不等式選講導(dǎo)學(xué)案

選修4-5§1.1不等式基本性質(zhì)【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)目標(biāo)理解并掌握不等式的性質(zhì)，能靈活運(yùn)用實(shí)數(shù)的性質(zhì)掌握比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的一般步驟二、知識梳理1．實(shí)數(shù)大小的比較（1）數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的左右位置關(guān)系來規(guī)定實(shí)數(shù)的．在數(shù)軸上，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)．（2）如果a－b＞0，則；如果a－b＝0，則；如果a－b＜0，則.（3）比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，歸結(jié)為判斷它們的；比較兩個(gè)代數(shù)式的大小，實(shí)際上是比較它們的值的大小，而這又歸結(jié)為判斷它們的2．不等式的基本性質(zhì)由兩數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，可以得到不等式的一些基本性質(zhì)：（1）如果a＞b，那么b＜a；如果b＜a，那么a＞b.即.（2）如果a＞b，b＞c，那么.即a＞b，b＞c?.（3）如果a＞b，那么a＋c>.（4）如果a＞b，c>0，那么acbc；如果a>b，c<0，那么acbc.（5）如果a＞b，，那么（6）如果，那么（7）如果a>b>0，那么anbn(n∈N，n≥2)．（8）如果a>b>0，那么eq\r(n,a)eq\r(n,b)(n∈N，n≥2)．3．對上述不等式的理解使用不等式的性質(zhì)時(shí)，一定要清楚它們成立的前提條件，不可強(qiáng)化或弱化它們成立的條件，盲目套用，例如：（1）等式兩邊同乘以一個(gè)數(shù)仍為等式，但不等式兩邊同乘以同一個(gè)數(shù)c(或代數(shù)式)結(jié)果有三種：①c＞0時(shí)得不等式；②c＝0時(shí)得；③c<0時(shí)得不等式．（2）a＞b，c＞d?a＋c>b＋d，即兩個(gè)同向不等式可以相加，但不可以；而a>b>0，c>d>0?ac>bd，即已知的兩個(gè)不等式同向且兩邊為時(shí)，可以相乘，但不可以．（3）性質(zhì)(5)、(6)成立的條件是已知不等式兩邊均為，并且n∈N，n≥2，否則結(jié)論不成立．而當(dāng)n取正奇數(shù)時(shí)可放寬條件，a>b?an>bn(n＝2k＋1，k∈N)，a>b?eq\r(n,a)>eq\r(n,b)(n＝2k＋1，k∈N＋)．【課堂檢測】[例1]比較QUOTE[例2]已知a>b>0，c>d>0，求證：.[例3]已知：－1≤a＋b≤1,1≤a－2b≤3，求a＋3b的范圍．【拓展探究】1.已知x，y均為正數(shù)，設(shè)m＝eq\f(1,x)＋eq\f(1,y)，n＝eq\f(4,x＋y)，試比較m和n的大?。?．判斷下列命題的真假，并簡述理由．（1）若a>b，c>d，則ac>bd；（2）若a>b，c<d，則a－c>b－d；3．已知1≤α＋β≤4，－2≤α－β≤－1，求2α－β的取值范圍．【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)，且，則下列結(jié)論正確的是()A．B．C．D．2．下列不等式成立的是()A．log32<log25<log23B．log32<log23<log25C．log23<log32<log25D．log23<log25<log323．已知，則的取值范圍是.【學(xué)習(xí)小結(jié)】比較兩個(gè)數(shù)(式子)的大不，一般用作差法，其步驟是：作差—變形—判斷差的符號—結(jié)論進(jìn)行簡單的不等式的證明，一定要建立在記準(zhǔn)、記熟不等式性質(zhì)的基礎(chǔ)之上，如果不能直接由不等式的性質(zhì)得到，可以先分析需要證明的不等式的結(jié)構(gòu)，利用不等式的性質(zhì)進(jìn)行逆推，尋找使其成立的充分條件．求代數(shù)式的取值范圍要嚴(yán)格依據(jù)不等式的性質(zhì)和運(yùn)算法則進(jìn)行運(yùn)算，在使用不等式的性質(zhì)中，如果是由兩個(gè)變量的范圍求其差的范圍，一定不能直接作差，而要轉(zhuǎn)化為同向不等式后作和【課外拓展】1．設(shè),若，則下列不等式正確的是()A．B．C．D．2．若，則下列各式中恒成立的是()A．B．C．D．3．設(shè)，則下列不等式中恒成立的是()A．B．C．D．4．已知且,比較與的大小.5．已知且，求的取值范圍.