2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之集合（2025年4月）

第32頁（共32頁）2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之集合（2025年4月）一．選擇題（共8小題）1．（2025?安徽模擬）若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}，B＝{x|x為質(zhì)數(shù)}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．72．（2025?贛州模擬）設(shè)集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈A，i＝1，2，3，4，5}，那么集合B中滿足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的個(gè)數(shù)為（）A．60 B．100 C．120 D．1303．（2025?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，則集合A，B，C所有可能的情況種數(shù)為（）A．216 B．200 C．27 D．254．（2025?安源區(qū)模擬）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“?”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對任意的a，b∈G，有a?b∈G；②對任意的a，b，c∈G，有（a?b）?c＝a?（b?c）；③存在e∈G，使得對任意的a∈G，有e?a＝a?e＝a，e稱為單位元；④對任意的a∈G，存在b∈G，使a?b＝b?a＝e，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“?”新構(gòu)成一個(gè)群．則下列說法正確的有（）A．G＝{0，1，2}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群 B．自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群 C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群 D．G={5．（2024秋?昌平區(qū)期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)是（）A．49 B．62 C．109 D．776．（2025?泰安模擬）若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，則（?UA）∩B＝（）A．{5} B．{2，5} C．{0，5} D．{2，3，4}7．（2024秋?金山區(qū)校級期末）已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若a∈S，則當(dāng)且僅當(dāng)a＝m+n（其中正整數(shù)m、n∈S且m≠n）或a＝p+q（其中正整數(shù)p、q?S且p≠q）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①5∈S；②集合{x|x＝3n，n∈N*}?S．則下列判斷正確的是（）A．①對②對 B．①對②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對 D．①錯(cuò)②錯(cuò)8．（2025?海淀區(qū)校級模擬）對于正整數(shù)集合A={a1，a2，?，an}(n∈A．{1，3，5，7，9}是“可分集” B．{1，2，3，4，5，6，7}是“可分集” C．若A是“可分集”，則A中元素全為奇數(shù) D．若A是“可分集”，則A中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?望城區(qū)校級模擬）若平面點(diǎn)集，滿足：任意點(diǎn)（x，y）∈M，存在正實(shí)數(shù)t，都有（tx，ty）∈M，則稱該點(diǎn)集為“t階集”，則下列說法正確的是（）A．若M={(x，y)|y=B．若M＝{（x，y）|y＝2x}是“t階集”，則t為任意正實(shí)數(shù) C．若M＝{（x，y）|x2≤4y}是“t階集”，則0＜t≤1 D．若M={(x，y)|y（多選）10．（2025?單縣校級一模）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X＝{1，2，?，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，記u?v為uv除以p的余數(shù)，um，?為um除以p的余數(shù)；設(shè)a∈X，1，a，a2，?，?，ap﹣2，?兩兩不同，若an，?＝b（n∈{0，1，?，p﹣2}），則稱n是以a為底b的離散對數(shù)，記為n＝log（p）ab．則（）A．若p＝13，則對應(yīng)集合X有5個(gè)元素 B．若p＝7，u＝5，v＝6，則u?v＝2 C．若p＝11，a＝2，則ap﹣1，?＝1 D．log（11）24＝4（多選）11．（2025?武漢模擬）已知n∈N*，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，min（A）為集合A中的最小元素．若非空數(shù)集A?{1，2，…，n}，且滿足|A|≤min（A），則稱集合A為“n階完美集”．記an為全部n階完美集的個(gè)數(shù)，下列說法中正確的是（）A．a(chǎn)4＝7 B．將n階完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1階完美集 C．若A為（n+2）階完美集，|A|＞1且n+2∈A，滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為an+1﹣n D．若A為（n+2）階完美集，|A|＞1且n+2?A，滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為an+1﹣n﹣1（多選）12．（2024秋?廣東期末）設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)y1=(x+a)(x2+bx+c)，y2=(ax+1)(cx2+bx+1)，記集合S＝{x|y1＝0，x∈R}，T＝{xA．Card（S）＝1，Card（T）＝0 B．Card（S）＝2，Card（T）＝3 C．Card（S）＝2，Card（T）＝2 D．Card（S）＝1，Card（T）＝1三．填空題（共4小題）13．（2025?江西模擬）已知集合A＝{1，3，4，5}，U＝{1，2，3，…，19}，集合U的子集B＝{a1，a2，a3，a4，a5}，若對于任意的1≤i＜j≤5，i，j∈Z，都有|ai﹣aj|?A，則符合條件的集合B的個(gè)數(shù)為．14．（2025?松江區(qū)校級開學(xué)）若集合A={(x，y)|y-1=k(x-15．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個(gè)相乘所得均為5的倍數(shù)，則A的元素個(gè)數(shù)最多為．16．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）已知q＞0，對任意正整數(shù)n，令Jn＝{x+y|x，y∈[qn，qn+1]∪[q2n，q2n+1]}．若存在n，使得Jn＝[an，bn]∪[cn，dn]∪[xn，yn]，且bn＜cn＜dn＜xn＜yn，則q的取值范圍是．四．解答題（共4小題）17．（2025春?湖南月考）對非空整數(shù)集合M及k∈N，定義M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}，對于非空整數(shù)集合A，B，定義d（A，B）＝min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}．注：min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}是指滿足A?B⊕k且B?A⊕k的最小自然數(shù)k．（1）設(shè)M＝{3，5，7}，請直接寫出集合M⊕1；（2）設(shè)A＝{1，2，3，?