2025年上海高考數(shù)學(xué)重點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)（復(fù)習(xí)）

上海高考必記核心知識(shí)點(diǎn)歸納總結(jié)（干貨必備）

知識(shí)點(diǎn)概覽

必備知識(shí)01集合與邏輯.........................................................................2

必備知識(shí)02不等式..............................................................................4

必備知識(shí)03函數(shù)的概念與性質(zhì)...................................................................6

必備知識(shí)04塞指對函數(shù).........................................................................7

必備知識(shí)05三角函數(shù)..........................................................................10

必備知識(shí)06函數(shù)的應(yīng)用.........................................................................11

必備知識(shí)07平面向量及其應(yīng)用..................................................................13

必備知識(shí)08復(fù)數(shù)...............................................................................16

必備知識(shí)09空間向量與立體幾何................................................................17

必備知識(shí)10直線和圓..........................................................................20

必備知識(shí)11圓錐曲線...........................................................................27

必備知識(shí)12數(shù)列...............................................................................29

必備知識(shí)13導(dǎo)數(shù)...............................................................................30

必備知識(shí)14計(jì)數(shù)原理、排列組合、二項(xiàng)式定理...................................................32

必備知識(shí)15統(tǒng)計(jì)與概率........................................................................34

必記核心知識(shí)點(diǎn)

必備知識(shí)01集合與邏輯

知識(shí)點(diǎn)01集合的有關(guān)概念

(1)集合元素的三大特性：確定性、無序性、互異性.

(2)元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為e；不屬于，記為心

(3)集合的三種表示方法：列舉法、描述法、圖示法.區(qū)間法

一般區(qū)間的表示

設(shè)a,bGR,且規(guī)定如下:

定義名稱符號數(shù)軸表示

閉區(qū)間11.

[j<\a<x<b}[a,b]ab

開區(qū)間(a,

{x\a<x<b]b)ab

[x\a<x<b]半開半閉區(qū)間[a,I工.

b)ab

{x\a<x<b}半開半閉區(qū)間(4,:1一

b]ab

特殊區(qū)間的表示

定義R{x\x>a}{x\x>a}[x\x<a]{x\x<a}

符號(-oo,+oo)[a,+oo)(a,+co)(-oo,a](—oo,a)

(4)五個(gè)特定的集合

集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實(shí)數(shù)集

符號NN*或N+ZQR

知識(shí)點(diǎn)02集合間的基本關(guān)系

文字語言符號語言

相等集合A與集合B中的所有元素都相同A=B

集合間的子集集合A中任意一個(gè)元素均為集合B中的元素A^B

基本關(guān)系集合A中任意一個(gè)元素均為集合2中的元素，且集合B中

真子集AczB

至少有一個(gè)元素不是集合A中的元素

空當(dāng)空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集

知識(shí)點(diǎn)03集合的基本運(yùn)算

集合的并集集合的交集集合的補(bǔ)集

若全集為U,則集合A的

符號表示AHB

補(bǔ)集為可

圖形表示

AUBADB

集合表示{x\x^A,或工￡3}{x\x^A,且入￡3}{x\x^U,且x&A}

知識(shí)點(diǎn)04集合的運(yùn)算性質(zhì)

（l）AnA=A,An0=0,AHB=BnA.

（2）AUA=A,AU0=A,AUB=BUA.

（3）AA（A）=0,AU（不=U,A=A；

知識(shí)點(diǎn)05常用結(jié)論

（1）空集性質(zhì)：①空集只有一個(gè)子集，即它的本身，0C0；

②空集是任何集合的子集（即0GA）；

空集是任何非空集合的真子集（若A#0,則0uA）.

（2）子集個(gè)數(shù)：若有限集A中有w個(gè)元素，

則A的子集有2〃個(gè)，真子集有2〃一1個(gè)，非空真子集有2"-2個(gè).

（3）ACB-Q8；AUB=AOA3B.

（4）AUB=AC|B（5）AC\B=A\JB

知識(shí)點(diǎn)06充分條件、必要條件與充要條件的概念

若p今q,則夕是q的充分條件，q是p的必要條件

p是q的充分不必要條件p=>q且q力p

p是q的必要不充分條件p力q且q=p

p是q的充要條件pgq

p是q的既不充分也不必要條件p力q且q力p

知識(shí)點(diǎn)07充分、必要條件與集合的關(guān)系

設(shè)0,q成立的對象構(gòu)成的集合分別為A,B.

（1）p是q的充分條件QAU8,p是q的充分不必要條件QAu8；

（2）p是q的必要條件Q8UA,0是q的必要不充分條件=8UA；

（3）p是q的充要條件oA=&

〈知識(shí)記憶小口訣》

集合平時(shí)很常用，數(shù)學(xué)概念有不同，理解集合并不難，三個(gè)要素是關(guān)鍵，元素確定和互異，還有無序要牢

記，空集不論空不空，總有子集在其中，集合用圖很方便，子交并補(bǔ)很明顯.

