2025年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步復(fù)習(xí)：矩形（3個(gè)知識(shí)點(diǎn)+5類熱點(diǎn)題型+習(xí)題鞏固）解析版

第03講矩形

01學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

①矩形的定義及其性質(zhì)

1.理解矩形的定義，掌握矩形的性質(zhì)并能夠熟練應(yīng)用。

②直角三角形斜邊上的中線的

2.理解掌握直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)并能夠熟練的應(yīng)用。

性質(zhì)

3,掌握矩形的判定方法，能夠在題目中選擇合適方法判定矩形。

③矩形的判定

02思維導(dǎo)圖

矩形

「知識(shí)清單

03

知識(shí)點(diǎn)01矩形的定義與性質(zhì)

1.矩形的定義：

有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形。

2.矩形的性質(zhì)：

①矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)。

特殊性質(zhì)：

②邊的特殊性：鄰邊.相互垂直。

③角的特殊性：四個(gè)角都是直角（或90°）。

④對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相等。即對(duì)角線相互平分且相等。

即：AC=BD,OA=OB=OC=OD。

由此可得：△048,△02C,△OCD,△O4D均是等腰三角形。

⑤面積：等于任意一組鄰邊的乘積。

⑥對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。

【即學(xué)即練1】

I.矩形具有而平行四邊形不一定具有的性質(zhì)是（）

A.對(duì)角線相等B.對(duì)角線互相平分

C.對(duì)邊相等D.對(duì)角相等

【分析】由矩形的性質(zhì)和平行四邊形的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【解答】解：矩形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分且相等，兩組對(duì)角相等；

平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分，兩組對(duì)角相等；

故選項(xiàng)2、C、。不符合題意，/符合題意；

故選：A.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，矩形N8CD的對(duì)角線NC,8。交于點(diǎn)O,AB=6,8c=8,過點(diǎn)。作交AD于點(diǎn)、E,

過點(diǎn)E作EFLBD,垂足為F,則OE+EF的值為（）

A.-B.-C.-D.-

【分析】依據(jù)矩形的性質(zhì)即可得到△NO。的面積為12,再根據(jù)即可得到EO+E尸

的值.

【解答】解：：4B=6,3c=8,

，矩形ABCD的面積為48,AC=y/AB2+BC2=7s2+62=10,

1

.\A0=DO=yC=5,

???對(duì)角線4C,交于點(diǎn)O,

???△/(?/)的面積為12,

^EOLAO,EFLDO,

11

:?sUOD=suo吐sADOE，即12=2A0XE0+-D0xEF,

11

；?12=5x5xEO+5x5xEF,

24

.\E0+EF=—.

故選：C.

【即學(xué)即練3】

如圖，延長(zhǎng)矩形45CD的邊5C至點(diǎn)￡,使CE=BD,連接ZE,若N4D5=40°,則NE的度數(shù)為(

【分析】連接力C,由矩形性質(zhì)可得NE=NZ)/E、5Z)=ZC=CE,知NE=NC/E,而N4Z)8=NC4。

40°,可得NE度數(shù).

??,四邊形48CD是矩形，

J.AD//BE,AC=BD,OA=OC,OB=OD,

：.OA=ODf

VZADB=40°,

ZADB=ZCAD=40°,

ZE=NDAE,

又?；BD=CE,

：.CE=CA,

：./E=/CAE,

ZCAD=NCAE+/DAE,

：.ZE+ZE=40°,即NE=20°.

故選：D.

知識(shí)點(diǎn)02直角三角形斜邊上的中線

1.直角三角形斜邊的中線的性質(zhì):

由矩形的對(duì)角線的性質(zhì)可知：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半

【即學(xué)即練1】

4.如圖，即為RtZ\4BC斜邊4C上的中線，過點(diǎn)。作5c的垂線交5c于點(diǎn)￡,過點(diǎn)5作5。的垂線交

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)產(chǎn)，AB=BE=T,則=2.5.

A

B

1

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得助=ZO=CD=pC,則NOA4=N4,再根據(jù)。得

BE=CE=AB=\,則BC=2,由此得4C=樂，則5/)=4。=CD=亨，證明△45C和ABE尸全等得4C

=BF=返,然后在RtZXBQ廠中，由勾股定理即可求出。尸的長(zhǎng).

