2025年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷（含解析）

2025年廣東省廣州市高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足l+iz=i,貝1的虛部為()

A.-1B.1C.-iD.i

2.已知集合A={x[03xWa},B={x\x2-2x<0},若BU4,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

A.(0,2)B.(0,2]C.(2,+oo)D.[2,+8)

3.在平行四邊形4BCD中，點(diǎn)E是8C邊上的點(diǎn)，端=4前，點(diǎn)F是線段DE的中點(diǎn)，若行=4歷+〃而，

則〃=()

573

A，7B.1C.gD.7

484

4.已知球。的表面積為4TT,一圓臺(tái)的上、下底面圓周都在球。的球面上，且下底面過球心。，母線與下底面

所成角為導(dǎo)則該圓臺(tái)的側(cè)面積為()

A3V3n3c3/3c0

A.---7TB.-7TC.---7TD.371

422

5.已知點(diǎn)P在雙曲線C：盤-，=1(。>0方>0)上，且點(diǎn)P到C的兩條漸近線的距離之積等于則C的離

心率為()

A.3B.2C.73D.<2

6.已知實(shí)數(shù)a,b滿足3a=空，則下列不等式可能成立的是()

A.6<a<0B.2h<a<0C.0<a<bD.0<2b<a

7.已知3>0,曲線y=costo%與y=cos?X-今相鄰的三個(gè)交點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)直角三角形，則3=()

A《iiB.^TTC.YITTD.<37r

8.定義域?yàn)镽的偶函數(shù)/(x)在(-8,0]上單調(diào)遞減，且/(3)=0,若關(guān)于x的不等式(zn久-2)/(%-2)>

(nx+3)/(2-x)的解集為[-1,+8),貝電機(jī)-2”+en+i的最小值為()

A.2e3B.2e2C.2eD.2/e

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.某位射擊運(yùn)動(dòng)員的兩組訓(xùn)練數(shù)據(jù)如下：第一組：10,7,7,8,8,9,7；第二組：10,5,5,8,9,

9,10.則()

A.兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)相等

B.第一組數(shù)據(jù)的方差大于第二組數(shù)據(jù)的方差

C.兩組數(shù)據(jù)的極差相等

D.第一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)小于第二組數(shù)據(jù)的中位數(shù)

10.已知函數(shù)/'(久)=+ax在久=3處取得極大值，/'(久)的導(dǎo)函數(shù)為1(久)，貝!]()

4

AA.a=-

B.當(dāng)0<久<1時(shí)，f(x)>/(x2)

C.f'(2+x)=f'(2-x)

D.當(dāng)1WX1<尤2<3且％】+x2<4時(shí),f(xi)+/(%2)<y

11.如圖，半徑為1的動(dòng)圓C沿著圓0：/+必=1外側(cè)無滑動(dòng)地滾動(dòng)一

周，圓C上的點(diǎn)P(a,6)形成的外旋輪線「因其形狀像心形又稱心臟線.已知

運(yùn)動(dòng)開始時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)4(1,0)重合.以下說法正確的有()

A.曲線r上存在到原點(diǎn)的距離超過26的點(diǎn)

B.點(diǎn)(1,2)在曲線「上

C.曲線T與直線x+y—272=0有兩個(gè)交點(diǎn)

D.網(wǎng)〈苧

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

3

12.已知cosas譏(a—0)—sinacos(/3-?)=-,貝!JsinS=.

13.將1,2,3,…，9這9個(gè)數(shù)字填在3x3的方格表中，要求每一行從左到右、每一列從上到

下的數(shù)字依次變小.若將4填在如圖所示的位置上，則填寫方格表的方法共有種.

14.在正三棱錐P—A8C中，PA=PB^PC=372,AB=6,點(diǎn)。在△力8c內(nèi)部運(yùn)動(dòng)(包括邊界)，點(diǎn)。到棱

PA,PB,PC的距離分別記為四，d2,d3,且諼+巡+退=20,則點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,已知c=a(l+2cos8).