〈解題方法與技巧》

充要條件的兩種判斷方法

⑴定義法：根據(jù)ks進(jìn)行判斷.

(2)集合法：根據(jù)使0,g成立的對象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷.

必備知識(shí)02不等式

知識(shí)點(diǎn)01等式與不等式的性質(zhì)

1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法

(1)作差法<a—b=0oa=b,

a—b<G<=>a<b.

斤>1(a￡R,/?>O)0a>b(〃￡R,fc>0),

(2)作商法<*=loa=b(m/?W0),

*1(aGR,b>0)"bQGR'&>0).

2.等式的性質(zhì)

(1)對稱性：若〃=4則6=4.

(2)傳遞性:若a=b,b=c,則a=c.

(3)可加性:若a=b,貝!J〃+c=/?+c.

(4)可乘性：若a=b,則〃c=/?c；若a=b,c=d,則〃c=Z?d.

3.不等式的性質(zhì)

(1)對稱性：〃>/?=/?<〃；

(2)傳遞性:a>b,b>c=>a>c；

⑶可加性：Q>/?=〃+C>Z?+C；a>b,c>d=>〃+c>Z?+d；

(4)可乘性：a>b,c>O=>ac>bc；a>b,c<0^ac<bc；a>b>0,c>d>O=^ac>bd；

(5)可乘方：a>b>O=4〃>〃(〃￡N,n^l)；

(6)可開方：〃〉/?>0=>,〉或(幾￡N,〃22).

知識(shí)點(diǎn)02均值不等式及其應(yīng)用

1.均值不等式：四w號

(1)均值不等式成立的條件：心0,b20.

(2)等號成立的條件：當(dāng)且僅當(dāng)。=6時(shí)取等號.

(3)其中審稱為正數(shù)°,6的算術(shù)平均數(shù)，標(biāo)稱為正數(shù)a,b的幾何平均數(shù).

2.兩個(gè)重要的不等式

22

(l)a+b^2ab(afZ?￡R),當(dāng)且僅當(dāng)a=Z?時(shí)取等號.

2

(2)次?4日^^)(〃，Z?￡R),當(dāng)且僅當(dāng)。=Z?時(shí)取等號.

3.利用均值不等式求最值

已知>20，貝!！

⑴如果積孫是定值p,那么當(dāng)且僅當(dāng)％=y時(shí)，x+y有最小值是入「(簡記：積定和最小).

(2)如果和x+y是定值s,那么當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，町有最大值是?簡記：和定積最大).

知識(shí)點(diǎn)03從函數(shù)的觀點(diǎn)看一元二次方程和一元二次不等式

1.一元二次不等式

只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式叫作一元二次不等式.

2.三個(gè)“二次”間的關(guān)系

判別式力=/一J>0J=0J<0

二次函數(shù)

lha

y=ax2+bx+c

(a>0)的圖象

一元二次方程有兩相等實(shí)根處=%

有兩相異實(shí)根為，2

z

ax+bx-\-c=0b沒有實(shí)數(shù)根

X2(X1<X2)~~2a

3>0)的根

a^+bx+cX)

｛小>」2

R

(〃>0)的解集或入〈陽)

af+bx+cVO

{j^Xl<X<X2}00

(〃>0)的解集

3.(x—?)(x—Z?)>0或(%—〃)(%—/?)<0型不等式的解集

解集

不等式

a<ba=ba>b

(x-a)-(x—Z?)>0{x\x<a或x>b}{x|x不。}{x\x<b或x>a]

（X—6Z）-（X—Z?）<0{x\a<x<b}0{x\b<x<a}

4.分式不等式與整式不等式

(1)磊>0(<0).)時(shí))>0(<0).

(2)據(jù)'O(WO)對尤卜g(x)20(W0)且g(x)W0.

必備知識(shí)03函數(shù)的概念與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的概念

設(shè)46是兩個(gè)非空數(shù)集，如果按照確定的法則,，對/中的任意數(shù)X,都有唯一確定的數(shù)y與它對應(yīng)，那

么就稱fz4f8為從集合A到集合8的一個(gè)函數(shù)，記作y=f(x),x^A.

知識(shí)點(diǎn)02函數(shù)的定義域、值域

⑴函數(shù)y=f(x)自變量取值的范圍(數(shù)集⑷叫做這個(gè)函數(shù)的定義域；所有函數(shù)值構(gòu)成的集合｛y|y=f(x),

x^A｝叫做這個(gè)函數(shù)的值域.

