【詳解】解：由題意，得、兩地的實際直線距離為，、兩地的實際直線距離為，，即．故答案為：2．5．（2025·上海虹口·一模）已知線段是線段、的比例中項，，，那么．【答案】【分析】本題考查了比例線段，根據(jù)題意可得，代入數(shù)值求解即可．【詳解】解：線段是線段的比例中項，，（負值舍去）故答案為：．【題型2黃金分割】黃金分割：把線段分成兩條線段，且使是的比例中項，叫做把線段黃金分割，點叫做線段的黃金分割點，其中≈0.618．1．（2024·廣東深圳·三模）黃金分割比被稱之為比例之王，在藝術創(chuàng)作和建筑設計上有很多例子．不過，事實上黃金分割符合的是西方美學，而東方美學更鐘愛于白銀分割．其中愛國品牌紅旗汽車的設計中應用了白銀分割（圖；福州華林寺大殿——現(xiàn)存最古老木構建筑物中也大量運用了白銀比例．東方人之所以喜歡白銀分割比，因為在日常生活中隨處都可以見到白銀分割的身影，比如常用到的紙，對折后得到兩個全等的紙、紙折疊后得到兩個全等的紙等等（圖，紙，紙、紙等的長與寬的比都等于白銀比，這樣的矩形稱為白銀矩形．如圖3，若菱形的邊長與高之比為白銀比，則稱這個菱形為白銀菱形，以白銀菱形作為平面鑲嵌圖形從而構造出具有對稱美的圖形，則這個矩形地毯的長寬比為A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：由題意得，白銀矩形四邊形白銀矩形四邊形，，即，，，，（負值舍去）即白銀矩形的長與寬的比為．如下圖，作于點,于，于，在上截取,連接,由題可知：,,,,,同理可得,,,,,,,設,,,,,故選：．【點睛】本題考查的時候相似多邊形的性質(zhì)、平面鑲嵌（密鋪）、菱形的判定與性質(zhì)、翻折變換（折疊問題）、比例的性質(zhì)、黃金分割，解決本題的關鍵是理解白銀矩形的定義．2．（2025·江西·模擬預測）定義：若線段上有一點滿足或，則稱點為線段的黃金分割點．在如圖所示的五角星圖案中，已知點是線段的黃金分割點，若，則線段的長為．【答案】/【分析】本題考查的是黃金分割的概念，熟記線段的黃金分割點有兩個是解題的關鍵．根據(jù)黃金分割的定義可得，繼而由求出，再由線段和差計算即可求解．【詳解】解：由題意得，，∴，∴，故答案為：．3．（2023·四川達州·中考真題）如圖，樂器的一根弦，兩個端點A，B固定在樂器面板上，支撐點C是靠近點B的黃金分割點，即，支撐點D是靠近點A的黃金分割點，則兩個支撐點C，D之間的距離．（結果保留根號）【答案】【分析】本題考查了黃金分割，利用黃金分割的等積式得一元二次方程是解題的關鍵．設，則，由得，解方程求出的長，同理求出的長，進而可求出點C，D之間的距離．【詳解】解：設，則，，，解得（舍），，同理可求，，∴，∴．故答案為：．4．（2024·江蘇常州·模擬預測）20世紀70年代初，我國著名的數(shù)學家華羅庚教授將黃金分割法作為一種“優(yōu)選法”，在全國大規(guī)模推廣，利用黃金分割法，所作將矩形窗框分為上下兩部分，．已知為2米，則線段的長為米．【答案】【分析】本題主要考查了黃金分割，根據(jù)黃金分割比例為進行求解即可．【詳解】解：∵E為邊的黃金分割點，，∴米，故答案為：．5．（2024·福建廈門·模擬預測）活動一：某數(shù)學興趣小組在研究“黃金比例與黃金矩形”，閱讀課本時發(fā)現(xiàn)可以通過折疊得到黃金矩形．請根據(jù)每一步的操作完成以下填空．（假設原矩形紙片的寬為）①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則______；②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則_______；③折出內(nèi)側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，則_______；④展平紙片，按照所得到的點D折出，則_______，我們將這個比值稱為黃金比，將寬與長的比等于黃金比的矩形稱為黃金矩形，如圖4矩形就是一個黃金矩形．活動二：類似的，我們將底與腰的比等于黃金比的等腰三角形稱為黃金三角形．如圖，已知線段a，請你根據(jù)以下步驟作出以為腰長的黃金三角形．（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）步驟一：作一條線段，使得的長度等于的腰長；步驟二：作一條線段，使得的長度等于的底邊長；步驟三：作黃金三角形．【答案】（1）活動一：①2；②1；③；④；（2）見解析【分析】活動一：利用折疊的性質(zhì)和勾股定理解答即可；活動二：利用作一條線段等于已知線段的方法，黃金分割的作法和公理解答即可．【詳解】解：活動一：①在一張矩形紙片的一端，利用圖1的方法折出一個正方形，然后把紙片展平，則；②如圖2，把這個正方形折成兩個相等的矩形，再把紙片展平，則；③折出內(nèi)側矩形的對角線，并把折到圖3中所示的處，則；④展平紙片，按照所得到的點D折出，，則；活動二：步驟一：作一條線段，使得的長度為，步驟二：1．過點H作于點H，2．在上截取，連接，3．在上截取，4．