(1)求證：B=2A；

(2)若a=3,b=2，^,求△4BC的面積.

16.(本小題15分)

如圖，在四棱錐P-4BCD中，底面力BCD為矩形，AB=2BC=2,側(cè)面PCD是等邊三角形，三棱錐4-

PBD的體積為苧，點(diǎn)E是棱CP的中點(diǎn).

(1)求證：平面P8C_L平面PCD；

(2)求平面BDE與平面4BCD夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

nOeN*,nN3)個(gè)人相互傳球，傳球規(guī)則如下：若球由甲手中傳出，則甲傳給乙；否則，傳球者等可能地

將球傳給另外的n-1個(gè)人中的任何一個(gè).第一次傳球由甲手中傳出，第k(k6N*)次傳球后，球在甲手中的

概率記為4式￡)，球在乙手中的概率記為當(dāng)(￡).

(1)求45(2)，理⑵，4(3)，%(3)；

(2)求力式外；

(3)比較&(k+1)與甘4n(k)的大小，并說明理由.

18.(本小題17分)

已知?jiǎng)狱c(diǎn)P到點(diǎn)尸弓,0)的距離等于它到直線x=-義的距離，記動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為曲線C.

(1)求C的方程；

(2)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)M(2,0)且斜率存在的直線1與C相交于4,8兩點(diǎn)，直線4。與直線x=-2相交于點(diǎn)

D,過點(diǎn)B且與C相切的直線交x軸于點(diǎn)E.

①證明：直線0E〃/;

(苴)滿足四邊形4BDE的面積為12的直線/共有多少條？說明理由.

19.(本小題17分)

已知neN*且?guī)?gt;3,集合/九={alta2,...,an},其中0<a1<a2<<an.若存在函數(shù)/(%)(/(%)W%),其

圖象在區(qū)間。=上是一段連續(xù)曲線，且{/@)|七e4J=4，則稱/(%)是/九的7變換函數(shù)，集合4九

是。的T子集.例如，設(shè)&={|，1，，^，2,3},此時(shí)函數(shù)/(%)=|是4的T變換函數(shù)，4是。,3］的T子集.

(1)判斷集合{1,2,8,9}是否是［1,9］的T子集？說明理由;

（2）判斷人久）=ln（l+金是否為集合/的7變換函數(shù)？說明理由；

⑶若七<%0，/6N*,1Wi</W71）,則\"小試問是否存在函數(shù)/（X），使得集合41是。=瓦叫的T

子集？若存在，求/（%）的解析式；若不存在，說明理由.

答案解析

1.【答案】B

【解析】解:由1+iz=i,

得Z=平=(T犁T)=1+1,

可得復(fù)數(shù)Z的虛部為1.

故選：B.

直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡(jiǎn)得答案.

本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)的基本概念，是基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因?yàn)锽=(x\x2-2x<0]-{x|0<x<2],A={x|0<x<a),

因BcA,貝Ua>2,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是[2,+?).

故選：D.

求出集合B結(jié)合數(shù)軸推斷a的取值范圍.

本題主要考查了集合包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】C

1317

即

一

殖

研

2而

【解析】解：由題意可得荏=*而+荏)=2-4-8-

所以〃=r.2-

O

故選：C.

根據(jù)題意由平面向量的線性運(yùn)算求解即可.

本題考查平面向量的線性運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】B

【解析】解：球。的表面積為4兀，一圓臺(tái)的上、下底面圓周都在球。的球面上，且下底面過球心0,母線與

下底面所成角為宗

作出示意圖如圖所示:

設(shè)球的半徑為04=0B,由題意可得=所以。AB是等邊三角形，

所以乙40B=1所以/。1。8=巳

JO

因?yàn)榍?。的表面積為4兀，所以4兀xCM?=4兀，解得。4=1,所以。B=4B=1,

所以。iB=RB=/

所以圓臺(tái)的側(cè)面積為義(2兀x1+2兀乂3x1=y.