選修4-5§1.2基本不等式【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)目標(biāo)掌握基本不等式并會用基本不等式求最值掌握基本不等式的應(yīng)用條件，體會用基本不等式求最值的過程知識梳理定理1如果a、b都為實(shí)數(shù)，那么a2＋b2≥2ab，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立定理2（基本不等式）如果a、b都為正數(shù)，那么eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號成立1．基本不等式的理解重要不等式a2＋b2≥2ab和基本不等式eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)，成立的條件是不同的．前者成立的條件是a與b都為實(shí)數(shù)，并且a與b都為實(shí)數(shù)是不等式成立的；而后者成立的條件是a與b都為正實(shí)數(shù)，并且a與b都為正實(shí)數(shù)是不等式成立的，如a＝0，b≥0仍然能使eq\f(a＋b,2)≥eq\r(ab)成立．兩個(gè)不等式中等號成立的充要條件都是2．由基本不等式可推出以下幾種常見的變形形式（1）a2＋b2≥；（2）ab≤eq\f(a2＋b2,2)；（3）ab≤(eq\f(a＋b,2))2；（4）(eq\f(a＋b,2))2≤eq\f(a2＋b2,2)；（5）(a＋b)2≥4ab.【課堂檢測】[例1]已知a、b∈R＋，且a＋b＝3.求ab的最大值。[例2]求證：（1）在所有周長相同的矩形中，正方形的面積最大；（2）在所有面積相同的矩形中，正方形的周長最短。[例3]圍建一個(gè)面積為360的矩形場地，要求矩形場地的一面利用舊墻(利用舊墻需維修)，其他三面圍墻要新建，在舊墻的對面的新墻上要留一個(gè)寬度為2m的進(jìn)出口，如圖所示，已知舊墻的維修費(fèi)用為45元/m，新墻的造價(jià)為180元/m，設(shè)利用的舊墻的長度為x(單位：元)．（1）將y表示為x的函數(shù)；（2）試確定x，使修建此矩形場地圍墻的總費(fèi)用最小，并求出最小總費(fèi)用．【拓展探究】1．若正數(shù)x，y滿足x＋3y＝5xy，則3x＋4y的最小值是()A．eq\f(24,5)B．eq\f(28,5)C．5 D．62．已知x>0，y>0且x＋2y＝3，求xy的最大值．3．若正數(shù)a、b滿足ab＝a＋b＋3，（1）求ab的取值范圍；（2）求a＋b的取值范圍．【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)，且滿足，則的最大值為()A．40B．10C．4D．22．設(shè)且，則的最小值為()A．10B．6QUOTEC．4QUOTED．18QUOTE3．若正數(shù)滿足，則的取值范圍是.4．已知都是正數(shù),且，求證:【學(xué)習(xí)小結(jié)】在應(yīng)用基本不等式求最值時(shí)，分以下三步進(jìn)行：1.首先看式子能否出現(xiàn)和(或積)的定值，若不具備，需對式子變形，湊出需要的定值；2.其次，看所用的兩項(xiàng)是否同正，若不滿足，通過分類解決，同負(fù)時(shí)，可提取(－1)變?yōu)橥?.利用已知條件對取等號的情況進(jìn)行驗(yàn)證．若滿足，則可取最值，若不滿足，則可通過函數(shù)單調(diào)性或?qū)?shù)解決．【課外拓展】1．一商店經(jīng)銷某種貨物，根據(jù)銷售情況，年進(jìn)貨量為5萬件，分若干次等量進(jìn)貨(設(shè)每次進(jìn)貨x件)，每進(jìn)一次貨運(yùn)費(fèi)50元，且在銷售完該貨物時(shí)，立即進(jìn)貨，現(xiàn)以年平均eq\f(x,2)件貨儲存在倉庫里，庫存費(fèi)以每件20元計(jì)算，要使一年的運(yùn)費(fèi)和庫存費(fèi)最省，每次進(jìn)貨量x應(yīng)是多少？選修4-5§1.3三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)目標(biāo)1.能利用三個(gè)正數(shù)的算術(shù)-幾何平均不等式證明一些簡單的不等式，解決最值問題2.了解基本不等式的推廣形式二、知識梳理1．定理3如果a，b，c∈R＋，那么eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，用文字語言可敘述為：三個(gè)正數(shù)的不小于它們的．（1）不等式eq\f(a＋b＋c,3)≥eq\r(3,abc)成立的條件是：，而等號成立的條件是：當(dāng)且僅當(dāng).（2）定理3可變形為：①abc≤(eq\f(a＋b＋c,3))3；②a3＋b3＋c3≥3abc.（3）三個(gè)及三個(gè)以上正數(shù)的算術(shù)－幾何平均值不等式的應(yīng)用條件與前面基本不等式的應(yīng)用條件是一樣的，即“一正，二定，三相等”．2．定理3的推廣對于n個(gè)正數(shù)a1，a2，…，an，它們的算術(shù)平均不小于它們的幾何平均，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．【課堂檢測】[例1]已知x、y、z∈R＋，求證：QUOTE≥27xyz.