(2)如果兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，并且對應(yīng)法則完全一致，則這兩個(gè)函數(shù)為相等函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)03函數(shù)的表示法

表示函數(shù)的常用方法有解析法、圖象法和列表法.

知識(shí)點(diǎn)04分段函數(shù)

⑴在函數(shù)的定義域內(nèi)，對于自變量X的不同取值區(qū)間，有著不同的對應(yīng)法則，這種函數(shù)稱為分段函數(shù).

(2)分段函數(shù)是一個(gè)函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集.

知識(shí)點(diǎn)05函數(shù)的單調(diào)性

⑴單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

設(shè)函數(shù)尸Hx)的定義域?yàn)?區(qū)間店如果取區(qū)間〃中任意兩個(gè)值

Xi,X2,改變量AX=X2—XI>0,則當(dāng)

定義

Ay=f(x2)—f(不)>0時(shí),就稱函△y=f(xj—F(xi)<0時(shí)，就稱函數(shù)y

數(shù)y=(x)在區(qū)間〃上是增函數(shù)=f(x)在區(qū)間〃上是減函數(shù)

y,尸⑺

圖象描/■)小)

~O\~~~^2X

述

自左向右看圖象是上升的自左向右看圖象是下降的

(2)如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間〃上是增函數(shù)或是減函數(shù)，就說這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間〃上具有單調(diào)性，區(qū)間〃

稱為單調(diào)區(qū)間.

知識(shí)點(diǎn)06函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)〃滿足

(1)對于任意xe/,都有(3)對于任意都有/*5)2%

條件

(2)存在劉e/,使得/'(加二〃(4)存在xo￡I,使得AAO)=M

結(jié)論〃為最大值〃為最小值

知識(shí)點(diǎn)07函數(shù)的奇偶性

奇偶性定義圖象特點(diǎn)

設(shè)函數(shù)y=f(X)的定義域?yàn)椤ㄈ绻麑Α▋?nèi)的任意一個(gè)X,都

奇函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對稱

有一￡金〃，且/1(—X)=—/1(*),則這個(gè)函數(shù)叫做奇函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=g(x)的定義域?yàn)椤ㄈ绻麑?內(nèi)的任意一個(gè)x,都

偶函數(shù)關(guān)于y軸對稱

有一且g(—x)=g(x),則這個(gè)函數(shù)叫做偶函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)08函數(shù)的周期性

⑴周期函數(shù)：對于函數(shù)尸f(x),如果存在一個(gè)非零常數(shù)北使得當(dāng)X取定義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有『(X

+7)=F(x),那么就稱函數(shù)尸/<x)為周期函數(shù)，稱？為這個(gè)函數(shù)的周期.

(2)最小正周期：如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f(x)

的最小正周期.

必備知識(shí)04寨指對函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)01幕函數(shù)

(1)暴函數(shù)的定義

一般地，函數(shù)y=K叫做暴函數(shù)，其中x是自變量，a是常數(shù).

(2)常見的五種事函數(shù)的圖象

(3)哥函數(shù)的性質(zhì)

①哥函數(shù)在(0,+8)上都有定義；

②當(dāng)a>0時(shí)，哥函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1)和(0,0),且在(0,+8)上單調(diào)遞增;

③當(dāng)a<0時(shí)，募函數(shù)的圖象都過點(diǎn)(1,1),且在(0,+8)上單調(diào)遞減；

④當(dāng)a為奇數(shù)時(shí)，>=產(chǎn)為奇函數(shù)；當(dāng)a為偶數(shù)時(shí)，為偶函數(shù).

知識(shí)點(diǎn)02指數(shù)函數(shù)

1.指數(shù)幕的運(yùn)算性質(zhì)

aras=ar+s；(。了=?！?；(aby=arbr(a>0,b>0,r,sGR).

2.指數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)

(1)概念：一般地，函數(shù)y=^(a>0,且叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R.

(2)指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

a>l0<a<l

y=a'\

圖象(0,1)二

二

定義域R

值域(0,+°°)

過定點(diǎn)(0,1),即x=0時(shí)，y=l

當(dāng)x>0時(shí)，y>l；當(dāng)x<0時(shí)，y>l；

性質(zhì)

當(dāng)％<0時(shí)，0<y<l當(dāng)x>0時(shí)，0<y<l

增函數(shù)減函數(shù)

知識(shí)點(diǎn)03對數(shù)函數(shù)

1.對數(shù)的概念

一般地，如果〃=N(a>0,且aWl),那么數(shù)x叫做以a為底N的對數(shù)，記作x=logJV,其中a叫做對數(shù)的

底數(shù)，N叫做真數(shù).

以10為底的對數(shù)叫做常用對數(shù)，記作IgN.

以e為底的對數(shù)叫做自然對數(shù)，記作InN.

