吉林市普通高中2024-2025學年高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題含解析

吉林市普通高中2024-2025學年高三下學期聯(lián)合模擬考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（）A． B． C． D．2．若某幾何體的三視圖（單位:cm）如圖所示，則此幾何體的體積是（）A．36cm3 B．48cm3 C．60cm3 D．72cm33．已知圓：，圓：，點、分別是圓、圓上的動點，為軸上的動點，則的最大值是（）A． B．9 C．7 D．4．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)底數(shù)），若關于x的不等式有且只有一個正整數(shù)解，則實數(shù)m的最大值為（）A． B． C． D．5．已知集合，，，則集合()A． B． C． D．6．過雙曲線的左焦點作直線交雙曲線的兩天漸近線于,兩點，若為線段的中點，且（為坐標原點），則雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)，若函數(shù)在上有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．8．的展開式中，含項的系數(shù)為（）A． B． C． D．9．在中，角、、所對的邊分別為、、，若，則（）A． B． C． D．10．下列命題是真命題的是（）A．若平面，，，滿足，，則；B．命題：，，則：，；C．“命題為真”是“命題為真”的充分不必要條件；D．命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”.11．在平面直角坐標系中，銳角頂點在坐標原點，始邊為x軸正半軸，終邊與單位圓交于點，則（）A． B． C． D．12．已知拋物線C：，過焦點F的直線l與拋物線C交于A，B兩點（A在x軸上方），且滿足，則直線l的斜率為（）A．1 B．C．2 D．3二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)圖象上一點處的切線方程為，則_______．14．如圖所示，在△ABC中，AB=AC=2，，，AE的延長線交BC邊于點F，若，則____.15．已知平面向量，，滿足||＝1，||＝2，，的夾角等于，且（）?（）＝0，則||的取值范圍是_____．16．函數(shù)的圖象向右平移個單位后，與函數(shù)的圖象重合，則_____．三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）為了解本學期學生參加公益勞動的情況，某校從初高中學生中抽取100名學生，收集了他們參加公益勞動時間（單位：小時）的數(shù)據(jù)，繪制圖表的一部分如表.（1）從男生中隨機抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的概率：（2）從參加公益勞動時間的學生中抽取3人進行面談，記為抽到高中的人數(shù)，求的分布列；（3）當時，高中生和初中生相比，那學段學生平均參加公益勞動時間較長.（直接寫出結果）18．（12分）在底面為菱形的四棱柱中，平面.（1）證明：平面；（2）求二面角的正弦值.19．（12分）某市調(diào)硏機構對該市工薪階層對“樓市限購令”態(tài)度進行調(diào)查，抽調(diào)了50名市民，他們月收入頻數(shù)分布表和對“樓市限購令”贊成人數(shù)如下表：月收入（單位：百元）頻數(shù)51055頻率0.10.20.10.1贊成人數(shù)4812521（1）若所抽調(diào)的50名市民中，收入在的有15名，求，，的值，并完成頻率分布直方圖．（2）若從收入（單位：百元）在的被調(diào)查者中隨機選取2人進行追蹤調(diào)查，選中的2人中恰有人贊成“樓市限購令”，求的分布列與數(shù)學期望．（3）從月收入頻率分布表的6組市民中分別隨機抽取3名市民，恰有一組的3名市民都不贊成“樓市限購令”，根據(jù)表格數(shù)據(jù)，判斷這3名市民來自哪組的可能性最大？請直接寫出你的判斷結果．20．（12分）已知函數(shù)，．（1）當時，討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，當時，函數(shù)，求函數(shù)的最小值．21．（12分）如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點為線段上的點，過三點的平面與交于點.將①，②，③中的兩個補充到已知條件中，解答下列問題：（1）求平面將四棱錐分成兩部分的體積比；（2）求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知數(shù)列的前n項和為，且n、、成等差數(shù)列，.（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列中去掉數(shù)列的項后余下的項按原順序組成數(shù)列，求的值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．B【解析】

對分類討論，代入解析式求出，解不等式，即可求解.【詳解】函數(shù)，由得或解得.故選:B.本題考查利用分段函數(shù)性質(zhì)解不等式，屬于基礎題.2．B【解析】試題分析：該幾何體上面是長方體，下面是四棱柱；長方體的體積，四棱柱的底面是梯形，體積為，因此總的體積.考點：三視圖和幾何體的體積.3．B【解析】試題分析：圓的圓心，半徑為，圓的圓心，半徑是．要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是;關于軸的對稱點，，故的最大值為，故選B．考點：圓與圓的位置關系及其判定．【思路點睛】先根據(jù)兩圓的方程求出圓心和半徑，要使最大，需最大，且最小，最大值為的最小值為，故最大值是，再利用對稱性，求出所求式子的最大值．4．A【解析】

