2023-2024學年河南省創(chuàng)新發(fā)展聯盟高二下學期期中考試數學試題（解析版）

高級中學名校試題PAGEPAGE1河南省創(chuàng)新發(fā)展聯盟2023-2024學年高二下學期期中數學試題注意事項:1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容:人教A版選擇性必修第三冊第七章占，選擇性必修第一、二冊，選擇性必修第三冊第六章占.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.300的不同正因數的個數為（）A.16 B.20 C.18 D.24【答案】C【解析】顯然，則300的正因數為，其中，所以300的不同正因數有個.故選：C2.已知等差數列的前項和為，若，則（）A.15 B.35 C.75 D.105【答案】B【解析】在等差數列中，，則，所以.故選：B3.已知函數在處可導，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11【答案】A【解析】因為,又，所以.故選：A.4.泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.若隨機變量服從二項分布，當很大且很小時，二項分布近似于泊松分布，其中，即.現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則次品率不超過的概率約為（參考數據:）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，則，所以.因為，所以次品率不超過的概率約為.故選：B5.設拋物線的焦點為，點在上，，若，則（）A. B.14 C. D.【答案】D【解析】由題意可知，因，準線為，設，根據拋物線的定義，，得到，于是，所以.故選：D6.高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個格子內為止.現從入口處放進一個白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號為，則隨機變量的期望與方差分別為（）A. B.2，1 C.3，1 D.【答案】C【解析】白色圓玻璃球從起點到進入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數服從二項分布.因為，，所以，.故選：C7.河北省滄州市渤海新區(qū)中捷產業(yè)園區(qū)是典型的鹽堿地區(qū)，面對鹽堿地改造成本高?維護難的現實，農技人員從“以種適地”角度入手，近年來相繼培育出“捷麥19”和“捷麥20”等自主研發(fā)的旱堿麥品種，畝產量大幅提高，有力促進農民收入增長，帶動農村經濟發(fā)展.現有A，B，C，D四塊鹽堿地，計劃種植“捷麥19”和“捷麥20”這兩種旱堿麥，若要求這兩種旱堿麥都要種植，則不同的種植方案共有（）A.18種 B.16種 C.14種 D.12種【答案】C【解析】第一類，先選一塊地種植一種旱堿麥，剩下的三塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,第二類，先選兩塊地種植一種旱堿麥，剩下的兩塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,故不同的種植方案共有種.故選：C.8.已知，則（）A.722 B.729 C.-7 D.-729【答案】A【解析】設，則，所以.又因為，所以，所以.故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，隨機變量，若，則下列結論正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】因為，所以，故錯誤，正確；因為，所以，因，所以錯誤；因為，所以，所以，故D正確.故選：BD10.在空間直角坐標系中，已知，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.從這6個點中選2個點確定一條直線，則有13條不同的直線D.從這6個點中選3個點確定一個平面，則有20個不同的平面【答案】AC【解析】根據題意可得圖形，如圖所示：對于選項A：因為，則，則，即，故A正確；對于選項B：因為，，設平面的法向量為，則，令，則，可得，設直線與平面所成的角為，則，故B錯誤；對于選項C：因為三點共線，所以從這6個點中選2個點確定一條直線，則有條不同的直線，故C正確；對于選項D：因為五點共面四點共面，所以從這6個點中選3個點確定一個平面，則有個不同的平面，故D錯誤.故選：AC.11.設定義在上的函數的導函數為，若滿足,且則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增B.不等式的解集為C.若恒成立，則D.若，則【答案】BCD【解析】因為，所以.令，則，所以（c常數），所以.因為，所以，即.對于A，因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤.對于B,當時，，時，，時，而，根據單調性知：，故B正確.對于C，若，則.當時，恒成立.當時，等價于，即.令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，故C正確.