2.對數(shù)的性質(zhì)與運(yùn)算性質(zhì)

⑴對數(shù)的性質(zhì)：logj=0,logaa=l,a°SaN=N(a>0,且N>0).

(2)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)

如果a>0,且aWl,M>0,N>Q,那么：

①log“(MV)=log〃M+log“N；

M

②log萌■=lOgaM—lOgaN；

③logJVT=n\ogaM(〃eR).

(3)對數(shù)換底公式：108/=警為>0,且a=l；b>Q；c>0,且CTM).

lOgc'U

3.對數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)

4.反函數(shù)

指數(shù)函數(shù)y=〃（a>0,且a=l）與對數(shù)函數(shù)y=loga尤（a>0,且aWl）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對

必備知識(shí)05三角函數(shù)與解三角形

知識(shí)點(diǎn)01三角函數(shù)的運(yùn)算

1.同角關(guān)系：sin2(x+cos2a=l,=tan兀，Z￡Z).

LU5CA

2.誘導(dǎo)公式：在竽+a,左GZ的誘導(dǎo)公式中“奇變偶不變，符號看象限”.

知識(shí)點(diǎn)02三角恒等變換

1.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

⑴sin(a±份=sinotcos儺cosotsin￡；

(2)cos(a±A)=cosacos夕干sinasin§；

tan?！纓an￡

(3)tan(a±^)—

1+tanatanp

2.二倍角的正弦、余弦、正切公式

(l)sin2a=2sinacosa；

(2)cos2a=cos?。一sin2a=2cos2a—1=1-2sin2a；

c-2tana

(3)tan2a=~;~~~.

1—tanza

知識(shí)點(diǎn)03正弦定理、余弦定理及綜合應(yīng)用

1.正弦定理：在AABC中，急=磊=帚〒=2R(R為△ABC的外接圓半徑).

.cibc

變形：〃=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,sinA=丞,sinB=忝,sinC=或,a：b：c=sinA:sin

BIsinC等.

2.余弦定理：在△A5C中，=/?2+c2—2Z?ccosA.

82+，一次

變形："十°2一"2=2"cosA,cos4=2bc

3.三角形的面積公式：S=^absinC=^acsinB=^bcsinA,

」(□國圓5

1.三角恒等變換的“4大策略”

(1)常值代換：特別是“1”的代換，I=sin20+cos20=tan45。等.

(2)項(xiàng)的拆分與角的配湊：如sin2ot+2cos2a=(sin2a+cos2ot)+cos2a,。=(儀一夕)+￡等.

(3)降暴與升暴：正用二倍角公式升累，逆用二倍角公式降累.

(4)弦、切互化：一般是切化弦.

2.解三角形中常見的求最值與范圍問題的解題策略

(1)利用余弦定理，找三角形三邊之間的關(guān)系，利用基本不等式將與他相互轉(zhuǎn)化求最值范圍.

(2)利用正弦定理，將邊化成角的正弦，利用三角恒等變換進(jìn)行化簡；利用三角函數(shù)的性質(zhì)求最值、范圍.

3.解三角形實(shí)際問題的步驟

［分析H理解題意，分析已知與未知，畫出示意圖)

必備知識(shí)06函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)01函數(shù)的零點(diǎn)與方程的解

(1)函數(shù)零點(diǎn)的概念

對于一般函數(shù)我們把使兀0=0的實(shí)數(shù)x叫做函數(shù)y=/a)的零點(diǎn).

(2)函數(shù)零點(diǎn)與方程實(shí)數(shù)解的關(guān)系

方程於)=0有實(shí)數(shù)解㈡函數(shù)y=/U)有零點(diǎn)㈡函數(shù)＞=於)的圖象與x軸有公共點(diǎn).

(3)函數(shù)零點(diǎn)存在定理

如果函數(shù)y=/(x)在區(qū)間m，切上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且有八4求力＜0,那么，函數(shù)＞=兀0在區(qū)間(a,

6)內(nèi)至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在cd(a,b),使得_/(c)=0,這個(gè)c也就是方程式x)=0的解.

知識(shí)點(diǎn)02二分法

對于在區(qū)間團(tuán)，切上圖象連續(xù)不斷且五。求》)＜0的函數(shù)＞=/(無)，通過不斷地把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二,

使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐步逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到零點(diǎn)近似值的方法叫做二分法.

【常用結(jié)論

1.若連續(xù)不斷的函數(shù)次x)是定義域上的單調(diào)函數(shù)，則五尤)至多有一個(gè)零點(diǎn).

2.連續(xù)不斷的函數(shù)，其相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有函數(shù)值保持同號.

