二輪復習專題三角函數(shù)和解三角形導學案

專題二三角函數(shù)和解三角形【知識網(wǎng)絡(luò)構(gòu)建】【重點知識整合】一、三角恒等變換與三角函數(shù)1.三角函數(shù)中常用的轉(zhuǎn)化思想及方法技巧:(1)方程思想:,,三者中,知一可求二;(2)“1”的替換:;(3)切弦互化:弦的齊次式可化為切；(4)角的替換:,;(5)公式變形:,,;(6)構(gòu)造輔助角(以特殊角為主):.二、解三角形1．正弦定理已知在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，則eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R(R為三角形外接圓的半徑)．2．余弦定理已知在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，則a2＝b2＋c2－2bccosA，cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，另外兩個同樣．3．面積公式已知在△ABC中，a，b，c分別為內(nèi)角A、B、C的對邊，則(1)三角形的面積等于底乘以高的eq\f(1,2)；(2)S＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)(其中R為該三角形外接圓的半徑)；(3)若三角形內(nèi)切圓的半徑是r，則三角形的面積S＝eq\f(1,2)(a＋b＋c)r；(4)若p＝eq\f(a＋b＋c,2)，則三角形的面積S＝eq\r(pp－ap－bp－c).【高頻考點突破】【變式探究】已知角θ的頂點與原點重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊在直線y＝2x上，則cos2θ＝ ()A．－eq\f(4,5)B．－eq\f(3,5)C.eq\f(3,5) D.eq\f(4,5)【方法技巧】1．用三角函數(shù)定義求三角函數(shù)值有時反而更簡單；2．同角三角函數(shù)間的關(guān)系、誘導公式在三角函數(shù)式的化簡中起著舉足輕重的作用，應(yīng)注意正確選擇公式、注意公式的應(yīng)用條件.考點二三角函數(shù)的性質(zhì)三角函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：y＝sinx的遞增區(qū)間是[2kπ－eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)，遞減區(qū)間是[2kπ＋eq\f(π,2)，2kπ＋eq\f(3π,2)](k∈Z)；y＝cosx的遞增區(qū)間是[2kπ－π，2kπ](k∈Z)，遞減區(qū)間是[2kπ，2kπ＋π](k∈Z)；y＝tanx的遞增區(qū)間是(kπ－eq\f(π,2)，kπ＋eq\f(π,2))(k∈Z)．例2、已知a＝(sinx，－cosx)，b＝(cosx，eq\r(3)cosx)，函數(shù)f(x)＝a·b＋eq\f(\r(3),2).(1)求f(x)的最小正周期，并求其圖像對稱中心的坐標；(2)當0≤x≤eq\f(π,2)時，求函數(shù)f(x)的值域．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)，若f(x)≤|f(eq\f(π,6))|對x∈R恒成立，且f(eq\f(π,2))>f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是 ()A．[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)B．[kπ，kπ＋eq\f(π,2)](k∈Z)C．[kπ＋eq\f(π,6)，kπ＋eq\f(2π,3)](k∈Z)D．[kπ－eq\f(π,2)，kπ](k∈Z)考點三函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像及變換函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像：(1)“五點法”作圖：設(shè)z＝ωx＋φ，令z＝0，eq\f(π,2)，π，eq\f(3π,2)，2π，求出x的值與相應(yīng)的y的值，描點、連線可得．(2)圖像變換：y＝sinxeq\o(→,\s\up17(向左φ>0或向右φ<0),\s\do15(平移|φ|個單位))y＝sin(x＋φ)y＝sin(ωx＋φ)eq\o(→,\s\up17(縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁A>0倍),\s\do15(橫坐標不變))y＝Asin(ωx＋φ)．例3、已知函數(shù)f1(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<eq\f(π,2))的一段圖像經(jīng)過點(0,1)，如圖所示．