【解答】解：:BO為RtA4BC斜邊/C上的中線，

1

：.BD=AD=CD=-AC,

：.NDBA=NA,

■:DELBC,

:?BE=CE,

?；4B=BE=1,

:?AB=BE=CE=T,

在RtZSZBC中，AB=\,BC=2BE=2,

由勾股定理得：AC=AB2+BC2=V5，

：.BD=AD=CD=—,

2

VZACB=90°,BDLDF,

：?/ABC=NBEF=90°,

：,/DBA+/DBC=90°,ZDBC+ZEBF=90°,

/DBA=/EBF,

：./A=/EBF,

在△/BC和45環(huán)中，

(Z-A=乙EBF

]AB=BE,

VZ.ABC=乙BEF=90°

:?△ABCmABEF(ASA),

：.AC=BF=J5,

在尸中，由勾股定理得：DF=飛RD?+BF2=］?。?+（由2=2.5.

故答案為：2.5.

【即學(xué)即練2】

5.如圖，在四邊形4BC。中N/2C=//OC=90°,￡為對(duì)角線NC的中點(diǎn)，連接8￡、ED、BD,若/B4D

=56°,則/5即的度數(shù)為112°.

B

【分析】由直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到。打=BE=/E,推出/4DE,ZBAE=ZABE,得到

/ADE+/ABE=/BAD=56°,由三角形外角的性質(zhì)得到NDEC=/￡UE+N4DE,ZBEC^ZBAE+Z

ABE,即可推出N8ED=/8/￡）+N4DE'+//3E=56°+56°=112°.

【解答】解：,.?/48C=/ZOC=90°,E是NC的中點(diǎn)，

11

：.DE=-AC,BE=-AC,

：.DE=BE=AE,

：.ZDAE=ZADE,ZBAE=ZABE,

：.ZADE+ZABE=ZDAE+ZBAE=/BAD=56°,

'：ZDEC=ZDAE+ZADE,ZBEC=ZBAE+ZABE,

：.ZDEC+ZBEC=ZDAE+ZADE+ZBAE+AABE,

：.ABED=ZBAD+ZADE+ZABE=560+56°=112°.

故答案為：112°.

知識(shí)點(diǎn)03矩形的判定

1.矩形的判定方法:

判定方法文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

ZABC=ZBCD=Z

四個(gè)角（三個(gè)角）都是直角

直接判定CDA=ZADC=90°

的四邊形是矩形DC

...四邊形N8CO是矩形

,/在OABCD中，Z

平行四邊形有一個(gè)角是直角的平行四邊AB

4BC=90°

加特殊性形是矩形

四邊形4BCD是矩形

對(duì)角線相等的平行四邊形是:在口/BCD中，AD=BC

矩形.??四邊形/BCD是矩形

【即學(xué)即練1】

6.如圖，在平行四邊形/BCD中，對(duì)角線NC、8。相交于點(diǎn)。下列條件不能判定平行四邊形/BCD為矩

形的是（）

A.ZABC=90°B.AC=BDC.AD=ABD.NBAD=/ADC

【分析】利用矩形的判定、菱形的判定、平行四邊形的性質(zhì)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行逐一判斷即可解答.

【解答】解：兒根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形為矩形，故此選項(xiàng)

不符合題意；

B.根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形/BCD為矩形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C.根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形能判定平行四邊形/BCD為菱形，不能判定平行四邊形N5CD為

矩形，故此選項(xiàng)符合題意；

D.?平行四邊形/BCD中，AB//CD,

：.ZBAD+ZADC=18O°,

又?:/BAD=/4DC,

：.ZBAD=ZADC=90°,

根據(jù)有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形能判定平行四邊形/BCD為矩形，故此選項(xiàng)不符合題意.

故選：C.

【即學(xué)即練2】

7.如圖，在△NBC中，AB=BC,BD平分/ABC.四邊形48磯）是平行四邊形，DE交BC于點(diǎn)、F,連接

CE.

求證：四邊形2ECD是矩形.

【分析】根據(jù)已知條件易推知四邊形3E8是平行四邊形.結(jié)合等腰△NBC"三線合一”的性質(zhì)證得2D

±AC,即4肛＞。=90°,所以由“有一內(nèi)角為直角的平行四邊形是矩形”得到口3ECD是矩形.

【解答】證明：BD平分乙4BC,

：.BD±AC,AD=CD.

.四邊形ABED是平行四邊形，

J.BE//AD,BE=AD,

：.BE=CD,

：.四邊形BECD是平行四邊形.

'：BD^AC,

：.ZBDC=90°,

...nBECO是矩形.