知識(shí)點(diǎn)03三種函數(shù)模型的性質(zhì)

y=ax(a>l)y=logR4>l)y=^(n>0)

在(0,+8)

單調(diào)遞增單調(diào)遞增單調(diào)遞增

上的增減性

增長速度越來越快越來越慢相對平穩(wěn)

隨X的增大逐漸表現(xiàn)隨龍的增大逐漸表現(xiàn)為隨n值的變化而各有

圖象的變化

為與y軸平行與X軸平行不同

知識(shí)點(diǎn)04常見的函數(shù)模型

函數(shù)模型函數(shù)解析式

一次函數(shù)模型fix）=ax+b（a,b為常數(shù)，〃W0）

二次函數(shù)模型f（x）=ax2-\-bx-\-c{a,b,c為常數(shù)，〃W0）

k

反比例函數(shù)模型fi,x）=~+b（k,b為常數(shù)，左/0）

指數(shù)函數(shù)模型危）=/?〃+C（Q,b,c為常數(shù)，〃>0且bWO）

對數(shù)函數(shù)模型fix）=Mogflx+c（a,b,c為常數(shù)，〃>0且Z?WO）

幕函數(shù)模型f（x）=axa+b（a,b,a為常數(shù)，aWO）

1.判斷函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的方法

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在定理判斷.

(2)代數(shù)法：求方程犬x)=0的實(shí)數(shù)根.

(3)幾何法：對于不易求根的方程，將它與函數(shù)y=Kx)的圖象聯(lián)系起來，利用函數(shù)的性質(zhì)找出零點(diǎn)或利用兩

個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)求解.在利用函數(shù)性質(zhì)時(shí)，可用求導(dǎo)的方法判斷函數(shù)的單調(diào)性.

2.利用函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)值(或取值范圍)的三種方法

利用零點(diǎn)存在定理構(gòu)建不等式確定參

直接法

I—數(shù)的取值范圍

I分離奏教法T將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題|

先對解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系

數(shù)形結(jié)合法1

I中作出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解

必備知識(shí)07平面向量及其應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)01向量的有關(guān)概念

(1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模.

(2)零向量：長度為0的向量，其方向是任意的.

(3)單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量.

(4)平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：0與任一向量共線.

(5)相等向量：長度相等且方向相同的向量.

(6)相反向量：長度相等且方向相反的向量.

知識(shí)點(diǎn)02向量的線性運(yùn)算

向量運(yùn)算定義法則(或幾何意義)超'—舁A-A-律Z-H

巴

a交換律：〃+5=8+〃；

加法求兩個(gè)向量和的運(yùn)算三角形法則

結(jié)合律：(a+b)+c=a+(b+c)

平行四邊形法則

求。與萬的相反向量一

減法a—b=a+(—b)

萬的和的運(yùn)算a

三角形法則

|Afl|=|2||a|,當(dāng)2>0時(shí)，幾

。與。的方向相同；X(|lCl)=(AjLl)Cl;

求實(shí)數(shù)力與向量。的積

數(shù)乘當(dāng)A<0時(shí)，幾〃與a的方(2+〃)a=4a+〃_a；

的運(yùn)算

向相反；^(a+b)=Xa+Xb

當(dāng)2=0時(shí)，44=0

知識(shí)點(diǎn)03兩個(gè)向量共線定理

向量b與非零向量a共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)人使得la.

知識(shí)點(diǎn)04平面向量基本定理

如果ei，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向量有且只有一對實(shí)數(shù)九,

幾2，使〃=%1幻+22。2.

其中，不共線的向量ei,以叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底.

知識(shí)點(diǎn)05平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算

(1)向量加法、減法、數(shù)乘向量及向量的模

設(shè)。=(X1，yi),b=(X2,y2)，則

a+b=(xi+x2f》+丁2)，a—b=(xi—X29為一”)，

4yi),\a\=yjxi+yi.

(2)向量坐標(biāo)的求法

①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo)；

②設(shè)A(X1，.),B(X2,>2)，則A8=(%2—X1，力一yi),

22

|AB|=yl(x2—xi)+(y2—yi).

知識(shí)點(diǎn)06平面向量共線的坐標(biāo)表示

設(shè)Q=(X1，%),8=。2，>2)，其中力WO,a//—X2y1=0.

知識(shí)點(diǎn)07向量的夾角

(1)定義：已知兩個(gè)非零向量a和"作近=a,OB=b,則NAOB就是向量a與入的夾角.

(2)范圍：設(shè)。是向量。與方的夾角，則0°W^(180°.

(3)共線與垂直：若6=0°,則。與8同向；若0=180。，貝Ua與萬反向；若6=90°,則a與％垂直.