故選：B.

設(shè)出球的半徑，求出圓臺(tái)上下底面的半徑，圓臺(tái)的母線，由圓臺(tái)的側(cè)面展圖形是扇環(huán)，利用圓臺(tái)的側(cè)面積

公式可求圓臺(tái)的側(cè)面積.

本題主要考查圓臺(tái)的側(cè)面積，考查計(jì)算能力，屬于中檔題.

5.【答案】D

【解析】解：雙曲線C：盤—3=1(a>0,6〉0)的兩條漸近線的方程為以±@=0,

設(shè)P(x,y),利用點(diǎn)P到雙曲線的兩條漸近線的距離之積為|三字I=4，

b+az乙

可得|4。|=一，可得a=b,?,?雙曲線的離心率e=￡=/1+勺=

az+b乙a\ia

故選：D.

雙曲線C：1―馬=1(￡1>0為>0的兩條漸近線的方程為入士@=0,設(shè)P(x,y),利用點(diǎn)P到雙曲線的兩

ab

條漸近線的距離之積為|專誓I=日，求出a、b關(guān)系,然后求出雙曲線的離心率.

本題考查了雙曲線的性質(zhì)、離心率、距離公式，屬于中檔題.

6.【答案】B

【解析】解：設(shè)3a=4匕=々，當(dāng)々=1時(shí)，a=b=O,

當(dāng)k>1時(shí)，a=log3k>0,/?=log4k>0,

Igk

_log^k=掇=瞿=log34>1,所以a>b>0,

blog.k堊lg3

ig4

Igk

因?yàn)?b=log2/c>0,^-=獸#=卷=蹩=log3^<1，所以2b>a>0,

oz2blog?k磔lg3-

ig2

當(dāng)0<k<1時(shí)，a=log3fc<0,6=log4k<0，2b=log2k<0,

cf

9-/4

a3341

--zo-y---9>

b9￥3zo3

zo4-

4

因?yàn)榇?，。％2<1，所以0>a>2b.

故選：B.

根據(jù)題意分k=1,fc>l,0<々<1三種情況結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算和性質(zhì)即可求解.

本題考查指對(duì)互化，對(duì)數(shù)的運(yùn)算，對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于中等題.

7.【答案】A

【解析】解：設(shè)曲線y=。053%與)7=COS3%-今相鄰的三個(gè)交點(diǎn)分別為做工21),8(%2，、2)，。(%3，丫3)，

由cosa)x—cos(o)x—^)=^cosa)x+?sinoox,可得苧sinoox—|cosoox=0,

即sin?X-”=0,解得％=聶+看(kEZ),

不妨取々=0、1、2,解得%1=3％2=答，孫=警，所以，1=殍，丫2=-理，丫3=苧.

oCOOCi)03ZZZ

22

可得=BC=(3)2+3,AC=(第2,

根據(jù)△順：為直角三角形，可得人5+叱=心，即2?)2+6=(第2,解得八苧兀.

故選：A.

根據(jù)題意，設(shè)曲線y=。053%與〉=COS(3X-/)相鄰的三個(gè)交點(diǎn)分別為B。2,丫2)，C(久3，、3)，根

據(jù)COS3X=COS(3X-9，運(yùn)用兩角差的余弦公式、輔助角公式化簡(jiǎn)，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出交點(diǎn)坐標(biāo)，

然后在△ABC中根據(jù)勾股定理建立關(guān)于3的等式，解出3的值.

本題主要考查兩角和與差的三角函數(shù)公式、正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，屬于中檔題.