題型精講

題型01利用矩形的性質(zhì)求線段長(zhǎng)度

【典例1】如圖，矩形/BCD的對(duì)角線交于點(diǎn)。，若NNC8=30°,AB=2,則8。的長(zhǎng)為（）

C.2V3D.4

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得N/8C=90°,O/=OC=O2=OD,則NO8C=N/C5=30°,進(jìn)而得入45。

=60°,由此得△405是等邊三角形，則04=02=48=2,據(jù)此可得3D的長(zhǎng).

【解答】解：???四邊形N8CO是矩形，且對(duì)角線交于點(diǎn)O,

ZABC=90°,OA=OC=OB=OD,

VZy4C5=30°,AB=2,

：.ZOBC=ZACB=30°,

：.ZABO=ZABC-ZOBC=90°-30°=60°,

...△/02是等邊三角形,

：.OA=OB=AB=2,

:?BD=2OB=4.

故選：D.

【變式1】如圖，￡是矩形/BCD的對(duì)角線8。的中點(diǎn)，尸是邊的中點(diǎn)，若48=10,EF=3,則線段

CE的長(zhǎng)為（)

A.7B.4C.2D.V34

【分析】先證跖是的中位線，即可求出的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可求出2。的長(zhǎng)，最后根據(jù)

直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可求出CK的長(zhǎng).

【解答】解：連接所，

：E是矩形ABCD的對(duì)角線8。的中點(diǎn)，尸是邊的中點(diǎn)，

:.EF是AABD的中位線，

1

：.OE=~AD,

YEF=3,

：.AD=6,

?..四邊形/BCD是矩形，

二乙4=/3。。=90°,

在中，4D=6,AB=10,

由勾股定理得，BD=^AB2+AD2=V102+62=2V34>

在RtZ\3CD中，E是8。的中點(diǎn)，

1,_

:.CE=/D=后,

故選：D.

【變式2】如圖，在矩形4BCZ）中，已知4&_L2D于E,ZBDC=60°,BE=l,則40的長(zhǎng)為（）

A.3V2B.2V3C.2D.西

【分析】由矩形的性質(zhì)得4B〃CD,ZBAD=90°,則N4BO=N5DC=60°,而4E_LAD于瓦則/

BAE=/ADB=9Q°-ZABD=30°,所以AB=2BE=2,BD=2AB=4,求得ND=JBU—A/=2百,

于是得到問題的答案.

【解答】解：,??四邊形45CD是矩形，/BDC=6T,

:,AB〃CD,ZBAD=90°,

:?/ABD=NBDC=60°,

?；4ELBD于E,BE=1,

：.ZAEB=90°,

:?/BAE=/ADB=90°-ZABD=30°,

：.AB=2BE=2,

:?BD=2AB=4,

^?AD=y/BD2-AB2=V42-22=2V3，

故選：B.

【變式3】如圖，。是矩形4BCZ）的對(duì)角線5。上一點(diǎn)，AB=3,BC=5,于點(diǎn)。尸，CD于點(diǎn)

F,連接4尸，EF,則/P+環(huán)的最小值為（）

A/D41

A.2B.4C.V34D.8

【分析】連接。尸，根據(jù)矩形的性質(zhì)得到跖=。尸，4尸田尸的最小值即為4尸+C尸的最小值，當(dāng)A,P,C

三點(diǎn)共線時(shí)，AP+CP的值最小，且為NC的長(zhǎng)度，根據(jù)勾股定理得到NC=+BC2=J32+52=

后，于是得到結(jié)論.

【解答】解：連接CP,

?..四邊形/BCD是矩形，

：.EF=CP,

：.AP+EF的最小值即為/P+CP的最小值，

當(dāng)/,P,C三點(diǎn)共線時(shí)，NP+C尸的值最小，且為/C的長(zhǎng)度，

:四邊形/BCD是矩形，

'-AC=yjAB2+BC2=V32+52=后,

J.AP+EF的最小值為百Z，

故選：C.

【變式4】如圖，矩形45CD中，AB=5,BC=\2,對(duì)角線4C、5。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸是線段4。上任意

60

一點(diǎn)，PEUC于點(diǎn)E,PRD于點(diǎn)出則PE+P尸等于—記一

13

【分析】首先連接OP由矩形的邊48=5,BC=n,可求得04=0。=萬，然后由限

AOP+S2DOP求得答案.

【解答】解：連接尸O,

?'?S矩形ABCD=AB?BC=5X12=60,OA=OC,OB=OD,AC=BD,AC=JAB2+BC2=Vs2+122=

13,

1113

??,S&o。=]S矩形4BCQ=15，OA=OD=~,

111113

S^AOD=S^AOP+S^OP=yOA-PE+-OD-PF=~OAQPE+PF)=~x—x(PE+PF)=15,

D乙乙乙乙乙

60

：.PE+PF^~,

故答案案為：—.

