專題16 圓中的輔助線模型（原卷版）

專題16.圓中的輔助線模型在平面幾何中，與圓有關(guān)的許多題目需要添加輔助線來解決。百思不得其解的題目，添上合適的輔助線，問題就會(huì)迎刃而解，思路暢通，從而有效地培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造性思維。添加輔助線的方法有很多，本專題通過分析探索歸納八類圓中常見的輔助線的作法。模型1、遇弦連半徑（構(gòu)造等腰三角形）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，連接OA，OB，則∠A＝∠B．在圓的相關(guān)題目中，不要忽略隱含的已知條件。當(dāng)我們要解決有關(guān)角度、長度問題時(shí)，通?？梢赃B接半徑構(gòu)造等腰三角形，利用等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理及圓中的相關(guān)定理，還可連接圓周上一點(diǎn)和弦的兩個(gè)端點(diǎn)，根據(jù)圓周角的性質(zhì)可得相等的圓周角，解決角度或長度的計(jì)算問題例1．（2023?江蘇中考一模）如圖，AB是半圓的直徑，C、D是半圓上的兩點(diǎn)，若∠ADC＝125°，則∠BAC的度數(shù)是（）A．25° B．35° C．45° D．55°例2．（2023秋·江蘇連云港·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）.如圖，在中，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓交于點(diǎn)，交千點(diǎn)．若，則弧的度數(shù)為．

例3．（2023·江蘇沭陽初三月考）如圖，已知點(diǎn)C是⊙O的直徑AB上的一點(diǎn)，過點(diǎn)C作弦DE，使CD=CO．若的度數(shù)為35°，則的度數(shù)是_____．例4．（2023·湖南長沙初三二模）如圖，在中，點(diǎn)C為弧AB的中點(diǎn)，OC交弦AB于D，如果，，那么OD的長為___．模型2、遇弦作弦心距（解決有關(guān)弦長的問題）【模型解讀】已知AB是⊙O的一條弦，過點(diǎn)OE⊥AB，則AE＝BE，OE2+AE2=OA2。在圓中，求弦長、半徑或圓心到弦的距離時(shí)，常添加弦心距，或作垂直于弦的半徑（或直徑）或再連結(jié)過弦的端點(diǎn)的半徑。利用垂徑定理、圓心角及其所對的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系、弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形，根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。一般有弦中點(diǎn)、或證明弦相等或已知弦相等時(shí)，常作弦心距。例1．（2022秋·江蘇淮安·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）一根水平放置的圓柱形輸水管道橫截面如圖所示，其中有水部分水面寬0.6米，最深處水深0.1米，則此輸水管道的半徑是（）米A．1 B．0.8 C．0.6 D．0.5例2．（2023·遼寧九年級(jí)期末）如圖，在半徑為5的⊙O中，、是互相垂直的兩條弦，垂足為，且，則的長為（）A．3 B．4 C． D．例3．（2023·廣東九年級(jí)專題練習(xí)）如圖，武漢晴川橋可以近似地看作半徑為250m的圓弧，橋拱和路面之間用數(shù)根鋼索垂直相連，其正下方的路面AB長度為300m，那么這些鋼索中最長的一根為（）A．50m B．45m C．40m D．60m例4．（2023·哈爾濱市九年級(jí)期中）如圖，在中，，，，以點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與相交于點(diǎn)，則的長為（）A．2 B． C．3 D．模型3、遇求角可構(gòu)造同弧的圓周角（圓心角）【模型解讀】如圖，已知A、B、P是⊙O上的點(diǎn)，點(diǎn)C是圓上一動(dòng)點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=∠AOB。例1．（2023·江蘇淮安·?？级＃┤鐖D，是的外接圓，，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·江蘇·九年級(jí)?？贾軠y）若圓心角，則（）

A． B． C． D．例3．（2022·江蘇蘇州·統(tǒng)考中考真題）如圖，AB是的直徑，弦CD交AB于點(diǎn)E，連接AC，AD．若，則°例4．（2023·遼寧鞍山·統(tǒng)考中考真題）如圖，為的兩條弦，D，G分別為的中點(diǎn)，的半徑為2．若，則的長為（

）

A．2 B． C． D．模型4、遇直徑作直徑所對的圓周角（構(gòu)造直角三角形）【模型解讀】如圖，已知AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C是圓上一點(diǎn)，連接AC、BC，則∠ACB=90o。如圖，當(dāng)圖形中含有直徑時(shí)，構(gòu)造直徑所對的圓周角是解問題的重要思路，在證明有關(guān)問題中注意90o的圓周角的構(gòu)造。例1．（2023·安徽合肥·校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，AB為的直徑，點(diǎn)C，D在上．若，則的度數(shù)是（

