2023-2024學(xué)年江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷中所有試題必須作答在答題紙上規(guī)定的位置，否則不給分.2.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題紙上.3.作答非選擇題時(shí)必須用黑色字跡0.5毫米簽字筆書寫在答題紙的指定位置上，作答選擇題必須用2B鉛筆在答題紙上將對(duì)應(yīng)題目的選項(xiàng)涂黑.如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，請(qǐng)保持答題紙清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）1.求的值為（）A.9 B.18 C.24 D.30【答案】A【解析】，故選：A.2.已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足，則下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，因四點(diǎn)共面,由空間向量基本定理可知，需使，解得.故選：B.3.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4【答案】D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則.故選：D.4.已知的展開式共有9項(xiàng)，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】因的展開式有項(xiàng)，故，解得.故選：C.5.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線垂直于平面，且的方向向量為，平面的法向量為，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€垂直于平面α，所以直線的方向向量與平面的法向量平行，即，解得.故選：A6.從裝有4個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋子中，不放回地依次抽取兩個(gè)小球，在第一次抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”，則，所以在第一次抽取到白球的條件下，第二抽到白球的概率.故選：C.7.用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，問有（）種不同的涂法？A.24 B.48 C.96 D.120【答案】B【解析】首先給涂色有種涂法，再涂有種涂法，第三步涂有種涂法，最后涂有種涂法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知一共有種涂法.故選：B8.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.平面，且到平面的距離為B.與平面不平行，且與平面所成角大于30°C.與平面不平行，且與平面所成角小于30°D.與平面不平行，且與平面所成角等于30°【答案】C【解析】連接交點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由正四棱錐棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則,,,,,,，則，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成的角為，線面角范圍為大于等于下雨等于，則，則，故與平面不平行，且與平面所成的角小于．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）9.一個(gè)不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個(gè)紅球、兩個(gè)白球，從中不放回地任取2個(gè)球，每次取1個(gè).記事件為“第次取到的球是紅球（）”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立【答案】AD【解析】對(duì)于A，，與不互斥，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，與相互獨(dú)立，D正確.故選：AD10.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12種排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有48種排法C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，按分步乘法原理計(jì)數(shù)，甲、乙、丙站前排方法數(shù)為，丁、戊站后排方法數(shù)為，所以總的方法數(shù)為，A正確；選項(xiàng)B，甲、乙捆綁作為一個(gè)人（內(nèi)部不需要排列）與其他3人進(jìn)行排列，方法數(shù)為，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，5人全排列后，減去甲在兩端的排法，方法數(shù)為，C正確；選項(xiàng)D，甲在右端，方法數(shù)為，甲在中間方法數(shù)為，總方法數(shù)為，D正確．故選：ACD．11.在三棱錐中，已知，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.B.三棱錐的外接球的表面積為C.異面直線，所成的角的余弦值是D.三棱錐的體積為【答案】ABC【解析】三棱錐中，已知，，三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示，則有，解得，，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則有，，，，，，所以，A選項(xiàng)正確；長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，B選項(xiàng)正確；，，，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是，C選項(xiàng)正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積，為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上.）12.設(shè)離散型隨機(jī)變量滿足，則______.【答案】【解析】由離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可知故答案為：.13.設(shè)，則______.【答案】15【解析】令,則，令,則，所以.