2023-2024學(xué)年河北省邢臺市名校聯(lián)盟高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級中學(xué)名校試題PAGEPAGE1河北省邢臺市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某學(xué)校開設(shè)了5門不同的科技類課程，5門不同的運動類課程和5門不同的自然類課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（）A.5種 B.15種 C.25種 D.125種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，從各類課程中任選1門課程的不同選法共有種．故選：.2.由5對數(shù)據(jù)繪制散點圖，其樣本點呈直線趨勢，且線性回歸方程為，則（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】由題意可得，，又經(jīng)過點,，所以，解得．故選：C．3.已知函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為,所以.故選：C.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.448 C. D.196【答案】A【解析】展開式的通項公式為，要得到項，令，即.則的系數(shù)為.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.6.甲?乙兩社團各有3名男黨員?3名女黨員，從甲?乙兩社團中各隨機選出1名黨員參加憲法知識比賽.設(shè)事件為“從甲社團中選出的是男黨員小凡”，事件為“從乙社團中選出的是男黨員”，事件為“從甲?乙兩社團中選出的是2名男黨員”，事件為“從甲?乙兩社團中選出的是1名男黨員和1名女黨員”，則下列說法不正確的是（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與互斥【答案】B【解析】由題意可得.因為，所以與相互獨立，正確.因為，所以與不相互獨立，錯誤.因為，所以與相互獨立，C正確.因為，所以與互斥，正確.故選：B.7.袋中裝有4個黑球和3個白球，現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1個球，直到將袋中的白球取完即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的，則終止取球時，恰有1個黑球沒有被取出的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，“終止取球時，恰有1個黑球沒有被取出”等價于“取出了3個白球和3個黑球”，故所求的概率為.故選：C.8.若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時，h'x>0，hx當(dāng)時，h'x<0，hx所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知離散型隨機變量的分布列如表所示，若離散型隨機變量滿足，則（）12340.50.30.1A. B.C. D.【答案】BD【解析】由分布列的性質(zhì)知，則.對A，，故A錯誤；對C，，故C錯誤；對B，，故B正確；對D，，故D正確.故選：BD.10.已知，函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)時，，，為定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立，由對稱性知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，又，A正確；對于B，當(dāng)時，，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立，由對稱性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立，又，B正確；對于C，當(dāng)時，，，，的定義域為，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立；由對稱性知：在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，C正確；對于D，由圖象可知：，即在處有意義，則；又圖象關(guān)于軸對稱，偶函數(shù)，，此時圖象應(yīng)為B中圖象，D錯誤.故選：ABC.11.某同學(xué)進行定點投籃訓(xùn)練，設(shè)該同學(xué)每次投中的概率均為，且每次投籃互不影響，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，該同學(xué)共進行3次投籃，恰好命中2次的概率為0.144B.當(dāng)時，該同學(xué)共進行10次投籃，表示命中的次數(shù)，則C.當(dāng)時，該同學(xué)共進行10次投籃，恰好命中次的概率為時，最大D.若該同學(xué)共進行次投籃，其中投中次的概率為，則【答案】BCD【解析】對于選項，所求概率為.對于選項，.對于選項，，當(dāng)最大時，，即所以即解得，又，所以.故為6時，最大.對于D選項，.因為，，兩式相加得，所以，所以.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知隨機變量服從，若，則______.【答案】【解析】因為,及正態(tài)分布的對稱性可得.13.要安排5名學(xué)生到3個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去1個村，每個村里至少安排1名志愿者，其中學(xué)生甲不分配到村，則不同的安排方法種數(shù)為______.【答案】100【解析】當(dāng)村安排1人時，不同的安排方法種數(shù)為；當(dāng)村安排2人時，不同的安排方法種數(shù)為；當(dāng)村安排3人時，不同的安排方法種數(shù)為.綜上，共有56+36+8=100種不同的安排方法.14.已知函數(shù)的最小值為0，則的取值范圍為______.【答案】【解析】令，則，由，換元可得，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，則.因為函數(shù)的最小值為0，所以有解，當(dāng)時，不符合題意，當(dāng)時，則，即有解.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以或.綜上，的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的課程，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計了學(xué)生的選課情況，得到如下表格.