[例2]如圖，把一塊邊長是ａ的正方形鐵片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的邊沿著虛線折轉(zhuǎn)作成一個(gè)無蓋方底的盒子，問切去的正方形邊長是多少時(shí)，才能使盒子的容積最大？【拓展探究】1．已知a，b，c∈R＋，求證：eq\f(b＋c－a,a)＋eq\f(c＋a－b,b)＋eq\f(a＋b－c,c)≥3.2．求函數(shù)y＝(x－1)2(3－2x)(1<x<eq\f(3,2))的最大值．3．已知長方體的表面積為定值S，試問這個(gè)長方體的長、寬、高各是多少時(shí)，它的體積最大，求出這個(gè)最大值．【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)且，則lgx+lgy+lgz的取值范圍是()A．(,lg6]B．(,3lg2]C．[lg6,+∞)D．[3lg2,+∞)2．若為正數(shù)，且，則的最小值為()A．9B．8C．3D．3．已知，則的最小值為()A．3QUOTE B．2QUOTEC．12D．12QUOTE4．若且，則的最小值為.【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.不等式的證明方法較多，關(guān)鍵是從式子的結(jié)構(gòu)入手進(jìn)行分析．2.運(yùn)用三個(gè)正數(shù)的平均值不等式證明不等式時(shí)，仍要注意“一正、二定、三相等”，在解題中，若兩次用平均值不等式，則只有在“相等”條件相同時(shí)，才能取到等號．【課外拓展】1.設(shè)a、b、c∈R＋，求證：(a＋b＋c)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,a)＋\f(1,b)＋\f(1,c)))≥9.2．已知都是正數(shù)，且，求證：3．設(shè)x>0，則f(x)＝4－x－eq\f(1,2x2)的最大值為()A．4－eq\f(\r(2),2)B．4－eq\r(2)C．不存在D．eq\f(5,2)選修4-5§2.1絕對值三角不等式【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解絕對值三角不等式的含義，理解絕對值三角不等式公式及推導(dǎo)方法，會進(jìn)行簡單的應(yīng)用。2．充分運(yùn)用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。二、知識梳理絕對值三角不等式（1）定理1：如果a，b是實(shí)數(shù)，則|a＋b|≤|a|＋|b|，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．幾何解釋：用向量a，b分別替換a，b.①當(dāng)a與b不共線時(shí)，有|a＋b|<|a|＋|b|，其幾何意義為：．②若a，b共線，當(dāng)a與b時(shí)，|a＋b|＝|a|＋|b|，當(dāng)a與b時(shí)，|a＋b|<|a|＋|b|.由于定理1與三角形之間的這種聯(lián)系，故稱此不等式為絕對值三角不等式．③定理1的推廣：如果a，b是實(shí)數(shù)，則||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|.（2）定理2：如果a，b，c是實(shí)數(shù)，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立．幾何解釋：在數(shù)軸上，a，b，c所對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，C，當(dāng)點(diǎn)B在點(diǎn)A，C之間時(shí)，|a－c||a－b|＋|b－c|.當(dāng)點(diǎn)B不在點(diǎn)A，C之間時(shí)：①點(diǎn)B在A或C上時(shí)，|a－c||a－b|＋|b－c|；②點(diǎn)B不在A，C上時(shí)，|a－c||a－b|＋|b－c|.應(yīng)用：利用該定理可以確定絕對值函數(shù)的值域和最值．【課堂檢測】[例1]已知?>0，|x－a|<?，|y－b|<?，求證：|2x+3y-2a-3b|<5?.[例2]求函數(shù)y＝|x－3|－|x＋1|的最大值和最小值．【拓展探究】1．已知|A－a|<eq\f(s,3)，|B－b|<eq\f(s,3)，|C－c|<eq\f(s,3).求證：|(A＋B＋C)－(a＋b＋c)|<s..2．設(shè)a、b是滿足ab<0的實(shí)數(shù)，則下列不等式中正確的是()A．|a＋b|>|a－b|B．|a＋b|<|a－b|C．|a－b|<||a|－|b||D．|a－b|<|a|＋|b|3．設(shè)ε>0，|x－a|<eq\f(ε,4)，|y－a|<eq\f(ε,6).求證：|2x＋3y－2a－3b|<ε.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．已知實(shí)數(shù)滿足，下列不等式成立的是()A．