《曲邊梯形的面積》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/19第一章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用曲邊梯形的面積(名師：朱俊)一、教學(xué)目標(biāo)1．核心素養(yǎng)通過定積分的概念的學(xué)習(xí)，提升分析問題、解決問題的能力、抽象概括能力和邏輯思維能力.2．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）通過求曲邊梯形的面積，了解定積分的實(shí)際背景．（2）通過求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程，了解定積分的實(shí)際背景．3．學(xué)習(xí)重點(diǎn)“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.4．學(xué)習(xí)難點(diǎn)“以直代曲”、“以不變代變”的思想方法.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)預(yù)習(xí)教材P2—P4,完成P6相應(yīng)練習(xí)題2．預(yù)習(xí)自測1．在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上的近似值等于（）A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1])D．以上答案均不正確答案：C2．求由拋物線y＝2x2與直線x＝0，x＝t(t＞0)，y＝0所圍成的曲邊梯形的面積時(shí)，將區(qū)間[0，t]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i－1個(gè)區(qū)間為（）A．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))B．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－1),n)，\f(ti,n)))D．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(t(i－2),n)，\f(t(i－1),n)))答案：D3．直線x＝a，x＝b(a<b)，y＝0和曲線y＝f(x)(f(x)>0)所圍成的曲邊梯形的面積S＝（）A．eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(1,n)B．eq\o(lim,\s\do15(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,f)(ξ1)·eq\f(1,n)C．eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)·eq\f(b－a,n)D．eq\o(lim,\s\do15(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(b－a,n)·f(ξi)答案：D（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧本節(jié)可能會(huì)用到的數(shù)學(xué)公式：（1）；（2）；（3）（其中，為常數(shù)，）.2．問題探究問題探究一：求曲邊梯形的面積曲邊梯形的概念：如圖，陰影部分類似于一個(gè)梯形，但有一邊是曲線的一段，我們把由直線和曲線所圍成的圖形稱為曲邊梯形．如何求與及所圍成的平面圖形面積S？活動(dòng)1：請(qǐng)討論：如何分割？以下幾種分割方法，哪種最合適？（1）豎向分割（2）橫向分割（3）隨意分割分析發(fā)現(xiàn)，豎向分割更容易求面積.活動(dòng)2：請(qǐng)討論：分割多少份合適？分析發(fā)現(xiàn)分割的越多，誤差越小，為了便于計(jì)算，引導(dǎo)學(xué)生會(huì)利用n控制分割的份數(shù)，把[0,1]分割成n等份.活動(dòng)3：以什么樣的直邊圖形近似代替小曲邊梯形？展示部分近似代替的方案：（1）（2）（3）矩形矩形梯形不足過剩代替分割后，轉(zhuǎn)化成n個(gè)曲邊梯形，利用直邊圖形代替，合作交流后確定方案，即以矩形不足或矩形過剩計(jì)算較為方便.活動(dòng)4：如何用n的式子表示直邊圖形面積的和？展示學(xué)習(xí)小組部分計(jì)算結(jié)果：（1）以方案（1）計(jì)算：（2）以方案（2）計(jì)算：（3）以方案（3）計(jì)算：通過分割、近似代替兩步以后，進(jìn)行求和，根據(jù)不同的方案計(jì)算出不同的面積和，發(fā)現(xiàn)每一種和結(jié)果的代數(shù)式子不一樣，為后面引入極限做個(gè)鋪墊.活動(dòng)5：請(qǐng)討論：對(duì)控制變量n怎樣理解，面積S變化趨勢(shì)怎樣？(1)幾何畫板演示，隨變量n變大，它們的變化趨勢(shì).（2）取極限：（1）當(dāng)時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，結(jié)論：以上三種方案得到的面積都是用n表示的表達(dá)式，而曲邊梯形的面積應(yīng)該是一個(gè)常數(shù)，如何確定這個(gè)常數(shù)，已經(jīng)知道分割的份數(shù)越多，誤差就越小，利用前面導(dǎo)數(shù)的概念，可以確定當(dāng)n趨近于無窮大時(shí)，趨近于一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是該圖形面積的值，體現(xiàn)了無限逼近的思想方法，極限的含義.活動(dòng)6：在求小矩形的面積時(shí)，我們提到了可以取在區(qū)間上任意一點(diǎn)處的值作為小矩形的高，會(huì)有怎樣的結(jié)果？例1：求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積【知識(shí)點(diǎn)：曲邊梯形面積】解:令f(x)＝x2.(1)分割將區(qū)間[0,2]n等分，分點(diǎn)依次為x0＝0，x1＝eq\f(2,n)，x2＝，…，xn－1＝eq\f(2（n－1）,n)，xn＝2.