，80}，d（A，B）＝1，求出非空整數(shù)集合B的元素個(gè)數(shù)的最小值；（3）對三個(gè)非空整數(shù)集合A，B，C，若d（A，B）＝3且d（B，C）＝1，求d（A，C）的所有可能取值．18．（2024秋?日照期末）已知集合Un＝{（x1，x2，…，x，）|xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n，n≥3，n∈N+}，任取α＝（x1，x2，…，xn）∈Un，β＝（y1，y2，…，yn）∈Un，定義α?β＝（x1+y1﹣x1y1）+（x2+y2﹣x2y2）+…+（xn+yn﹣xnyn）．（1）當(dāng)n＝3且α＝（0，1，1）時(shí)，寫出滿足α?β＝3的所有元素β；（2）若α，β∈Un，且滿足α?α+β?β＝n，求α?β的最大值；（3）若Un的子集S滿足：?α，β∈S，α≠β，α?β≥n成立，求集合S中元素個(gè)數(shù)Ms的最大值．19．（2025?3月份模擬）十進(jìn)制與二進(jìn)制是常見的數(shù)制，其中十進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)十”；二進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”；例如：十進(jìn)制的數(shù)20對應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)為101002，二進(jìn)制的數(shù)11112對應(yīng)十進(jìn)制表示的數(shù)為15．用∑（A）表示非空的整數(shù)集合A的所有元素的和，已知集合A＝{a1，a2，?，an}，ai∈N+，i＝1，2，…，n且a1＜a2＜?＜an．（一個(gè)數(shù)，不特別說明，默認(rèn)為十進(jìn)制）．（1）寫出“37”對應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)及“1101102”對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；（2）若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，4，8}，C?A，D?B，求∑（C）與∑（D）的所有可能值組成的集合；（3）若n＝11，且對每個(gè)正整數(shù)m≤2025，都存在A的子集S，使得∑（S）＝m，求a10的最小值．20．（2024秋?玉溪期末）設(shè)k是正整數(shù)，A是N*的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有|x﹣y|≠k，則稱A具有性質(zhì)P（k）．（1）試判斷集合B＝{1，4，5，8，11}是否具有性質(zhì)P（2）？并說明理由；（2）若集合A＝{a1，a2，a3，a4}?{1，2，3，4，5，6}，證明A不可能具有性質(zhì)P（3）；（3）若集合A?{1，2，?，11}具有性質(zhì)P（4）和P（7），A中最多有幾個(gè)元素，并說明理由．

2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)難題速遞之集合（2025年4月）參考答案與試題解析一．選擇題（共8小題）題號12345678答案CDBDCAAD二．多選題（共4小題）題號9101112答案ABCBCABDACD一．選擇題（共8小題）1．（2025?安徽模擬）若集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}，B＝{x|x為質(zhì)數(shù)}，則A∩B中元素的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】C【分析】結(jié)合交集的定義，即可求解．【解答】解：集合A＝{x|（x﹣3）（x﹣20）＜0}＝{x|3＜x＜20}，B＝{x|x為質(zhì)數(shù)}，則A∩B＝{5，7，11，13，17，19}，故A∩B中元素的個(gè)數(shù)為6．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查一元二次不等式的解集與集合的交集，屬于基礎(chǔ)題．2．（2025?贛州模擬）設(shè)集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{（x1，x2，x3，x4，x5）|xi∈A，i＝1，2，3，4，5}，那么集合B中滿足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的個(gè)數(shù)為（）A．60 B．100 C．120 D．130【考點(diǎn)】集合中元素個(gè)數(shù)的最值；元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】整體思想；綜合法；集合；排列組合；運(yùn)算求解．【答案】D【分析】明確集合B中滿足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的含義，結(jié)合組合數(shù)的計(jì)算，即可求得答案．【解答】解：由題意知集合B中滿足1≤|x1|+|x2|+|x3|+|x4|+|x5|≤3的元素的個(gè)數(shù)，即指x1，x2，x3，x4，x5中取值為﹣1或1的個(gè)數(shù)和為1或2或3，故滿足條件的元素的個(gè)數(shù)為C51×2+故選：D．【點(diǎn)評】本題以集合為載體，主要考查了組合數(shù)的應(yīng)用，屬于中檔題．3．（2025?沙坪壩區(qū)校級模擬）已知集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，則集合A，B，C所有可能的情況種數(shù)為（）A．216 B．200 C．27 D．25【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】B【分析】設(shè)初始狀態(tài)為b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝?，將b1，b2，b3，b4，b5放入三個(gè)集合，得出b1，b2，b3，b4，b5每一個(gè)元素的放法數(shù)，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，即可得答案．【解答】解：集合A∪B∪C＝{b1，b2，b3，b4，b5}，且B∩C＝{b1，b2，b3}，設(shè)初始狀態(tài)為b1，b2，b3∈B，b1，b2，b3∈C，A＝?，現(xiàn)將b1，b2，b3，b4，b5放入三個(gè)集合，b1有兩種放法，放在集合A或不放集合A；b2，b3同b1，有兩種放法；對于b4，分兩種情況：放在集合A或不放集合A；當(dāng)b4放在集合A，可以不放集合B與集合C中，也可以放在其中一個(gè)集合，但不能同時(shí)放在集合C，B中，共3種放法；當(dāng)b4不放在集合A，必須放在集合B或集合C中，共2種放法；故對于b4，共有5種放法；b5同b4，共有5種放法；由分步乘法計(jì)數(shù)原理得，共有2×2×2×5×5＝200種．故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于中檔題．4．（2025?安源區(qū)模擬）群論，是代數(shù)學(xué)的分支學(xué)科，在抽象代數(shù)中．有重要地位，且群論的研究方法也對抽象代數(shù)的其他分支有重要影響，例如一般一元五次及以上的方程沒有根式解就可以用群論知識(shí)證明．群的概念則是群論中最基本的概念之一，其定義如下：設(shè)G是一個(gè)非空集合，“?”是G上的一個(gè)代數(shù)運(yùn)算，如果該運(yùn)算滿足以下條件：①對任意的a，b∈G，有a?b∈G；②對任意的a，b，c∈G，有（a?b）?c＝a?（b?c）；③存在e∈G，使得對任意的a∈G，有e?a＝a?e＝a，e稱為單位元；④對任意的a∈G，存在b∈G，使a?b＝b?a＝e，稱a與b互為逆元．則稱G關(guān)于“?”新構(gòu)成一個(gè)群．則下列說法正確的有（）A．G＝{0，1，2}關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群 B．