知識(shí)點(diǎn)08平面向量的數(shù)量積

定義設(shè)兩個(gè)非零向量〃，力的夾角為仇則⑷|四?cos夕叫做a與力的數(shù)量積，記作〃協(xié)

|a|cos?叫做向量“在分方向上的投影，

投影

|臼cos夕叫做向量％在a方向上的投影

幾何意義數(shù)量積ab等于a的長度⑷與b在a的方向上的投影版|cos夕的乘積

知識(shí)點(diǎn)09向量數(shù)量積的運(yùn)算律

(X)a-b=b-a.

Q)3i)?b=Ma?b)=a&b).

(3X4+b)?c=〃?c+〃c

知識(shí)點(diǎn)10平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論

已知非零向量〃=8,%),b=(X2,>2)，@與b的夾角為。.

結(jié)論幾何表示坐標(biāo)表示

模\a\=y/~a^a|a|=q屑+必

oA-1.V+YIV2

na-b2

夾角COS〃一I||.ICS

HI網(wǎng)°產(chǎn)南W

a±b的充

a,b=biy2=0

要條件

知識(shí)點(diǎn)11平面向量與解三角形的綜合應(yīng)用

(1)解決平面向量與三角函數(shù)的交匯問題，關(guān)鍵是準(zhǔn)確利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算化簡已知條件，將其轉(zhuǎn)化為三角

函數(shù)中的有關(guān)問題解決.

(2)還應(yīng)熟練掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算公式、幾何意義、向量模、夾角的坐標(biāo)運(yùn)算公式以及三角恒等變換、

正、余弦定理等知識(shí).

技I巧

1.五個(gè)特殊向量

(1)要注意0與0的區(qū)別，0是一個(gè)實(shí)數(shù)，0是一個(gè)向量，且|0|=0.

(2)單位向量有無數(shù)個(gè)，它們大小相等，但方向不一定相同.

(3)任一組平行向量都可以平移到同一直線上，因此平行向量也叫做共線向量.

(4)與向量。平行的單位向量有兩個(gè)，即向量言和一言.

2.五個(gè)常用結(jié)論

(1)一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)的向量,

即啟2+啟3+A/4H-----H4晝4=特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量.

(2)若P為線段A8的中點(diǎn)，。為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則5>=々而+而).

(3)若A,B,C是平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)，則啟+港+走=0今？為AABC的重心.

A

(4)在△ABC中，AD,BE,b分別為三角形三邊上的中線，它們交于點(diǎn)G(如圖所示)，易知G為△ABC

的重心，則有如下結(jié)論：

①原+宓+沆=0；

1—*■—?

②AG=w(AB+AC)；

③麗斗由+亦，Gb=1(AB+AO.

(5)若應(yīng)=力協(xié)+〃沆(九4為常數(shù))，則A,B,C三點(diǎn)共線的充要條件是％+〃=1.

3.基底需要的關(guān)注三點(diǎn)

(1)基底的，02必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，零向量不能作為基底.

(2)基底給定，同一向量的分解形式唯一.

,、，,丸1=//1,

(3)如果對于一組基底C1，&，有。=九3+/12。2=〃1?1+〃2?2，則可以得到｛_

LA2=償.

4.共線向量定理應(yīng)關(guān)注的兩點(diǎn)

(1)若Q=(xi，yD，8=(%2，、2)，則Q〃8的充要條件不能表示成3=乎，因?yàn)閄2，丁2有可能等于①應(yīng)表

“2yi

示為尤1y21％2丫1=0.

(2)判斷三點(diǎn)是否共線，先求每兩點(diǎn)對應(yīng)的向量，然后按兩向量共線進(jìn)行判定.

5.兩個(gè)結(jié)論

(1)已知P為線段的中點(diǎn)，若4(尤1，力)，B(X2,竺)，則尸點(diǎn)坐標(biāo)為?？眨惨?.

(2)已知△ABC的頂點(diǎn)A(xi，力),8(X2，”)，C(X3，y3)，則AABC的重心G的坐標(biāo)為日士黃齒，”土半土耳.

6.兩個(gè)向量a,Z>的夾角為銳角協(xié)>0且a,萬不共線；

兩個(gè)向量a,》的夾角為鈍角今。3<0且a,方不共線.

7.平面向量數(shù)量積運(yùn)算的常用公式

(l)(a+M)(a—萬)=層一12

(2)(。+b)2=a2+2ab+b2.

(3)(。-b￥=a2—2ab+b2.

必備知識(shí)08復(fù)數(shù)

知識(shí)點(diǎn)01復(fù)數(shù)的有關(guān)概念

⑴復(fù)數(shù)的定義

形如。+歷(a,6GR)的數(shù)叫做復(fù)數(shù)，其中實(shí)部是小虛部是從

(2)復(fù)數(shù)的分類

'實(shí)數(shù)(6=0),

復(fù)數(shù)z=a+bi(a,6GR)<虛數(shù)(“°)［］純非虛純數(shù)虛(數(shù)a=(0*,o6,Wk00),).