第i個(gè)區(qū)間為[eq\f(2i－2,n)，eq\f(2i,n)](i＝1,2，…，n)，每個(gè)區(qū)間長度為Δx＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－2,n)＝eq\f(2,n).(2)近似代替、求和，取ξi＝eq\f(2i,n)(i＝1,2，…，n)，Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(eq\f(2i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i2＝eq\f(8,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(8,n3)·eq\f(n（n＋1）(2n＋1),6)＝eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))．(3)取極限S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))Sn＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))＝eq\f(8,3)，即所求曲邊梯形的面積為eq\f(8,3).點(diǎn)撥：求曲邊梯形面積的步驟①分割：把區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間；（如下圖1）②近似代替：對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值（如下圖2）；③求和：計(jì)算出n個(gè)小矩形的面積之和Sn，Sn即為曲邊梯形面積的近似值；④取極限：求（即為曲邊梯形的面積）圖1圖1圖2問題探究二、如何求汽車行駛的路程？活動(dòng)一：汽車以速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，經(jīng)過時(shí)間所行駛的路程為．如果汽車作變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻的速度為（單位：km/h），那么它在0≤≤1(單位：h)這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程（單位：km）是多少？分析：與求曲邊梯形面積類似，采取“以不變代變”的方法，把求勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題，化歸為勻速直線運(yùn)動(dòng)的路程問題．把區(qū)間分成個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間上，由于的變化很小，可以近似的看作汽車作于速直線運(yùn)動(dòng)，從而求得汽車在每個(gè)小區(qū)間上行駛路程的近似值，在求和得（單位：km）的近似值，最后讓趨緊于無窮大就得到（單位：km）的精確值．解：1．分割在時(shí)間區(qū)間上等間隔地插入個(gè)點(diǎn)，將區(qū)間等分成個(gè)小區(qū)間：，，…，記第個(gè)區(qū)間為，其長度為.把汽車在時(shí)間段，，…，上行駛的路程分別記作：，，…，，顯然，（2）近似代替當(dāng)很大，即很小時(shí)，在區(qū)間上，可以認(rèn)為函數(shù)的值變化很小，近似的等于一個(gè)常數(shù)，不妨認(rèn)為它近似的等于左端點(diǎn)處的函數(shù)值，從物理意義上看，即使汽車在時(shí)間段上的速度變化很小，不妨認(rèn)為它近似地以時(shí)刻處的速度作勻速直線運(yùn)動(dòng)，即在局部小范圍內(nèi)“以勻速代變速”，于是用小矩形的面積近似的代替，即在局部范圍內(nèi)“以直代取”，則有①（3）求和由①，====從而得到的近似值（4）取極限當(dāng)趨向于無窮大時(shí)，即趨向于0時(shí)，趨向于，從而有點(diǎn)撥：本題所用數(shù)學(xué)思想為化歸，即用化歸為各個(gè)小區(qū)間上勻速直線運(yùn)動(dòng)路程和無限逼近的思想方法求出勻變速直線運(yùn)動(dòng)的路程）．活動(dòng)二：結(jié)合求曲邊梯形面積的過程，你認(rèn)為汽車行駛的路程與由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積有什么關(guān)系？汽車行駛的路程在數(shù)值上等于由直線和曲線所圍成的曲邊梯形的面積.一般地，如果物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，速度函數(shù)為，那么我們也可采用分割、近似代替、求和、取極限的方法，求出它在內(nèi)所作的位移.3．課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】求曲邊梯形面積的步驟①分割：把區(qū)間[a，b]等分成個(gè)小區(qū)間；（如下圖1）②近似代替：對(duì)每個(gè)小曲邊梯形“以直代曲”，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，得到每個(gè)小曲邊梯形面積的近似值（如下圖2）；③求和：計(jì)算出個(gè)小矩形的面積之和，即為曲邊梯形面積的近似值；圖1圖1圖2④取極限：求（即為曲邊梯形的面積）.【重難點(diǎn)突破】1.求曲邊梯形面積“近似代替”中，取任意一點(diǎn)代替求出的最終的曲邊梯形面積均是同一個(gè)常數(shù).2.求曲邊梯形面積與求變速直線運(yùn)動(dòng)的物體的路程的本質(zhì)是一樣的，都采用分割、近似代替、求和、取極限的步驟求解.4．隨堂檢測1．直線x＝0、x＝2、y＝0與曲線y＝x2所圍成曲邊梯形的面積是_______．答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：曲邊梯形的面積；】將區(qū)間[0,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)小區(qū)間為.第i個(gè)小區(qū)間的面積，所以故∴所求曲邊梯形面積為eq\f(8,3).2．