對于D，若，即.因為在恒小于0，在上又單調遞增，且，所以，且，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.三位同學每人從六個景點中選擇一處游覽，不同的選法種數是______.【答案】216【解析】每個同學均有六種選法，根據分步乘法計數原理，不同的選法有種.故答案為：216.13.的展開式中的系數為______.【答案】【解析】的展開式的通項，又，令，所以的系數為，故答案為：.14.已知橢圓離心率為，過的右焦點的直線與交于兩點，與直線交于點，且，則的斜率為______.【答案】【解析】因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，所以橢圓右焦點為，當直線為時，，，，故不符合題意，當直線斜率不為0時，設，，由題意顯然有，聯立，得，則，所以.易得，則.由，得，即，所以，即，故的斜率為.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的首項，且.（1）證明:是等比數列.（2）求數列的前項和.解：（1）因為，所以.因為，所以是首項為2，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，則，所以.記，則，兩式相減得所以，故.16.如圖，在三棱柱中，，點在底面ABC的射影為BC的中點，為的中點.（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設為在底面的射影，連接，則平面.因為平面ABC，所以又為BC的中點，，所以因為平面平面，∴平面.又為的中點，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個法向量，因為，且，所以.設平面的法向量為，則即設，得，所以，則，所以二面角正弦值為.17.已知雙曲線（，）的焦距為，且經過拋物線的焦點．記為坐標原點，過點的直線與相交于不同的兩點，．（1）求的方程；（2）證明：“的面積為”是“軸”的必要不充分條件．解：（1）設雙曲線的焦距為，則，解得，又拋物線的焦點為，所以，則，所以的方程為.（2）當軸時，不妨設在第一象限，由，解得或，則，，所以，必要性得證；依題意直線的斜率存在，設直線：，由，消去整理得，由且，可得且，設，，所以，，所以，則，即，即，整理得，解得或（滿足且），所以當或均有的面積為，故充分性不成立，所以“的面積為”是“軸”的必要不充分條件.18.已知函數.（1）求的極值.（2）已知，且.①求的取值范圍；②證明:.解：（1）由題意，則當時，，當時，，所以在和上單調遞增，在上單調遞減，所以當時，取得極小值，當時，取得極大值.（2）①因為當時，，且在和上單調遞增，在上單調遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因為，，由（1）的單調性可知，令，則，因為，所以，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調遞增，所以，故成立.19.“布朗運動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子做布朗運動時每次會從所在倉的通道口中隨機選擇一個到達相鄰倉，且粒子經過次隨機選擇后到達2號倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號倉.（1）證明數列是等比數列，并求數列的通項公式；（2）粒子經過4次隨機選擇后，記粒子在1號倉出現的次數為，求的分布列與數學期望.解：（1）記粒子經過次隨機選擇后到達1號倉的概率為，粒子經過次隨機選擇后到達3號倉的概率為，所以得，所以，即是公比為的等比數列又，所以（2）結合題意易得可取0，1，2，，，所以的分布列為012的數學期望河南省創(chuàng)新發(fā)展聯盟2023-2024學年高二下學期期中數學試題注意事項:1.答題前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內容:人教A版選擇性必修第三冊第七章占，選擇性必修第一、二冊，選擇性必修第三冊第六章占.一、選擇題:本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.300的不同正因數的個數為（）A.16 B.20 C.18 D.24【答案】C【解析】顯然，則300的正因數為，其中，所以300的不同正因數有個.故選：C2.已知等差數列的前項和為，若，則（）A.15 B.35 C.75 D.105【答案】B【解析】在等差數列中，，則，所以.故選：B3.已知函數在處可導，若，則（）A.22 B.11 C.-22 D.-11【答案】A【解析】因為,又，所以.故選：A.4.泊松分布的概率分布列為，其中為自然對數的底數，是泊松分布的均值.若隨機變量服從二項分布，當很大且很小時，二項分布近似于泊松分布，其中，即.現已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個該種元件，則次品率不超過的概率約為（參考數據:）（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意知，則，所以.因為，所以次品率不超過的概率約為.故選：B5.