(1)求f1(x)的表達式；(2)將函數(shù)f1(x)的圖像向右平移eq\f(π,4)個單位長度得到函數(shù)f2(x)的圖像，求y＝f1(x)＋f2(x)的最大值，并求出此時自變量x的集合．【變式探究】已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx＋φ)(ω>0，|φ|<eq\f(π,2))，y＝f(x)的部分圖像如圖，則f(eq\f(π,24))＝ ()A．2＋eq\r(3)B.eq\r(3)C.eq\f(\r(3),3) D．2－eq\r(3)考點四三角變換及求值三角函數(shù)求值有以下類型：(1)“給角求值”，即在不查表的前提下，通過三角恒等變換求三角函數(shù)式的值；(2)“給值求值”，即給出一些三角函數(shù)值，求與之有關(guān)的其他三角函數(shù)式的值；(3)“給值求角”，即給出三角函數(shù)值，求符合條件的角．例1、已知函數(shù)f(x)＝2sin(eq\f(1,3)x－eq\f(π,6))，x∈R.(1)求f(0)的值；(2)設(shè)α，β∈[0，eq\f(π,2)]，f(3α＋eq\f(π,2))＝eq\f(10,13)，f(3β＋2π)＝eq\f(6,5).求sin(α＋β)的值．【變式探究】已知：cos(2α－β)＝－eq\f(11,14)，sin(α－2β)＝eq\f(4\r(3),7)，0<β<eq\f(π,4)<α<eq\f(π,2)，則α＋β的值為________．考點五正、余弦定理的應(yīng)用【變式探究】△ABC中，B＝120°，AC＝7，AB＝5，則△ABC的面積為________．考點六解三角形與實際應(yīng)用問題在實際生活中，測量底部不可到達的建筑物的高度、不可到達的兩點的距離及航行中的方位角等問題，都可通過解三角形解決．例6、如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點．現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/小時，該救援船到達D點需要多長時間？【難點探究】難點一簡單的三角恒等變換例1、(1)若0<α<eq\f(π,2)，－eq\f(π,2)<β<0，cos（eq\f(π,4)＋α）＝eq\f(1,3)，cos（eq\f(π,4)－eq\f(β,2)）＝eq\f(\r(3),3)，則cos（α＋eq\f(β,2)）＝()A.eq\f(\r(3),3)B．－eq\f(\r(3),3)C.eq\f(5\r(3),9)D．－eq\f(\r(6),9)(2)已知sinα＝eq\f(1,2)＋cosα，且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，則eq\f(cos2α,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,4))))的值為________．【點評】在進行三角恒等變換時，一個重要的技巧是進行角的變換，把求解的角用已知角表示出來，把求解的角的三角函數(shù)使用已知的三角函數(shù)表示出來，常見的角的變換有，把eq\f(π,2)＋2α變換成2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋α))，α＝(α＋β)－β＝(α－β)＋β，2α＝(α＋β)＋(α－β)，2α＝(β＋α)－(β－α)，α＋β＝2·eq\f(α＋β,2)，eq\f(α＋β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)－β))等；在進行三角函數(shù)化簡或者求值時，如果求解目標較為復雜，則首先要變換這個求解目標，使之簡化，以便看出如何使用已知條件．難點二三角函數(shù)的圖象例2(1)已知函數(shù)f(x)＝Atan(ωx+φ)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ω＞0，|φ|＜\f(π,2)))，y＝f(x)的部分圖象如圖所示，則feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,24)))＝________.(2)要得到函數(shù)y＝cos（2x＋eq\f(π,3)）的圖象，只需將函數(shù)y＝eq\f(1,2)sin2x＋eq\f(\r(3),2)cos2x的圖象()A．向左平移eq\f(π,8)個單位B．向右平移eq\f(π,2)個單位C．向右平移eq\f(π,3)個單位D．