選擇課程選擇課程男生4060女生2080（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，再從這5名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，求這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多的概率.附：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)：選擇課程與性別無關(guān).根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為選擇課程與性別有關(guān).（2）選出的5名男生中，選擇課程的人數(shù)為，選擇課程人數(shù)為，這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多有如下兩種可能：選擇課程有3人，數(shù)選擇課程有0人，此種有種選法；選擇課程有2人，數(shù)選擇課程有1人，此種有種選法；記“這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多”為事件,.16.某檔知識競賽節(jié)目的規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯則對方得1分，先得3分者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人每道題答對的概率分別為，并且每道題兩人答對與否相互獨立.（1）求第一題結(jié)束時甲獲得1分的概率；（2）求甲獲得勝利的概率.解：（1）第一題結(jié)束時甲獲得1分的概率為.（2）由（1）知，在每道題的搶答中甲、乙獲得1分的概率分別為，兩人共搶答了3道題，比賽結(jié)束且甲獲勝的概率，兩人共搶答了4道題，比賽結(jié)束且甲獲勝的概率，兩人共搶答了5道題，比賽結(jié)束且甲獲勝的概率，故甲獲得勝利的概率.17.已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）已知函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.解：（1）的定義域為，.若，則恒成立，在上單調(diào)遞增；若，則當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2），則，又因函數(shù)單調(diào)遞增，且，所以當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.當(dāng)，即時，，，所以在和上各有一個零點.當(dāng)時，的最小值為，且，所以在上至多只有一個零點.綜上，實數(shù)的取值范圍是.18.已知函數(shù).（1）求的極值.（2）已知，且.①求的取值范圍；②證明:.解：（1）由題意，則當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，取得極小值，當(dāng)時，取得極大值.（2）①因為當(dāng)時，，且在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，又，，所以的取值范圍為.②因為，，由（1）的單調(diào)性可知，令，則，因為，所以，即，解得，所以，要證，即證.令，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，故成立.19.“布朗運動”是指懸浮在液體或氣體中的微小顆粒所做的永不停息的無規(guī)則運動，在如圖所示的試驗容器中，容器由三個倉組成，某粒子做布朗運動時每次會從所在倉的通道口中等可能隨機選擇一個到達相鄰倉，且粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達2號倉的概率為，已知該粒子的初始位置在2號倉.（1）求；（2）證明數(shù)列Pn-1（3）粒子經(jīng)過4次隨機選擇后，記粒子在1號倉出現(xiàn)的次數(shù)為，求的分布列與數(shù)學(xué)期望.解：（1）由題意可得：.（2）記粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達1號倉的概率為，粒子經(jīng)過次隨機選擇后到達3號倉的概率為，所以所以，所以，又，所以是公比為的等比數(shù)列.所以.（3）結(jié)合題意易得可取，，，，所以的分布列為012的數(shù)學(xué)期望.河北省邢臺市名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題注意事項：1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名?考生號?考場號?座位號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.4.本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.某學(xué)校開設(shè)了5門不同的科技類課程，5門不同的運動類課程和5門不同的自然類課程供學(xué)生學(xué)習(xí)，某位學(xué)生任選1門課程學(xué)習(xí)，則不同的選法共有（）A.5種 B.15種 C.25種 D.125種【答案】B【解析】根據(jù)分類加法計數(shù)原理，從各類課程中任選1門課程的不同選法共有種．故選：.2.由5對數(shù)據(jù)繪制散點圖，其樣本點呈直線趨勢，且線性回歸方程為，則（）A.13 B.14 C.15 D.16【答案】C【解析】由題意可得，，又經(jīng)過點,，所以，解得．故選：C．3.已知函數(shù)，則（）A. B.0 C.1 D.2【答案】C【解析】因為,所以.故選：C.4.的展開式中的系數(shù)為（）A. B.448 C. D.196【答案】A【解析】展開式的通項公式為，要得到項，令，即.則的系數(shù)為.故選：A.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】故選：B.6.甲?乙兩社團各有3名男黨員?3名女黨員，從甲?乙兩社團中各隨機選出1名黨員參加憲法知識比賽.設(shè)事件為“從甲社團中選出的是男黨員小凡”，事件為“從乙社團中選出的是男黨員”，事件為“從甲?乙兩社團中選出的是2名男黨員”，事件為“從甲?乙兩社團中選出的是1名男黨員和1名女黨員”，則下列說法不正確的是（）A.與相互獨立 B.與相互獨立C.與相互獨立 D.與互斥【答案】B【解析】由題意可得.因為，所以與相互獨立，正確.因為，所以與不相互獨立，錯誤.因為，所以與相互獨立，C正確.因為，所以與互斥，正確.故選：B.7.袋中裝有4個黑球和3個白球，現(xiàn)從中不放回地取球，每次取1個球，直到將袋中的白球取完即終止.每個球在每一次被取出的機會是等可能的，則終止取球時，恰有1個黑球沒有被取出的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】根據(jù)題意，“終止取球時，恰有1個黑球沒有被取出”等價于“取出了3個白球和3個黑球”，故所求的概率為.故選：C.8.若過點可以作曲線的兩條切線，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】在曲線上任取一點，，所以曲線在點處的切線方程為.