正弦定理課件-高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教B版

9.1.1正弦定理1.了解正弦定理的推導(dǎo)過程.2.掌握正弦定理，并能解決一些簡單的三角形度量問題.（重點(diǎn)、難點(diǎn)）4.在直角三角形ABC中,C=900,則

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復(fù)習(xí)回顧1.角的關(guān)系：2.邊的關(guān)系：3.邊角關(guān)系：ACBCBA你還記得三角形的哪些邊、角關(guān)系？兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊大角對大邊，大邊對大角；小角對小邊，小邊對小角；等邊對等角5.三角形的分類：6.三角形外接圓：與三角形各頂點(diǎn)都相交的圓。三角形外接圓圓心是

三邊垂直平分線交點(diǎn)復(fù)習(xí)回顧7.三角形全等條件（1）邊角邊：兩邊及其夾角對應(yīng)相百等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成（S.A.S）（2）角邊角：兩角及其度夾邊對應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成（A.S.A）（3）角角邊：兩角及其一角所對的邊對應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成：（A.A.S）（4）邊邊邊：三條邊分別對應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形答全等.簡寫成：（S.S.S）（5）直角邊斜邊：斜邊和其中的一條直角邊分別對應(yīng)相等,這兩個(gè)三角形全等.簡寫成：（H.L）復(fù)習(xí)回顧情境與問題

在現(xiàn)代生活中，得益于科技的發(fā)展.距離的測量能借助紅外測距儀、激光測距儀等工具直接完成.不過，在這些工具沒有出現(xiàn)以前.你知道人們是怎樣間接獲得兩點(diǎn)間的距離的嗎？為了方便，將△ABC3個(gè)內(nèi)角A，B,C所對的邊分別記為a，b，c.如圖所示.若想知道河對岸的一點(diǎn)A與岸邊—點(diǎn)H之間的距離，而且已經(jīng)測量出了BC的長，也想辦法得到了∠ABC與∠ACB的大小，你能借助這3個(gè)量，求出AB的長嗎？b

c在這樣的約定下，情境中的問題可以轉(zhuǎn)化為：已知a，B，C，如何求c.(1)如圖所示，已知△ABC中,“a=5,b=3,C=,你能求出這個(gè)三角形的面積嗎？(2)一般地，在△ABC中,如何根據(jù)a,b與C的值,求出這個(gè)三角形的面積？解:(1)如圖所示,在中△ABC中,過點(diǎn)A作BC邊上的高AD,

在Rt△ADC中,由正弦的定義可知AD=bsinC,ABCb

D想一想:

因此所求三角形的面積為(2)一般地，在△ABC中,如何根據(jù)a,b與C的值,求出這個(gè)三角形的面積？解:當(dāng)C為銳角時(shí)，在Rt△ADC中,由正弦的定義可知AD=bsinC,則

當(dāng)C為鈍角時(shí),如圖,仍設(shè)△ABC的BC邊上的為AD，則當(dāng)C為直角時(shí)，sinC=sin900=1，仍有ABCb

DABCabD1.三角形面積公式在△ABC中,用上述方法，可以推導(dǎo)出以下公式：①已知b，c與A的值,則②已知a，c與B的值,則一般地，記△ABC的面積為S，則知識(shí)歸納2.正弦定理由此三角形面積公式可得這就是正弦定理：在三角形中，各邊的長和它所對角的正弦的比相等。可知如圖作△ABC外接圓，R為△ABC外接圓半徑CD為外接圓O的直徑，連接BD，則∠A=∠DABCabcOD用三角形外接圓法推導(dǎo)正弦定理（R為△ABC外接圓半徑）從而證得直徑所對的圓周角是直角，即∠CBD為直角正弦定理及其變形在?ABC中，角A，B，C，所對應(yīng)的邊分別為a，b，c，三角形外接圓半徑為R，正弦定理：變形：CAaBbc左右分別相加做比值適用于任何三角形例1已知△ABC中，B=75°,C=60°,a=10,求c.解：由已知可得A=180°BC=180°75°60°=45°.由正向定理可知所以注意:在一個(gè)三角形中，已知兩個(gè)角與一條邊，就可求這個(gè)三角形的另外一個(gè)角，然后由正弦定理可求出該三角形其他的兩條邊.這與初中所學(xué)的三角形全等的判定定理AAS（或ASA）一致.把三角形3個(gè)角與3條邊都稱為三角形的元素。已知三角形的若干元素求其他元素稱為解三角形。題型1：已知兩角和任一邊，求其他兩邊和其余一角．例2：解：注意：根據(jù)以上解答可知.右圖中的(1)(2)都滿足例2的條件.事實(shí)上，這與我們初屮所學(xué)的SSA不能作為:角形全等的判定定理一致.題型2：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其余兩角.BACCBA(1)(2)例3：解：題型3：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其余兩角.例4：解：題型4：已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊和其余兩角.

例2、例3、例4都是兩邊及一邊的對角，此時(shí)三角形形狀不確定，所以解的個(gè)數(shù)不確定.題中最終有幾個(gè)解是由已知條件所確定的，明確所求角的范圍是解題的關(guān)鍵.方法歸納探究三角形解的個(gè)數(shù)的確定因素1.畫圖法：以已知角的對邊為半徑畫弧，通過與鄰邊的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷解的個(gè)數(shù)。①若無交點(diǎn)，則無解；②若有一個(gè)交點(diǎn)，則有一個(gè)解；③若有兩個(gè)交點(diǎn)，則有兩個(gè)解；④若交點(diǎn)重合，雖然有兩個(gè)交點(diǎn)，但只能算作一個(gè)解。2.公式法：運(yùn)用正弦定理進(jìn)行求解。①a＝bsinA，△＝0，則一個(gè)解；②a＞bsinA，△＞0，則兩個(gè)解；③a＜bsinA，△＜0，則無解。A為銳角圖形關(guān)系解的個(gè)數(shù)0121A為鈍角或直角圖形關(guān)系解的個(gè)數(shù)0011練一練：1.下列關(guān)于△ABC的說法正確的是（）A.若a＝7，b＝14，A＝30°，則B有兩解

B.若a＝30，b＝25，A＝150°，則B只有一解C.若a＝6，b＝9，A＝45°，則B有兩解

D.若b＝9，c＝10，B＝60°，則C無解B

解析：例5：證明：代入角化邊解：由正弦定理可知因此因此，?ABC為等腰三角形或直角三角形。邊化角代入練一練：2.1．利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為邊邊關(guān)系，通過因式分解、配方等得出邊的相應(yīng)關(guān)系，從而判斷三角形的形狀；2．利用正弦定理把已知條件轉(zhuǎn)化為內(nèi)角的三角函數(shù)間的關(guān)系，通過三角函數(shù)恒等變形得出內(nèi)角的關(guān)系，從而判斷出三角形的形狀，此時(shí)要注意應(yīng)用A＋B＋C＝π這個(gè)結(jié)論．

注意：在兩種解法的等式變形中，一般兩邊不要約去公因式，應(yīng)移項(xiàng)提取公因式，以免漏解．知識(shí)歸納利用正弦定理判斷三角形形狀的兩種方法：例6：如圖所示，在?ABC中，已知的角分線AD與邊BC相交于點(diǎn)D，求證：證明：如圖，設(shè)則由題意可知在?ABD和?ADC中，分別應(yīng)用正弦定理，可得兩式相除即可得內(nèi)角平分線定