以點G為圓心，以為半徑畫弧交于點M，則點M為的黃金分割點，的長度等于，則的長度等于底邊的長度，即，如圖：步驟三：作，作線段，分別以為圓心，以為半徑畫弧，兩弧交于點，連接，如圖，則為黃金三角形．【點睛】本題主要考查了折疊的性質(zhì)，黃金分割的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，基本作圖，本題是操作性題目，熟練掌握基本作圖的知識和折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．【題型3平分線分線段成比例】滿分技巧如圖：AB∥CD∥EF1．（2025·河南·一模）如圖是一架人字梯及其側面示意圖，已知，，，，則BF的長為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了平行線等分線段定理，根據(jù)平行線等分定理列比例式成為解題的關鍵．先根據(jù)平行線等分線段定理列比例式求得，再運用線段的和差求解即可．【詳解】解：∵，，即，解得：．．故選C．2．（2024·吉林長春·模擬預測）如圖，直線，直線分別與直線相交于點和點，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了平行線等分線段定理，根據(jù)平行線等分線段定理解答即可求解，掌握平行線等分線段定理是解題的關鍵．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，故選：．3．（2025·江蘇南京·模擬預測）如圖，，垂足分別為B、D，和相交于點E，垂足為F．則下列結論錯誤的是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】考查平行線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線分線段成比例定理等知識，解題的關鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型．利用平行線的性質(zhì)以及相似三角形的性質(zhì)一一判斷即可．【詳解】解：∴∴，，故選項A錯誤，選項B正確，∵，∴，∴，故選項C正確；∵，∴，，故選項D正確，故選：A．4．（2025·浙江·模擬預測）如圖，在中，，點是重心，連接交于點，，，是邊上一點，當時，則的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了重心的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，掌握相關知識是解題的關鍵．根據(jù)重心和等腰三角形的性質(zhì)可得：，，，由可得，結合得到，推出，即可求解．【詳解】解：在中，，點是重心，，，，，，，，，，，即，，故選：B．5．（2025·上海崇明·一模）如圖，，，，那么的長等于．【答案】【分析】此題考查了平行線分線段成比例定理．根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，求出，即可求出的長．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴∴，故答案為：．6．（2025·上海長寧·一模）如圖，，如果，，，那么的長是．【答案】【分析】本題主要考查平行線分線段成比例定理，熟練掌握平行線分線段成比例定理是解題的關鍵．根據(jù)平行線分線段成比例定理求解即可．【詳解】解：，，，，，，解得：，．故答案為：．7．（2023·安徽宿州·一模）如圖，在中，平分，過點A作交于點H，且H是的中點．若，則的長為．【答案】【分析】本題考查了平行線分線段成比例定理，三角形的中位線，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及勾股定理等知識，作交于點K，由平行線分線段成比例定理可證，根據(jù)勾股定理求出的長，進而可求出的長．【詳解】解：作交于點K，∴，．∵H是的中點，∴，∴，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴．故答案為：．考向二：相似三角形判定與性質(zhì)【題型4相似三角形的性質(zhì)】相似三角形的性質(zhì)：對應邊成比例、對應角相等、對應邊上的“三線”之比=相似比、對應面積之比=相似比的平方、對應周長之比=相似比。另外，相似三角形之前還有有關平行線分線段成比例的基本性質(zhì)的考察。1．（2025·河南開封·一模）如果兩個相似三角形的對應邊之比是．那么它們的面積之比是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)，掌握相似三角形的對應邊的比等于相似比、相似三角形的面積的比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，相似三角形的面積的比等于相似比的平方解答即可．【詳解】解：∵相似三角形的面積之比等于相似比的平方，∵兩個相似三角形的相似比是，∴它們的面積的比是，故選：D．2．（2025·重慶·模擬預測）如圖，與位似，點O為位似中心，已知，的面積為8，則的面積為（