由題意可知，點在直線上，可得，令函數(shù)，則.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增，所以.設(shè)，所以，所以當(dāng)時，h'x>0，hx當(dāng)時，h'x<0，hx所以，所以，所以，當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，，所以，的圖象如圖：由題意可知，直線與的圖象有兩個交點，則.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知離散型隨機變量的分布列如表所示，若離散型隨機變量滿足，則（）12340.50.30.1A. B.C. D.【答案】BD【解析】由分布列的性質(zhì)知，則.對A，，故A錯誤；對C，，故C錯誤；對B，，故B正確；對D，，故D正確.故選：BD.10.已知，函數(shù)的大致圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】ABC【解析】對于A，當(dāng)時，，，為定義在上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱；當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立，由對稱性知：在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，又，A正確；對于B，當(dāng)時，，，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，，，當(dāng)時，；當(dāng)時，；在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立，由對稱性知：在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立，又，B正確；對于C，當(dāng)時，，，，的定義域為，為定義在上的偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對稱；當(dāng)時，，，在上單調(diào)遞減，且當(dāng)時，恒成立；由對稱性知：在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時，恒成立，C正確；對于D，由圖象可知：，即在處有意義，則；又圖象關(guān)于軸對稱，偶函數(shù)，，此時圖象應(yīng)為B中圖象，D錯誤.故選：ABC.11.某同學(xué)進行定點投籃訓(xùn)練，設(shè)該同學(xué)每次投中的概率均為，且每次投籃互不影響，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，該同學(xué)共進行3次投籃，恰好命中2次的概率為0.144B.當(dāng)時，該同學(xué)共進行10次投籃，表示命中的次數(shù)，則C.當(dāng)時，該同學(xué)共進行10次投籃，恰好命中次的概率為時，最大D.若該同學(xué)共進行次投籃，其中投中次的概率為，則【答案】BCD【解析】對于選項，所求概率為.對于選項，.對于選項，，當(dāng)最大時，，即所以即解得，又，所以.故為6時，最大.對于D選項，.因為，，兩式相加得，所以，所以.故選：BCD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.把答案填在答題卡中的橫線上.12.已知隨機變量服從，若，則______.【答案】【解析】因為,及正態(tài)分布的對稱性可得.13.要安排5名學(xué)生到3個鄉(xiāng)村做志愿者，每名學(xué)生只能選擇去1個村，每個村里至少安排1名志愿者，其中學(xué)生甲不分配到村，則不同的安排方法種數(shù)為______.【答案】100【解析】當(dāng)村安排1人時，不同的安排方法種數(shù)為；當(dāng)村安排2人時，不同的安排方法種數(shù)為；當(dāng)村安排3人時，不同的安排方法種數(shù)為.綜上，共有56+36+8=100種不同的安排方法.14.已知函數(shù)的最小值為0，則的取值范圍為______.【答案】【解析】令，則，由，換元可得，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以在0,1上單調(diào)遞減，在1,+∞上單調(diào)遞增，則.因為函數(shù)的最小值為0，所以有解，當(dāng)時，不符合題意，當(dāng)時，則，即有解.令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以hx在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以或.綜上，的取值范圍為.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.為了給學(xué)生提供更為豐富的校園文化生活，學(xué)校增設(shè)了兩門全新的課程，學(xué)生根據(jù)自己的興趣愛好在這兩門課程中任選一門進行學(xué)習(xí).學(xué)校統(tǒng)計了學(xué)生的選課情況，得到如下表格.選擇課程選擇課程男生4060女生2080（1）根據(jù)上表，依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否據(jù)此推斷選擇課程與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從男生的樣本中，按分層抽樣的方法選出5人組成一個小組，再從這5名男生中抽取3人做問卷調(diào)查，求這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多的概率.附：.0.050.010.0050.0013.8416.6357.87910.828解：（1）零假設(shè)：選擇課程與性別無關(guān).根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，即認為選擇課程與性別有關(guān).（2）選出的5名男生中，選擇課程的人數(shù)為，選擇課程人數(shù)為，這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多有如下兩種可能：選擇課程有3人，數(shù)選擇課程有0人，此種有種選法；選擇課程有2人，數(shù)選擇課程有1人，此種有種選法；記“這3人中選擇課程的人數(shù)比選擇課程的人數(shù)多”為事件,.16.某檔知識競賽節(jié)目的規(guī)則如下：甲?乙兩人以搶答的方式答題，搶到并回答正確得1分，答錯則對方得1分，先得3分者獲勝.已知甲?乙兩人每次搶到題的概率都為，甲?乙兩人每道題答對的概率分別為，并且每道題兩人答對與否相互獨立.（1）求第一題結(jié)束時甲獲得1分的概率；（2）求甲獲得勝利的概率.解：（1）第一題結(jié)束時甲獲得1分的概率為.（2）由（1）知，在每道題的搶