自然數(shù)集N關(guān)于數(shù)的加法構(gòu)成群 C．實(shí)數(shù)集R關(guān)于數(shù)的乘法構(gòu)成群 D．G={【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】新定義；集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】D【分析】反例判斷A，B，C是否滿足④，對于D，對所有的a，b∈G，設(shè)a=x+2y，b【解答】解：A：由1∈G且?a∈G，使1?a＝a?1＝a，但0∈G，不存在b∈G，使0?b＝b?0＝1，不正確；B：由0∈N且?a∈N，都有0+a＝a+0＝a，但1∈N，不存在b∈N，使1+b＝b+1＝0，不正確；C：由1∈R且?a∈R，使1?a＝a?1＝a，但0∈R，不存在b∈R，使0?b＝b?0＝1，不正確；D：對所有的a，b∈G，可設(shè)a=x+①G滿足加法結(jié)合律，即?a，b，c∈G，有（a+b）+c＝a+（b+c）；②?e＝0∈G，使得?a∈G，有e+a＝a+e＝a；③?a∈G，設(shè)a=x+2y，x，y∈Z故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了集合的新定義，屬于中檔題．5．（2024秋?昌平區(qū)期末）已知集合A＝{（x，y）|x2+y2≤4，x，y∈Z}，B＝{（x，y）||x|≤3，|y|≤3，x，y∈Z}，定義集合A⊕B＝{（x1+x2，y1+y2）|（x1，y1）∈A，（x2，y2）∈B}，則A⊕B中元素的個(gè)數(shù)是（）A．49 B．62 C．109 D．77【考點(diǎn)】判斷元素與集合的屬于關(guān)系．【專題】數(shù)形結(jié)合；數(shù)形結(jié)合法；平面向量及應(yīng)用；邏輯思維．【答案】C【分析】作出集合A、集合B表示的整點(diǎn)圖形，結(jié)合向量的線性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示可求解．【解答】解：在坐標(biāo)系內(nèi)作出集合A、集合B的整點(diǎn)圖形，則集合A⊕B中元素為圖中虛線格子格點(diǎn)去掉四個(gè)角上的（5，5），（5，4），（4，5），（﹣5，﹣5），（﹣5，﹣4），（﹣4，﹣5），（5，﹣5），（5，﹣4），（4，﹣5），（﹣5，5），（﹣5，4），（﹣4，5）共12個(gè)點(diǎn)，所以集合A⊕B中元素個(gè)數(shù)為11×11﹣12＝109個(gè)．故選：C．【點(diǎn)評】本題主要考查平面向量的線性運(yùn)算及數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．6．（2025?泰安模擬）若全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，則（?UA）∩B＝（）A．{5} B．{2，5} C．{0，5} D．{2，3，4}【考點(diǎn)】集合的交并補(bǔ)混合運(yùn)算．【專題】集合思想；定義法；集合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】求出?UA，根據(jù)交集定義即可得．【解答】解：全集U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{1，2，3}，B＝{1，5}，則?UA＝{0，4，5}，（?UA）∩B＝{5}．故選：A．【點(diǎn)評】本題考查集合的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題．7．（2024秋?金山區(qū)校級期末）已知集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，且滿足：若a∈S，則當(dāng)且僅當(dāng)a＝m+n（其中正整數(shù)m、n∈S且m≠n）或a＝p+q（其中正整數(shù)p、q?S且p≠q）．現(xiàn)有如下兩個(gè)命題：①5∈S；②集合{x|x＝3n，n∈N*}?S．則下列判斷正確的是（）A．①對②對 B．①對②錯(cuò) C．①錯(cuò)②對 D．①錯(cuò)②錯(cuò)【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】A【分析】根據(jù)集合S的定義即可判斷①是真命題，根據(jù)集合S的定義先判斷5∈S，3n∈S，再由?x∈A，有x＝3n+5，3n∈S，5∈S且3n≠5，所以x∈S，可判斷②是真命題．【解答】解：因?yàn)槿鬭∈S，則當(dāng)且僅當(dāng)a＝m+n（其中m，n∈S且m≠n），或a＝p+q（其中p，q?S，p，q∈Z*且p≠q），且集合S是由某些正整數(shù)組成的集合，所以1?S，2?S，因?yàn)?＝1+2，滿足a＝p+q（其中p，q?S，p，q∈Z*且p≠q），所以3∈S，因?yàn)?＝1+3，且1?S，3∈S，所以4?S，因?yàn)?＝1+4，1?S，4?S，所以5∈S，故①對；下面討論元素3n（n≥1）與集合S的關(guān)系，當(dāng)n＝1時(shí)，3∈S；當(dāng)n＝2時(shí)，6＝2+4，2?S，4?S，所以6∈S；當(dāng)n＝3時(shí)，9＝3+6，3∈S，6∈S，所以9∈S；當(dāng)n＝4時(shí)，12＝3+9，3∈S，9∈S，所以12∈S；依次類推，當(dāng)n≥3時(shí)，3n＝3+3（n﹣1），3∈S，3（n﹣1）∈S，所以3n∈S，則{x|x＝3n，n∈N*}?S，故②對．故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查了元素與集合的關(guān)系，考查了學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題．8．（2025?海淀區(qū)校級模擬）對于正整數(shù)集合A={a1，a2，?，an}(n∈A．{1，3，5，7，9}是“可分集” B．{1，2，3，4，5，6，7}是“可分集” C．若A是“可分集”，則A中元素全為奇數(shù) D．若A是“可分集”，則A中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】D【分析】選項(xiàng)A，B根據(jù)“可分集”定義性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；選項(xiàng)C，D，根據(jù)“可分集”定義可知“可分集”元素之和減去任意一個(gè)元素一定為偶數(shù)，根據(jù)此特性分類討論集合A中元素為奇數(shù)和為偶數(shù)時(shí)的情況即可．【解答】解：對于選項(xiàng)A，當(dāng)集合為時(shí)，去掉，其余數(shù)字和為，若分拆成為符合題意的兩個(gè)集合，則每個(gè)集合的數(shù)字之和為12，但{3，5，7，9}中任意一個(gè)，兩個(gè)或三個(gè)的和都不為12，故不可拆分成符合題意的可分集，故不是“可分集”，故A錯(cuò)誤．對于選項(xiàng)B，對于集合，去掉1后，其余各數(shù)的和為27，是奇數(shù)，不可能分解成兩個(gè)整數(shù)集合的并集，故無法分成兩個(gè)交集為空且元素之和相等的集合，所以{1，2，3，4，5，6，7}不是“可分集”，故B錯(cuò)誤．設(shè)集合A={a1由題意可知集合A中除去任意一個(gè)元素后所得集合可以分拆成兩個(gè)元素和相等各元素都是正整數(shù)的集合，因此，M﹣ai（i＝1，2，3，…，n）均為偶數(shù)，因此M，ai（i＝1，2，3，…，n）同為奇數(shù)或同為偶數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)M為奇數(shù)時(shí)，則ai（i＝1，2，3，…，n）也均為奇數(shù)，由于M＝a1+a2+...+an，所以n為奇數(shù)．（Ⅱ）當(dāng)M為偶數(shù)時(shí)，則ai（i＝1，2，3，…，n）也均為偶數(shù)，此時(shí)可設(shè)ai＝2bi，因?yàn)閧a1，重復(fù)上述有限次操作后，便可得到一個(gè)各元素和為奇數(shù)的“可分集”，從而其各個(gè)元素也都是奇數(shù)，由（Ⅰ）可知此時(shí)n也為奇數(shù)．綜上所述，集合A中元素個(gè)數(shù)為奇數(shù)．