B．C．D．2．若關(guān)于的不等式的解集為,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A．(,1]B．(,1)C．(,5]D．(,5)3．不等式對任意實(shí)數(shù)恒成立,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A．[,4]B．(,]∪[4,+∞)C．(,]∪[5,+∞)D．[,5]4．若不等式對于一切實(shí)數(shù)均成立,則實(shí)數(shù)的最大值是()A．7B．9C．5D．11【學(xué)習(xí)小結(jié)】含絕對值不等式的證明題主要分兩類：一類是比較簡單的不等式，往往可通過平方法、換元法去掉絕對值轉(zhuǎn)化為常見的不等式證明，或利用絕對值三角不等式||a|－|b||a±b|≤|a|＋|b|，通過適當(dāng)?shù)奶?、拆?xiàng)證明；另一類是綜合性較強(qiáng)的函數(shù)型含絕對值的不等式，往往可考慮利用一般情況成立，則特殊情況也成立的思想，或利用一元二次方程的根的分布等方法來證明選修4-5§2.1絕對值三角不等式【課外拓展】1．設(shè)，則與2的大小關(guān)系是()A．B．C．D．不能比較大小2．若關(guān)于的不等式存在實(shí)數(shù)解,則實(shí)數(shù)的取值范圍是.3．兩個(gè)加油站位于某城市東和處(),一卡車從該城市出發(fā),由于某種原因,它需要往返兩加油站,問它行駛在什么情況下到兩加油站的路程之和是一樣的?選修4-5§2.2絕對值不等式的解法【自主學(xué)習(xí)】學(xué)習(xí)目標(biāo)1．理解并掌握和型不等式的解法。2．充分運(yùn)用觀察、類比、猜想、分析證明的數(shù)學(xué)思維方法，體會轉(zhuǎn)化和數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，并能運(yùn)用絕對值三角不等式公式進(jìn)行推理和證明。二、知識梳理1．|ax＋b|≤c，|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法只需將ax＋b看成一個(gè)整體，即化成|x|≤a，|x|≥a(a>0)型不等式求解．|ax＋b|≤c(c>0)型不等式的解法：先化為，再由不等式的性質(zhì)求出原不等式的解集．不等式|ax＋b|≥c(c>0)的解法：先化為 或，再進(jìn)一步利用不等式性質(zhì)求出原不等式的解集2．|x－a|＋|x－b|≥c和|x－a|＋|x－b|≤c型不等式的解法①利用絕對值不等式的求解，體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合思想，理解絕對值的幾何意義，給絕對值不等式以準(zhǔn)確的幾何解釋是解題關(guān)鍵．②以絕對值的為分界點(diǎn)，將數(shù)軸分為幾個(gè)區(qū)間，利用“零點(diǎn)分段法”求解，體現(xiàn)分類討論的思想．確定各個(gè)絕對值符號內(nèi)多項(xiàng)式的正、負(fù)性，進(jìn)而去掉絕對值符號是解題關(guān)鍵．③通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖像求解，體現(xiàn)函數(shù)與方程的思想，正確求出函數(shù)的零點(diǎn)并畫出函數(shù)圖像(有時(shí)需要考查函數(shù)的增減性)是解題關(guān)鍵．【課堂檢測】[例1]解下列不等式：（1）|3x－1|≤2；（2）|2-3x|≥7.[例2]解不等式|x－1|+|x＋2|≥5.【拓展探究】1．解下列不等式：（1）|3－2x|<9；（2）|x－－2|>－3x－4；（3）|－3x－4|>x＋1（4）（5）（6）.2．已知，≤，且，求實(shí)數(shù)的范圍3．已知不等式|x＋2|－|x＋3|>m.（1）若不等式有解；（2）若不等式解集為R；（3）若不等式解集為，分別求出m的范圍．【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．2．3．.4．.5．6．.7．8．9．10．【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.|ax＋b|≥c和|ax＋b|≤c型不等式的解法：①當(dāng)c>0時(shí)，|ax＋b|≥c?ax＋b≥c或ax＋b≤－c，|ax＋b|≤c?－c≤ax＋b≤c.②當(dāng)c＝0時(shí)，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|<c的解集為?.③當(dāng)c<0時(shí)，|ax＋b|≥c的解集為R，|ax＋b|≤c的解集為?.2.|x－a|＋|x－b|≥c、|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的三種解法：分區(qū)間(分類)討論法、圖像法和幾何法．分區(qū)間討論的方法具有普遍性，但較麻煩；幾何法和圖像法直觀，但只適用于數(shù)據(jù)較簡單的情況【課外拓展】1．