）A．8 B．12 C．18 D．24【答案】C【分析】本題考查了位似變換，利用位似的性質(zhì)得到，所以，然后根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求解．【詳解】解：∵與位似，點O為位似中心，∴，∴，∵，∴，∴．故選：C．3．（2025·河北邯鄲·一模）嘉嘉的作業(yè)紙不小心被撕毀了（如圖所示），已知．測得，，的面積為，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了相似三角形的性質(zhì)．根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：∵，∴，∵，，的面積為，∴，∴的面積為．故選：B．4．（2025·重慶·模擬預測）如圖，與位似，點O為位似中心，若，則的長為（

）A．15 B．20 C．10 D．5【答案】C【分析】本題主要考查了位似變換、相似三角形的性質(zhì)等知識點，掌握相似三角形的對應邊的比等于相似比是解題的關鍵．根據(jù)位似圖形的性質(zhì)可得且相似比為，然后由相似三角形對應邊的比等于相似比解答即可．【詳解】解：∵，∴．∵與位似，點O為位似中心，∴且，∴，∵，∴．故選：C．5．（2024·四川成都·模擬預測）如圖，D，E分別是的邊，上的點，，若，則的值為（

）

A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握等高不同底的三角形的面積的比等于底的比與三角形的面積比等于相似比的平方是解決問題的關鍵．由，得到，于是得到，根據(jù)，推出，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結論．【詳解】解：故選：D．【題型5相似三角形的判定】重點記“AA”與“SAS”類型，小題勿忘“SSS”類型；相似三角形的判定方法中，最常用的是有兩個角對應相等的兩個三角形相似，其次是對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似。三邊對應成比例的兩個三角形相似不長出現(xiàn)，但是個別小題，特別是和網(wǎng)格結合的問題小題中，也是有出現(xiàn)幾率的。1．（2025·湖南長沙·一模）如圖，下列條件不能判定的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了相似三角形的判定，根據(jù)相似三角形的判定的判定方法即可得出答案，掌握相似三角形的判定方法是解題的關鍵．【詳解】解：、∵，∴，故選項不符合題意；、∵，∴，故選項不符合題意；、∵，∴，又∵，∴，故選項不符合題意；、對應邊不成比例，不能判定，故選項符合題意．故選：．2．（2023·山東·中考真題）（1）如圖1，在矩形中，點，分別在邊，上，，垂足為點．求證：．

【問題解決】（2）如圖2，在正方形中，點，分別在邊，上，，延長到點，使，連接．求證：．【類比遷移】（3）如圖3，在菱形中，點，分別在邊，上，，，，求的長．【答案】（1）見解析

（2）見解析

（3）3【分析】（1）由矩形的性質(zhì)可得，則，再由，可得，則，根據(jù)等角的余角相等得，即可得證；（2）利用“”證明，可得，由，可得，利用“”證明，則，由正方形的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可得證；（3）延長到點，使，連接，由菱形的性質(zhì)可得，，則，推出，由全等的性質(zhì)可得，，進而推出是等邊三角形，再根據(jù)線段的和差關系計算求解即可．【詳解】（1）證明：四邊形是矩形，，，，，，，；（2）證明：四邊形是正方形，，，，，，，又，，點在的延長線上，，，，，，；（3）解：如圖，延長到點，使，連接，