若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，利用導數(shù)求出的最小值，分別畫出與的圖象，結合圖象可得.【詳解】解：，∴，設，∴，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，∴，當時，，當，，函數(shù)恒過點，分別畫出與的圖象，如圖所示，，若不等式有且只有一個正整數(shù)解，則的圖象在圖象的上方只有一個正整數(shù)值，∴且，即，且∴，故實數(shù)m的最大值為，故選：A本題考查考查了不等式恒有一正整數(shù)解問題，考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查了數(shù)形結合思想，考查了數(shù)學運算能力.5．D【解析】

根據(jù)集合的混合運算，即可容易求得結果.【詳解】，故可得.故選：D.本題考查集合的混合運算，屬基礎題.6．C【解析】由題意可得雙曲線的漸近線的方程為.∵為線段的中點，∴，則為等腰三角形.∴由雙曲線的的漸近線的性質(zhì)可得∴∴，即.∴雙曲線的離心率為故選C.點睛：本題考查了橢圓和雙曲線的定義和性質(zhì)，考查了離心率的求解，同時涉及到橢圓的定義和雙曲線的定義及三角形的三邊的關系應用，對于求解曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個條件得到關于的齊次式，轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后轉(zhuǎn)化為關于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范圍)．7．B【解析】

根據(jù)分段函數(shù)，分當，，將問題轉(zhuǎn)化為的零點問題，用數(shù)形結合的方法研究.【詳解】當時，，令，在是增函數(shù)，時，有一個零點，當時，，令當時，，在上單調(diào)遞增，當時，，在上單調(diào)遞減，所以當時，取得最大值，因為在上有3個零點，所以當時，有2個零點，如圖所示：所以實數(shù)的取值范圍為綜上可得實數(shù)的取值范圍為，故選：B本題主要考查了函數(shù)的零點問題，還考查了數(shù)形結合的思想和轉(zhuǎn)化問題的能力，屬于中檔題.8．B【解析】

在二項展開式的通項公式中，令的冪指數(shù)等于，求出的值，即可求得含項的系數(shù)．【詳解】的展開式通項為，令，得，可得含項的系數(shù)為.故選：B.本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．9．D【解析】

利用余弦定理角化邊整理可得結果.【詳解】由余弦定理得：，整理可得：，.故選：.本題考查余弦定理邊角互化的應用，屬于基礎題.10．D【解析】

根據(jù)面面關系判斷A；根據(jù)否定的定義判斷B；根據(jù)充分條件，必要條件的定義判斷C；根據(jù)逆否命題的定義判斷D.【詳解】若平面，，，滿足，，則可能相交，故A錯誤；命題“：，”的否定為：，，故B錯誤；為真，說明至少一個為真命題，則不能推出為真；為真，說明都為真命題，則為真，所以“命題為真”是“命題為真”的必要不充分條件，故C錯誤；命題“若，則”的逆否命題為：“若，則”，故D正確；故選D本題主要考查了判斷必要不充分條件，寫出命題的逆否命題等，屬于中檔題.11．A【解析】

根據(jù)單位圓以及角度范圍，可得，然后根據(jù)三角函數(shù)定義，可得，最后根據(jù)兩角和的正弦公式，二倍角公式，簡單計算，可得結果.【詳解】由題可知：，又為銳角所以，根據(jù)三角函數(shù)的定義：所以由所以故選：A本題考查三角函數(shù)的定義以及兩角和正弦公式，還考查二倍角的正弦、余弦公式，難點在于公式的計算，識記公式，簡單計算，屬基礎題.12．B【解析】

設直線的方程為代入拋物線方程，利用韋達定理可得,,由可知所以可得代入化簡求得參數(shù),即可求得結果.【詳解】設，（，）.易知直線l的斜率存在且不為0，設為，則直線l的方程為.與拋物線方程聯(lián)立得，所以，.因為，所以，得，所以，即，，所以.故選:B.本題考查直線與拋物線的位置關系,考查韋達定理及向量的坐標之間的關系,考查計算能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．1【解析】

求出導函數(shù)，由切線方程得切線斜率和切點坐標，從而可求得．【詳解】由題意，∵函數(shù)圖象在點處的切線方程為，∴，解得，∴．故答案為：1．本題考查導數(shù)的幾何意義，求出導函數(shù)是解題基礎，14．【解析】

過點做,可得，，由可得，可得，代入可得答案.【詳解】解：如圖，過點做,易得：,,,故,可得：，同理：,,可得,,由，可得,可得：,可得：，,故答案為：.本題主要考查平面向量的線性運算和平面向量的數(shù)量積，由題意作出是解題的關鍵.15．【解析】