若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A．(,0)B．[,0]C．(,)∪(0,)D．(]∪[0,2．若，則不等式的解集是()A．B．C．D．3．已知集合，則等于()A．B．C．D．4．已知關(guān)于x的不等式|x+2|+|x-3|<a的解集是非空集合，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________.選修4-5§2.1比較法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解用作差比較法證明不等式2.了解用作商比較法證明式不等3.提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力二、知識梳理1．作差比較法（1）作差比較法的理論依據(jù)a－b>0?，a－b<0?，a－b＝0?.（2）作差比較法解題的一般步驟：①作差；②變形整理，③判定符號，④得出結(jié)論．其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．2．作商比較法（1）作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：①b>0，若，則a>b；若則a<b；②b<0，若則a<b；若則a>b.（2）作商比較法解題的一般步驟：①判定a，b符號；②作商；③變形整理；④判定；⑤得出結(jié)論．【課堂檢測】[例1]設(shè)△ABC的三邊長分別是a、b、c，求證：[例2]設(shè)a>0，b>0，求證：[例3]甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？．【拓展探究】1.求證：2．設(shè)，求證：.3．某人乘出租車從A地到B地，有兩種方案；第一種方案：乘起步價(jià)為10元．每千米1.2元的出租車，第二種方案：乘起步價(jià)為8元，每千米1.4元的出租車．按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)．不同型號的出租車行駛的路程是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合適？【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)都是正數(shù),且,則下列不等式中恒成立的是()A．B．CQUOTEQUOTE．D．2．“”是“”的()A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知，則其中最大的是.4．若是正數(shù)，且，則與的大小關(guān)系為.【學(xué)習(xí)小結(jié)】１.作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少．２.變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法．３.因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用配方法判斷符號．有時(shí)會遇到結(jié)果符號不能確定，這時(shí)候要對差式進(jìn)行分類討論．當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，常采用作商比較法，用作商比較法時(shí)，如果需要在不等式兩邊同乘某個(gè)數(shù)，要注意該數(shù)的正負(fù)，且最后結(jié)果進(jìn)行比較應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決．也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解．在實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系，若是選擇題或填空題則可用特殊值加以判斷．選修4-5§2.1比較法【課外拓展】1．設(shè)，則的大小關(guān)系是()A．B．C．D．2．已知下列不等式：①;②;③.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．33．設(shè)，下列不等式中不正確的是()A．BQUOTEQUOTE．C．DQUOTEQUOTE．4．在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，則與的大小關(guān)系為()A．B．C．D．不確定5．設(shè)則的大小關(guān)系為.6．已知，求證：7．若都為正實(shí)數(shù)，且求證：8．已知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí),證明：對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是.