四邊形是菱形，，，，，，，，，是等邊三角形，，．【點睛】本題是四邊形綜合題，主要考查了矩形的性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握這些知識點并靈活運用是解題的關鍵．3．（2025·廣東廣州·模擬預測）如圖，中，，是邊上的高，求證：．【答案】見解析【分析】本題考查了相似三角形的判定，垂直的定義，余角的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定定理是解題的關鍵．根據(jù)垂直的定義得到，根據(jù)余角的性質(zhì)得到，由相似三角形的判定定理即可得到結論．【詳解】證明：∵，∴，∵是邊上的高，∴，∴，∴，∴．4．（2025·上海徐匯·一模）在矩形中連接，過點D作的垂線交于E，于F．(1)證明：；(2)若，，連接，求的值．【答案】(1)見解析(2)【分析】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)．（1）由矩形的性質(zhì)得，再由垂直得，由角的等量代換推出，即可得出結論；（2）先證明得，進而得，再由平行得，，最后由可得答案．【詳解】（1）證明：∵是矩形，∴，∵于點E，∴，∴，，∴，即，∴；（2）解：如圖，∵，∴，由（1），∴，∴，∴，∵，，∴（負值舍去），∵是矩形，∴，∴，∴，∴．5．（2025·湖北·一模）（1）如圖1，在中，于點H，求證：；（2）如圖2，已知，E為上一點，且，若，求的值；（3）如圖3，在四邊形中，，，E為邊上一點，且，求的值．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，利用前面探索的結論和方法解決新問題是解題的關鍵．（1）利用同角的余角相等得，即可證明結論；（2）過點A作于點F，利用兩個角相等證明，得，從而得出答案；（3）過點A作于點H，延長相交于點N，設，則首先證明，得再根據(jù)，得最后根據(jù)進而解決問題．【詳解】解：（1）證明：∵，∴，∴，∴；（2）過點A作于點F，則，∵，∴．∵，∴，∴，∴，∴．又∵，∴，∴．（3）過點A作于點H，延長相交于點N．∵，∴．設，則．∵，∴，∴．又∵，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴，∴，∴．考向三：相似三角形的應用【題型6相似三角形的應用】相似三角形在實際生活中的應用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見題目類型：1.利用投影、平行線、標桿等構造相似三角形求解2.測量底部可以到達的物體的高度3.測量底部不可以到達的物體的高度4.測量河的寬度1．（2024·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，小杰從燈桿的底部點B處沿水平直線前進到達點C處，他在燈光下的影長米，然后他轉身按原路返回到點B處，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是（

）A．4.5米 B．4米 C．3.5米 D．2.5米【答案】D【分析】本題考查相似三角形的應用舉例，設回過程中小杰身高為，連接并延長交于點G，根據(jù)題意得到，證明，得到，由推出，即可得出結論．【詳解】解：設回過程中小杰身高為，連接并延長交于點G，根據(jù)題意得到，，，，，，米，，返回過程中小杰在燈光下的影長可以是2.5米，故選：D．2．（2025·山東東營·一模）如圖所示，在洞孔成像問題中，已知玻璃棒AB與它的物像平行，已知玻璃棒厘米，根據(jù)圖中給定的尺寸，那么它的物像的長是（

）厘米A．5 B．6 C．8 D．4【答案】D【分析】本題主要考查了三角形的相似，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算答案即可；【詳解】解：由題易得：,∴=相似三角形的對應高之比，又，∴，故選：D3．（2024·四川自貢·中考真題）為測量水平操場上旗桿的高度，九（2）班各學習小組運用了多種測量方法．

(1)如圖1，小張在測量時發(fā)現(xiàn)，自己在操場上的影長恰好等于自己的身高．此時，小組同學測得旗桿的影長為，據(jù)此可得旗桿高度為________m；(2)如圖2，小李站在操場上E點處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測到旗桿頂部A．小組同學測得小李的眼睛距地面高度，小李到鏡面距離，鏡面到旗桿的距離．求旗桿高度；(3)小王所在小組采用圖3的方法測量，結果誤差較大．在更新測量工具，優(yōu)化測量方法后，測量精度明顯提高，研學旅行時，他們利用自制工具，成功測量了江姐故里廣場雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點始終處于同一水平線上．如圖5，在支架上端P處，用細線系小重物Q，標高線始終垂直于水平地面．如圖6，在江姐故里廣場上E點處，同學們用注水管確定與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點，并標記觀測視線與標高線交點C，測得標高，．將觀測點D后移到處，采用同樣方法，測得，．求雕塑高度（結果精確到）．【答案】(1)(2)旗桿高度為；(3)雕塑高度為．【分析】本題考查平行投影，相似三角形的應用．（1）根據(jù)同一時刻物高與影長對應成比例，進行求解即可；（2）根據(jù)鏡面反射性質(zhì)，可求出，得出，最后根據(jù)三角形相似的性質(zhì)，即可求出答案；（3），由題意得：，，利用相似三角形的性質(zhì)列出式子，計算即可求解．【詳解】（1）解：由題意得，由題意得：，∴，故答案為：；（2）解：如圖，由題意得，，根據(jù)鏡面反射可知：，，，，，，即，，答：旗桿高度為；（3）解：設，由題意得：，，∴，，即，，∴，整理得，解得，經(jīng)檢驗符合他∴，答：雕塑高度為．4．（2023·四川攀枝花·中考真題）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術珍品．某數(shù)學興趣小組決定采用我國古代數(shù)學家趙爽利用影子對物體進行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為，選取與塔底在同一水平地面上的、兩點，分別垂直地面豎立兩根高為的標桿和，兩標桿間隔為，并且東塔、標桿和在同一豎直平面內(nèi)．從標桿后退到處（即），從處觀察點，、、在一直線上；從標桿后退到處（即），從處觀察A點，A、、三點也在一直線上，且、、、、在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔的高度．