計算得到||，||cosα﹣1，解得cosα，根據(jù)三角函數(shù)的有界性計算范圍得到答案.【詳解】由（）?（）＝0可得（）?||?||cosα﹣1×2cos||?||cosα﹣1，α為與的夾角．再由2?1+4+2×1×2cos7可得||，∴||cosα﹣1，解得cosα．∵0≤α≤π，∴﹣1≤cosα≤1，∴1，即||+1≤0，解得||，故答案為．本題考查了向量模的范圍，意在考查學生的計算能力，利用三角函數(shù)的有界性是解題的關鍵.16．【解析】

根據(jù)函數(shù)圖象的平移變換公式求得變換后的函數(shù)解析式,再利用誘導公式求得滿足的方程,結合題中的范圍即可求解.【詳解】由函數(shù)圖象的平移變換公式可得,函數(shù)的圖象向右平移個單位后,得到的函數(shù)解析式為,因為函數(shù)，所以函數(shù)與函數(shù)的圖象重合,所以,即,因為,所以.故答案為:本題考查函數(shù)圖象的平移變換和三角函數(shù)的誘導公式;誘導公式的靈活運用是求解本題的關鍵;屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）詳見解析（3）初中生平均參加公益勞動時間較長【解析】

（1）由圖表直接利用隨機事件的概率公式求解；（2）X的所有可能取值為0，1，2，3.由古典概型概率公式求概率，則分布列可求；（3）由圖表直接判斷結果.【詳解】（1）100名學生中共有男生48名，其中共有20人參加公益勞動時間在，設男生中隨機抽取一人，抽到的男生參加公益勞動時間在的事件為，那么；（2）的所有可能取值為0，1，2，3.∴；；；.∴隨機變量的分布列為：（3）由圖表可知，初中生平均參加公益勞動時間較長.本小題主要考查古典概型的計算，考查超幾何分布的分布列的計算，屬于基礎題.18．（1）證明見解析；（2）【解析】

（1）由已知可證，即可證明結論；（2）根據(jù)已知可證平面，建立空間直角坐標系，求出坐標，進而求出平面和平面的法向量坐標，由空間向量的二面角公式，即可求解.【詳解】方法一：（1）依題意，且∴，∴四邊形是平行四邊形，∴，∵平面，平面，∴平面.（2）∵平面，∴，∵且為的中點，∴，∵平面且，∴平面，以為原點，分別以為軸、軸、軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，∴設平面的法向量為，則，∴，取，則.設平面的法向量為，則，∴，取，則.∴，設二面角的平面角為，則，∴二面角的正弦值為.方法二：（1）證明：連接交于點，因為四邊形為平行四邊形，所以為中點，又因為四邊形為菱形，所以為中點，∴在中，且，∵平面，平面，∴平面（2）略，同方法一.本題主要考查線面平行的證明，考查空間向量法求面面角，意在考查直觀想象、邏輯推理與數(shù)學運算的數(shù)學核心素養(yǎng)，屬于中檔題.19．（1），頻率分布直方圖見解析；（2）分布列見解析，；（3）來自的可能性最大．【解析】

（1）由頻率和為可知，根據(jù)求得，從而計算得到頻數(shù)，補全頻率分布表后可畫出頻率分布直方圖；（2）首先確定的所有可能取值，由超幾何分布概率公式可計算求得每個取值對應的概率，由此得到分布列；根據(jù)數(shù)學期望的計算公式可求得期望；（3）根據(jù)中不贊成比例最大可知來自的可能性最大.【詳解】（1）由頻率分布表得：，即．收入在的有名，，，，則頻率分布直方圖如下：（2）收入在中贊成人數(shù)為，不贊成人數(shù)為，可能取值為，則；；，的分布列為：．（3）來自的可能性更大．本題考查概率與統(tǒng)計部分知識的綜合應用，涉及到頻數(shù)、頻率的計算、頻率分布直方圖的繪制、服從于超幾何分布的隨機變量的分布列與數(shù)學期望的求解、統(tǒng)計估計等知識；考查學生的運算和求解能力.20．（1）見解析（2）的最小值為【解析】

（1）由題可得函數(shù)的定義域為，，當時，，令，可得；令，可得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，令，可得；令，可得或，所以函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增．綜上，當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2）方法一：當時，，，設，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，當且僅當時取等號．當時，設，則，所以，設，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，，所以存在，使得，所以當時，；當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，所以，所以，當且僅當時取等號．所以當時，函數(shù)取得最小值，且，故函數(shù)的最小值為．方法二：當時，，，則，令，，則，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，恒成立，所以當時，恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的最小值為．21．（1）；（2）.【解析】

若補充②③根據(jù)已知可得平面，從而有，結合，可得平面，故有，而，得到，②③成立與①②相同，①③成立，可得，所以任意補