2023-2024學(xué)年廣東省茂名市化州市高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題（解析版）

高級(jí)中學(xué)名校試題PAGEPAGE1廣東省茂名市化州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，把答案填在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，所以.故選：C.2.已知，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以．故選：B．3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C.2x-y-1=0 D.【答案】B【解析】求導(dǎo)得到,，將代入原函數(shù)，得到，即切點(diǎn)；將代入導(dǎo)函數(shù)，得到，即切線斜率．運(yùn)用點(diǎn)斜式得到切線方程為，化簡(jiǎn)得到一般式.故選：B.4.將5名大學(xué)生分配到4所學(xué)校支教，每名大學(xué)生必須去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一名大學(xué)生，則不同的分配方法有（）種．A.60 B.120 C.240 D.480【答案】C【解析】5名大學(xué)生分成滿足題意的4組，只有分組形式，即只有一所學(xué)校有2人，其余都是1人，則選2人組成一組剩余3人各自成組，然后將四組分到四所學(xué)校，因此，共有（種）.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)?，則，所以，故選：A.6.已知雙曲線的漸近線過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得漸近線為：，把點(diǎn)代入漸近線方程：，得，解得.故選：D.7.過點(diǎn)P(-1,1)直線與圓相切于點(diǎn)，則（）A.4 B.16 C. D.17【答案】B【解析】圓，即圓的圓心為，半徑，點(diǎn)P(-1,1)到圓心的距離，所以，=16.故選：B8.如圖中，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可知函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù)，對(duì)于A，，故函數(shù)為偶函數(shù)，不符合，對(duì)于B,，根據(jù)圖象可知，4處的函數(shù)值不超過5，故B不符合，對(duì)于C，由于，顯然不符合，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每個(gè)小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，選齊全對(duì)的得6分，漏選答案得相應(yīng)分，錯(cuò)選和不選得0分．9.的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0 B.常數(shù)項(xiàng)為C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 D.展開式共6項(xiàng)【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，故A正確；對(duì)于B，展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；對(duì)于C，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)于D，展開式共7項(xiàng)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的極小值點(diǎn)為C.函數(shù)無極大值D.函數(shù)在上的最大值為【答案】BCD【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以A錯(cuò)誤，B正確，C正確；在上遞減，在上遞增，，，所以函數(shù)在上的最大值為，D正確.故選：BCD.11.正方體中，為的中點(diǎn)，為正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的最大值是B.若在上底面上運(yùn)動(dòng)，且正方體棱長(zhǎng)為1，與所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是C.當(dāng)在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值D.當(dāng)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使【答案】CD【解析】對(duì)于A，如圖一，在正方體中，易知，所以與所成角等價(jià)于與所成的角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)所成角最大，為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖二，因?yàn)槔獯怪庇谏系酌?，且與所成角為，所以在中，，由圓錐的構(gòu)成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長(zhǎng)度是，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，如圖三，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，面到平面的距離等于，而面積不變，故體積為定值，故C正確.對(duì)于D，如圖四，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，因?yàn)?，由，所以，故D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共15分．12.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，則有，解得，故.故答案為：13.中，已知，，，那么_________．【答案】【解析】，，，則，解得.且，由正弦定理得到.故答案為：.14.過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】如圖，由，設(shè)直線的方程為，，由直線與圓相切，可得，解得，即直線的方程為，由，可得直線的方程為，與切線的方程聯(lián)立，可得，，由，可得，，若，則，化為，即，即為，則．故答案為：．四、解答題：本大題共5個(gè)小題，滿分共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.化州市宏達(dá)廣場(chǎng)的惠客多超市準(zhǔn)備在2024年五一假期舉辦了一場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，并且設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，其中三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，每種獎(jiǎng)品都有若干個(gè)，凡是在該商場(chǎng)消費(fèi)的人均可參與抽獎(jiǎng)，消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)后可從4種獎(jiǎng)品中隨機(jī)選擇一種，每種獎(jiǎng)品被選中的可能性相同，且每位消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為．（1）求甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的概率；（2）若有4位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)，記三等獎(jiǎng)的4種獎(jiǎng)品中無人挑選的獎(jiǎng)品種數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列．