【答案】36m【分析】設，則，通過證明，得到，即，同理得到，則可建立方程，解方程即可得到答案．【詳解】解：設，則∵，，∴，∴，∴，即，同理可證，∴，即，∴，解得，經(jīng)檢驗，是原方程的解，∴，∴，∴該古建筑的高度為36m．【點睛】本題主要考查了相似三角形的應用，利用相似三角形的性質(zhì)建立方程是解題的關鍵．5．（2025·陜西咸陽·一模）某校初三學生開展主題為“測量校園涼亭高度的方案設計”的數(shù)學綜合與實踐活動．甲、乙、丙三位同學制作出一個簡易測高儀．取兩根小木條釘在一起，使它們互相垂直，其中木條AB長，木條長，長（接頭處忽略不計）．為了便于校正豎直位置，在點B處懸掛一個鉛垂，這樣就制作出一個簡易測高儀．任務：測量校園內(nèi)涼亭的高度（涼亭頂端M與底部N的距離）．工具：簡易測高儀、卷尺．實踐活動實踐操作甲手持測高儀，C端朝上D端朝下，從測高儀的，點A經(jīng)過點C望向涼亭頂端M，調(diào)整人到?jīng)鐾さ木嚯x，使得點M與點C，A恰好在一條直線上，然后標記鉛垂線的下端剛好接觸地面的點E的位置，如示意圖所示．示意圖獲取數(shù)據(jù)乙負責測量，得到點B到地面的垂直距離．解決問題利用得到的數(shù)據(jù)求出涼亭的高度．【答案】【分析】本題考查相似三角形的應用，先證明，得出，求出，進而可得出答案．【詳解】解：由題意知，四邊形是矩形，，．．．，．．．．這個涼亭的高度為6．（2025·湖南長沙·一模）小明晚上在路燈下的示意圖如下，線段表示直立的燈桿，燈泡在其上端某處，線段表示一棵樹，線段表示它在地面上的影子，線段表示小明．(1)請確定燈泡所在的位置，并畫出小明站在處的影子；(2)若小明的身高，當小明離燈桿的距離時，影子長為，求燈泡離地面的高度．【答案】(1)見解析(2)燈泡離地面的高度為【分析】本題考查投影，相似三角形的應用．（1）連接并延長，與的交點即為點P，連接并延長交地面于點Q，即為的影子；（2）證明，根據(jù)對應邊成比例列方程，即可求解．【詳解】（1）解：如圖，點為燈泡，線段為小明的影子．（2）解：∵，∴，∴，即，∴，∴燈泡離地面的高度為．7．（2025·陜西西安·一模）學習完銳角三角函數(shù)知識后，雷瑩老師組織學生開展測量物體高度的實踐活動，格格所在小組的任務為測量校園里一棵樹的高度，由于有圍欄保護，他們無法到達樹的底部．于是，格格所在小組經(jīng)過討論后決定利用平面鏡和測傾器進行實地測量，并完成了如下的測量報告：課題測量樹的高度測量工具平面鏡、測傾器和皮尺測量示意圖及說明說明：D、C、B、F四點共線，、均垂直于；平面鏡放置于C處，且大小忽略；測傾器放置于F處，且高度忽略．測量過程及相關數(shù)據(jù)格格站在D處，恰好可以通過平面鏡看到樹的頂端A，格格眼睛與地面高度米，格格到平面鏡的距離米，平面鏡到測傾器的距離為米，測得，參考數(shù)據(jù)請你根據(jù)以上測量報告，求樹的高度．【答案】8米【分析】本題考查了解直角三角形的應用，相似三角形的應用，熟練掌握銳角三角函數(shù)的定義，以及相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)垂直定義可得，然后設米，則米，在中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，再根據(jù)題意可得：，從而證明，進而利用相似三角形的性質(zhì)進行計算．【詳解】解：由題意可得，，，∴，設米，∵米，∴米，在中，，∴（米），又∵，∴，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗是原分式方程的解，∴（米）∴樹的高度約為8米．8．（2024·廣東·模擬預測）九年級（1）班課外活動小組想利用標桿測量佛山千燈湖市民廣場醒獅雕塑的高度，見圖（醒獅雕塑線條圖）．已知點A，C，E在同一直線上，標桿高度，標桿與雕塑的水平距離，人的眼睛與地面的高度，人與標桿的水平距離，求醒獅雕塑的高度．【答案】12.8米【分析】本題考查了相似三角形的應用，利用三角形相似中的比例關系，首先由題目和圖形可看出，求的長度分成了2個部分，和部分，其中，剩下的問題就是求的長度，利用，得出，把相關條件代入即可求得的長度即可．【詳解】如圖所示，設線段與線段交于點G．∵，∴，四邊形、是矩形，∴，∵，∴，，∵，，∴，，∴，∴，∴答：醒獅雕塑的高度為．9．（2024·陜西咸陽·模擬預測）【學科融合】如圖1，在反射現(xiàn)象中，反射光線，入射光線和法線都在同一個平面內(nèi)；反射光線和入射光線分別位于法線兩側；反射角r等于入射角i．這就是光的反射定律．【解決問題】阿房宮遺址被聯(lián)合國確定為世界上最大的宮殿基址，屬于世界奇跡．上天臺是阿房宮殿祭祀天神的建筑物，重現(xiàn)的上天臺，是根據(jù)有關史料營造．如圖2，小江和小海兩位同學想利用學過的知識來測量上天臺的高度．一天，他們帶著測量工具來到上天臺前，但由于整體規(guī)劃的原因，無法到達上天臺底部B．于是小江在地面上的點C處放置了一個平面鏡，小海從C處出發(fā)沿著方向移動，當移動到點E處時，恰好在平面鏡內(nèi)看到上天臺的頂端A的像，此時，測得，小海眼睛到地面的距離為1.6m；然后，小江沿方向移動到點G，用測角儀測得上天臺頂端A的仰角為，此時，測得，測角儀的高度也為1.6m．已知點B，G，C，E在同一水平直線上，且均垂直于，求該上天臺的高度．【答案】該上天臺的高度為19.8米【分析】本題考查解直角三角形的應用，相似三角形的應用，過點F作于點H，解，得到，設，證明，列出比例式，求出的值，進一步求出的長即可．【詳解】解：如圖，過點F作于點H，則，，在中，，∴．設，根據(jù)題意得，，∵，∴，∴，∴，解得，∴，答：該上天臺的高度為19.8米．【題型7位似變換】位似圖形滿足的條件：①所有經(jīng)過對應點的直線都相交于同一點（該點叫做位似中心）；②這個交點到兩個對應點的距離之比都相等（這個比值叫做位似比）1．（2023·河南洛陽·二模）如圖，在平面直角坐標系中，已知點，以原點為位似中心，將擴大為原來的4倍，則點的對應點的坐標是（