向左平移eq\f(π,4)個單位難點三三角函數(shù)的性質(zhì)例3已知函數(shù)f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ為實數(shù)，若f(x)≤eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)))))對x∈R恒成立，且feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)))>f(π)，則f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,3)，kπ＋\f(π,6)))(k∈Z)B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ，kπ＋\f(π,2)))(k∈Z)C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ＋\f(π,6)，kπ＋\f(2π,3)))(k∈Z)D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(kπ－\f(π,2)，kπ))(k∈Z)【規(guī)律方法】1．根據(jù)三角函數(shù)的圖象求解函數(shù)的解析式時，要注意從圖象提供的信息確定三角函數(shù)的性質(zhì)，如最小正周期、最值，首先確定函數(shù)解析式中的部分系數(shù)，再根據(jù)函數(shù)圖象上的特殊點的坐標適合函數(shù)的解析式確定解析式中剩余的字母的值，同時要注意解析式中各個字母的范圍．2．進行三角函數(shù)的圖象變換時，要注意無論進行的什么樣的變換都是變換的變量本身，特別在平移變換中，如果這個變量的系數(shù)不是1，在進行變換時變量的系數(shù)也參與其中，如把函數(shù)y＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,4)))的圖象向左平移eq\f(π,12)個單位時，得到的是函數(shù)y＝sineq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(π,12)))＋\f(π,4)))＝sin2x＋eq\f(5π,12)的圖象．3．解答三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)類的試題，變換是其中的核心，把三角函數(shù)的解析式通過變換，化為正弦型、余弦型、正切型函數(shù)，然后再根據(jù)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的性質(zhì)進行研究．難點四正余弦定理的應(yīng)用例4、(1)在△ABC中，若b＝5，∠B＝eq\f(π,4)，sinA＝eq\f(1,3)，則a＝________.(2)在△ABC中，sin2A≤sin2B＋sin2C－sinBsinC，則A的取值范圍是()Aeq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,6)))B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,6)，π))C.eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))難點五函數(shù)的圖象的分析判斷例5、在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c.已知eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2c－a,b).(1)求eq\f(sinC,sinA)的值；(2)若cosB＝eq\f(1,4)，b＝2，求△ABC的面積S.【點評】本題的難點是變換eq\f(cosA－2cosC,cosB)＝eq\f(2c－a,b)時，變換方向的選取，即是把角的函數(shù)轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，還是把邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，從已知式的結(jié)構(gòu)上看，把其中三個內(nèi)角的余弦轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系是較為復雜的，而根據(jù)正弦定理把其中邊的關(guān)系轉(zhuǎn)化為角的正弦，則是較為簡單的，在含有三角形內(nèi)角的三角函數(shù)和邊的混合關(guān)系式中要注意變換方向的選擇．正弦定理、余弦定理、三角形面積公式本身就是一個方程，在解三角形的試題中方程思想是主要的數(shù)學思想方法，要注意從方程的角度出發(fā)分析問題．探究點六解三角形的實際應(yīng)用例6、如圖6－1，漁政船甲、乙同時收到同一片海域上一艘漁船丙的求救信號，此時漁船丙在漁政船甲的南偏東40°方向距漁政船甲70km的C處，漁政船乙在漁政船甲的南偏西20°方向的B處，兩艘漁政船協(xié)調(diào)后立即讓漁政船甲向漁船丙所在的位置C處沿直線AC航行前去救援，漁政船乙仍留在B處執(zhí)行任務(wù)，漁政船甲航行30km到達D處時，收到新的指令另有重要任務(wù)必須執(zhí)行，于是立即通知在B處執(zhí)行任務(wù)的漁政船乙前去救援漁船丙(漁政船乙沿直線BC航行前去救援漁船丙)，此時B、D兩處相距42km，問漁政船乙要航行多少千米才能到達漁船丙所在的位置C處實施營救？