解：（1）設(shè)事件為“甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣”，由三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，故甲、乙2位消費(fèi)者的選擇情況共有（種），其中2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的情況有（種），因?yàn)槊课幌M(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為，所以，．（2）由題，的所有可能取值為0，1，2，3，由題知，4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，共有種情況，表示4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，所以；表示4個(gè)人挑選了3種獎(jiǎng)品，故有2個(gè)人選中同一種獎(jiǎng)品，所以；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了2種獎(jiǎng)品，從4種獎(jiǎng)品中選2種獎(jiǎng)品的方法有（種），對(duì)于被選中的2種獎(jiǎng)品，4個(gè)人不同的選擇方法有（種），所以有2種獎(jiǎng)品被選中的方法有（種），所以，；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了同一種獎(jiǎng)品，所以．所以的分布列為012316.如圖所示,在四棱錐中，底面是梯形，且，，若，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.解：（1）∵，∴，又，∴，∵，，且，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖∴，，，，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量m=x1,y取，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x2,y取，平面的一個(gè)法向量，∴，設(shè)二面角的平面角為，則17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?,+∞令得+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2）由可得令，下面求gx在0,+∞令∴在0,+∞上單調(diào)遞減且所以當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．于是當(dāng)時(shí)，，gx在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，gx在上單調(diào)遞減；所以gx的最大值為故．18.橢圓的焦距是，長(zhǎng)軸長(zhǎng)是短軸長(zhǎng)3倍，任作斜率為的直線與橢圓交于兩點(diǎn)（如圖所示），且點(diǎn)在直線的左上方.（1）求橢圓的方程；（2）若，求的面積；（3）證明：的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上．解：（1）由題意知：，得，又，所以，故橢圓的方程為：；（2）設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設(shè)，,則，所以，又，解得或，由題意可得t<0，故所在直線方程為，即，所以點(diǎn)到直線的距離，故的面積為；（3）設(shè)直線的方程為：，代入橢圓方程可得：，設(shè)，,則，所以，又即，所以的角平分線平行軸，故的內(nèi)切圓的圓心在一條定直線上.19.如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都大于2，則稱這個(gè)數(shù)列為“G型數(shù)列”．（1）若數(shù)列滿足，，求證：數(shù)列是“G型數(shù)列”．（2）若數(shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且，為“G型數(shù)列”，記，數(shù)列為等比數(shù)列，公比q為正整數(shù)，當(dāng)不是“G型數(shù)列”時(shí)，求數(shù)列的通項(xiàng)公式．（3）在（2）的條件下，令，記的前n項(xiàng)和為，是否存在正整數(shù)m，使得對(duì)任意的，都有成立？若存在，求出m的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．解：（1）①，當(dāng)時(shí)，②，由得，當(dāng)時(shí)，，所以數(shù)列和數(shù)列是等比數(shù)列．因?yàn)椋詀2=3，所以，，因此，從而，所以數(shù)列是“G型數(shù)列”．（2）因?yàn)閿?shù)列的各項(xiàng)均為正整數(shù)，且為“G型數(shù)列”，所以，所以，因此數(shù)列遞增．又，所以，因此遞增，所以公比．又不是“G型數(shù)列”，所以存在，使得，所以，又公比q正整數(shù)，所以．又，所以bn=2（3），因，所以，所以．當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即當(dāng)時(shí)，，所以．綜上，，．所以存在正整數(shù)，使得對(duì)任意的都有成立．廣東省茂名市化州市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期4月期中數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必填寫答題卷上的有關(guān)項(xiàng)目．2．選擇題每小題選出答案后，把答案填在答題卷相應(yīng)的位置上．3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卷各題目指定區(qū)域內(nèi)的相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液．不按以上要求作答的答案無效．4．考生必須保持答題卷的整潔．考試結(jié)束后，將答題卷交回．一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共40分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有且只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】由題意得，所以.故選：C.2.已知，復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】因?yàn)椋?，所以．故選：B．3.曲線在處的切線方程為（）A. B. C.2x-y-1=0 D.【答案】B【解析】求導(dǎo)得到,，將代入原函數(shù)，得到，即切點(diǎn)；將代入導(dǎo)函數(shù)，得到，即切線斜率．運(yùn)用點(diǎn)斜式得到切線方程為，化簡(jiǎn)得到一般式.故選：B.4.將5名大學(xué)生分配到4所學(xué)校支教，每名大學(xué)生必須去一所學(xué)校，每所學(xué)校至少有一名大學(xué)生，則不同的分配方法有（）種．A.60 B.120 C.240 D.480【答案】C【解析】5名大學(xué)生分成滿足題意的4組，只有分組形式，即只有一所學(xué)校有2人，其余都是1人，則選2人組成一組剩余3人各自成組，然后將四組分到四所學(xué)校，因此，共有（種）.故選：C.5.已知，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】因?yàn)椋瑒t，所以，故選：A.6.已知雙曲線的漸近線過點(diǎn)，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由雙曲線，可得漸近線為：，把點(diǎn)代入漸近線方程：，得，解得.故選：D.7.過點(diǎn)P(-1,1)直線與圓相切于點(diǎn)，則（）A.4 B.16 C. D.17【答案】B【解析】圓，即圓的圓心為，半徑，點(diǎn)P(-1,1)到圓心的距離，所以，=16.故選：B8.