已知汽車做變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度(單位：km/h)為v(t)＝t2＋2，那么它在1≤t≤2(單位：h)這段時(shí)間行駛的路程為多少？答案：這段時(shí)間行駛的路程為eq\f(13,3)km.解析：【知識(shí)點(diǎn)：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程；】解：將區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，第i個(gè)小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(i－1,n)，1＋\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)．第i個(gè)時(shí)間區(qū)間的路程的近似值為于是所以s＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))sn＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(3＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))＋\f(1,3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))))＝eq\f(13,3).所以，這段時(shí)間行駛的路程為eq\f(13,3)km.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1．函數(shù)在區(qū)間上（）A．的值變化很小B．的值變化很大C．的值不變化D．當(dāng)很大時(shí)，的值變化很小答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：定積分；】2．在求由拋物線y＝x2＋6與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形的面積時(shí)，把區(qū)間[1,2]等分成n個(gè)小區(qū)間，則第i個(gè)區(qū)間為()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))C．[i－1，i]D.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i,n)，\f(i＋1,n)))答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：定積分；】在區(qū)間[1,2]上等間隔地插入n－1個(gè)點(diǎn)，將它等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(n＋1,n)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋1,n)，\f(n＋2,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))，…，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2n－1,n)，2))，所以第i個(gè)區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(n＋i－1,n)，\f(n＋i,n)))(i＝1,2，…，n)．3.若做變速直線運(yùn)動(dòng)的物體v(t)＝t2在0≤t≤a內(nèi)經(jīng)過的路程為9，則a的值為()A．1B．2C．3D．4答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：定積分；】將區(qū)間[0，a]n等分，記第i個(gè)區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(a(i－1),n)，\f(ai,n)))(i＝1,2，…，n)，此區(qū)間長為eq\f(a,n)，用小矩形面積eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai,n)))2·eq\f(a,n)近似代替相應(yīng)的小曲邊梯形的面積，則eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ai,n)))2·eq\f(a,n)＝eq\f(a3,n3)·(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(a3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))近似地等于速度曲線v(t)＝t2與直線t＝0，t＝a，t軸圍成的曲邊梯形的面積．依題意得eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(a3,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,2n)))＝9，∴eq\f(a3,3)＝9，解得a＝3．4．汽車以v＝(3t＋2)m/s作變速直線運(yùn)動(dòng)時(shí)，在第1s到第2s間的1s內(nèi)經(jīng)過的路程是________．答案：6.5解析：【知識(shí)點(diǎn)：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程；】將[1,2]n等分，并取每個(gè)小區(qū)間左端點(diǎn)的速度近似代替，則Δt＝eq\f(1,n)，v(ξi)＝v(1＋eq\f(i－1,n))＝3(1＋eq\f(i－1,n))＋2＝eq\f(3,n)(i－1)＋5.∴sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))[eq\f(3,n)(i－1)＋5]·eq\f(1,n)＝{eq\f(3,n)[0＋1＋2＋…＋(n－1)]＋5n}·eq\f(1,n)＝eq\f(3,n2)·eq\f(n(n－1),2)＋5＝eq\f(3,2)(1－eq\f(1,n))＋5.