2023-2024學(xué)年江蘇省宿遷市泗洪縣高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1江蘇省宿遷市泗洪縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（共8題）、多項(xiàng)選擇題（共3題）、填空題（共3題）、解答題（共5題），滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)等用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡的指定位置．3．作答題目必須用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗，描寫清楚．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2.已知向量，且，則x的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)可得存在實(shí)數(shù)滿足，即，即可得，解得.故選：D.3.某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（）A.24種 B.10種 C.9種 D.15種【答案】D【解析】依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有中選擇；所以共有種選擇.故選：D.4.已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】因?yàn)榭臻g單位向量?jī)蓛纱怪?所以，所以.故選：A.5.已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC上，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：取，，為基底，則，，所以.又，.所以.故選：C.6.數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當(dāng)中都蘊(yùn)含了一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，這個(gè)數(shù)列前兩項(xiàng)都是1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和，請(qǐng)你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共6級(jí)臺(tái)階，小明每步可以上一級(jí)或二級(jí)，請(qǐng)問小明的不同走法種數(shù)是（）A.20 B.13 C.12 D.15【答案】B【解析】設(shè)級(jí)臺(tái)階的走法為，則，（走法有每步上一級(jí)或一步二級(jí)，共2種走法），當(dāng)時(shí)，（可以從第級(jí)臺(tái)階跨一級(jí)到達(dá)第級(jí)，或從第級(jí)臺(tái)階跨二級(jí)到達(dá)第級(jí)）.所以：，，，.故選：B.7.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側(cè)面是正方形,又是的交點(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.8.已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)是內(nèi)切球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，又，則，又正方體棱長為2，則正方體的內(nèi)切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當(dāng)，反向時(shí)，，有最小值為；當(dāng)，同向時(shí)，，有最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小愿，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知，則B.已知，則C.4個(gè)人排成一排，則甲不站首尾的排法有12種D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙兩人不相鄰共有12種排法【答案】ACD【解析】對(duì)A：由，且，解得，故A正確；對(duì)B：由或解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：先排甲，有2種排法，再排其余3人，有種排法，故滿足條件的排法有：種.故C正確；對(duì)D：先排丙、丁兩人，有種排法，出現(xiàn)3個(gè)空，再排甲、乙兩人，有種排法，故滿足條件的排法有：種.故D正確.故選：ACD.10.已知，，若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A B. C. D.【答案】BC【解析】隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知展開式中共有8項(xiàng)．則該展開式結(jié)論正確的是（）A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng) D.有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】AD【解析】因?yàn)榈恼归_式共有8項(xiàng)，所以.所以所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)B：令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：.對(duì)C：設(shè)，由，所以第3項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由為整數(shù)，且可得，的值可以為：，所以二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】4【解析】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)公式為，所以的一次項(xiàng)的系數(shù)為.13.已知，，，若向量與垂直（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則x等于______．【答案】【解析】，，向量與垂直，，．14.設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，則的一個(gè)可能的值為______．