）A．15° B．20° C．25° D．30°例2．（2023·江蘇·統(tǒng)考中考真題）如圖，是的直徑，是的內(nèi)接三角形．若，，則的直徑．

例3．（2022秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，和分別是半圓的直徑和弦，且，點(diǎn)是上的點(diǎn)，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，且：：，若，則．模型5、遇90°的圓周角連直徑【模型解讀】如圖，已知圓周角∠BAC=90o，連接BC，則BC是⊙O的直徑。遇到90°的圓周角時(shí)，常連接兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)，得到直徑。利用圓周角的性質(zhì)，可得到直徑。例1．（2023·河南周口·?？寄M預(yù)測）中國古代人信奉天圓地方，圓被賦予了吉祥、豐收的意義，圓形門又叫圓月門，如十五滿月一樣給人柔和愉悅的感覺．小姝測量了一個(gè)圓月門尺寸，如圖，她測得門下矩形的邊高為0.3米，的長為1米，小姝測得圓月門最寬的地方（圓的直徑）為2米，由于年代久遠(yuǎn)，上面的磚容易脫落，小姝想做一個(gè)等大的木質(zhì)模具（不包含）修繕后固定支撐圓月門，則木質(zhì)模具的總長度為米，（結(jié)果保留π）

例2．（2022秋·安徽合肥·九年級(jí)校考期末）如圖所示，直徑為的經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)，B是y軸右側(cè)優(yōu)弧上一點(diǎn)，則為（

）

A． B． C． D．例3．（2023·陜西渭南·九年級(jí)校考期中）如圖，正方形內(nèi)接于，，則陰影部分的面積為．（結(jié)果保留）

模型6、遇切線連圓心和切點(diǎn)（構(gòu)造垂直）【模型解讀】如圖，已知直線AB連與圓O相切于點(diǎn)C，連接OC，則OC⊥AB。AABCO已知圓的切線時(shí)，常把切點(diǎn)與圓心連接起來，得半徑與切線垂直，構(gòu)造直角三角形，再利用直角三角形的有關(guān)性質(zhì)解題。例1．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，分別切的兩邊于點(diǎn)D，E，點(diǎn)F在上．若，則的度數(shù)是（

）

A． B． C． D．例2．（2023秋·江蘇無錫·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的直徑，點(diǎn)D在的延長線上，切圓于點(diǎn)C，如果，，那么線段的長是．

例3．（2022春·湖北武漢·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）如圖，是圓的直徑，是切線，是切點(diǎn)，弦，與的延長線交于點(diǎn)，，則（

）

A． B． C． D．模型7、證明切線的輔助線（證垂直或直角）【模型解讀】證明直線AB是⊙O的切線.ABABCO遇到證明某一直線是圓的切線時(shí)：（1）有點(diǎn)連圓心：當(dāng)直線和圓的公共點(diǎn)已知時(shí)，聯(lián)想圓的切線的判定定理，只要將該店與圓心連接，再證明該直徑與直線垂直。如圖，已知過圓上一點(diǎn)C的直線AB，連接OC，證明OC⊥AB，則直線AB是⊙O的切線．（2）無點(diǎn)作垂線：需證明的切線，條件中沒有告知與圓之間有交點(diǎn)，則聯(lián)想切線的定義，過圓心作該直線的垂線，證明圓心到垂足的距離等于半徑。如圖，過點(diǎn)O作OC⊥AB，證明OC等于⊙O的半徑，則直線AB是⊙O的切線．例1．（2023年湖北省黃石市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，和相交于點(diǎn)F，平分，點(diǎn)C在上，且，交于點(diǎn)P．求證：是的切線；

例2．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，，，的直徑為6．求證：直線是的切線．

例3．（2023年遼寧省阜新市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，是的直徑，點(diǎn)C，D是上異側(cè)的兩點(diǎn)，，交的延長線于點(diǎn)E，且平分．(1)求證：是的切線．(2)若，，求圖中陰影部分的面積．

例4．（2023年江蘇省鹽城市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，在中，是上（異于點(diǎn)，）的一點(diǎn)，恰好經(jīng)過點(diǎn)，，于點(diǎn)，且平分．(1)判斷與的位置關(guān)系，并說明理由；(2)若，，求的半徑長．

模型8、遇三角形的內(nèi)切圓，連內(nèi)心與頂點(diǎn)（切點(diǎn)）當(dāng)遇到三角形內(nèi)切圓，連接內(nèi)心到三角形各頂點(diǎn)，或連接內(nèi)心到各邊切點(diǎn)（或做垂線）。利用內(nèi)心的性質(zhì)可得一內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是各角的平分線，內(nèi)心到三角形三邊的距離相等。例1．（2023秋·江蘇泰州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，的內(nèi)切圓與斜邊相切于點(diǎn)D，，，則的面積為（