(3)復(fù)數(shù)相等

且Z?=d(〃，b,c,d￡R).

(4)共輛復(fù)數(shù)

〃+歷與c+di共輾Oa=c且/?=—"(〃，b,c,d￡R).

⑸復(fù)數(shù)的模

向量OZ的模叫做復(fù)數(shù)Z=Q+歷的模，記作|z|或|〃+列，即|z|=|〃+歷|=r=yl咳+廬(廠=0,a,/?￡R).

知識(shí)點(diǎn)02復(fù)數(shù)的幾何意義

⑴復(fù)數(shù)z=〃+0i(對應(yīng))復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)(a,/?￡R).

一,一*對應(yīng)一

(2)復(fù)數(shù)z=a+0i(a,/?eR)------"平面向量OZ.

知識(shí)點(diǎn)03復(fù)數(shù)的運(yùn)算

(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)zi=a+Z?i,Z2=c+di(〃，b,c,d￡R),貝U

①力口法：zi+z2=(〃+bi)+(c+di)=(〃+c)+3+d)i;

②減法：zi-Z2=(〃+"i)—(c+di)=(〃—c)+(/?-d)i；

③乘法：zi?Z2=(a+bi)-(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

z-N”、，zia-\-bi(”+bi)(c—di)ac-\-bd,bc-ad,,

④除法：五=』=(c+公)(Ldl)+百產(chǎn)十+d學(xué)0)-

⑵復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算定律

復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任何Zl，Z2,Z3^C,有Zi+z2=Z2+zi，(Z1+Z2)+Z3=Zi+(Z2+Z3).

1.三個(gè)易誤點(diǎn)

(1)兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小.

(2)利用復(fù)數(shù)相等a+%i=c+di列方程時(shí)，注意a,b,c,dGR的前提條件.

(3)注意不能把實(shí)數(shù)集中的所有運(yùn)算法則和運(yùn)算性質(zhì)照搬到復(fù)數(shù)集中來.例如，若zi，z2ec,zHzHO,

就不能推出Zl=Z2=0；/〈O在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)有可能成立.

2.復(fù)數(shù)代數(shù)運(yùn)算中常用的三個(gè)結(jié)論

在進(jìn)行復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算時(shí)，記住以下結(jié)論，可提高計(jì)算速度.

,1+i1-i

(l)(l±i)2=±2i；—~=i；T—7=-i.

1—i1+i

(2)—b+ai=i(a+bi).

(3)i4"=l,j4"+l=i,j4.+2=_],j4.+3=_j,i4〃+i4〃+l+i4"+2+i4"+3=0,〃GN*

必備知識(shí)09空間向量與立體幾何

知識(shí)點(diǎn)01空間幾何體的側(cè)面展開圖

(D圓柱的側(cè)面展開圖是矩形.

(2)圓錐的側(cè)面展開圖是扇形.

(3)圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán).

知識(shí)點(diǎn)02旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積和表面積

(1)5圓柱側(cè)=2兀〃，S圓柱表=2兀4—+/)(r為底面半徑，I為母線長).

(2)5圓錐側(cè)=兀/7，S圓錐表=兀4廠+/)(廠為底面半徑，/為母線長).

(3)5球表=4兀MR為球的半徑).

知識(shí)點(diǎn)03空間幾何體的體積公式

(1)丫柱=s/?(s為底面面積，刀為高).

(2嗎=軻(5為底面面積，%為高).

(3)入4s上+小上￡下+S下)〃(S上,S下分別為上、下底面面積，〃為高).

4

(4?球=于R3(R為球的半徑).

知識(shí)點(diǎn)04求空間多面體的外接球半徑的常用方法

(1)補(bǔ)形法：側(cè)面為直角三角形，或正四面體，或?qū)饩嗟鹊哪Ｐ?，可以還原到正方體或長方體中去求

解；

(2)定義法：到各個(gè)頂點(diǎn)距離均相等的點(diǎn)為外接球的球心，借助有特殊性底面的外接圓圓心，找其垂線，則

球心一定在垂線上，再根據(jù)到其他頂點(diǎn)的距離也是半徑，列關(guān)系式求解即可.

知識(shí)點(diǎn)05判斷空間直線、平面位置關(guān)系的常用方法

(1)根據(jù)空間線面平行、垂直的判定定理和性質(zhì)定理逐項(xiàng)判斷，解決問題.

(2)必要時(shí)可以借助空間幾何模型，如從長方體、四面體等模型觀察線、面的位置關(guān)系，并結(jié)合有關(guān)定理進(jìn)

行判斷.