【答案】（答案不唯一，在內(nèi)均可）【解析】因?yàn)锳，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，；當(dāng)A，B互斥時(shí)，，當(dāng)事件B包含事件A時(shí)，；所以可得，即，因此的一個(gè)可能的值為.（答案不唯一，在內(nèi)均可）四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖所示，在空間四邊形中，與成角，與成角，與成角，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試求，間的距離．解：以，，為基底，則，.又，所以，所以，即，間的距離為3.16.某快遞中轉(zhuǎn)站有甲、乙、丙三個(gè)快遞員，已知各快遞員運(yùn)送量分別占該中轉(zhuǎn)站業(yè)務(wù)量的25%，35%，40%，據(jù)統(tǒng)計(jì)各業(yè)務(wù)員被客戶評(píng)為滿意的依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞．（1）求客戶滿意的概率；（2）若客戶滿意，則本次滿意是甲、乙、丙的概率分別是多少？解：（1）從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，是甲運(yùn)送且被客戶評(píng)為滿意的概率為：；從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，是乙運(yùn)送且被客戶評(píng)為滿意的概率為：；從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，是丙運(yùn)送且被客戶評(píng)為滿意的概率為：.所以從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，客戶滿意的概率為：.（2）設(shè)“客戶滿意”為事件，此快遞由甲，乙，丙運(yùn)送分別記為事件，則客戶滿意且是甲運(yùn)送的概率為：,客戶滿意且是乙運(yùn)送的概率為：,客戶滿意且是丙運(yùn)送的概率為：.17.如圖所示：多面體中，四邊形為菱形，四邊形為直角梯形，且，平面，．（1）證明：平面；（2）若直線與平面所成的角為，求平面與平面所成角的余弦值．解：（1）因?yàn)槠矫?，平面，所以；又底面為菱形，所以；又，平面，所以平?（2）如圖：設(shè)，取的中點(diǎn)，連接，則，所以平面.故可以以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)闉橹本€與平面所成的角，所以.又,所以O(shè)0,0,0，，，，，則，.設(shè)平面的法向量為，則，取.又為平面的法向量，設(shè)平面與平面所成的角為，則.18.高考結(jié)束后，甲、乙兩同學(xué)決定各購置一部手機(jī)，經(jīng)了解，目前市場(chǎng)上銷售的主流國產(chǎn)手機(jī)有：華為、小米、、等；甲從華為、、中挑選，乙從，中挑選，甲、乙二人選擇各類型手機(jī)的概率如下表：華為甲乙0若甲、乙都選概率為.（1）求，的值；（2）求甲、乙選擇不同手機(jī)的概率；（3）某手機(jī)市場(chǎng)舉辦購買手機(jī)進(jìn)行打折活動(dòng)，活動(dòng)標(biāo)準(zhǔn)如下表：手機(jī)華為補(bǔ)貼金額（百元部）354記甲、乙兩人購手機(jī)所獲得的補(bǔ)貼和為元，求的分布列.解：（1）由題表中數(shù)據(jù)及題意，得，所以，又因?yàn)?，所以；?）設(shè)甲、乙選擇不同手機(jī)為事件，則；（3）根據(jù)題意，的可能取值為700，800，900，1000，則，，，，所以的分布列為：700800900100019.的展開式中，把，，，…，叫做三項(xiàng)式的n次系數(shù)列．（1）求的值；（2）根據(jù)二項(xiàng)式定理，將等式的兩邊分別展開可得左右兩邊的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等，如．理解上述思想方法，利用方程，請(qǐng)化簡(jiǎn)：．解：（1）因?yàn)椋畹茫?；令得?兩式相減得：.（2）因?yàn)?，，所以展開式中，的系數(shù)為：又展開式中，，由，所以的系數(shù)為：.所以.江蘇省宿遷市泗洪縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)考生在答題前請(qǐng)認(rèn)真閱讀本注意事項(xiàng)及各題答題要求1．本試卷共6頁，包含單項(xiàng)選擇題（共8題）、多項(xiàng)選擇題（共3題）、填空題（共3題）、解答題（共5題），滿分為150分，考試時(shí)間為120分鐘．考試結(jié)束后，請(qǐng)將答題卡交回．2．答題前，請(qǐng)務(wù)必將自己的姓名、考試號(hào)等用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡的指定位置．3．作答題目必須用0.5毫米黑色簽字筆填寫在答題卡上的指定位置，在其它位置作答一律無效．如有作圖需要，可用2B鉛筆作答，并請(qǐng)加黑、加粗，描寫清楚．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】在空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：C.2.已知向量，且，則x的值為（）A.0 B. C. D.【答案】D【解析】根據(jù)可得存在實(shí)數(shù)滿足，即，即可得，解得.故選：D.3.某女生有3件不同顏色的襯衣，4件不同花樣的裙子，另有3套不同樣式的連衣裙，“五一”節(jié)選擇一套服裝參加歌舞演出，則不同的選擇方式有（）A.24種 B.10種 C.9種 D.15種【答案】D【解析】依題意可知，有兩類衣服可選，第一類：選擇襯衣和裙子，共有種選擇；第二類：選擇連衣裙，共有中選擇；所以共有種選擇.故選：D.4.已知空間單位向量，，兩兩垂直，則（）A. B. C.3 D.6【答案】A【解析】因?yàn)榭臻g單位向量?jī)蓛纱怪?所以，所以.故選：A.5.已知正四面體ABCD的棱長為2，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AC上，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖：取，，為基底，則，，所以.又，.所以.故選：C.6.