）A． B．C．或 D．或【答案】D【分析】直接利用位似圖形的性質(zhì)得出對應點坐標即可．此題主要考查了位似變換，正確掌握位似圖形的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：∵點，以原點O為位似中心，將擴大為原來的4倍，∴，∴點A的對應點的坐標在第一象限時，即點A的對應點的坐標是∴點A的對應點的坐標在第三象限時，即點A的對應點的坐標是，故選：D．2．（2025·河南安陽·一模）如圖，已知線段的兩個端點坐標分別為，，以原點為位似中心在第一象限內(nèi)畫線段，若，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了坐標平面內(nèi)的位似變換，掌握在平面直角坐標系中以原點為位似中心的坐標變化規(guī)律是解題的關鍵．根據(jù)在平面直角坐標系中，以原點為位似中心的位似變換的相似比為，那么位似圖形對應點的坐標的比等于或即可解答．【詳解】解：∵，，∴，∵，∴，∵以原點為位似中心，線段在第一象限內(nèi)的位似圖形為線段，∴線段和線段的位似比為，∴點坐標為，即，故選：．3．（2025·浙江溫州·模擬預測）如圖，，是上的點，，是外的點，和是位似圖形，位似中心為點，點，對應點是點，，交于點，若，，則的長為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】本題考查位似圖形的性質(zhì)，圓的性質(zhì)，熟練掌握位似圖形的對應邊成比例相等是解題的關鍵．利用位似圖形得出，再結合，，得出，即可求解．【詳解】解：∵和是位似圖形，位似中心為點，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，解得：，故選：A．4．（2025·廣西·模擬預測）如圖，在平面直角坐標系中，與是位似圖形，位似中心為點．若點的對應點為，則點的對應點的坐標為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查的是位似變換，根據(jù)點A與點的坐標求出相似比，再根據(jù)位似變換的性質(zhì)計算即可．【詳解】解：∵與是位似圖形，位似中心為點O，點的對應點為，∴與的相似比為，∵點B的坐標為，∴點B的對應點的坐標為，即，故選：B．5．（2024·云南昆明·模擬預測）如圖與關于點A成位似圖形，若他們的位似比為，則與的面積比為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查的是位似圖形的概念和性質(zhì)，掌握位似圖形的概念、相似多邊形的面積比等于相似比的平方是解題的關鍵．根據(jù)位似圖形的概念得到與相似，根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)計算，得到答案．【詳解】解：∵與關于點A成位似圖形，他們的位似比為，∴與相似，他們的相似比為，∴與的面積比為，故選：A．6．（2025·遼寧沈陽·一模）如圖，原點是和的位似中心，點與點是對應點，的面積是，則的面積是．【答案】12【分析】本題考查了位數(shù)圖形的性質(zhì)，掌握面積比等于位似比的平方是解題的關鍵．根據(jù)題意，可得位數(shù)比為，再根據(jù)位數(shù)圖形的面積比等于相似比的平方即可求解．【詳解】解：原點是和的位似中心，點與點，∴，∴，∴，∴，故答案為：12．7．（2024·浙江嘉興·一模）如圖，在直角坐標系中，，，以為位似中心，把按相似比放大，放大后的圖形記作，則點的坐標為．【答案】【分析】此題考查了位似圖形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握位似的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)定理是解題的關鍵．過點作軸于點，由，，可得，，根據(jù)位似圖形的性質(zhì)得到，推出，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可求出，，進而求出，即可求解．【詳解】解：如圖，過點作軸于點，，，，，以為位似中心，把按相似比放大，放大后的圖形記作，，，，，，，，，，，，故答案為：．8．（2024·吉林·模擬預測）如圖，以點O為位似中心，作的位似圖形．已知的面積為3，，則的面積為．【答案】27【分析】此題主要考查了位似變換，正確得出面積比與相似比的關系是解題關鍵．直接利用相似三角形的性質(zhì)，面積比等于相似比的平方，進而得出答案．【詳解】解：由題意，，，∴，∵的面積為3，∴的面積為：27．故答案為：27．9．（2024·陜西西安·模擬預測）與的半徑分別為R、r，如果在直線取一點P，使，那么稱與關于點P位似，P叫作位似中心，k叫作與的位似比（規(guī)定：同心圓關于圓心位似）．(1)如圖①，已知和點P，畫，使與關于點P位似，且與的位似比為；(2)如圖②，已知和關于點P位似，直線l經(jīng)過點P且與相切，切點為A，請判斷直線l與的位置關系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)直線l是的切線，理由見解析【分析】本題主要考查了畫位似圖形，切線的性質(zhì)與判定，相似三角形的性質(zhì)與判定：（1）根據(jù)題意可得，，據(jù)此作圖即可；（2）連接，作于點C，設和的半徑分別為．由切線的性質(zhì)得到，則可證明，得到，再由和的關于點P位似，得到，則，據(jù)此可證明直線l是的切線．【詳解】（1）解：如圖所示，和即為所求；由題意得，，由，得到，；（2）解：直線l是的切線，理由如下：如圖，連接，作于點C，設和的半徑分別為．∵直線l是的切線，∴，，∴，∵，∴，∴，∵和的關于點P位似，∴，∴，∵，是的半徑，∴直線l是的切線．（建議用時：30分鐘）一、單選題1．（2025·陜西咸陽·一模）如圖，在中，點O是邊上一點，連接并延長，交的延長線于點E．若，，則的長為（