故C錯(cuò)D對．故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了集合新定義“可分集”的理解與應(yīng)用、集合的性質(zhì)以及分類討論思想．具體包括根據(jù)“可分集”定義判斷給定集合是否為“可分集”，以及通過對集合中元素和的奇偶性分析來探究“可分集”中元素個(gè)數(shù)的特征，屬于難題．二．多選題（共4小題）（多選）9．（2025?望城區(qū)校級模擬）若平面點(diǎn)集，滿足：任意點(diǎn)（x，y）∈M，存在正實(shí)數(shù)t，都有（tx，ty）∈M，則稱該點(diǎn)集為“t階集”，則下列說法正確的是（）A．若M={(x，y)|y=B．若M＝{（x，y）|y＝2x}是“t階集”，則t為任意正實(shí)數(shù) C．若M＝{（x，y）|x2≤4y}是“t階集”，則0＜t≤1 D．若M={(x，y)|y【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷；命題的真假判斷與應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ABC【分析】根據(jù)“t階集”的定義，逐項(xiàng)進(jìn)行判定即可．【解答】解：對于A，若M={(x，y)|y=2x}因?yàn)閠＞0，所以t＝1，故A正確；對于B，若M＝{（x，y）|y＝2x}是“t階集”，則ty＝2tx，則t為任意正實(shí)數(shù)，故B正確；對于C，若M＝{（x，y）|x2≤4y}是“t階集”，則（tx）2≤4ty，由t＞0得出tx2≤4y，當(dāng)0＜t≤1時(shí)，tx2≤x2≤4y，所以tx2≤4y，當(dāng)t＞1時(shí)，取x＝1，y＝0.25，滿足x2≤4y，但是tx2＝t＞1＝4y，所以為使x2≤4y成立時(shí)，tx2≤4y，正實(shí)數(shù)t的取值范圍是0＜t≤1，故C是正確；對于D，若M={(x，y)|當(dāng)t=19，y＝4，x＝3時(shí)，tx=1故選：ABC．【點(diǎn)評】本題是新定義題型，通過給出一個(gè)新概念，或約定一種新運(yùn)算，或給出幾個(gè)新模型來創(chuàng)設(shè)全新的問題情景，是中檔題．（多選）10．（2025?單縣校級一模）離散對數(shù)在密碼學(xué)中有重要的應(yīng)用．設(shè)p是素?cái)?shù)，集合X＝{1，2，?，p﹣1}，若u，v∈X，m∈N，記u?v為uv除以p的余數(shù)，um，?為um除以p的余數(shù)；設(shè)a∈X，1，a，a2，?，?，ap﹣2，?兩兩不同，若an，?＝b（n∈{0，1，?，p﹣2}），則稱n是以a為底b的離散對數(shù)，記為n＝log（p）ab．則（）A．若p＝13，則對應(yīng)集合X有5個(gè)元素 B．若p＝7，u＝5，v＝6，則u?v＝2 C．若p＝11，a＝2，則ap﹣1，?＝1 D．log（11）24＝4【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】轉(zhuǎn)化思想；分析法；集合；邏輯思維；新定義類．【答案】BC【分析】根據(jù)題目種給的新定義的概念逐項(xiàng)判斷即可．【解答】解：因?yàn)閜＝13，所以X＝{1，2，…，12}，所以共12個(gè)元素，故A錯(cuò)誤；因?yàn)閡＝5，v＝6，所以u＝30，因?yàn)?0除以7的余數(shù)為2，所以u?v＝2，故B正確；因?yàn)閜＝11，a＝2，所以ap﹣1，?＝210，?，又210除以11的余數(shù)為1，所以210，?＝1，即ap﹣1，?＝1，故C正確；由已知當(dāng)p＝11，a＝2，n＝4．所以an，?＝24，?，24除以11的余數(shù)為5，所以24，?＝5＝b，所以log（11）25＝4，故D錯(cuò)誤．故選：BC．【點(diǎn)評】本題考查新定義問題的解題思路，屬于中檔題．（多選）11．（2025?武漢模擬）已知n∈N*，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，min（A）為集合A中的最小元素．若非空數(shù)集A?{1，2，…，n}，且滿足|A|≤min（A），則稱集合A為“n階完美集”．記an為全部n階完美集的個(gè)數(shù)，下列說法中正確的是（）A．a(chǎn)4＝7 B．將n階完美集A的元素全部加1，得到的新集合，是n+1階完美集 C．若A為（n+2）階完美集，|A|＞1且n+2∈A，滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為an+1﹣n D．若A為（n+2）階完美集，|A|＞1且n+2?A，滿足條件的集合A的個(gè)數(shù)為an+1﹣n﹣1【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】ABD【分析】通過對不同階數(shù)完美集的子集情況進(jìn)行分析來確定集合個(gè)數(shù)，同時(shí)依據(jù)完美集的性質(zhì)判斷相關(guān)結(jié)論的正確性．【解答】解：由題意n∈N*，記|A|為集合A中元素的個(gè)數(shù)，min（A）為集合A中的最小元素．若非空數(shù)集A?{1，2，…，n}，且滿足|A|≤min（A），則稱集合A為“n階完美集”．可得當(dāng)非空數(shù)集A是{1，2，3，4}，子集中含1個(gè)元素的子集時(shí)，|A|＝1，根據(jù)“n階完美集”的定義，{1，2，3，4}中大于等于1的數(shù)有1、2、3、4共4個(gè)，所以此時(shí)A可以是{1}、{2}、{3}、[4}，當(dāng)非空數(shù)集A是{1，2，3，4}，子集中含2個(gè)元素的子集時(shí)，|A|＝2，{1，2，3，4}中大于等于2的數(shù)有2、3、4共3個(gè)，所以此時(shí)A可以是{2，3}、{2，4}、{3，4}，當(dāng)非空數(shù)集A是|1，2，3，4}，子集中含3個(gè)元素的子集時(shí)，|A|＝3，{1，2，3，4}中大于等于3的數(shù)有3、4共2個(gè)，不滿足“n階完美集”的定義，所以{1，2，3，4}中3個(gè)元素的子集不滿足．同理，{1，2，3，4}中含4個(gè)元素的子集也不滿足．綜上，4階完美集有{1}、{2}、{3}、{4}、{2，3}、{2，4}、{3，4}，所以a4＝7，故A正確；若將“n階完美集”A中元素全部加1，A中元素個(gè)數(shù)不變，但min（A）加1變大，均不違背“n+1階完美集”的定義，所以得到的新集合是一個(gè)“n+1階完美集”，故B正確；對于滿足“n+2階完美集”的所有A，n+2屬于所有A或不屬于所有A，均可視為同一情形，即退化為“n+1階完美集”的情況，總個(gè)數(shù)為an+1，又因?yàn)閨A|＞1，所以滿足條件的集合A要排除掉“n+1階完美集”中只含有1個(gè)元素的情形（排除n+1個(gè)單元素集合），因此滿足條件的集合，A的個(gè)數(shù)均為an+1﹣（n+1）＝an+1﹣n﹣1，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：ABD．【點(diǎn)評】本題考查了集合新定義問題，是難題．（多選）12．（2024秋?廣東期末）設(shè)a，b，c為實(shí)數(shù)y1=(x+a)(x2+bx+c)，y2=(ax+1)(cx2+bx+1)，記集合S＝{x|y1＝0，x∈R}，T＝{xA．Card（S）＝1，Card（T）＝0 B．Card（S）＝2，Card（T）＝3 C．Card（S）＝2，Card（T）＝2 D．Card（S）＝1，Card（T）＝1【考點(diǎn)】元素與集合關(guān)系的判斷．【專題】分類討論；分類法；集合；運(yùn)算求解．【答案】ACD【分析】方程（x+a）（x2+bx+c）＝0的解的個(gè)數(shù)取決于Δ＝b2﹣4ac，至少有一個(gè)x＝﹣a；方程（ax+1）（cx2+bx+1）＝0的解的個(gè)數(shù)取決于a＝0及Δ＝b2﹣4ac，分情況討論舉例可得答案．