∴s＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))sn＝eq\f(3,2)＋5＝6.5.5．求拋物線f(x)＝1＋x2與直線x＝0，x＝1，y＝0所圍成的平面圖形的面積S.答案：eq\f(4,3)解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積；】(1)分割：把區(qū)間[0,1]等分成n個(gè)小區(qū)間eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)，\f(i,n)))(i＝1,2，…，n)其長度Δx＝eq\f(1,n)，把曲邊梯形分成n個(gè)小曲邊梯形，其面積分別記為ΔSi(i＝1,2，…，n)．(2)近似代替：用小矩形面積近似代替小曲邊梯形的面積．ΔSi＝feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))·Δx＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2))·eq\f(1,n)(i＝1,2，…，n)．(3)求和：eq\i\su(i＝1,n,Δ)Si＝eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2)).(4)取極限：S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(1,n)·eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2))＝1＋lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(i－1,n)))2·eq\f(1,n)＝1＋lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,n)))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2n)))＝1＋eq\f(1,3)＝eq\f(4,3).6．已知一物體做變速直線運(yùn)動(dòng)，其瞬時(shí)速度是v(t)＝2t(單位：m/s)，求該物體在出發(fā)后從t＝1s到t＝5s這4s內(nèi)所經(jīng)過的位移．答案：24m.解析：【知識(shí)點(diǎn)：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程；】(1)分割：把時(shí)間段[1,5]分成n等份，分點(diǎn)依次是：1，1＋eq\f(4,n)，1＋eq\f(8,n)，…，1＋eq\f(n－1,n)·4,5，每個(gè)小區(qū)間的長度Δx＝eq\f(4,n).(2)近似代替：在時(shí)間的小區(qū)間段，以勻速來代替變速，故在每一小時(shí)間段內(nèi)，經(jīng)過的位移Δsi≈Δs′i＝veq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(4i,n)))·eq\f(4,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(8i,n)))·eq\f(4,n)，其中i＝1,2，…，n.(3)求和：所求的位移s≈sn＝eq\i\su(i＝1,n,Δ)s′i＝eq\f(4,n)eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(8i,n)))＝8＋eq\f(32,n2)·eq\f(n(n＋1),2)＝8＋16·eq\f(n＋1,n)＝8＋16eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n))).(4)取極限：當(dāng)分割無限變細(xì)，即eq\f(4,n)趨向于0(亦即n趨向于＋∞)時(shí)，sn趨向于所求位移s，從而有s＝lieq\o(m,\s\do4(n→＋∞))sn＝lieq\o(m,\s\do4(n→＋∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(8＋16\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(1,n)))))＝8＋16＝24，即所求物體經(jīng)過的位移是24m.能力型師生共研7．eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(15i,n))·(eq\f(5,n))]的含義可以是（）A．求由直線x＝1，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積B．求由直線x＝0，x＝1，y＝0，y＝15x圍成的圖形的面積C．求由直線x＝0，x＝5，y＝0，y＝3x圍成的圖形的面積D．求由直線x＝0，x＝5，y＝0及曲線y＝eq\f(5,x)圍成的圖形的面積答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：曲邊梯形的面積；】將區(qū)間[0,5]n等分，則每一區(qū)間的長度為eq\f(5,n)，各區(qū)間右端點(diǎn)對(duì)應(yīng)函數(shù)值為y＝eq\f(15i,n)，因此eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(15i,n))·(eq\f(5,n))]可以表示由直線x＝0、x＝5、y＝0和y＝3x圍成的圖形的面積的近似值．8．由直線x＝0、x＝1、y＝0和曲線y＝x2＋2x圍成的圖形的面積為________．答案：eq\f(4,3)解析：【知識(shí)點(diǎn)：曲邊梯形的面積；】將區(qū)間[0,1]n等分，每個(gè)區(qū)間長度為eq\f(1,n)，區(qū)間右端點(diǎn)函數(shù)值y＝(eq\f(i,n))2＋2·eq\f(i,n)＝eq\f(i2,n2)＋eq\f(2i,n).