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，平面，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【解析】因?yàn)椋覟槠矫娴囊粋€(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為：，故答案為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，，.（1）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)?，所以解得，即，由，且得，解得，即的值?（2）因?yàn)橄蛄颗c向量，共面，所以設(shè)，R，因此，即解得，所以的值為.16.把稱為的二項(xiàng)展開式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，其中是正整數(shù).（1）若的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，求展開式的常數(shù)項(xiàng)；（2）若展開式中第2項(xiàng)系數(shù)為12，求的展開式中的系數(shù).解：（1）由已知得，即，所以，令，得，所以，即展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.（2）由已知得，所以，即，所以展開式中含的項(xiàng)為：，即的系數(shù)為：.17.（1）已知某中學(xué)召開會(huì)議，要求數(shù)學(xué)組的6名老師中至少有1人參加會(huì)議，問共有多少種不同的安排方法？（請(qǐng)用數(shù)字作答）（2）已知某中學(xué)需要選派6名老師去甲、乙、丙三所學(xué)校支教，每名老師只能去一所學(xué)校.若甲校安排1名老師，乙校安排2名老師，丙校安排3名老師，問共有多少種不同的安排方法？（請(qǐng)用數(shù)字作答）解：（1）每人有參加或不參加會(huì)議兩種狀態(tài)，6人有種情形，其中都不參加會(huì)議的情形只有1種，因此所求方法數(shù)為；（2）按分步乘法原理計(jì)數(shù)，第一步選一人去甲校，第二步在剩下的5人中選2人去乙校，最后還有3人去丙校，總的方法數(shù)為．18.如圖，在四棱錐中，平面平面，，且，，，，，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求平面與平面所成銳二面角的余弦值；（3）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，若存在，求出的值；若不存在，說(shuō)明理由.解：（1）在四棱錐中，平面平面，平面平面，又，平面，則平面，取的中點(diǎn)，連接，由，，得，則，而，于是，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，得，顯然，則，又平面，所以平面.（2）設(shè)平面的一個(gè)法向量為，而，，則，令，得，則，所以平面與平面所成銳二面角的余弦值.（3）假設(shè)線段上存在一點(diǎn)滿足條件，令，，則，即，由（1）知平面的一個(gè)法向量，于是，整理得：，即，而，解得，所以在線段上存在點(diǎn)，使得直線與平面所成角的正弦值為，且.19.從甲、乙、丙、丁4人中隨機(jī)抽取3個(gè)人去做傳球訓(xùn)練.訓(xùn)練規(guī)則是確定一人第一次將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能地將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，每次必須將球傳出.（1）記甲乙丙三人中被抽到的人數(shù)為隨機(jī)變量，求的分布列；（2）若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，記次傳球后球在甲手中的概率為，.①直接寫出，，的值；②求與的關(guān)系式（），并求（）.解：（1）的可能取值為2和3，則，所以隨機(jī)變量的分布列為：23（2）①若剛好抽到甲乙丙三個(gè)人相互做傳球訓(xùn)練，且第1次由甲將球傳出，次傳球后球在甲手中的概率為，，則有，，.②記表示事件“經(jīng)過次傳球后，球在甲手中”，所以即，，所以，且.所以數(shù)列表示以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，所以即次傳球后球在甲手中的概率是.江蘇省鹽城市五校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試卷中所有試題必須作答在答題紙上規(guī)定的位置，否則不給分.2.答題前，務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)用0.5毫米黑色墨水簽字筆填寫在試卷及答題紙上.3.作答非選擇題時(shí)必須用黑色字跡0.5毫米簽字筆書寫在答題紙的指定位置上，作答選擇題必須用2B鉛筆在答題紙上將對(duì)應(yīng)題目的選項(xiàng)涂黑.如需改動(dòng)，請(qǐng)用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，請(qǐng)保持答題紙清潔，不折疊、不破損.第Ⅰ卷（選擇題共58分）一、單項(xiàng)選擇題：（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）1.求的值為（）A.9 B.18 C.24 D.30【答案】A【解析】，故選：A.2.已知空間四面體中，對(duì)空間內(nèi)任一點(diǎn)，滿足，則下列條件中能確定點(diǎn)共面的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】由，因四點(diǎn)共面,由空間向量基本定理可知，需使，解得.故選：B.3.已知隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，若，則（）A.0.6 B.0.3 C.0.2 D.0.4【答案】D【解析】因?yàn)殡S機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，則.故選：D.4.已知的展開式共有9項(xiàng)，則（）A.6 B.7 C.8 D.9【答案】C【解析】因的展開式有項(xiàng)，故，解得.故選：C.5.設(shè)為實(shí)數(shù)，若直線垂直于平面，且的方向向量為，平面的法向量為，則的值為（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】因?yàn)橹本€垂直于平面α，所以直線的方向向量與平面的法向量平行，即，解得.故選：A6.從裝有4個(gè)紅球，2個(gè)白球的袋子中，不放回地依次抽取兩個(gè)小球，在第一次抽到白球的條件下，第二次抽到白球的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】記事件表示“第一次取到白球”，事件表示“第二次取到白球”，則，所以在第一次抽取到白球的條件下，第二抽到白球的概率.故選：C.7.用4種不同的顏色給如圖所示的4塊區(qū)域上色，要求相鄰2塊涂不同的顏色，問有（）種不同的涂法？