定理（第1課時(shí)）（課件）七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)（蘇科版2024）

12.4定理（1）第1課時(shí)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解定理、推理的意義；初步理解定理在公理體系中的作用；2.通過證明三角形的內(nèi)角和定理及其推論，進(jìn)一步掌握證明的基本形式與規(guī)則.問題情境三角形三個(gè)內(nèi)角的和是多少？你是怎么知道的？知識(shí)回顧三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.3231平角：180°你認(rèn)為這個(gè)結(jié)論正確嗎？怎么證明？知識(shí)回顧證明一個(gè)命題的一般步驟有哪些?1.在“已知”后面寫出命題的條件；2.在“求證”后面寫出命題的結(jié)論；3.從已知出發(fā)，由“因?yàn)椤浴M成一步推理；4.從已知和上一步推理的結(jié)果出發(fā)，通過一系列推理，推出“結(jié)論”.探索與思考證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.思考：1.這個(gè)命題的條件是什么？結(jié)論是什么？2.根據(jù)命題的條件怎么畫圖形？3.結(jié)合圖形，怎么寫已知、求證？探索與思考證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.ABC已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.結(jié)合上面的拼圖過程，思考怎樣將∠A、∠B、∠C“搬”到一起？探索與思考證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.ABC已知：∠A，∠B，∠C是△ABC的三個(gè)內(nèi)角.求證：∠A＋∠B＋∠C＝180°.可以通過畫平行線

實(shí)現(xiàn)拼圖中的“搬”角.FE探索與思考證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.ABCFE證法1：作邊BC的延長(zhǎng)線CD，過點(diǎn)C作CE∥AB.∵CE∥AB，∴∠1＝∠A(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)，∠2＝∠B(兩直線平行，同位角相等).∵∠1＋∠2＋∠ACB＝180°(平角的定義)，∴∠A＋∠B＋∠ACB＝180°(等量代換).探索與思考證明：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.ABCD12證法2：如圖，過點(diǎn)C作CD∥AB.∵

CD∥AB，∴∠B＝∠1，∠A＝∠2(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等).∵∠1＋∠ACB＋∠2＝180°(平角的定義)∴∠B＋∠ACB＋∠A＝180°(等量代換).討論與交流三角形內(nèi)角和定理的證明思路是什么？

運(yùn)用平行線的性質(zhì),將三個(gè)內(nèi)角“搬”到一個(gè)頂點(diǎn)處，合并成一個(gè)平角即可證明.三角形內(nèi)角和定理：三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°．歸納與總結(jié)ABC符號(hào)語言：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°.歸納與總結(jié)

一般情況下，數(shù)學(xué)中把一些基本的、重要的真命題叫作定理(theorem).定理可以作為證明后續(xù)命題的依據(jù).例題講解例1證明：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.DABC已知：如圖，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∠A、∠B是與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角.求證：∠ACD＝∠A＋∠B.∴∠ACD＝180°－∠ACB，∠A＋∠B＝180°－∠ACB(等式性質(zhì)).∴∠ACD＝∠A＋∠B(等量代換).證明：∵∠ACD

＋∠ACB＝180°(平角的定義)，∠A＋∠B

＋∠ACB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，歸納與總結(jié)

由一個(gè)定理直接推出的重要結(jié)論，一般叫作這個(gè)定理的推論.它和定理一樣，也可以作為后續(xù)證明的依據(jù).三角形內(nèi)角和定理的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和．歸納與總結(jié)符號(hào)語言：∵∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，∴∠ACD＝∠A＋∠B.DABC拓展與提升例2已知：如圖，D是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn).求證：∠BDC＝∠1＋∠A＋∠2.ABDCQ12P你能想到幾種證明方法？拓展與提升例2已知：如圖，D是△ABC內(nèi)的任意一點(diǎn).求證：∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2.ABDC12P證明：∵∠BDC是△DPC的一個(gè)外角(已知)∴∠BDC＝∠DPC＋∠2(三角形內(nèi)角和定理的推論

).同理可得

∠DPC＝∠A＋∠1.∴

∠BDC＝∠A＋∠1＋∠2.