）A．9 B．12 C．15 D．18【答案】D【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形對應邊成比例是解題關鍵．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)推出，得到，求出的長，即可求解．【詳解】解：四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，故選：D．2．（2025·山東·一模）如圖，中，的平分線交于點，交的延長線于點，若，，則的長為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)，等角對等邊，相似三角形的判定和性質(zhì)，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)，結合角平分線的定義，推出，進而求出的長，證明，列出比例式進行求解即可．【詳解】解：∵，∴，∴，∵的平分線交于點，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴；故選：A．3．（2025·江蘇宿遷·一模）如圖，的中位線，把沿折疊，使點A落在邊上的點F處，若A、F兩點間的距離是，則的面積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對稱軸垂直平分對應點連線，可得即是的高，再由中位線的性質(zhì)求出，繼而可得的面積，然后根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)定理即可得到結論．本題考查了翻折變換折疊問題，三角形中位線定理，三角形的面積，相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題的關鍵．【詳解】解：是的中位線，，．由折疊的性質(zhì)可得：，，，，，，，．故選：B．4．（2024·遼寧沈陽·一模）如圖，在正方形中，G為邊中點，連接并延長交邊的延長線于點E，對角線交于點F．已知，則線段的長度為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】D【分析】本題考查正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；本題先判定，再根據(jù)“相似三角形的對應邊成比例”求得，從而得到，再判定，根據(jù)“全等三角形的對應邊相等”得到，最后求出結果即可．【詳解】解：四邊形是正方形，，，，，，，，為邊中點，，，，，，，，，，，，，故選：D．5．（2024·安徽亳州·模擬預測）如圖，是的中線，點F在上，延長交于點D，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，正確作出輔助線、構造相似三角形是解題的關鍵．過點E作交于G，先利用三角形的中線的定義得到，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，由得到，最后由相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：如圖：過點E作交于G，∵是的中線，∴，如圖：過點E作交于G，∴，，∴，∴，∴．∵，∴，∵，∴，，∴，∴，∴，∴．故選：C．6．（2023·浙江杭州·三模）如圖，在中，點分別在和上，，為邊上一點，連接交于點，若，則下列選項不成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】本題考查面積比，相似三角形判定及性質(zhì)．根據(jù)題意證明，再利用性質(zhì)逐一對選項進行判斷即可得到本題答案．【詳解】解：∵，∴，∴，即A成立，∵，∴，∴，∴，即B成立，∵，∴，∵，∴設，則，∴，∴，即C不成立，∵，∴設，則，∴，∴，即D成立，故選：C．7．（2024·安徽宣城·模擬預測）如圖，是的中線，于點，且，則的長為（