數(shù)學(xué)與自然、生活相伴相隨，無論是蜂的繁殖規(guī)律，樹的分枝，還是鋼琴音階的排列，當(dāng)中都蘊(yùn)含了一個(gè)美麗的數(shù)學(xué)模型Fibonacci（斐波那契數(shù)列）：1，1，2，3，5，8，13，21…，這個(gè)數(shù)列前兩項(xiàng)都是1，從第三項(xiàng)起，每一項(xiàng)都等于前面兩項(xiàng)之和，請(qǐng)你結(jié)合斐波那契數(shù)列，嘗試解答下面的問題：小明走樓梯，該樓梯一共6級(jí)臺(tái)階，小明每步可以上一級(jí)或二級(jí)，請(qǐng)問小明的不同走法種數(shù)是（）A.20 B.13 C.12 D.15【答案】B【解析】設(shè)級(jí)臺(tái)階的走法為，則，（走法有每步上一級(jí)或一步二級(jí)，共2種走法），當(dāng)時(shí)，（可以從第級(jí)臺(tái)階跨一級(jí)到達(dá)第級(jí)，或從第級(jí)臺(tái)階跨二級(jí)到達(dá)第級(jí)）.所以：，，，.故選：B.7.如圖，在平行六面體中，底面是菱形，側(cè)面是正方形，且，，，若P是與的交點(diǎn)，則異面直線與的夾角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】在平行六面體中,四邊形是平行四邊形,側(cè)面是正方形,又是的交點(diǎn),所以是的中點(diǎn),因?yàn)?,,所以，所以，所以又，所以，可得,，所以異面直線與的夾角的余弦值為.故選：A.8.已知正方體的棱長為2，球是正方體的內(nèi)切球，點(diǎn)是內(nèi)切球表面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】取中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，又，則，又正方體棱長為2，則正方體的內(nèi)切球半徑為1，則，，所以，所以，所以當(dāng)，反向時(shí)，，有最小值為；當(dāng)，同向時(shí)，，有最大值為.故選：D.二、選擇題：本題共3小愿，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.已知，則B.已知，則C.4個(gè)人排成一排，則甲不站首尾的排法有12種D.甲、乙、丙、丁四人排成一排，則甲、乙兩人不相鄰共有12種排法【答案】ACD【解析】對(duì)A：由，且，解得，故A正確；對(duì)B：由或解得或，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：先排甲，有2種排法，再排其余3人，有種排法，故滿足條件的排法有：種.故C正確；對(duì)D：先排丙、丁兩人，有種排法，出現(xiàn)3個(gè)空，再排甲、乙兩人，有種排法，故滿足條件的排法有：種.故D正確.故選：ACD.10.已知，，若隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，則（）A B. C. D.【答案】BC【解析】隨機(jī)事件A，B相互獨(dú)立，，，對(duì)于A，，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，，D錯(cuò)誤.故選：BC.11.已知展開式中共有8項(xiàng)．則該展開式結(jié)論正確的是（）A.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為128 B.所有項(xiàng)的系數(shù)和為1C.系數(shù)最大項(xiàng)為第4項(xiàng) D.有理項(xiàng)共有4項(xiàng)【答案】AD【解析】因?yàn)榈恼归_式共有8項(xiàng)，所以.所以所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故A正確；對(duì)B：令，可得所有項(xiàng)的系數(shù)和為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)槎?xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為：.對(duì)C：設(shè)，由，所以第3項(xiàng)的系數(shù)最大，故C錯(cuò)誤；對(duì)D：由為整數(shù)，且可得，的值可以為：，所以二項(xiàng)展開式中，有理項(xiàng)共有4項(xiàng)，故D正確.故選：AD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分12.展開式中，x的一次項(xiàng)的系數(shù)為______．【答案】4【解析】因?yàn)榈恼归_通項(xiàng)公式為，所以的一次項(xiàng)的系數(shù)為.13.已知，，，若向量與垂直（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則x等于______．【答案】【解析】，，向量與垂直，，．14.設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，，則的一個(gè)可能的值為______．【答案】（答案不唯一，在內(nèi)均可）【解析】因?yàn)锳，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，且，；當(dāng)A，B互斥時(shí)，，當(dāng)事件B包含事件A時(shí)，；所以可得，即，因此的一個(gè)可能的值為.（答案不唯一，在內(nèi)均可）四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.如圖所示，在空間四邊形中，與成角，與成角，與成角，且，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，試求，間的距離．解：以，，為基底，則，.又，所以，所以，即，間的距離為3.16.某快遞中轉(zhuǎn)站有甲、乙、丙三個(gè)快遞員，已知各快遞員運(yùn)送量分別占該中轉(zhuǎn)站業(yè)務(wù)量的25%，35%，40%，據(jù)統(tǒng)計(jì)各業(yè)務(wù)員被客戶評(píng)為滿意的依次為5%，4%，2%．現(xiàn)從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞．（1）求客戶滿意的概率；（2）若客戶滿意，則本次滿意是甲、乙、丙的概率分別是多少？解：（1）從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，是甲運(yùn)送且被客戶評(píng)為滿意的概率為：；從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，是乙運(yùn)送且被客戶評(píng)為滿意的概率為：；從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，是丙運(yùn)送且被客戶評(píng)為滿意的概率為：.所以從該中轉(zhuǎn)站隨機(jī)運(yùn)送一件快遞，客戶滿意的概率為：.（2）設(shè)“客戶滿意”為事件，此快遞由甲，乙，丙運(yùn)送分別記為事件，則客戶滿意且是甲運(yùn)送的概率為：,客戶滿意且是乙運(yùn)送的概率為：,客