題型02利用矩形的性質(zhì)求角的度數(shù)

【典例1】如圖，點(diǎn)E在矩形ABCD的邊40上.若△班C是等邊三角形，則//匹的度數(shù)為（）

A.30°B.45°C.60°D.75°

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)和等邊三角形的性質(zhì)即可解答.

【解答】解：???△E8C是等邊三角形，

：.ZCBE=6Q°,

.四邊形4BCD是矩形，

：.AD//BC,

：.ZAEB=ZCBE=60°.

故選：C.

【變式1】如圖，將兩個(gè)矩形疊合放置，如果/1=115。，那么N2等于（）

【分析】設(shè)兩個(gè)矩形分別為矩形/BCD和矩形EFGH則/NOC=NE=90°,求得NE4D=65°,由N

2+/4DE=90°,NE4D+NADE=90°,得/2=NEAD=65°,于是得到問題的答案.

【解答】解：:四邊形/2CO和四邊形斯G8都是矩形，

.?./4DC=NE=90°,

VZ1=115O,

.?./E/O=180°-Zl=180°-115°=65°,

VZ2+ZADE=90°,ZEAD+ZADE=90°,

：.Z2=ZEAD=65°,

故選：C.

G

對(duì)角線4C,5。相交于點(diǎn)O,CELBD,且N5CE：ZDCE=2：1,則

C.30°D.35°

【分析】則N5CD=90°,OD=OC,根據(jù)NBC￡：ZDCE=2：1,求出NZ)C￡=30°,根據(jù)題意，則

ZDEC=90°,求出NEOC,得到△ODC是等邊三角形，即可求出N/CE.

【解答】解：???在矩形45CD中，對(duì)角線4C,80相交于點(diǎn)O,ZBCE：ZDCE=2：1,

AZBCD=9G°,AC=BD,OD=OC,/BCE=2/DCE,

:?/BCE+NDCE=2NDCE+NDCE=90°,

：?NDCE=30°,

■:CE2BD,

：.ZDEC=90°,

AZEDC=60°,

???△ODC是等邊三角形,

AZDCO=60°,NDCE=/OCE,

VZACE+ZDCE=60°,

AZACE=30°.

故選：C.

【變式3】如圖，長(zhǎng)方形45CD中，尸是。4延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，G是C尸上一點(diǎn)，并且N4CG=N4GC,ZGAF

【分析】根據(jù)三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和可得N4GC=2NR從而得到N/CG=2

ZF,根據(jù)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等可得NECB=NR再求出N4CB=3NR從而得解.

【解答】解：在AZG尸中，NAGC=NF+NGAF=2NF,

,//ACG=NAGC,

：./ACG=2/F,

■:AD//BC,

：./ECB=/F,

：./ACB=/ACG+/BCE=3/F,

：.ZACB=3ZECB=60°；

故答案為：60°.

題型03利用矩形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例1］如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，矩形0/5C的頂點(diǎn)/,C的坐標(biāo)分別是（4,-2）,（1,

2）,點(diǎn)8在無軸上，則點(diǎn)2的橫坐標(biāo)是（）

A.4B.2V5C.5D.4五

【分析】由兩點(diǎn)距離公式可求NC的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)可求O8=4C=5,即可求解.

【解答】解：連接/C,

'?AC=J(4-1)2+(-2-2)2=5,

?..四邊形N8CO是矩形，

：.OB=AC=5,

...點(diǎn)3的橫坐標(biāo)為5,

故選：C.

【變式1］已知矩形N5CD的頂點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為/(1,4),2(5,4),C(5,1),將該矩形

向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到矩形B'CD',則點(diǎn)的坐標(biāo)為()

A.(1,1)B.(1,4)C.(4,1)D.(-2,1)

【分析】先由矩形的性質(zhì)及48、C三點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)，確定點(diǎn)。的坐標(biāo)，再根據(jù)平移即可確定點(diǎn)。'的坐

標(biāo)；

【解答】解：已知矩形/8CO的頂點(diǎn)/、B、C的坐標(biāo)分別為/(1,4),5(5,4),C(5,1),

軸，48=4；軸，BC=3；

:四邊形/8C。為矩形，

軸，CD〃x軸，CD=AB=4,AD=BC=3,

：.D(1,1),

?.?矩形N3CZ)向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度得到矩形HB'CD1,

：.D'(4,1),

故選：C.