(等量代換).新知鞏固1.已知：如圖，如圖,AC、BD相交于點(diǎn)O.求證:∠A＋∠B＝∠C＋∠D.CBADO證法1：在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠A＋∠B＝180°

－∠AOB(等式性質(zhì)).在△CDO中，同理可得

∠C＋∠D

＝180

°

－∠COD.∵∠AOB

＝∠COD(對(duì)頂角相等)，∴

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(等量代換).新知鞏固1.已知：如圖，如圖,AC、BD相交于點(diǎn)O.求證:∠A＋∠B＝∠C＋∠D.CBADO證法2：∵∠AOD是△AOB的一個(gè)外角(已知)∴∠AOD＝∠A＋∠B(三角形內(nèi)角和定理的推論

).同理可得

∠AOD＝∠C＋∠D.∴

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(等量代換).新知鞏固變式

如圖，∠A與∠B的和等于∠OCD與∠ODC的和嗎？為什么？CBADO證明：在△ABO中，∠A＋∠B＋∠AOB＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∴∠A＋∠B＝180°

－∠O(等式性質(zhì)).在△CDO中，同理可得

∠OCD＋∠ODC＝180

°

－∠O.∴

∠A＋∠B＝∠C＋∠D

(等量代換).解：逆命題為“有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形”.這個(gè)逆命題是真命題.新知鞏固2.寫出“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”的逆命題，判斷真假并給出證明.ACB已知：如圖，△ABC中，∠A與∠B互余.求證：△ABC是直角三角形.證明：在△ABC中，∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形內(nèi)角和定理)，∵∠A與∠B互余(已知)，∴∠C＝180

°－(∠A＋∠B)(等式性質(zhì)).∴

∠A＋∠B＝90

°(互余的定義).∴∠C＝180

°－90

°

＝90

°

(等量代換).∴△ABC是直角三角形

(直角三角形的定義).三角形內(nèi)角和定理課堂總結(jié)三角形內(nèi)角和定理的推論定理和推論的概念定理和推論的關(guān)系當(dāng)堂檢測(cè)基礎(chǔ)過關(guān)1.如圖，在△ABC中，∠A＝27°，∠B＝48°，∠ACD是△ABC的一個(gè)外角，則∠ACD等于()A．75°B．80°C．105°D．54°ADABC當(dāng)堂檢測(cè)基礎(chǔ)過關(guān)2.

如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，且∠A＝38°，∠B＝58°，∠C＝44°，則∠D＝

64°

?.

64°BDACO當(dāng)堂檢測(cè)基礎(chǔ)過關(guān)3.已知∠A，∠B為直角三角形ABC的兩個(gè)銳角，若∠B＝54°，則∠A的度數(shù)為

85°

?.ABC36°當(dāng)堂檢測(cè)基礎(chǔ)過關(guān)4.

如圖，CE是△ABC的外角∠ACD的平分線.若∠B＝35°，∠ACE＝60°，則∠A的度數(shù)為

85°

?.

85°DABCE當(dāng)堂檢測(cè)基礎(chǔ)過關(guān)5.已知：如圖，在直角三角形ABC中∠ACB＝90°，D是AB上一點(diǎn)，且∠ACD＝∠B．求證：CD⊥AB．ABCD證明：

∵∠ACB＝90°(已知)，∴

∠A＋∠B＝90°

(直角三角形的兩個(gè)銳角互余).∵

∠ACD＝∠B(已知)，∴∠A＋∠ACD＝90°(等量代換).∴∠ADC＝90°(有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形),即CD⊥AB(垂直定義).當(dāng)堂檢測(cè)能力提升1.含30°角的直角三角尺與直線l1、l2的位置關(guān)系如圖所示，若l1∥l2，∠ACD＝∠A，則∠1的度數(shù)為(

B

)ABCDl11l2BA.70°C.40°B.60°D.30°當(dāng)堂檢測(cè)能力提升2.

如圖，在△ACB中，∠A＋∠B＝90°，CD⊥AB，DE⊥AC，垂足分別為D、E，則圖中共有

5

?個(gè)直角三角形.

5ABC