【解答】解：對于A，當(dāng)Card（T）＝0時(shí)，方程g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）＝0無實(shí)根，∴a＝0，b2﹣4c＜0或a＝b＝c＝0，當(dāng)a＝b＝c＝0時(shí)，f（x）＝x3，由f（x）＝0，得x＝0，此時(shí)Card（S）＝1；當(dāng)a＝0，b2﹣4c＜0時(shí)，f（x）＝x（x2+bx+c），由f（x）＝0，得x＝0，此時(shí)Card（S）＝1，故存在A成立；對于B，當(dāng)Card（T）＝3時(shí)，方程g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）＝0有三個(gè)根，∴a≠0，c≠0，b2﹣4c＞0，設(shè)x0為g（x）＝0的一個(gè)根，即（ax0+1）（cx02則x0≠0，且f（1x0）＝（1x0+∴1x0是方程f（x）＝0的根，∴f（x）＝0有三個(gè)根，即Card（T）＝3時(shí)，必有Card（S）＝∴不可能是Card（S）＝2，Card（T）＝3，故B錯(cuò)誤；對于C，當(dāng)a≠0c≠0b2-4c=0時(shí)，由f（x）＝（x+a）（x2+bx由g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）＝0，得x=-1a或只需b≠2a，即可滿足Card（S）＝2，Card（T）＝2，∴存在C成立；對于D，當(dāng)a≠0b2-4c＜0時(shí)，由f（x）＝（x+a）（x2+bx+c）＝0，得x由g（x）＝（ax+1）（cx2+bx+1）＝0，得x=-1a，即Card（T）＝1綜上，A、C、D都有可能發(fā)生，故選：ACD．【點(diǎn)評】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是分類討論思想、方程的根及根的個(gè)數(shù)判斷，熟練掌握一次方程根的個(gè)數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)的關(guān)系和二次方程根的個(gè)數(shù)與△的關(guān)系是解答的關(guān)鍵．三．填空題（共4小題）13．（2025?江西模擬）已知集合A＝{1，3，4，5}，U＝{1，2，3，…，19}，集合U的子集B＝{a1，a2，a3，a4，a5}，若對于任意的1≤i＜j≤5，i，j∈Z，都有|ai﹣aj|?A，則符合條件的集合B的個(gè)數(shù)為30．【考點(diǎn)】子集的個(gè)數(shù)．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】30．【分析】根據(jù)題意，設(shè)bk＝ak+1﹣ak，即可得到B中元素由a1＝2和有序數(shù)組（b1，b2，b3，b4）決定，然后分類討論即可得到b1，b2，b3，b4中有2個(gè)2，分別計(jì)算其對應(yīng)的情況數(shù)，然后相加，即可得到結(jié)果．【解答】解：不妨設(shè)a1＜a2＜a3＜a4＜a5，再設(shè)bk＝ak+1﹣ak，k＝1，2，3，4，則B中元素由a1和有序數(shù)組（b1，b2，b3，b4）決定．b1+b2+b3+b4＝a5﹣a1≤19﹣1＝18，bk?{1，3，4，5}，且（b1，b2，b3，b4）中任意相鄰幾個(gè)之和也不屬于{1，3，4，5}，否則會(huì)出現(xiàn)aj﹣ai∈A，若b1，b2，b3，b4中沒有2或只有1個(gè)2，則一定有b1+b2+b3+b4＞18，不符合題意．若b1，b2，b3，b4中有3個(gè)2或4個(gè)2，不滿足（b1，b2，b3，b4）中任意相鄰幾個(gè)之和也不屬于{1，3，4，5}，所以b1，b2，b3，b4中有2個(gè)2．考慮（b1，b2，b3，b4）的排列情況和a1的取值情況：若b1，b2，b3，b4由2，2，6，6組成，則B的個(gè)數(shù)為3×3＝9；若b1，b2，b3，b4由2，2，6，7組成，則B的個(gè)數(shù)為6×2＝12；若b1，b2，b3，b4由2，2，6，8組成，則B的個(gè)數(shù)為6×1＝6；若b1，b2，b3，b4由2，2，7，7組成，則B的個(gè)數(shù)為3×1＝3．故符合條件的集合B的個(gè)數(shù)為9+12+6+3＝30．【點(diǎn)評】本題考查集合新定義，對于集合新定義，首先要了解集合的特性，包括抽象特性和計(jì)算特性，抽象特性是將集合可近似的當(dāng)作數(shù)列或者函數(shù)分析，計(jì)算特性是將復(fù)雜的關(guān)系通過找規(guī)律利用已學(xué)相關(guān)知識(shí)求解，是中檔題．14．（2025?松江區(qū)校級開學(xué)）若集合A={(x，y)|y-1=k(x-【考點(diǎn)】求集合的交集．【專題】轉(zhuǎn)化思想；轉(zhuǎn)化法；集合；運(yùn)算求解．【答案】{-【分析】首先求出直線過定點(diǎn)（1，1），然后把求交集的問題轉(zhuǎn)化為求方程解的問題，再利用根的情況列式計(jì)算得解．【解答】解：集合A={(聯(lián)立y-1=k由y﹣1＝k（x﹣1），可知直線過點(diǎn)（1，1），則有一個(gè)公共點(diǎn)（1，1），由1x2-當(dāng)x≠1時(shí)，有-x+1x2=k，即kx2+x+1＝0，則kx2對k的情況進(jìn)行討論：①k＝0，此時(shí)有x+1＝0，x＝﹣1，符合題意；②Δ＝1﹣4k＝0，k=③當(dāng)x＝1是方程kx2+x+1＝0的一個(gè)解時(shí)，有x+2＝0，此時(shí)k＝﹣2，此時(shí)另外一個(gè)解為-1綜上，所有滿足要求的實(shí)數(shù)k組成的集合為{-故答案為：{-【點(diǎn)評】本題主要考查交集及其運(yùn)算，屬于中檔題．15．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）設(shè)集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個(gè)相乘所得均為5的倍數(shù)，則A的元素個(gè)數(shù)最多為137．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】計(jì)算題；轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解．【答案】137．【分析】三位數(shù)中的5的倍數(shù)分個(gè)位是0和個(gè)位是5討論即可．【解答】解：由題意集合A中的元素均為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù)，且從中任取兩個(gè)相乘所得均為5的倍數(shù)，可得集合中且至多只有一個(gè)不是5的倍數(shù)，其余均是5的倍數(shù)．首先討論三位數(shù)中的5的倍數(shù)，①當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，則百位和十位在剩余的9個(gè)數(shù)字中選擇兩個(gè)進(jìn)行排列，則這樣的偶數(shù)有A92②當(dāng)個(gè)位為5時(shí)，則百位有C81個(gè)數(shù)字可選，十位有C根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理這樣的5的倍數(shù)共有C81最后再加上單獨(dú)的不是5的倍數(shù)的數(shù)，所以集合中元素個(gè)數(shù)的最大值為72+64+1＝137個(gè)．故答案為：137．【點(diǎn)評】本題考查了集合元素個(gè)數(shù)問題，是中檔題．16．（2025?浦東新區(qū)校級模擬）已知q＞0，對任意正整數(shù)n，令Jn＝{x+y|x，y∈[qn，qn+1]∪[q2n，q2n+1]}．若存在n，使得Jn＝[an，bn]∪[cn，dn]∪[xn，yn]，且bn＜cn＜dn＜xn＜yn，則q的取值范圍是（1，2）．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合思想；綜合法；定義法；集合；邏輯思維；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1，2）．【分析】分析x，y的各種情況下x+y的取值范圍，然后考慮所得三個(gè)取值范圍互相分離的條件，得出存在正整數(shù)n符合題意的條件下的實(shí)數(shù)a的取值范圍．