）A．8 B． C． D．例2．（2023·云南紅河·九年級(jí)統(tǒng)考期末）已知的內(nèi)切圓半徑，、、為切點(diǎn)，，，，則．

例3．（2023秋·江蘇徐州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，是的內(nèi)切圓，切點(diǎn)分別為、、，，，求的度數(shù)

課后專項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·廣西初三一模）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ABC＝30°，AC＝6，則⊙O直徑為（）A．6 B．12 C．6 D．62．（2023·揚(yáng)州市初三一模）如圖，AB是⊙O的弦，OA、OC是⊙O的半徑，，∠BAO=37°，則∠AOC的度數(shù)是（）度.A．74 B．106 C．117 D．1273．（2023·浙江九年級(jí)期中）已知的直徑與弦交于點(diǎn)，且，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．4．(2023.江蘇省初三期末)如圖，將⊙O沿弦AB折疊，圓弧恰好經(jīng)過圓心O，點(diǎn)P是優(yōu)弧上一點(diǎn)，則∠APB的度數(shù)為（）A．45° B．30° C．75° D．60°5．（2023年重慶市中考數(shù)學(xué)真題）如圖，為的直徑，直線與相切于點(diǎn)C，連接，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．6．（2023·廣東·一模）如圖，是⊙O的直徑，交⊙O于點(diǎn)，于點(diǎn)，下列說法不正確的是（）A．若，則是⊙O的切線 B．若，則是⊙O的切線C．若，則是⊙O的切線 D．若是⊙O的切線，則7．（2023·陜西西安·校考一模）如圖，已知的內(nèi)接正四邊形，點(diǎn)是上任意一點(diǎn)（除、兩點(diǎn)外）則的度數(shù)是（

）

A． B． C．或 D．或8．（2023秋·山西朔州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）如圖，為的直徑，半徑的垂直平分線交于點(diǎn)C，D，交于點(diǎn)E，若，則的長為（

）A． B．4 C． D．69．（2022春·廣東深圳·九年級(jí)?？贾軠y）如圖，，切于，兩點(diǎn)，切于點(diǎn)，交，于，．若的半徑為1，的周長等于，則線段的長是（

）

A． B．3 C． D．10．（2023秋·河北唐山·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，已知的直徑，則的長為（）A．5cm B．5cm C．5cm D．6cm11．（2023·廣東清遠(yuǎn)·統(tǒng)考二模）如圖，在邊長為4正方形中，點(diǎn)E在以B為圓心的弧上，射線交于F，連接，若，則（）．

A．2 B． C． D．12．（2023秋·浙江杭州·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，的半徑為10，弦，點(diǎn)M是弦上的動(dòng)點(diǎn)且點(diǎn)M不與點(diǎn)A、B重合，若的長為整數(shù)，則這樣的點(diǎn)M有幾個(gè)？（

）

A．4 B．5 C．7 D．913．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）簡易直尺、含角的直角三角板和量角器如圖擺放（無重疊部分），為三角板與直尺的交點(diǎn)，為量角器與直尺的接觸點(diǎn)，為量角器與三角板的接觸點(diǎn)．若點(diǎn)處刻度為4，點(diǎn)處刻度為6，則該量角器的直徑長為（

）

A．2 B． C．4 D．14．（2023秋·山東聊城·九年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，為的直徑，為的弦，連接、，若，則的度數(shù)為度．

15．（2023秋·福建福州·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，的弦，點(diǎn)E為垂足，，，且則的半徑為．

16．（2023秋·江蘇南京·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，是的直徑，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，若，則和的度數(shù)分別為．

17．（2022秋·黑龍江大慶·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，的內(nèi)切與，，分別相切于點(diǎn)，，，且，的周長為，則的長為．

18．（2023·江蘇九年級(jí)期中）如圖，⊙O的半徑是2，AB是⊙O的弦，P是弦AB上的動(dòng)點(diǎn)，且1≤OP≤2，則弦AB所對的圓心角的度數(shù)是__________．19．（2023·江蘇連云港初三月考）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，E為DC延長線上一點(diǎn)，∠A=70°，則∠BCE的度數(shù)為_____________20．（2022·安徽淮北·淮北一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，的兩條半徑與互相垂直，垂足為點(diǎn)O，點(diǎn)C為上一點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)D．若，則的值為．

21．（2023秋·江蘇宿遷·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，是直徑，是弦，延長，相交于點(diǎn)，且，，求的度數(shù)．22．（2023·南京九年級(jí)月考）（定義）圓心到弦的距離叫做弦心距．（探究）等弧所對弦