8.【答案】C

【解析】解：因?yàn)?(乃為偶函數(shù)，所以/(*)=/(—X)，

貝行。-2)=〃2—久)，

由(mx—2)f(x—2)>(nx+3)/(2—x)，

得［(m-n)x-5］/(x-2)>0,

又因?yàn)楹瘮?shù)/(%)在(一8,0］上單調(diào)遞減，且/(-3)=/(3)=0,

則函數(shù)f(%)在［0,+8)上單調(diào)遞增，

則ie(-co,-3)u(3,+8)時(shí)，/(%)>o,

當(dāng)工€(—3,3)時(shí)，/(%)<0,

則當(dāng)％e(-oo,-i)u(5,+8)時(shí)，f(x-2)>0,

當(dāng)％W(—1,5)時(shí),/(%-2)<0,

所以/(%-2)<0的解集為［-1,5］,/(%-2)>0的解集為U［5,+8),

由于不等式［(租-n)x-5］/(x-2)>0的解集為［-1,+oo),

當(dāng)租=九時(shí)，不等式［(血—n)x—5］/(x-2)>0為(―5)?/(%—2)>0,

此時(shí)解集為［-1,5］,不符合題意；

當(dāng)m>九時(shí)，不等式(m—n)x—5>0解為無>二一，

不等式(m—n)x—5<0解為久<—,

要使不等式［(m-n)x-5］/(x-2)>0的解集為［-1,+8),

則一^―=5,即m=n+1；

m-n

當(dāng)租<九時(shí)，不等式(TH—n)x—5>0解為％<—,

m—n

不等式(租一n)x-5<0解為汽>—

m—n

此時(shí)不等式［(m-n)x-5］/(x-2)>0的解集不為［-1,+oo)；

綜上所述，m=n+1,

則e?n-2n+en+l="+「如+en+l=g-n-l+en+l>e"I?…=2e,

當(dāng)且僅當(dāng)0-"+i="+1即n=0,m-1時(shí)等號(hào)成立，

SPem-2n+en+i的最小值為2e.

故選：C.

由/'(X)為偶函數(shù)可得-2)=f(2-x),轉(zhuǎn)化題設(shè)不等式為(mx-nx-5)/(%-2)>0,結(jié)合單調(diào)性分

析易得“萬(wàn)—2)W0的解集為[—1,5],"X—2)2。的解集為(—8,—1]0[5,+8),再結(jié)合題意可得5為方程

7M久-71X-5=0的根，進(jìn)而得到771=71+1,進(jìn)而結(jié)合基本不等式求解即可.

本題考查函數(shù)與不等式的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

9.【答案】AD

【解析】解：第一組：10,7,7,8,8,9,7；

則第一組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?,7,7,8,8,9,10,

1

其平均數(shù)為"(7+7+7+8+8+9+10)=8,

其方差為;[(10-8)2+(7-8)2+(7-8)2+(8-8)2+(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=

其極差為10-7=3,

其中位數(shù)為：8；

第二組：10,5,5,8,9,9,10,

則第二組數(shù)據(jù)從小到大排序?yàn)椋?,5,8,9,9,10,10,

1

其平均數(shù)為"(5+5+8+9+9+10+10)=8,

其方差a[(5-8)2+(5-8)2+(8-8)2+(9—8)2+(9-8)2+(10-8)2+(10-8)2]=4,

其極差為10-5=5,

其中位數(shù)為：9

所以AD正確，錯(cuò)誤.

故選：AD.

根據(jù)題意，由平均數(shù)，方差，極差以及中位數(shù)的定義，代入計(jì)算，即可判斷.