【解答】解：Jn由以下四種情況的x+y組成：當(dāng)x，y∈[qn，qn+1]時(shí)，此時(shí)x+y∈[2qn，2qn+1]；當(dāng)x∈[qn，qn+1]時(shí)，y∈[q2n，q2n+1]，此時(shí)x+y∈[qn+q2n，qn+1+q2n+1]；當(dāng)x∈[q2n，q2n+1]，y∈[qn，qn+1]時(shí)，結(jié)果同上；當(dāng)x，y∈[q2n，q2n+1]時(shí)，此時(shí)x+y∈[2q2n，2q2n+1]．所以an所以有2qn＜2qn+1＜qn+q2n＜qn+1+q2n+1＜2q2n＜2q2n+1，由2qn＜2qn+1及q＞0，n∈N*，兩邊同時(shí)除以2qn，得q＞1，此時(shí)qn+q2n＜qn+1+q2n+1，2q2n＜2q2n+1都成立；由2qn+1＜qn+q2n，兩邊同時(shí)除以qn，得qn＞2q﹣1①；由qn+1+q2n+1＜2q2n，兩邊同時(shí)除以qn，得q+qn+1＜2qn，即2qn﹣qn+1＞q，qn（2﹣q）＞q，所以2﹣q＞0且qnq＜2且qn＞所以1＜q＜2，此時(shí)當(dāng)n→+∞時(shí)，qn→+∞，故必存在正整數(shù)n，同時(shí)滿足①②，從而滿足已知條件，所以q的取值范圍是區(qū)間（1，2）．故答案為：（1，2）．【點(diǎn)評】本題屬于集合新定義，考查了分類討論思想、集合思想，屬于中檔題．四．解答題（共4小題）17．（2025春?湖南月考）對非空整數(shù)集合M及k∈N，定義M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}，對于非空整數(shù)集合A，B，定義d（A，B）＝min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}．注：min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}是指滿足A?B⊕k且B?A⊕k的最小自然數(shù)k．（1）設(shè)M＝{3，5，7}，請直接寫出集合M⊕1；（2）設(shè)A＝{1，2，3，?，80}，d（A，B）＝1，求出非空整數(shù)集合B的元素個(gè)數(shù)的最小值；（3）對三個(gè)非空整數(shù)集合A，B，C，若d（A，B）＝3且d（B，C）＝1，求d（A，C）的所有可能取值．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】綜合題；集合思想；綜合法；集合；數(shù)學(xué)建模；新定義類．【答案】（1）{2，3，4，5，6，7，8}；（2）27；（3）2或3或4．【分析】（1）設(shè)M＝{3，5，7}，結(jié)合題設(shè)定義直接寫出集合M1；（2）設(shè)B有|B|個(gè)元素，由B＝{2，5，8，…，77，80}，則A∠B⊕0＝B，證得B|min＝27，再假設(shè)|B|＝j(luò)≤26得到矛盾，則有|B|＝j(luò)≥27，即可得；（3）先證（M⊕k）⊕l?M⊕（k+1），如d（A，B）＝p，d（B，C）＝q，d（A，C）＝r，結(jié)合結(jié)論得d（A，C）＝r≤d（A，B）+d（B，C）＝p+q，進(jìn)而有d（A，C）∈{2，3，4}，注意驗(yàn)證．【解答】解：（1）若M＝{3，5，7}，則由集合新定義可知M⊕1＝{2，3，4}∪{4，5，6}∪{6，7，8}＝{2，3，4，5，6，7，8}．（2）設(shè)B有|B|個(gè)元素，下證|B|min＝27．一方面．B＝{2，5，8，?，77，80}，則A?B⊕0＝B，所以d（A，B）≠0，即d（A，B）≥1，而B?A⊕1＝{0，1，2，3，4，?，81}，A?B⊕1＝{1，2，3，4，?，81}，這表明了d（A，B）＝1滿足題意，此時(shí)|B|=80-23+1=27，故|B根據(jù)題目：對非空整數(shù)集合M及k∈N，定義M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}，對于非空整數(shù)集合A，B，定義d（A，B）＝min{k∈N|A?B⊕k，B?A⊕k}．另一方面：若|B|＝j(luò)≤26，不妨設(shè)B＝{b1，b2，?，bj}且b1＜b2＜?＜bj，由題意可知A?B⊕1＝{b1﹣1，b1，b1+1}∪{b2﹣1，b2，b2+1}∪?∪{bj﹣1，bj，bj+1}，而B⊕1最多含有3j≤78個(gè)元素，當(dāng)且僅當(dāng){bk﹣1，bk，bk+1}（1≤k≤j）兩兩不同且|B|＝j(luò)＝26時(shí)，等號成立，但這與A有80個(gè)元素矛盾，所以|B|＝j(luò)≥27．綜上所述：非空整數(shù)集合B的元素個(gè)數(shù)的最小值是27．（3）一方面：先來證明（M⊕k）⊕l?M⊕（k+l），M⊕k＝{m+t|m∈M，t＝﹣k，﹣k+1，?，k}＝{n∈Z|?m∈M，|n﹣m|≤k}，因此只要M1?M2，就有M1⊕k?M2⊕k，而?x∈（M⊕k）⊕l，?p∈M⊕k，|x﹣p|≤l，所以?m∈M，|p﹣m|≤k．所以|x﹣m|＝|x﹣p+p﹣m|≤|x﹣p|+|p﹣m|≤l+k，即?x∈M⊕（k+l），從而（M⊕k）⊕l?M⊕（k+l）．另一方面，如果d（A，B）＝p，d（B，C）＝q，d（A，C）＝r，那么A?B⊕p，B?C⊕q，B⊕p?（C⊕q）⊕p?C⊕（p+q），從而A?C⊕（p+q），同理C?A⊕（p+q），因此由定義可得d（A，C）＝r≤d（A，B）+d（B，C）＝p+q，即d滿足距離的三角不等式；所以d（A，C）≤d（A，B）+d（B，C）＝3+1＝4，d（A，C）≥d（A，B）﹣d（B，C）＝3﹣1＝2，即d（A，C）∈{2，3，4}，取A＝{0}，B＝{3}，C＝{2}，可知d（A，C）＝2可能成立，取A＝{0}，B＝{3}，C＝{2，3}，可知d（A，C）＝3可能成立，取A＝{0}，B＝{3}，C＝{4}，可知d（A，C）＝4可能成立．綜上所述，d（A，C）所有可能取值為2或3或4．【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用，屬于中等題，18．（2024秋?日照期末）已知集合Un＝{（x1，x2，…，x，）|xi∈{0，1}，i＝1，2，…，n，n≥3，n∈N+}，任取α＝（x1，x2，…，xn）∈Un，β＝（y1，y2，…，yn）∈Un，定義α?β＝（x1+y1﹣x1y1）+（x2+y2﹣x2y2）+…+（xn+yn﹣xnyn）．（1）當(dāng)n＝3且α＝（0，1，1）時(shí)，寫出滿足α?β＝3的所有元素β；（2）若α，β∈Un，且滿足α?α+β?β＝n，求α?β的最大值；（3）若Un的子集S滿足：?α，β∈S，α≠β，α?β≥n成立，求集合S中元素個(gè)數(shù)Ms的最大值．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】分類討論；集合思想；定義法；集合；邏輯思維；運(yùn)算求解；創(chuàng)新能力；新定義類．【答案】（1）（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）；（2）n；（3）n+1．【分析】（1）根據(jù)n＝3，α＝（0，1，1），結(jié)合題意，寫出滿足α?β＝3的所有元素β即可；（2）記α＝（x1，x2，?，xn），β＝（y1，y2，?，yn），根據(jù)xi∈{0，1}，利用α?α+β?β＝n，得出0≤α?β≤n，即可得出α?β的最大值．（3）根據(jù)題意，記max{a，b}表示a，b中的最大值，α?β轉(zhuǎn)化為α?β＝max{x1，y1}+max{x2，y2}+?+max{xn，yn}，由題意得出α?β＝n．對于S中滿足第i個(gè)分量等于0的元素α至多有一個(gè)，S中可能有的元素分為兩種情況，即每個(gè)分量都是1的，某個(gè)分量是0的，得出Ms最大值．【解答】解：（1）根據(jù)題目定義：定義α?β＝（x1+y1﹣x1y1）+（x2+y2﹣x2y2）+…+（xn+yn﹣xnyn）．因?yàn)閚＝3，α＝（0，1，1），所以滿足α?β＝3的所有元素β為（1，0，0），（1，0，1），（1，1，0），（1，1，1）；（2）根據(jù)題目定義：定義α?β＝（x1+y1﹣x1y1）+（x2+y2﹣x2y2）+…+（xn+yn﹣xnyn）．記α＝（x1，x2，?，xn），β＝（y1，y2，?，yn），因?yàn)閤i∈{0，1}，所以x（x﹣1）＝0（i＝1，2，…，n），所以α?α＝（x1+x1﹣x1x1）+（x2+x2﹣x2x2）+?+（xn+xn﹣xnxn）＝x1+x2+?+xn，同理β?β＝y(tǒng)1+y2+…+yn，因?yàn)棣?