【變式2】如圖，矩形4BCD中，BD=2近,48在x軸上.且點(diǎn)/的橫坐標(biāo)為-1,若以點(diǎn)/為圓心，對(duì)

角線NC的長(zhǎng)為半徑作弧交x軸的正半軸于則點(diǎn)”的坐標(biāo)為()

C.(2V5-1-0)D.(2心0)

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)得出助=/。=2五，由題意可知：/四=/。=2而，再根據(jù)點(diǎn)/坐標(biāo)進(jìn)而可以

解決問題.

【解答】解：?..四邊形/BCD是矩形，

:.BD=AC=2近,

由題意可知：AM=4C=2

'：OA=\-1|=1,

OM=AM-04=2屋1,

.,.點(diǎn)〃■的坐標(biāo)為(2行-1,0),

故選：C.

【變式3】如圖，矩形0/2C在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，點(diǎn)2的坐標(biāo)為（1,3）,則對(duì)角線NC的長(zhǎng)為（）

B.V10C.V13D.2V2

【分析】連接80,由矩形的性質(zhì)得到"=。8,再由坐標(biāo)系中點(diǎn)到原點(diǎn)的距離計(jì)算公式求出的長(zhǎng)即

可得到答案.

【解答】解；連接如圖所示,

:四邊形。/8C是矩形,

J.OB^AC,

?:B(1,3),

?'-AC=0B=Vl2+32=V10>

故選：B.

題型04直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)應(yīng)用

【典例1］如圖，在△48C中，/48C=90°,點(diǎn)。是NC的中點(diǎn).若NC=6,則8。的長(zhǎng)為（）

C.3D.4

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可得解.

【解答】解：：點(diǎn)。是/C的中點(diǎn)，AC=6,

1

：.BD^~AC-3,

故選：C.

【變式1】如圖，在△N3C中，ND是高，E,尸分別是N8,/C的中點(diǎn)，若/8=10c〃?，AC=Scm,則四邊

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì)分別求出OR根據(jù)四邊形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可.

【解答】解：,:E,尸分別是N8,4C的中點(diǎn)，48=10cm,AC=8cm,

111

.\AE=~AB=—x10=5cm,AF=^AC=4cmf

9：AD是△力BC的高，

AZADB=ZADC=90°,

在RtZ\/D8中，E是的中點(diǎn)，

11

貝ljDE=齊3=5*10=5c〃?，

1

同理可得：DF=—AC=4cm,

四邊形AEDF的周長(zhǎng)=AE+DE+AF+DF=5+4+5+4=18(cm),

故答案為：18.

【變式2】如圖，在△4BC中，點(diǎn)。，￡分別是邊48,NC的中點(diǎn)，點(diǎn)廠是線段DE上的一點(diǎn).連接4F,

BF,/AFB=9Q°,且N5=8,2C=14,則E尸的長(zhǎng)是()

【分析】根據(jù)三角形中位線定理和直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：：點(diǎn)。，￡分別是邊AS,NC的中點(diǎn)，

是△N8C的中位線，

?；3C=14,

1

：.DE^~BC=7,

VZAFB=90°,AB=S,

1

:?DF=]AB=4,

：.EF=DE-DF=7-4=3,

故選：B.

【典例1］如圖，在RtA45C中，N4cB=90°，。為45的中點(diǎn).若NB=50°,則NOC5的度數(shù)為（）

A.45°B.50°C.55°D.60°

1

【分析】根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得=然后利用等腰三角形的性質(zhì)可得NOC5

=ZB=50°,即可解答.

【解答】解：在中，ZACB=90°,。為的中點(diǎn)，

1

/.OC—OB=~^AB,

：.ZOCB=ZB=50°,

故選：B.

【變式1】如圖，在△48C中，/NCB=90°,點(diǎn)。是邊48的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為圓心，CD的長(zhǎng)為半徑畫弧,

與線段AD相交于另一點(diǎn)￡,連接C￡若/A=NDCE,則//的度數(shù)為（）

【分析】設(shè)N4=x。，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可得DC=D4,從而可得N4=/OC4=x。

再利用三角形的外角性質(zhì)可得NCQE=2x°,然后利用三角形內(nèi)角和定理可得NCED=180°-3x°,再

根據(jù)題意可得：CD=CE,從而利用等腰三角形的性質(zhì)可得NCEO=NCDE,進(jìn)而列出關(guān)于％的方程，進(jìn)

行計(jì)算，即可解答.