本題主要考查統(tǒng)計(jì)的知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ACD

【解析】解：由爰＞0可得。＜"4,

則/(%)=+ax=ln(4—%)—Inx+ax,xE(0,4),

i1

則[0)=有一i+a，

因?yàn)楹瘮?shù)/(x)在x=3處取得極大值,

口口44114(%—1)(%—3)

所以/''(3)=a—^=0,即a=§，/?=---+—=

3x(x—4)

令廣(%)<0,得0<x<1或3<%<4；令尸Q)>0,得1<%<3,

所以函數(shù)/(%)在(0,1)和(3,4)上單調(diào)遞減，在(1,3)上單調(diào)遞增,

則函數(shù)/(%)在％=3處取得極大值，符合題意，即a=小故A正確;

由上述可知函數(shù)/(%)在(0,1)上單調(diào)遞減，

當(dāng)OV%＜1時(shí)，則故3錯(cuò)誤；

由廣⑺=4(x—l)(x—3)

3%(x—4)'

4(2+%—1)(2+%—3)_4(x4-1)(%—1)

則f'(2+x)=

3(2+x)(2+x-4)―3(2+%)(%-2)'

_4(2_%_l)(2_%—3)_4(1一%)(-％-1)_4(%+1)(--1)_、物「IF稚.

f()_3(2-x)(2-x-4)-3(2-%)(-%-2)-3(2+%)(%-2)一/(十“)'故C止確,

因?yàn)?I+%2<4,貝!J1<<4一%2<3,

又函數(shù)/(%)在(1,3)上單調(diào)遞增，貝行(%1)</(4-％2)，

所以/(%】)+/(%2)</(%2)+/(4-%2),

「4x416

又/(4一%)+/(%)=ln(4—%)—Inx+y+必%—In(4—%)+-(4—%)=y,

則f(%1)+/(%2)</(%2)+/(4-X2)=不，故。正確?

故選：ACD.

根據(jù)極值的定義可得「(3)=0,進(jìn)而求出a=g可判斷4；結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性判斷B；代式計(jì)算判斷C；

由1W久1W*2W3,+%2<4可得1<xr<4：-x2<3,再結(jié)合函數(shù)f(x)的單調(diào)性可得/(/)</(4-

x2),進(jìn)而得至Ij/Qi)+f(x2)</(x2)+/(4-x2),再驗(yàn)證可得/(%)+/(4-x)=y,進(jìn)而判斷。.

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性及極值關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題.

H.【答案】BCD

【解析】解：設(shè)O。與OC切于M點(diǎn)，則。，C始終關(guān)于點(diǎn)M對(duì)稱，

所以當(dāng)切點(diǎn)M繞。逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)?；《葧r(shí)，致使點(diǎn)P繞圓心C也轉(zhuǎn)了?；《?，eG[0,2TT),

如圖，連接OC,所以NZOM=NMCP=8,延長(zhǎng)CP與x軸交于R點(diǎn)，過C作CDlx軸于點(diǎn)D,

ZOCD=1-9,所以NRCD=e-G-e)=29*.OC=2,PC=1,

所以Xp=2cos6+PC-sin(20-=2cos9—cos29,

yp=2sin6—cos(20-^)=2sin6—sin26,

^\P(2cos9-cos2B,2sin9—sin28),

即曲線r的參數(shù)方程為《]鬻仁：黑f，。為參數(shù)，。€[0,2兀),

對(duì)于4，|P0|=J(2cos9—cos29')2+(2sin9—sin29y=V5-4cos6<3<2A/-3,

所以r上不存在到原點(diǎn)的距離超過20的點(diǎn)，a錯(cuò)；

-rl-Tc什一C、V-E?,f2cos0—cos29=1(T)

對(duì)于B,若(1,2)在T上，貝nr6X，

(2sin3-sin2d=2②

由①解得8=?:或0,

驗(yàn)證知僅當(dāng)8=1時(shí)，代入②符合，所以P(l,2)在曲線T上，故2正確；

對(duì)于C,由久+y-2/1=0,將曲線廠的參數(shù)方程代入得：2cosd-cos26+2sin6-sin23-2y[2=0,

即2Usin(e+》-=72sin(20+7),

44

所以2s譏(8+9)=2+sin(26+》,

44

如下圖，分別作出/(x)=如下(x+9與g(x)=2+sin(2久+5的大致圖象，

可知兩函數(shù)圖象共有兩個(gè)交點(diǎn)，故C正確；

對(duì)于D,\b\=\2sin9—sin26\=|2sin0(l—cos。)，b2=4sin20(l—cos0)2=4(1+cos0)(l—cos0)3

=(3+3cos0)(l—cos0)(l—cos0)(l—cosd)<>(1)4=\b\<故。正確.