α+β?β＝n，所以x1+x2+?+xn+y1+y2+?+yn＝n，所以x1，x2，…，xn，y1，y2，…，yn中有n個(gè)量的值為1，n個(gè)量的值為0．顯然0≤α?β＝（x1+y1﹣x1y2）+（x2+y2﹣x2y2）+…+（xn+yn﹣xnyn）≤x1+y1+x2+y2+…+xn+yn＝n，當(dāng)且僅當(dāng)|xi﹣yi|＝1（i＝1，2，…，n）時(shí)等號成立．例如α＝（1，1，…，1），β＝（0，0，…，0），此時(shí)α，β滿足α?α+β?β＝n，α?β＝n．所以α?β的最大值為n．（3）對于任意i＝1，2，…，n，n≥3，n∈N+，xi+yi﹣xiyi＝xi+（1﹣xi）yi，當(dāng)xi＝1時(shí)，恒有xi+yi﹣xiyi＝xi+（1﹣xi）yi＝1，當(dāng)xi＝0，y＝0時(shí)，xi+yi﹣xiyi＝xi+（1﹣xi）yi＝0，當(dāng)xi＝0，yi＝1時(shí)，則xi+yi﹣xiyi＝xi+（1﹣xi）yi＝1，記max{a，b}表示a，b中的最大值，則α?β可轉(zhuǎn)化為，α?β＝max{x1，y1}+max{x2，y2}+?+max{xn，yn}，因?yàn)?α，β∈S，α≠β，α?β≥n成立，且0≤α?β＝max{x1，y1}+max{x2，y2}+?+max{xn，yn}≤n，所以α?β＝n，所以?i∈{1，2，…，n}，max{xi，yi}＝1，則對于S中滿足第i個(gè)分量等于0的元素α至多有一個(gè)．現(xiàn)證明如下：假設(shè)S中滿足第i個(gè)分量等于0的元素存在兩個(gè)，即有α＝（x1，x2，?，xn），β＝（y1，y2，?，yn），xi＝y(tǒng)i＝0，則max{xi，yi}＝0，α?β＜n，與已知矛盾；故S中可能有的元素分為以下兩種情況：①每個(gè)分量都是1的，至多存在1個(gè)，②某個(gè)分量是0的至多各有1個(gè)，總計(jì)n個(gè)，所以Ms≤n+1，當(dāng)S＝{α|α∈Un，α?α＝n或n﹣1}時(shí)，滿足題意且Ms＝n+1，故所求最大值為n+1．【點(diǎn)評】本題考查了新定義的元素與集合應(yīng)用問題，也考查了邏輯推理與運(yùn)算求解能力，是難題．19．（2025?3月份模擬）十進(jìn)制與二進(jìn)制是常見的數(shù)制，其中十進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1，2，3，4，5，6，7，8，9這十個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為10，進(jìn)位規(guī)則是“逢十進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)十”；二進(jìn)制的數(shù)據(jù)是由0，1這兩個(gè)數(shù)碼來表示的數(shù)，基數(shù)為2，進(jìn)位規(guī)則是“逢二進(jìn)一”，借位規(guī)則是“借一當(dāng)二”；例如：十進(jìn)制的數(shù)20對應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)為101002，二進(jìn)制的數(shù)11112對應(yīng)十進(jìn)制表示的數(shù)為15．用∑（A）表示非空的整數(shù)集合A的所有元素的和，已知集合A＝{a1，a2，?，an}，ai∈N+，i＝1，2，…，n且a1＜a2＜?＜an．（一個(gè)數(shù)，不特別說明，默認(rèn)為十進(jìn)制）．（1）寫出“37”對應(yīng)二進(jìn)制表示的數(shù)及“1101102”對應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)；（2）若集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，4，8}，C?A，D?B，求∑（C）與∑（D）的所有可能值組成的集合；（3）若n＝11，且對每個(gè)正整數(shù)m≤2025，都存在A的子集S，使得∑（S）＝m，求a10的最小值．【考點(diǎn)】集合的包含關(guān)系的應(yīng)用；子集的判斷與求解．【專題】轉(zhuǎn)化思想；綜合法；集合；運(yùn)算求解；新定義類．【答案】（1）1001012，54；（2）{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}；（3）501．【分析】（1）根據(jù)二進(jìn)制與十進(jìn)制定義進(jìn)行相互轉(zhuǎn)化，即可得結(jié)果；（2）根據(jù)題中∑（C）與∑（D）定義，利用列舉法得結(jié)果；（3）先根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示找到滿足條件a10一個(gè)值，再證明其為最小值．【解答】解：（1）根據(jù)題意可知，37＝32+4+1＝25+22+20＝1001012，110110（2）集合A＝{1，2，3，4}，B＝{1，2，4，8}，C?A，D?B，C，D為非空集合，所以C?A＝{1，2，3，4}，因?yàn)榧螩為{1}，{2}，{3}，{4}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{2，3}，{2，4}，{3，4}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，3，4}，{2，3，4}，{1，2，3，4}中一種，所以∑（C）可能值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，因?yàn)镈?B＝{1，2，4，8}，所以集合D為{1}，{2}，{4}，{8}，{1，2}，{1，4}，{1，8}，{2，4}，{2，8}，{4，8}，{1，2，4}，{1，2，8}，{1，4，8}，{2，4，8}，{1，2，4，8}中一種，所以∑（D）可能值為1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15，因此∑（C）與∑（D）的所有可能值組成的集合分別為{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10}，{1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，14，15}；（3）根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示可知：1到29﹣1＝511中正整數(shù)n可以表示為n=可知，對每個(gè)正整數(shù)m≤511，都存在B＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256}的子集S，使得∑（S）＝m，從而對每個(gè)正整數(shù)m≤1012，都存在C＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，501}的子集S，使得∑（S）＝m，進(jìn)而對每個(gè)正整數(shù)m≤2025，都存在A1＝{1，2，4，8，16，32，64，128，256，501，1013}的子集S，使得∑（S）＝m，即A1滿足題意，此時(shí)a10＝501，下證：a10≥501，一方面，因?yàn)榍?0個(gè)數(shù)之和不能小于1012，否則設(shè)a1+a2+?+a10＝t，則a11＝2025﹣t，對于m∈（t，2025﹣t），顯然不存在A的子集S，使得∑（S）＝m，另一方面，因?yàn)?0+21+22+?+28＝511，所以根據(jù)整數(shù)二進(jìn)制表示知，其前9個(gè)數(shù)之和最大為511，故a10≥1012﹣511＝501，綜上：（a10）min＝501．【點(diǎn)評】本題考查了二進(jìn)制與十進(jìn)制的定義，屬于中檔題．20．（2024秋?玉溪期末）設(shè)k是正整數(shù)，A是N*的非空子集（至少有兩個(gè)元素），如果對于A中的任意兩個(gè)元素x，y，都有|x﹣y|≠k，則稱A具有性質(zhì)P（k）．（1）試判斷集合B＝{1，4，5，8，11}是否具有性質(zhì)P（2）？并說明理由；（2）若集合A＝{a1，a2，a3，a4}?{1，2，3，4，5，6}，證明A不可能具有性質(zhì)P（3）；（3）若集合A?