【變式探究】如圖6－2，某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)在北偏東45°距A處8海里處有一走私船，正沿南偏東75°的方向以12海里/小時的速度向我岸行駛，巡邏艇立即以12eq\r(3)海里/小時的速度沿直線追擊，問巡邏艇最少需要多長時間才能追到走私船？并指出巡邏艇航行方向．圖6－2【規(guī)律技巧】1．使用正弦定理能夠解的三角形有兩類，一類是已知兩邊及其中一邊的對角，一類已知一邊和兩個內(nèi)角(實際就是已知三個內(nèi)角)，其中第一個類型也可以根據(jù)余弦定理列出方程求出第三邊，再求內(nèi)角．在使用正弦定理求三角形內(nèi)角時，要注意解的可能情況，判斷解的情況的基本依據(jù)是三角形中大邊對大角．2．當已知三角形的兩邊和其中一個邊的對角求解第三邊時，可以使用正弦定理、也可以使用余弦定理，使用余弦定理就是根據(jù)余弦定理本身是一個方程，這個方程聯(lián)系著三角形的三個邊和其中的一個內(nèi)角．3．正弦定理揭示了三角形三邊和其對角正弦的比例關(guān)系，余弦定理揭示了三角形的三邊和其中一個內(nèi)角的余弦之間的關(guān)系．【歷屆高考真題】【20XX年高考試題】一、選擇題1.【2012高考真題重慶理5】設(shè)是方程的兩個根，則的值為（A）-3（B）-1（C）1（D）33.【2012高考真題新課標理9】已知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.則的取值范圍是（）4.【2012高考真題四川理4】如圖，正方形的邊長為，延長至，使，連接、則（）A、B、C、D、7.【2012高考真題遼寧理7】已知，(0，π)，則=(A)1(B)(C)(D)18.【2012高考真題江西理4】若tan+=4,則sin2=A．B.C.D.9.【2012高考真題湖南理6】函數(shù)f（x）=sinx-cos(x+)的值域為A．[-2,2]B.[-,]C.[-1,1]D.[-,]10.【2012高考真題上海理16】在中，若，則的形狀是（）A．銳角三角形B．直角三角形C．鈍角三角形D．不能確定13.【2012高考真題全國卷理7】已知α為第二象限角，，則cos2α=(A)（B）(C)(D)二、填空題14.【2012高考真題湖南理15】函數(shù)f（x）=sin()的導函數(shù)的部分圖像如圖4所示，其中，P為圖像與y軸的交點，A,C為圖像與x軸的兩個交點，B為圖像的最低點.（1）若，點P的坐標為（0，），則;（2）若在曲線段與x軸所圍成的區(qū)域內(nèi)隨機取一點，則該點在△ABC內(nèi)的概率為.17.【2012高考真題安徽理15】設(shè)的內(nèi)角所對的邊為；則下列命題正確的是=1\*GB3①若；則=2\*GB3②若；則=3\*GB3③若；則=4\*GB3④若；則=5\*GB3⑤若；則18.【2012高考真題福建理13】已知△ABC得三邊長成公比為的等比數(shù)列，則其最大角的余弦值為_________.19.【2012高考真題重慶理13】設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且，,則20.【2012高考真題上海理4】若是直線的一個法向量，則的傾斜角的大小為（結(jié)果用反三角函數(shù)值表示）。22.【2012高考江蘇11】（5分）設(shè)為銳角，若，則的值為▲．24.【2012高考真題湖北理17】（本小題滿分12分）已知向量，，設(shè)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，其中，為常數(shù)，且.（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；（Ⅱ）若的圖象經(jīng)過點，求函數(shù)在區(qū)間上的取值范圍.【20XX年高考試題】一、選擇題:1.(20XX年高考安徽卷理科9)已知函數(shù)，其中為實數(shù)，若對恒成立，且，則的單調(diào)遞增區(qū)間是（A）（B）（C）（D）4.(20XX年高考浙江卷理科6)若，，，，則（A）（B）（C）（D）二、填空題:1.(20XX年高考遼寧卷理科16)已知函數(shù)f（x）=Atan（x+）（＞0，），y=f（x）的部分圖像如下圖，則f（）=____________.2.(20XX年高考安徽卷理科14)已知的一個內(nèi)角為120o，并且三邊長構(gòu)成公差為4的等差數(shù)列，則的面積為_______________6.(20XX年高考安徽卷江蘇7)已知則的值為__________4.(20XX年高考江西卷理科17)（本小題滿分12分）在△ABC中，角A,B,C的對邊分別是a,b,c,已知sinC+cosC=1-sin（1）求sinC的值（2）若a2+b2=4(a+b)-8，求邊c的值6.(20XX