故選：BCD.

先根據(jù)幾何性質(zhì)求解動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程,

4項(xiàng)，由兩點(diǎn)間距離公式及三角函數(shù)有界性可得;

利用參數(shù)方程解方程組然鬻二

B項(xiàng),由點(diǎn)(1,2),

C項(xiàng)，聯(lián)立直線與參數(shù)方程，結(jié)合三角函數(shù)圖象可得交點(diǎn)個(gè)數(shù);

。項(xiàng)，由/=4(1+cos8)(l-COS8)3,利用均值不等式可得.

本題考查圓的方程的應(yīng)用，屬于難題.

12.【答案】一|

3

【解析】解：由cosas譏(a-，)-sinacos^—cr)=-,

3

得一sin(/?—a)cosa—cos(S—a)sina=

3

貝Usin(/?—a)cosa+cos(/?—a)sina=

可得sin(/?—a+a)=sin^=-

即s譏￡=sin[(￡—a)+a]=-

故答案為：-3.

根據(jù)給定條件，利用誘導(dǎo)公式及逆用和角的正弦公式求解.

本題考查了誘導(dǎo)公式及和角的正弦公式在三角函數(shù)求值中的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

13.【答案】12

【解析】解：將1，2,3,9這9個(gè)數(shù)字填在3x3的方格表中，

由每一行從左到右、每一列從上到下的數(shù)字依次變小，得9在左上角，1在右下角，

如圖，

2,3排在d,f位置,有掰種方法，

從余下的4個(gè)數(shù)字中任取2個(gè)按從左到右由大到小排在a,b位置，有廢種方法，

最后兩個(gè)數(shù)字從上到下由大到小排在c,e位置，有1種方法，

所以填寫方格表的方法共有的盤x1=12(種).

故答案為：12.

確定1,9的位置，再確定2,3的位置，最后確定余下4個(gè)數(shù)的位置，列式計(jì)算即可.

本題考查排列組合相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

14.【答案】27r

【解析】解：由題意可知：PA=PB=PC=3日AB=AC=BC=6,

貝陽(yáng)2+PB2=讓，PA2+PC2=BC2,PB2+PC2=BC2,

可知P4J.P8,PA1PC,PB1PC,

c

因?yàn)槿忮FP-ABC為正三棱錐，則點(diǎn)P在底面ABC內(nèi)的投影為底面△ABC的中心

取48的中點(diǎn)M,則CO=|CM=2，I，P0=VPC2-CO2=76>

設(shè)點(diǎn)。在平面P4B、平面P4C和平面PBC內(nèi)的投影分別為尸、/和/,

根據(jù)正三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，可以以O(shè)F,DI,￡>/為鄰邊作長(zhǎng)方體PEFG—H/。/,

則PA,平面石尸。/,DEu平面EF。/,貝l|P力IDE,即心=DE,

同理可知：d2=DG,d3=DH,

fdl=PH2+PG2

由長(zhǎng)方體的性質(zhì)可知：M=PE；+P"：,

\dl=PE2+PG2

(P￡>2=PE2+PG2+pH2

可得虜+dj+dl=2PD2=20,即P￡?2=I。，

又因?yàn)镻。_L平面ABC,ODu平面EFD/,

則P。1OD,可得。。=VP￡>2-PO2=2,

可知點(diǎn)。在以點(diǎn)。為圓心，半徑r=2的圓上，

c

因?yàn)椤<r,可知力B與圓。相交，

設(shè)圓。與4B交于S,7兩點(diǎn)，則ST=2MT="2一。用2=2,

可知△OST為等邊三角形，則NSOT7,

結(jié)合對(duì)稱性可知點(diǎn)。運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)度為2b-3x2x亨=2兀.