【解答】解：設(shè)N4=x°,

VZACB=90°,點(diǎn)。是邊45的中點(diǎn)，

1

:,DC=DA=/,

：.ZA=ZDCA=x°,

?：/CDE是ADCA的一個(gè)外角，

AZCDE=ZDCA+ZA=2x°,

/A=/DCE,

：.ZA=ZDCE=x°,

：.ZCED=180°-ZACE-ZA=180°-3x°,

由題意得：CD=CE,

：.ZCED=ZCDE,

180-3x=2x,

解得：x—36,

???N/=36°,

故選：C.

【變式2】在△48C中，NA4c為鈍角，AF,CE都是這個(gè)三角形的高，尸為/C的中點(diǎn)，若/2=42°,

則ZEPF的度數(shù)為96。.

11

【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到尸產(chǎn)=pC=PC,PE=~AC^

PC,根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形的外角的性質(zhì)計(jì)算即可.

【解答】M：'：CE±BA,ZB=42°,

：.ZBCE=4S°,

'：AFLBC,CELBA,尸為/C的中點(diǎn)，

11

：.PF=~AC=PC,PE=~AC=PC,

：.ZPFC=ZPCF,ZPEC=ZPCE,

：.ZEPF=2ZPCF+2ZPCE=2ZBCE=96°,

故答案為：96°.

題型05矩形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1】如圖，菱形48CD的對(duì)角線NC,8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)8作8￡〃/C,過點(diǎn)C作C￡〃￡>8,BE

與CE相交于點(diǎn)E.

(1)求證：四邊形BECO是矩形；

(2)連接DE,若/2=5,NC=6,求DE的長(zhǎng).

【分析】(1)先說明四邊形2KC0是平行四邊形，再根據(jù)菱形的性質(zhì)得N3OC=90°,即可得出答案;

(2)根據(jù)菱形得性質(zhì)得CM=。。=3,OB=OD,ACLBD,再根據(jù)勾股定理得。B=不=4,進(jìn)

而得出8。，然后根據(jù)矩形的性質(zhì)，結(jié)合勾股定理求出答案.

【解答】(1)證明：,：BE//AC,CE//DB,

...四邊形BECO是平行四邊形.

???四邊形/BCD是菱形，

J.ACLBD,

：.ZBOC=9Q°,

平行四邊形BEC。是矩形；

(2)解:如圖,

:四邊形48CD是菱形，AC=6,

11

/.OA—OC=~AC=—x6=3,OB=OD,ACJLBD,

OB=JAB2-OA2=4,

：.BD=2OB=S.

???四邊形BECO是矩形，

：.BE=OC=3.

?*-DE=JBD2+BE2=V64+9=V73-

【變式1】在平行四邊形中，對(duì)角線NC,2。相交于點(diǎn)。，4DLAD,點(diǎn)E是CO的中點(diǎn)，連接?！?

過點(diǎn)C作CFLOE,交OE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F.

(1)求證：四邊形。尸C2是矩形；

(2)若4D=8,OC=12,求四邊形0FC2的面積.

【分析】(1)證?！晔堑闹形痪€，WOE//BC,再證明O5〃CF,則四邊形。尸C8是平行四邊形,

由CFLOE,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)勾股定理得出。8,進(jìn)而利用矩形的面積公式解答即可.

【解答】(1)證明：???四邊形/8CD是平行四邊形，

：.BO=DO,

?.?點(diǎn)￡是CD的中點(diǎn)，

：.OE是4BCD的中位線，

C.OE//BC,即0E//AD,

"JADLBD,

：.OF.LBD,

\'CF±OE,

：.OD//CF,BPOB//CF,

...四邊形OFCB是平行四邊形，

,JCFLOE,四邊形OFC8是矩形；

(2)解：：4D=8,DC=12,

：.BC=8,

?:/CBD=NADB=90°,

\'BD2=CD2-BC2,

BD=YJCD2-BC2=V122-82=4心

1「

：.0B=]BD=2運(yùn),

矩形OFCB的面積=0B-BC=8x2Vs=16行.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.如圖，在矩形4BCD中，對(duì)角線NC與2。相交于點(diǎn)O,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.OALOBB.ZBAC=ZACBC.OA=OBD.AD=AB

【分析】由矩形的性質(zhì)分析每個(gè)選項(xiàng)，從而可得答案.

【解答】解：：四邊形N8CD是矩形，

11

:.AC=BD,ZADC^90°,AD=BC,AD//BC,OA=~AC,OB=~BD,

：.OA±OB,不一定成立，OA=OB,一定成立，一定不成立,

故選：C.