A.24 B.48 C.96 D.120【答案】B【解析】首先給涂色有種涂法，再涂有種涂法，第三步涂有種涂法，最后涂有種涂法，按照分步乘法計(jì)數(shù)原理可知一共有種涂法.故選：B8.如圖，在棱長(zhǎng)均為2的正四棱錐中，為棱的中點(diǎn)，則下列判斷正確的是（）A.平面，且到平面的距離為B.與平面不平行，且與平面所成角大于30°C.與平面不平行，且與平面所成角小于30°D.與平面不平行，且與平面所成角等于30°【答案】C【解析】連接交點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，方向分別軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，由正四棱錐棱長(zhǎng)均為，點(diǎn)為的中點(diǎn)，則,,,,,,，則，，，設(shè)是平面的一個(gè)法向量，則，取，得，設(shè)與平面所成的角為，線面角范圍為大于等于下雨等于，則，則，故與平面不平行，且與平面所成的角小于．故選：C．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3個(gè)小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙的指定位置填涂答案選項(xiàng).）9.一個(gè)不透明箱子中有大小形狀均相同的兩個(gè)紅球、兩個(gè)白球，從中不放回地任取2個(gè)球，每次取1個(gè).記事件為“第次取到的球是紅球（）”，事件為“兩次取到的球顏色相同”，事件為“兩次取到的球顏色不同”，則（）A.與不互斥 B.C. D.與相互獨(dú)立【答案】AD【解析】對(duì)于A，，與不互斥，A正確；對(duì)于B，，，則，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，，與相互獨(dú)立，D正確.故選：AD10.甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（）A.甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有12種排法B.5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有48種排法C.5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D.5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】ACD【解析】選項(xiàng)A，按分步乘法原理計(jì)數(shù)，甲、乙、丙站前排方法數(shù)為，丁、戊站后排方法數(shù)為，所以總的方法數(shù)為，A正確；選項(xiàng)B，甲、乙捆綁作為一個(gè)人（內(nèi)部不需要排列）與其他3人進(jìn)行排列，方法數(shù)為，B錯(cuò)；選項(xiàng)C，5人全排列后，減去甲在兩端的排法，方法數(shù)為，C正確；選項(xiàng)D，甲在右端，方法數(shù)為，甲在中間方法數(shù)為，總方法數(shù)為，D正確．故選：ACD．11.在三棱錐中，已知，，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，則（）A.B.三棱錐的外接球的表面積為C.異面直線，所成的角的余弦值是D.三棱錐的體積為【答案】ABC【解析】三棱錐中，已知，，三棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體，如圖所示，則有，解得，，以為原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，則有，，，，，，所以，A選項(xiàng)正確；長(zhǎng)方體的外接球的半徑為，這個(gè)外接球也是三棱錐的外接球，其表面積為，B選項(xiàng)正確；，，，所以異面直線AN，CM所成的角的余弦值是，C選項(xiàng)正確；三棱錐，三棱錐，三棱錐，三棱錐，體積都為，三棱錐的體積等于長(zhǎng)方體體積減去這四個(gè)三棱錐體積，為，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：ABC.第Ⅱ卷（非選擇題共92分）三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，計(jì)15分.不需要寫出解答過程，請(qǐng)把答案寫在答題紙的指定位置上.）12.設(shè)離散型隨機(jī)變量滿足，則______.【答案】【解析】由離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)，可知故答案為：.13.設(shè)，則______.【答案】15【解析】令,則，令,則，所以.故答案為：.14.在空間直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)，向量，平面，則點(diǎn)到平面的距離為______.【答案】【解析】因?yàn)?，且為平面的一個(gè)法向量，則點(diǎn)到平面的距離為：，故答案為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分，請(qǐng)?jiān)诖痤}紙指定的區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟.）15.已知向量，，.（1）當(dāng)時(shí)，若向量與垂直，求實(shí)數(shù)的值；（2）若向量與向量，共面，求實(shí)數(shù)的值.解：（1）因?yàn)?，所以解得，即，由，且得，解得，即的值?（2）因?yàn)橄蛄颗c向量，共面，所以設(shè)，R，因此，即解得，所以的值為.16.把稱為的二項(xiàng)展開式所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，其中是正整數(shù).（1）若的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和為64，求展開式的常數(shù)項(xiàng)；（2）若展開式中第2項(xiàng)系數(shù)為12，求的展開式中的系數(shù).解：（1）由已知得，即，所以，令，得，所以，即展開式中的常數(shù)項(xiàng)為：.（2）由已知得，所以，即，所以展開式中含的項(xiàng)為：，即的系數(shù)為：.17.（1）已知某中學(xué)召開會(huì)議，要求數(shù)學(xué)組的6名老師中至少有1人參加會(huì)議，問共有多少種不同的安排方法？（請(qǐng)用數(shù)字作答）（2）已知某中學(xué)需要選派6名老師去甲、乙、丙三所學(xué)校支教，每名老師只能去一所學(xué)校.若甲校安排1名老師，乙校安排2名老師，丙校安排3名老師，問共有多少種不同的安排方法？（請(qǐng)用數(shù)字作答）解：（1）每人有參加或不參加會(huì)議兩種狀態(tài)，6人有種情形，其中都不參加會(huì)議的情形只有1種，因此所求方法數(shù)為；（2）