故答案為：27r.

可知PALPB,PA1PC,PB1PC,結(jié)合正三棱錐可得P在底面ABC內(nèi)的投影為底面△ABC的中心0,且

P0=A，作輔助線結(jié)合長(zhǎng)方體的性質(zhì)可得PD2=10,即可知點(diǎn)。的軌跡是以點(diǎn)。為圓心，半徑r=2的圓

的一部分即可求解.

本題考查棱錐的結(jié)構(gòu)特征以及動(dòng)點(diǎn)軌跡問題，屬于難題.

15.【答案】證明見解析；

5A<2.

【解析】(1)證明：由c=a(l+2cosB),根據(jù)正弦定理得s譏C=si九4(1+2cosB),

在小ABC中，sinC=sin(X+B)=sinAcosB+cosAsinB,

所以sim4cosB+cosAsinB=sinA+2sinAcosB,

整理得cosAsinB-sinAcosB=sinA,即sin(B—A)=sinA,

所以8—a=4或B—2+4=兀(不符合題意，舍去)，可得8=24.

(2)解：根據(jù)正弦定理募=七

可得高=恚，即高=2/6，解得COS/=苧,

2sinAcosA

由余弦定理小=b2+c2-2bccosA=9,即24+c2—8c=9,

整理得c2—8c+15=0,解得c=3或c=5.

當(dāng)c=3時(shí)，a=c=3,C=A,結(jié)合8=2/可得A+8+C=44=",所以8=]

此時(shí)M=18W/A故8=]不符合題意，舍去.

所以c=5,sinA=乎，的面積為S=|besinA=1x2V-6x5x?=5V-2.

(1)根據(jù)正弦定理、兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)已知等式，即可證出8=24

(2)運(yùn)用正弦定理求得cos4=苧，然后根據(jù)余弦定理求出c=5,再由三角形的面積公式算出答案.

本題主要考查正弦定理與余弦定理、兩角和與差的三角函數(shù)公式、三角形的面積公式等知識(shí)，考查了計(jì)算

能力、等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題.

16.【答案】證明見解析；學(xué).

【解析】解：證明：(1)因?yàn)榈酌鎆BCO為矩形，AB=2BC=2,

所以SUBQ=-AD=|x2xl=l,

設(shè)三棱錐P-ABO的高為d,又三棱錐A-PBO的體積為苧，

所以Kl-PBO=^P-ABD=5s△48。'd=-X1Xd=?，

所以d=，可，

又側(cè)面PCD是等邊三角形，且CD=48=2,

取CD的中點(diǎn)，連接P。，可得「。=宿，從而P。為三棱錐P—480的高，

所以PO_L平面ABD,又BCu平面4BD,

所以P01BC,又CD1BC,P0CDC=0,P0,DCu平面PCD,

所以8cl平面PCD,又8Cu平面P8C,

所以平面PBC1平面PCD；

(2)取力B的中點(diǎn)N,連接。N,

貝IJON//BC,

故由(1)可以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，ON,0C,0P所在直線為坐標(biāo)軸建立如圖所示的空間直角標(biāo)系，

則0(0,-1,0),以0,遙)，P(0,0,73),

則麗=(1,2,0)，DE=(0,|,^)?赤=(0,0,質(zhì)),

設(shè)平面8DE的一個(gè)法向量為元=(x,y,z),

(n?DB=x+2y=0

貝可———>3<3'

(n-DF=|y+^z=0

令y=1,則久=—2,z=—V-3?

所以平面BDE的一個(gè)法向量為五=(—2,1,—V~3)?