{1，2，?，11}具有性質(zhì)P（4）和P（7），A中最多有幾個(gè)元素，并說明理由．【考點(diǎn)】元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用．【專題】集合思想；定義法；集合；邏輯思維．【答案】（1）B具有性質(zhì)P（2），理由見解析．（2）證明見解析．（3）至多只有5個(gè)，理由見解析．【分析】（1）根據(jù)新定義判斷B＝{1，4，5，8，11}是否具有性質(zhì)P（2）即可；（2）利用反證法，假設(shè)A具有性質(zhì)P（3），可得集合A中最多有3個(gè)元素，與集合A中含有4個(gè)元素矛盾，從而得證；（3）分①5，6，7同時(shí)選，②5，6，7選2個(gè)，③5，6，7中只選1個(gè)，三種情況討論，分別利用新定義求解即可．【解答】解：（1）由于4﹣1＝3＞2，5﹣4＝1＜2，8﹣4＝4＞2，8﹣5＝3＞2，11﹣8＝3，因此B具有性質(zhì)P（2）．（2）證明：假設(shè)A具有性質(zhì)P（3），則有1不能有4，有3不能有6，有2不能有5，則集合A中最多有3個(gè)元素，與集合A中含有4個(gè)元素矛盾，因此A不可能具有性質(zhì)P（3）．（3）因?yàn)锳?{1，2，?，11}．將這11個(gè)數(shù)分為{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}，{5}，{6}，{7}，7個(gè)集合，①5，6，7同時(shí)選，由于具有性質(zhì)P（4）和P（7），因此選6則不選2，10；選5則不選1，9；選7則不選3，11；那么只剩4，8，又不能同時(shí)選，因此1，2，3．．．，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．②5，6，7選2個(gè)，如果選5，6，那么1，2，9，10，7不可選，又因?yàn)閧4，11}只能選一個(gè)元素，因此1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．如果選5，7，那么1，3，9，11，6不可選，又因?yàn)閧4，8}只能選一個(gè)元素，所以1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．如果選6，7，那么2，3，10，11，5不可選，又因?yàn)閧1，8}只能選一個(gè)元素，因此1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)．③5，6，7中只選1個(gè)，又因?yàn)樗膫€(gè)集合{1，8}，{2，9}，{3，10}，{4，11}每個(gè)集合至多選1個(gè)元素，因此1，2，3?，11中屬于集合A的元素個(gè)數(shù)不超過5個(gè)，根據(jù)上可知，屬于集合A的元素至多只有5個(gè)．【點(diǎn)評】本題考查元素與集合的綜合應(yīng)用，屬于中檔題．

考點(diǎn)卡片1．元素與集合關(guān)系的判斷【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】1、元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．2、集合中元素的特征：（1）確定性：作為一個(gè)集合中的元素，必須是確定的．即一個(gè)集合一旦確定，某一個(gè)元素屬于還是不屬于這集合是確定的．要么是該集合中的元素，要么不是，二者必居其一，這個(gè)特性通常被用來判斷涉及的總體是否能構(gòu)成集合．（2）互異性：集合中的元素必須是互異的．對于一個(gè)給定的集合，他的任何兩個(gè)元素都是不同的．這個(gè)特性通常被用來判斷集合的表示是否正確，或用來求集合中的未知元素．（3）無序性：集合于其中元素的排列順序無關(guān)．這個(gè)特性通常被用來判斷兩個(gè)集合的關(guān)系．【命題方向】題型一：驗(yàn)證元素是否是集合的元素典例1：已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．題型二：知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．典例2：已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．2．判斷元素與集合的屬于關(guān)系【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】明確集合定義：了解集合的定義及其包含的元素范圍．驗(yàn)證條件：檢查元素是否滿足集合的定義條件．符號表示：用∈表示元素屬于某集合，用?表示元素不屬于某集合．【命題方向】驗(yàn)證元素是否是集合的元素已知集合A＝{x|x＝m2﹣n2，m∈Z，n∈Z}．求證：（1）3∈A；（2）偶數(shù)4k﹣2（k∈Z）不屬于A．分析：（1）根據(jù)集合中元素的特性，判斷3是否滿足即可；（2）用反證法，假設(shè)屬于A，再根據(jù)兩偶數(shù)的積為4的倍數(shù)；兩奇數(shù)的積仍為奇數(shù)得出矛盾，從而證明要證的結(jié)論．解答：解：（1）∵3＝22﹣12，3∈A；（2）設(shè)4k﹣2∈A，則存在m，n∈Z，使4k﹣2＝m2﹣n2＝（m+n）（m﹣n）成立，1、當(dāng)m，n同奇或同偶時(shí)，m﹣n，m+n均為偶數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為4的倍數(shù)，與4k﹣2不是4的倍數(shù)矛盾．2、當(dāng)m，n一奇，一偶時(shí)，m﹣n，m+n均為奇數(shù)，∴（m﹣n）（m+n）為奇數(shù)，與4k﹣2是偶數(shù)矛盾．綜上4k﹣2?A．點(diǎn)評：本題考查元素與集合關(guān)系的判斷．分類討論的思想．3．元素與集合的屬于關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】元素與集合的關(guān)系：一般地，我們把研究對象稱為元素，把一些元素組成的總體稱為集合，簡稱集．元素一般用小寫字母a，b，c表示，集合一般用大寫字母A，B，C表示，兩者之間的關(guān)系是屬于與不屬于關(guān)系，符號表示如：a∈A或a?A．【解題方法點(diǎn)撥】集合中元素的互異性常常容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意．分類討論的思想方法常用于解決集合問題．【命題方向】知元素是集合的元素，根據(jù)集合的屬性求出相關(guān)的參數(shù)．已知集合A＝{a+2，2a2+a}，若3∈A，求實(shí)數(shù)a的值．分析：通過3是集合A的元素，直接利用a+2與2a2+a＝3，求出a的值，驗(yàn)證集合A中元素不重復(fù)即可．解答：解：因?yàn)?∈A，所以a+2＝3或2a2+a＝3…（2分）當(dāng)a+2＝3時(shí)，a＝1，…（5分）此時(shí)A＝{3，3}，不合條件舍去，…（7分）當(dāng)2a2+a＝3時(shí)，a＝1（舍去）或a=-3由a=-32，得故a=-3點(diǎn)評：本題考查集合與元素之間的關(guān)系，考查集合中元素的特性，考查計(jì)算能力．4．集合的包含關(guān)系的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】如果集合A中的任意一個(gè)元素都是集合B的元素，那么集合A叫做集合B的子集；A?B，讀作“A包含于B”（或“B包含于A”）．【解題方法點(diǎn)撥】1．按照子集包含元素個(gè)數(shù)從少到多排列．2．注意觀察兩個(gè)集合的公共元素，以及各自的特殊元素．3．可以利用集合的特征性質(zhì)來判斷兩個(gè)集合之間的關(guān)系．4．有時(shí)借助數(shù)軸，平面直角坐標(biāo)系，韋恩圖等數(shù)形結(jié)合等方法．【命題方向】設(shè)m為實(shí)數(shù)，集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，滿足B?A，則m的取值范圍是_____．解：∵集合A＝{x|﹣3≤x≤2}，B＝{x|m≤x≤2m﹣1}，且B?A，∴當(dāng)m＞2m﹣1時(shí)，即m＜1時(shí)，B＝?，符合題意；當(dāng)m≥1時(shí)，可得-3≤m綜上所述，m≤