）A．13 B．11 C．8 D．6【答案】C【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、矩形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)求線段長是解答的關鍵．先證明求得，則，過A作于F，證明四邊形是矩形得到，，在中利用勾股定理求解即可．【詳解】解：∵是的中線，∴，∵，，，∴，，∴，∴，∵，，∴，解得，則，過A作于F，則，∴四邊形是矩形，∴，，在中，，∴，故選：C．8．（2024·福建泉州·模擬預測）如圖，在中，，，，為上一點，且滿足，為的中點，連接交于點，則的面積為（

）

A．6 B．8 C．10 D．12【答案】C【分析】本題考查了三角形中位線的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角形中線的性質(zhì)，連接，先利用等腰三角形的性質(zhì)證明點為的中點，可得為的中位線，進而得，，即得，得到，再根據(jù)已知可得，進而由中線性質(zhì)得到，再由即可得到，由得到是解題的關鍵．【詳解】解：連接，

∵，，，，，，點為的中點∵為中點，∴為的中位線，∴，，∴，∴，∵，，∴，∴，∵，∴，∴，故選：C．二、填空題9．（2024·江蘇揚州·中考真題）物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現(xiàn)圖像投影的方法．如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）經(jīng)小孔在屏幕（豎直放置）上成像．設，．小孔到的距離為，則小孔到的距離為．【答案】【分析】此題主要考查了相似三角形的應用，由題意得，，過作于點，交于點，利用已知得出，進而利用相似三角形的性質(zhì)求出即可，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題關鍵．【詳解】由題意得：，∴，如圖，過作于點，交于點，∴，，∴，即，∴（），即小孔到的距離為，故答案為：．10．（2025·黑龍江哈爾濱·一模）如圖，鐵道口的欄桿短臂長米，長臂