作和eq\i\su(i＝1,n,[)(eq\f(i2,n2)＋eq\f(2i,n))eq\f(1,n)]＝eq\i\su(i＝1,n,)(eq\f(i2,n3)＋eq\f(2i,n2))＝eq\f(1,n3)eq\i\su(i＝1,n,i)2＋eq\f(2,n2)eq\i\su(i＝1,n,i)＝eq\f(1,n3)×eq\f(1,6)n(n＋1)(2n＋1)＋eq\f(8n2＋9n＋1,6n2)，∴所求面積S＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))eq\f(8n2＋9n＋1,6n2)＝eq\o(lim,\s\do4(n→∞))(eq\f(4,3)＋eq\f(3,2n)＋eq\f(1,6n2))＝eq\f(4,3).9．設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，用分點(diǎn)a＝x0<x1<…<xi－1<xi<…<xn＝b把區(qū)間[a，b]等分成n個(gè)小區(qū)間，在每個(gè)小區(qū)間[xi－1，xi]上任取一點(diǎn)ξi(i＝1,2，…，n)，作和式In＝eq\i\su(i＝1,n,f)(ξi)Δx(其中Δx為小區(qū)間的長度)，那么In的大小()A．與f(x)和區(qū)間[a，b]有關(guān)，與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n和ξi的取法無關(guān)B．與f(x)、區(qū)間[a，b]和分點(diǎn)個(gè)數(shù)n有關(guān)，與ξi的取法無關(guān)C．與f(x)、區(qū)間[a，b]和ξi的取法有關(guān)，與分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n無關(guān)D．與f(x)、區(qū)間[a，b]、分點(diǎn)的個(gè)數(shù)n、ξi的取法都有關(guān)答案：D解析：【知識(shí)點(diǎn)：定積分】10．求直線x＝0，x＝2，y＝0與曲線y＝x2所圍成的曲邊梯形的面積.答案：eq\f(8,3)解析：【知識(shí)點(diǎn)：曲邊梯形的面積；數(shù)學(xué)思想：以不變代變】令f(x)＝x2.(1)分割：將區(qū)間[0,2]n等分，分點(diǎn)依次為x0＝0，x1＝eq\f(2,n)，x2＝eq\f(4,n)，…，xn－1＝eq\f(2(n－1),n)，xn＝2.第i個(gè)區(qū)間為[eq\f(2i－2,n)，eq\f(2i,n)](i＝1,2，…，n)，每個(gè)區(qū)間長度為Δx＝eq\f(2i,n)－eq\f(2i－2,n)＝eq\f(2,n).(2)近似代替、求和，取ξi＝eq\f(2i,n)(i＝1,2，…，n)，Sn＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))f(eq\f(2i,n))·Δx＝eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(eq\f(2i,n))2·eq\f(2,n)＝eq\f(8,n3)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))i2＝eq\f(8,n3)(12＋22＋…＋n2)＝eq\f(8,n3)·eq\f(n(n＋1)(2n＋1),6)＝eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))．(3)取極限S＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))Sn＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\f(4,3)(2＋eq\f(3,n)＋eq\f(1,n2))＝eq\f(8,3)，即所求曲邊梯形的面積為eq\f(8,3).探究型多維突破11．設(shè)力F作用在質(zhì)點(diǎn)m上使m沿x軸正向從x＝1運(yùn)動(dòng)到x＝10，已知F＝x2＋1且力的方向和x軸正向相同，求F對(duì)質(zhì)點(diǎn)m所作的功．.答案：342.解析：【知識(shí)點(diǎn)：定積分；】將區(qū)間[1,10]n等分，則各小區(qū)間的長度為eq\f(9,n)，在eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)(i－1)，1＋\f(9,n)i))上取ξi＝1＋eq\f(9,n)i.∴Fi＝ξeq\o\al(2,i)＋1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)i))2＋1，∴Wi＝Fi·eq\f(9,n)＝eq\f(9,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)i))2＋eq\f(9,n)(i＝1,2，…，n)．∴W＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(9,n)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1＋\f(9,n)i))2＋\f(9,n)))＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\f(9,n)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2＋\f(18,n)i＋\f(81,n2)i2))＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(18,n)＋\f(162,n2)i＋\f(729,n3)i2))＝lieq\o(m,\s\do4(n→∞))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(18＋\f(162,n2)·\f(n(n＋1),2)＋\f(729,n3)·\f(n(n＋1)(2n＋1),6)))＝18＋81＋243＝342.故F對(duì)質(zhì)點(diǎn)所作的功為342.自助餐1.求曲邊梯形面積的四步曲中的第二步是()A．分割B．近似代替C．求和D．取極限答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積】2.在“近似代替”中，函數(shù)f(x)在區(qū)間[xi，xi＋1]上近似值等于()A．