設拋物線的焦點為，點在上，，若，則（）A. B.14 C. D.【答案】D【解析】由題意可知，因，準線為，設，根據拋物線的定義，，得到，于是，所以.故選：D6.高爾頓釘板是英國生物學家高爾頓設計的，如圖，每一個黑點表示釘在板上的一顆釘子，上一層的每個釘子的水平位置恰好位于下一層的兩顆釘子的正中間，從入口處放進一個直徑略小于兩顆釘子之間距離的白色圓玻璃球，白色圓玻璃球向下降落的過程中，首先碰到最上面的釘子，碰到釘子后皆以二分之一的概率向左或向右滾下，于是又碰到下一層釘子，如此繼續(xù)下去，直到滾到底板的一個格子內為止.現從入口處放進一個白色圓玻璃球，記白色圓玻璃球落入格子的編號為，則隨機變量的期望與方差分別為（）A. B.2，1 C.3，1 D.【答案】C【解析】白色圓玻璃球從起點到進入格子一共跳了4次，向左或向右的概率均為，則向左的次數服從二項分布.因為，，所以，.故選：C7.河北省滄州市渤海新區(qū)中捷產業(yè)園區(qū)是典型的鹽堿地區(qū)，面對鹽堿地改造成本高?維護難的現實，農技人員從“以種適地”角度入手，近年來相繼培育出“捷麥19”和“捷麥20”等自主研發(fā)的旱堿麥品種，畝產量大幅提高，有力促進農民收入增長，帶動農村經濟發(fā)展.現有A，B，C，D四塊鹽堿地，計劃種植“捷麥19”和“捷麥20”這兩種旱堿麥，若要求這兩種旱堿麥都要種植，則不同的種植方案共有（）A.18種 B.16種 C.14種 D.12種【答案】C【解析】第一類，先選一塊地種植一種旱堿麥，剩下的三塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,第二類，先選兩塊地種植一種旱堿麥，剩下的兩塊地種植另外一種旱堿麥，則不同的種植方案有種,故不同的種植方案共有種.故選：C.8.已知，則（）A.722 B.729 C.-7 D.-729【答案】A【解析】設，則，所以.又因為，所以，所以.故選：A.二、選擇題:本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知隨機變量，隨機變量，若，則下列結論正確的是（）A.B.C.若，則D.若，則【答案】BD【解析】因為，所以，故錯誤，正確；因為，所以，因，所以錯誤；因為，所以，所以，故D正確.故選：BD10.在空間直角坐標系中，已知，則（）A.B.直線與平面所成角的正弦值為C.從這6個點中選2個點確定一條直線，則有13條不同的直線D.從這6個點中選3個點確定一個平面，則有20個不同的平面【答案】AC【解析】根據題意可得圖形，如圖所示：對于選項A：因為，則，則，即，故A正確；對于選項B：因為，，設平面的法向量為，則，令，則，可得，設直線與平面所成的角為，則，故B錯誤；對于選項C：因為三點共線，所以從這6個點中選2個點確定一條直線，則有條不同的直線，故C正確；對于選項D：因為五點共面四點共面，所以從這6個點中選3個點確定一個平面，則有個不同的平面，故D錯誤.故選：AC.11.設定義在上的函數的導函數為，若滿足,且則下列結論正確的是（）A.在上單調遞增B.不等式的解集為C.若恒成立，則D.若，則【答案】BCD【解析】因為，所以.令，則，所以（c常數），所以.因為，所以，即.對于A，因為，所以在上單調遞減，在上單調遞增，故A錯誤.對于B,當時，，時，，時，而，根據單調性知：，故B正確.對于C，若，則.當時，恒成立.當時，等價于，即.令，則，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，所以，故C正確.對于D，若，即.因為在恒小于0，在上又單調遞增，且，所以，且，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題:本題共3小題，每小題5分，共15分.12.三位同學每人從六個景點中選擇一處游覽，不同的選法種數是______.【答案】216【解析】每個同學均有六種選法，根據分步乘法計數原理，不同的選法有種.故答案為：216.13.的展開式中的系數為______.【答案】【解析】的展開式的通項，又，令，所以的系數為，故答案為：.14.已知橢圓離心率為，過的右焦點的直線與交于兩點，與直線交于點，且，則的斜率為______.【答案】【解析】因為橢圓的離心率為，所以，解得，所以的方程為，所以橢圓右焦點為，當直線為時，，，，故不符合題意，當直線斜率不為0時，設，，由題意顯然有，聯立，得，則，所以.易得，則.由，得，即，所以，即，故的斜率為.故答案為：.四、解答題:本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知數列的首項，且.（1）證明:是等比數列.（2）求數列的前項和.解：（1）因為，所以.因為，所以是首項為2，公比為2的等比數列.（2）由（1）知，則，所以.記，則，兩式相減得所以，故.16.如圖，在三棱柱中，，點在底面ABC的射影為BC的中點，為的中點.（1）證明:平面.（2）求二面角的正弦值.解：（1）如圖，設為在底面的射影，連接，則平面.因為平面ABC，所以又為BC的中點，，所以因為平面平面，∴平面.又為的中點，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，∴平面.（2）建立如圖所示的空間直角坐標系.在三棱柱中，，所以，則.由（1）知平面，則是平面的一個法向量，因為，且，所以.設平面的法向量為，則即設，得，所以，則，所以二面角正弦值為.17.已