又平面ABC。的一個(gè)法向量為加=(0,0,0，

設(shè)平面BDE與平面48CD夾角為8,

所以cos”|cos(配元〉|=贏!|-3|__/3__/6

V4+1+3XV3―27^一~T

所以平面BDE與平面“BCD夾角的余弦值為詈

(1)先根據(jù)等體積法求出三棱錐P-ABD的高為d,再證明BCL平面PCD,即可得證;

(2)建立空間直角標(biāo)系，分別求出平面BDE與平面4BCD的法向量，利用向量法求解即可.

本題考查面面垂直的判定，以及向量法的應(yīng)用，屬于中檔題.

17.【答案】4(2)=(，B5=0,4(3)=》丹高殳⑶=3+卜*=卷

-

-n[L1(、--n--r」

Bn(k+l)>gXn(fc).

。甲f乙

甲里二紇乙星紇＜:

【解析】解：(1)由題意知，,

4其他其他》.

4

-1o-io-10-17

所以4(2)=源5(2)=0,4⑶=江1=+Bs⑶=/江]=奈

(2)由題意知，An(k+1)=占[1-4n(k)],4n(1)=0.

——11111

所以+1)--=~—[[^nW--]?Ai(l)H0，

所以/(A)-；=一；(一看尸t'貝1J4i(￡)=；[1一(一六)&T]；

-1

⑶由題意知&(k+1)=An(k)+含[1-An(k)-Bn(k)J,

則Bn(k+1)=詈4i(k)+六一高;&(k),

所以4(k+1)—甘人式幻=白口一Bn(k)]＞。(當(dāng)k=1時(shí)取等號(hào))，

所以為(A+1)2三14rl(町.

(1)列出5人傳球三次的樹狀圖，根據(jù)概率乘法公式和加法公式得解；

(2)由題意知，4n(k+1)=言[1一4n(k)],41cL)=0,根據(jù)數(shù)列的構(gòu)造法求通項(xiàng)公式；

⑶由題意知+1)=An(k)+[1-An(k)-Bn(k)],作差法比大小.

本題考查數(shù)列的應(yīng)用，涉及數(shù)列的遞推與計(jì)算，屬于難題.

18.【答案】y2=2x；

(i)證明見解析；(i)有2條，理由見解析.

【解析】解：(1)由拋物線的定義得動(dòng)點(diǎn)P的軌跡為以尸?,0)為焦點(diǎn)，直線比=-2為準(zhǔn)線的拋物線，

所以p=2，即y2=2x.

(2)(。證明：由題可知，直線2的斜率存在且不為0,故設(shè)直線/的方程為x=My+2(MK0),則直線/的斜

1

率為=方

設(shè)直線，與C相交于2(第1，、1),8(%2，%)兩點(diǎn)，不妨設(shè)月＞0，＜。，

X—772V+2

2_，得y2-2my-4=°,則yi+y2=2m，yy=-4,

(y-z9xr2

V-2_V_211

由y=—V2Xf得y，=—苧％-2,則點(diǎn)B處的斜率為222r工，

則點(diǎn)B處的切線方程為y=—(%-x2)+72=—(x-^)+y2=；%+孕，

令y=0,得X=一;泥，即點(diǎn)E（另,0）,

直線。4的方程為丫=沿令x=—2,得丫=-2嚕=一2卷=肅，即°（_2,募）,

4

1

所以直線的斜率的"正=一總磯=一—=怠—,

m

所以跖￡=廄8，即直線DE〃心

3）連接AE,BD,由⑴得。（-2,晟）,yiy2=-4,所以。（―Zy?），

又因?yàn)锽Q2,%），所以DB〃x軸，即四邊形DBME為平行四邊形，

由E（一撫,0），得SABDE=SDBME+S^AEM=（2-xE）（|yB|+筑）=（2+第?（-%+紈）

=（2+外（_、2_￡）=-\yl-3y2一2，

14

若四邊形ABDE的面積為12,則一萬(wàn)游Q一3y2~_=12,

4Z2

整理得gy/+3犬+12y2+4=0.

1

X4

2-+3x2+12x+4,x<0,則/'(%)=2x3+6