只能是左端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi)B．只能是右端點(diǎn)的函數(shù)值f(xi＋1)C．可以是該區(qū)間內(nèi)任一點(diǎn)的函數(shù)值f(ξi)(ξi∈[xi，xi＋1]D．以上答案均正確答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：定積分】3.和式eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－3)等于()A．(x1－3)＋(x10－3)B．x1＋x2＋x3＋…＋x10－3C．x1＋x2＋x3＋…＋x10－30D．(x1－3)(x2－3)(x3－3)·…·(x10－3)答案：C解析：【知識(shí)點(diǎn)：和式的概念】eq\o(∑,\s\up6(10),\s\do4(i＝1))(xi－3)＝(x1－3)＋(x2－3)＋(x3－3)＋…＋(x10－3)＝(x1＋x2＋…＋x10)－30.4.對(duì)于由函數(shù)y＝x3和直線x＝1，y＝0圍成的曲邊梯形，把區(qū)間[0,1]三等分，則曲邊梯形面積的近似值(每個(gè)ξi取值均為小區(qū)間的左端點(diǎn))是()A.eq\f(1,9)B.eq\f(1,25)C.eq\f(1,27)D.eq\f(1,30)答案：A解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積】S＝0×eq\f(1,3)＋(eq\f(1,3))3×eq\f(1,3)＋(eq\f(2,3))3×eq\f(1,3)＝eq\f(1,9).5.一物體沿直線運(yùn)動(dòng)，其速度v(t)＝t，這個(gè)物體在t＝0到t＝1這段時(shí)間內(nèi)所走的路程為（）A．eq\f(1,3)B．eq\f(1,2)C．1D．eq\f(3,2)答案：B解析：【知識(shí)點(diǎn)：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程】6.在等分區(qū)間的情況下，f(x)＝eq\f(1,1＋x2)(x∈[0,2])及x軸所圍成的曲邊梯形的面積和式的極限形式正確的是()A．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(i,n))2)·\f(2,n)))B．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(2i,n))2)·\f(2,n)))C．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋i2)·\f(1,n)))D．lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(i,n))2)·n))答案:B解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積】將區(qū)間n等分后，每個(gè)小區(qū)間的長度為Δx＝eq\f(2,n)，第i個(gè)小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2(i－1),n)，\f(2i,n)))(i＝1,2,3，…，n)，則由求曲邊梯形的面積的步驟可得曲邊梯形的面積和式的極限形式為lieq\o(m,\s\up6(),\s\do4(n→∞))eq\i\su(i＝1,n,)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,1＋(\f(2i,n))2)·\f(2,n))).7．把區(qū)間[1,3]n等分，所得n個(gè)小區(qū)間的長度均為________．答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積】區(qū)間[1,3]的長度為2，故n等分后，每個(gè)小區(qū)間的長度均為eq\f(2,n).8．如果汽車做勻變速直線運(yùn)動(dòng)，在時(shí)刻t的速度為v(t)＝t2＋2(單位：km/h)，則該汽車在1≤t≤2這段時(shí)間內(nèi)行駛的路程可用一個(gè)平面圖形的面積來表示，則圍成該圖形的直線和曲線分別是_____________________．答案：見解析解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積】圍成該圖形的直線和曲線分別是t＝1，t＝2，v＝0，v＝t2＋2.9．已知某物體運(yùn)動(dòng)的速度為v＝t，t∈[0,10]，若把區(qū)間10等分，取每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為近似小矩形的高，則物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值為________．答案：55解析：【知識(shí)點(diǎn)：變速直線運(yùn)動(dòng)的路程】把區(qū)間[0,10]10等分，每個(gè)小區(qū)間右端點(diǎn)處的函數(shù)值為n(n＝1,2，…，10)，每個(gè)小區(qū)間的長度為1.∴物體運(yùn)動(dòng)的路程近似值s＝1×(1＋2＋…＋10)＝55.10.求由曲線y＝eq\f(1,2)x2與直線x＝1，x＝2，y＝0所圍成的平面圖形面積時(shí)，把區(qū)間5等分，則面積的近似值(取每個(gè)小區(qū)間的左端點(diǎn))是________.答案：1.02解析：【知識(shí)點(diǎn)：求曲邊梯形的面積】將區(qū)間5等分所得的小區(qū)間為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(1，\f(6,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(6,5)，\f(7,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(7,5)，\f(8,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(8,5)，\f(9,5)))，eq\b\lc\[\rc\](\a\vs