知識(shí)點(diǎn)06平行關(guān)系及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化

面面平行的判定

面面平行的性質(zhì)

面面垂直的判定

面面垂直的性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)07異面直線所成的角

設(shè)異面直線/,根的方向向量分別為〃=(〃i，ci),b=(a2,bi，ci),異面直線/與根的夾角為夕

則⑴6?e(o,I；

(2)cos9=|cos〈〃，b〉|=|U|

\a\a2~\~b\b2~\~c\c^

，鬲+房+小/〃：+慶+琢

用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標(biāo)系.

(2)用坐標(biāo)表示兩異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意兩異面直線所成角的范圍是(0,手，即兩異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對

值.

知識(shí)點(diǎn)08直線與平面所成的角

TT

設(shè)直線/的方向向量為“，平面a的法向量為“，直線/與平面a所成的角為仇貝+；(2)sin0=

,,、.

|cos"〉一|\a而-n\「

7r

(1)線面角0與直線的方向向量。和平面的法向量”所成的角〈a,加的關(guān)系是〈a,加+6=5或〈a,加

—0=與所以應(yīng)用向量法求的是線面角的正弦值，而不是余弦值.

(2)利用方程思想求法向量，計(jì)算易出錯(cuò)，要認(rèn)真細(xì)心.

知識(shí)點(diǎn)09平面與平面所成的角

設(shè)平面a,￡的法向量分別為“，V,平面a與平面￡的夾角為仇貝IJ(1)6G［0,5)；(2)cos6?=|cos〈小v)\

\u-v\

一1”|研

7T

平面與平面夾角的取值范圍是［o，兩向量夾角的取值范圍是［0，兀］，兩平面的夾角與其對應(yīng)的兩法向

量的夾角不一定相等，而是相等或互補(bǔ).

知識(shí)點(diǎn)10空間距離

⑴點(diǎn)到直線的距離

直線/的單位方向向量為"，A是直線/上的任一點(diǎn)，尸為直線/外一點(diǎn)，設(shè)成="，則點(diǎn)尸到直線/的距離

d=7a2_(a-u)2.

(2)點(diǎn)到平面的距離

平面a的法向量為〃，A是平面a內(nèi)任一點(diǎn)，尸為平面a外一點(diǎn)，則點(diǎn)尸到平面a的距離為d=岑占.

(3)求點(diǎn)到平面的距離有兩種方法，一是利用空間向量點(diǎn)到平面的距離公式，二是利用等體積法.

(4)求直線到平面的距離的前提是直線與平面平行.求直線到平面的距離可轉(zhuǎn)化成直線上任一點(diǎn)到平面的距

離.

1.求解空間幾何體的外接球問題的策略

(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑.

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些元

素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的.

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

2.求解空間幾何體的內(nèi)切球問題的策略

空間幾何題的內(nèi)切球問題，一是找球心，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑，作出截面，在截面中求半

徑；二是利用等體積法直接求內(nèi)切球的半徑.

3.解決與幾何體有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)軌跡問題的方法

(1)幾何法：根據(jù)平面的性質(zhì)進(jìn)行判定.

(2)定義法：轉(zhuǎn)化為平面軌跡問題，用圓錐曲線的定義判定或用代數(shù)法進(jìn)行計(jì)算.

(3)特殊值法：根據(jù)空間圖形線段長度關(guān)系取特殊值或位置進(jìn)行排除.

4.在動(dòng)態(tài)變化過程中產(chǎn)生的體積最大、距離最大(小卜角的范圍等問題，常用的解題思路

(1)直觀判斷：在變化過程中判斷點(diǎn)、線、面在何位置時(shí)，所求的量有相應(yīng)最大、最小值.

(2)函數(shù)思想：通過建系或引入變量，把這類動(dòng)態(tài)問題轉(zhuǎn)化為目標(biāo)函數(shù)，從而利用代數(shù)方法求目標(biāo)函數(shù)的最

值.

5.作幾何體截面的方法

(1)利用平行直線找截面.

(2)利用相交直線找截面.

6.找交線的方法

(1)線面交點(diǎn)法：各棱線與截平面的交點(diǎn).

(2)面面交點(diǎn)法：各棱面與截平面的交線.

必備知識(shí)10直線和圓

知識(shí)點(diǎn)01直線的傾斜角

L傾斜角的定義

(1)當(dāng)直線/與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線/向上的方向之間所成的角。叫做直

線，的傾斜角.

(2)當(dāng)直線/與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.

2.直線的傾斜角。的取值范圍為0°Wa<180°.

知識(shí)點(diǎn)02直線的斜率

1.斜率的定義：把一條直線的傾斜角。的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母"表示，即

k—tma.

2.斜率的計(jì)算公式:

定義

斜率的定義式