2.如圖，四邊形N2CD的對(duì)角線/C與BD相交于點(diǎn)O,下列條件中，能判定四邊形/3CD是矩形的是（）

A.AB//DC,AB=CDB.AB//CD,AD//BC

C.AC=BD,ACLBDD.OA=OB=OC=OD

【分析】根據(jù)矩形的判定方法，一一判斷即可解決問題.

【解答】解：/、AB//DC,AB=CD,得出四邊形/BCD是平行四邊形，無法判斷四邊形/BCD是矩

形.故錯(cuò)誤；

B、AB//CD,AD//BC,得出四邊形/BCD是平行四邊形，無法判斷四邊形/8CO是矩形.故錯(cuò)誤；

C、AC=BD,ACVBD,無法判斷四邊形/BCD是矩形.故錯(cuò)誤；

D、O/=O8=OC=OD可以判斷四邊形是矩形.正確；

故選：D.

3.在口N8CD中，AC.5D是它的兩條對(duì)角線，添加下列其中一個(gè)條件就能使口/BCD成為矩形，那么添

加的條件是（）

A.AC=BDB.ACLBD

C.AB=BCD.4c平分/B4D

【分析】由矩形的判定對(duì)各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：4、由能判定口/BCD為菱形，故此選項(xiàng)符合題意；

B、由能判定口/BCD為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

C、由N2=8C能判定口/BCD為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意；

D、/C平分/R4。，能判定口45CD為菱形，故此選項(xiàng)不符合題意;

故選：A.

4.將長(zhǎng)方形紙片N2CD的兩個(gè)直角//和N2沿直線EN、折疊，得到如圖，則互為余角的是（）

A.NAEN馬NA'ENB./BEM與/B'EM

C.NHEA與NA'EBD.ZAEN^ZB'EM

【分析】根據(jù)角平分線的定義，鄰補(bǔ)角的定義，角的計(jì)算逐一判斷即可.

【解答】解：/、根據(jù)題意得EN,/AEN與/A，EN相等，故4選項(xiàng)不符合題意;

B、根據(jù)題意得EM,NBEM與/B'EN相等，故8選項(xiàng)不符合題意；

C、根據(jù)題意得N/'EA+ZA'￡8=180°,/⑷E4與NA，K2互補(bǔ)，故C選項(xiàng)不符合題意；

11

D、由題意得：^AEN=AA'EN=~^A'EA,Z.BEM=Z.B'EM=~^A'EB,

EA+ZA'￡8=180°,

1111

乙AEN+乙B'EM=-AA'EA+-^A'EB=-{^A'EA+NA'EB）=~X180°=90°,

:.NAEN與NB'EM互為余角，故。選項(xiàng)符合題意；

故選：D.

5.已知口N8CZ）的對(duì)角線相交于點(diǎn)O,分別添加下列條件：①//8C=90°；（2）AC±BD；（3）AC=BD；④

04=。。.使得口4BCD是矩形的條件是（）

A.①②③B.②③④C.①②④D.①③④

【分析】由矩形的判定和菱形的判定分別對(duì)各個(gè)條件進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：①：四邊形"BCD是平行四邊形，ZABC=90°,

...口/8CO是矩形；

②：四邊形48c。是平行四邊形，ACYBD,

...□/BCD是菱形；

③：四邊形48CD是平行四邊形，AC=BD,

是矩形；

④四邊形ABCD是平行四邊形，

11

：.OA=OC^-AC,OB=OD=~BD,

'：OA=OD,

；.AC=BD,

.?.□48CD是矩形；

綜上所述，使得口/BCD是矩形的條件為①③④，

故選：D.

6.小米同學(xué)在喝水時(shí)想到了這樣一個(gè)問題：如圖，矩形NBCD為一個(gè)正在倒水的水杯的截面圖，杯中水面

與/。的交點(diǎn)為E,當(dāng)水杯底面與水平面的夾角為37°時(shí)，/CED的大小為（）

【分析】過點(diǎn)工作4F〃①/,交.BC于F,由平行線的性質(zhì)可得NE43=NZ5N=37°,可求

53°,即可求解.

【解答】解：過點(diǎn)工作交BC于F,

:./FAB=/ABN=37°,

VZDAB=90°,

ZDAF^53°,

'：EC//BH,AF//BH,

：.AF//EC//BH,

：.ZCED=ZDAF=53°,

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形0/8C的頂點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,3）,則對(duì)角線/C的長(zhǎng)為（)

C.5D.4

【分析】由兩點(diǎn)間距離公式可求08的長(zhǎng)，由矩形的性質(zhì)可求解.