如圖中，圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由圖象可知函數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故為奇函數(shù)，對(duì)于A，，故函數(shù)為偶函數(shù)，不符合，對(duì)于B,，根據(jù)圖象可知，4處的函數(shù)值不超過5，故B不符合，對(duì)于C，由于，顯然不符合，故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3個(gè)小題，每個(gè)小題6分，共18分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的，選齊全對(duì)的得6分，漏選答案得相應(yīng)分，錯(cuò)選和不選得0分．9.的展開式中，下列結(jié)論正確的是（）A.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為0 B.常數(shù)項(xiàng)為C.所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 D.展開式共6項(xiàng)【答案】ABC【解析】對(duì)于A，令，則所有項(xiàng)的系數(shù)之和為，故A正確；對(duì)于B，展開式的通項(xiàng)為，令，得，所以常數(shù)項(xiàng)為，故B正確；對(duì)于C，所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為，故C正確；對(duì)于D，展開式共7項(xiàng)，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞減B.函數(shù)的極小值點(diǎn)為C.函數(shù)無極大值D.函數(shù)在上的最大值為【答案】BCD【解析】因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以A錯(cuò)誤，B正確，C正確；在上遞減，在上遞增，，，所以函數(shù)在上的最大值為，D正確.故選：BCD.11.正方體中，為的中點(diǎn)，為正方體表面上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）A.當(dāng)在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，與所成角的最大值是B.若在上底面上運(yùn)動(dòng)，且正方體棱長(zhǎng)為1，與所成角為，則點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度是C.當(dāng)在面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，四面體的體積為定值D.當(dāng)在棱上運(yùn)動(dòng)時(shí)，存在點(diǎn)使【答案】CD【解析】對(duì)于A，如圖一，在正方體中，易知，所以與所成角等價(jià)于與所成的角，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，此時(shí)所成角最大，為，故A錯(cuò)誤.對(duì)于B，如圖二，因?yàn)槔獯怪庇谏系酌?，且與所成角為，所以在中，，由圓錐的構(gòu)成可知所在的軌跡是以為圓心1為半徑的弧，軌跡長(zhǎng)度是，故B錯(cuò)誤.對(duì)于C，如圖三，因?yàn)樵诿鎯?nèi)，面到平面的距離等于，而面積不變，故體積為定值，故C正確.對(duì)于D，如圖四，以為原點(diǎn)，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長(zhǎng)為1，，因?yàn)?，由，所以，故D正確.故選：CD.三、填空題：本大題共3個(gè)小題，每個(gè)小題5分，共15分．12.在等差數(shù)列中，，則數(shù)列的前項(xiàng)和__________.【答案】【解析】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)與公差，則有，解得，故.故答案為：13.中，已知，，，那么_________．【答案】【解析】，，，則，解得.且，由正弦定理得到.故答案為：.14.過雙曲線（，）的左焦點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)為，直線交直線于點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為_____.【答案】【解析】如圖，由，設(shè)直線的方程為，，由直線與圓相切，可得，解得，即直線的方程為，由，可得直線的方程為，與切線的方程聯(lián)立，可得，，由，可得，，若，則，化為，即，即為，則．故答案為：．四、解答題：本大題共5個(gè)小題，滿分共77分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.化州市宏達(dá)廣場(chǎng)的惠客多超市準(zhǔn)備在2024年五一假期舉辦了一場(chǎng)有獎(jiǎng)銷售活動(dòng)，并且設(shè)置一等獎(jiǎng)、二等獎(jiǎng)和三等獎(jiǎng)，其中三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，每種獎(jiǎng)品都有若干個(gè)，凡是在該商場(chǎng)消費(fèi)的人均可參與抽獎(jiǎng)，消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)后可從4種獎(jiǎng)品中隨機(jī)選擇一種，每種獎(jiǎng)品被選中的可能性相同，且每位消費(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為．（1）求甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的概率；（2）若有4位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)，記三等獎(jiǎng)的4種獎(jiǎng)品中無人挑選的獎(jiǎng)品種數(shù)為，求隨機(jī)變量的分布列．解：（1）設(shè)事件為“甲、乙2位消費(fèi)者均抽中三等獎(jiǎng)且2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣”，由三等獎(jiǎng)有4種獎(jiǎng)品供選擇，故甲、乙2位消費(fèi)者的選擇情況共有（種），其中2人最終選擇的獎(jiǎng)品不一樣的情況有（種），因?yàn)槊课幌M(fèi)者抽中三等獎(jiǎng)的概率均為，所以，．（2）由題，的所有可能取值為0，1，2，3，由題知，4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，共有種情況，表示4個(gè)人挑選了4種獎(jiǎng)品，所以；表示4個(gè)人挑選了3種獎(jiǎng)品，故有2個(gè)人選中同一種獎(jiǎng)品，所以；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了2種獎(jiǎng)品，從4種獎(jiǎng)品中選2種獎(jiǎng)品的方法有（種），對(duì)于被選中的2種獎(jiǎng)品，4個(gè)人不同的選擇方法有（種），所以有2種獎(jiǎng)品被選中的方法有（種），所以，；當(dāng)表示4個(gè)人挑選了同一種獎(jiǎng)品，所以．所以的分布列為012316.如圖所示,在四棱錐中，底面是梯形，且，，若，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的平面角的正弦值.解：（1）∵，∴，又，∴，∵，，且，平面，∴平面，又平面，∴平面平面.（2）以的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)與平行的直線為軸，，所在直線分別為，軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖∴，，，，∴，，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量m=x1,y取，平面的一個(gè)法向量，設(shè)平面的一個(gè)法向量n=x2,y取，平面的一個(gè)法向量，∴，設(shè)二面角的平面角為，則17.已知函數(shù)（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，其定義域?yàn)?,+∞令得+0-單調(diào)遞增極大值單調(diào)遞減所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減