【解答】解：?點(diǎn)8的坐標(biāo)為（2,3）,

：.0B=722+32=V131

;四邊形。N2C是矩形，

；?AC=OB=V13?

8.如圖，菱形Z5CD的對(duì)角線4C,5。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)尸為45邊上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)4,B重合），尸

04于點(diǎn)￡,尸7UO5于點(diǎn)尸，若4C=16,BD=12,則跖的最小值為（

A.8B.6C.4.8D.2.4

11

【分析】連接“S作OHL4B于點(diǎn)H,由菱形的性質(zhì)得力C_L5。，OA=OC=-AC=8fOB=OD=-BD

、，I---------------11

=6,由勾股定理得45=JOA2+。5=io,由］X10。//=5乂8*6=5》08，求得OH=4.8,再證明四

邊形PEO/是矩形，貝！JM=OP,因?yàn)椤Ｊ?0”,所以MN4.8,則M的最小值為4.8,于是得到問題

的答案.

【解答】解：連接。尸，作OHLAB于點(diǎn)H,

???四邊形Z8CQ是菱形，對(duì)角線4C、AD相交于點(diǎn)O,

1111

：.ACLBD,OA=OC=-AC=-x16=8,OB=OD=-BD=~x12=6,

AZAOB=90°,

??AB=VOA2+OB2=V82+62=10,

11

AB9OH=《OA?OB=S“OB，

11

/.-x10OH=-x8X6,

解得O〃=4.8,

?；PE_LCU于點(diǎn)E,PF人OB于點(diǎn)F,

：.ZPEO=ZPFO=ZEOF=90°,

???四邊形依。尸是矩形，

：.EF=OP,

：?OP，OH,

，跖24.8,

???E尸的最小值為4.8,

故選：C.

9.如圖，在矩形45CQ中，AB=30cm,動(dòng)點(diǎn)尸從點(diǎn)4出發(fā)沿45邊以5c冽/s的速度向點(diǎn)8運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)0

從點(diǎn)C出發(fā)沿CD邊以1c加/s的速度向點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)尸和點(diǎn)。同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一

點(diǎn)也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為K則當(dāng)，=()s時(shí)，四邊形/尸0。是矩形.

【分析】由題意得，AP=5tcm,CQ=tcm,進(jìn)而由矩形的性質(zhì)可得。0=(30-t)cm,即可得5f=30-

K解方程即可求解，掌握矩形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解答】解：由題意得，CQ=tcm,AP=5tcm,

??,四邊形45C。是矩形，

:?CD=AB=30cm,

:?D@=(30-/)cm,

當(dāng)四邊形4尸°。是矩形時(shí)，DQ=AP,

.*.30-t=5t,

???6%=30,

:?t=5

故選：C.

10.如圖，一張等腰直角三角形4BC紙片，已知4B=8C=20cm,先裁剪出①號(hào)長(zhǎng)方形AEDR然后在剩

余的大紙片三角形4ra＞中剪出②號(hào)長(zhǎng)方形GHMN,且滿足W=D￡,當(dāng)①號(hào)長(zhǎng)方形的面積為64c〃/時(shí),

則②號(hào)長(zhǎng)方形的面積為（）

A.60cm-B.64cm-

C.(64V2-32)cm2D.(32V2-8)cm2

【分析】由條件判定△DEC、△NDG、△9G是等腰直角三角形，設(shè)DE=xcm,得到KC=HM=GN=

xcm,FD=BE=(20-x)cm,GD-y/2x(cm),FG=(20-x—\/2x)cm,HG—41.FG=(20V2—V2

x-2x)cm,由長(zhǎng)方形面積公式得到(20-x)x=64,求出x=4或x=16(舍去)，即可求出長(zhǎng)方形A/NG/Z

的面積=GH?GN=20缶-(2+V2)/=(64五—32)cm2.

【解答】解：是等腰直角三角形，

ZA=ZC=45°,

:四邊形用，G/7A/N是長(zhǎng)方形，

J.FD//BC,GH//AC,/DEB=/BFD=/MNG=90°,HM=GN,FD=BE,

:.NGDN=NC=45°,NHFG=NA=45°,

VZDEC=ZDNG=ZHFG=90°,

：4DEC、△NDG、△FXG是等腰直角三角形，

設(shè)DE=xcm,

"：HM=DE,

：.EC=HM=GN=xcm,

：.FD=BE=(20-x)cm,GD=&GN=G(cm),

:*FG=(20-x—y[2x}cm,

：.HG=收G=(20V2-V2X-2x)cm,