選修4-5§2.2綜合法與分析法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法二、知識梳理1．綜合法（1）證明的特點(diǎn)：綜合法又叫順推證法或法，是由和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推出所要證明的結(jié)論成立．（2）證明的框圖表示：用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→……→eq\x(Qn?Q)2．分析法（1）證明的特點(diǎn)：分析法又叫逆推證法或法，是從要證明的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的條件．直到最后把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)已知或明顯成立的不等式為止．（2）證明過程的框圖表示：用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P1?P3)→……→eq\x(得到一個(gè)明顯成立的條件)【課堂檢測】[例1]已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求證：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9[例2]已知x>0，y>0，求證[例2]設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝1，求證：eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)≤eq\r(6)【拓展探究】1.已知a，b，c∈R＋，證明不明式：a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號．2求證：eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)3．已知a，b，c都是正數(shù)，求證：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\r(ab)))≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\r(3,abc)))【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)且，則()A．B．C．D．2．若，下面不等式中正確的是()A．B．C．D．3．下列三個(gè)不等式中:①；②；③，其中能使立的充分條件有()A．①②B．①③C．②③D．①②③4．等式“QUOTE”的證明過程:“等式兩邊同時(shí)乘以QUOTE得,左邊，右邊=1,左邊=右邊,故原不等式成立”,應(yīng)用了的證明方法.(填“綜合法”或“分析法”)5．設(shè)為正實(shí)數(shù),滿足，則的最小值是.【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵．２.當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑．３.有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法．選修4-5§2.2綜合法與分析法【課外拓展】1．要證，只要證()A．2B．C．D．2．已知為三角形的三邊且，則()A．B．C．D．3．設(shè)和是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則()A．且B．C．D．且4．設(shè)都是正實(shí)數(shù)，，則的最大值為.5．用分析法證明:當(dāng)時(shí),.6．已知均為正數(shù),求證：7．在某兩個(gè)正數(shù)之間,若插入一個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列,求證：選修4-5§2.3反證法和放縮法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解用反正法證明不等式2.了解用放縮法證明式不等3.提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力二、知識梳理1．不等式的證明方法——反證法（1）反證法證明的定義：先假設(shè)要證明的命題不成立，然后由出發(fā)，結(jié)合已知條件，應(yīng)用公理、定義、定理、性質(zhì)等，進(jìn)行，得到和命題的條件(或已證明的定理、性質(zhì)、明顯成立的事實(shí)等)矛盾的結(jié)論，以說明不成立，從而證明原命題成立．（2）反證法證明不等式的一般步驟：①假設(shè)命題不成立；②依據(jù)假設(shè)推理論證；③推出矛盾以說明，從而斷定原命題成立．2．不等式的證明方法——放縮法放縮法證明的定義：證明不等式時(shí)，通常把不等式中的某些部分的值或，簡化不等式，從而達(dá)到證明的目的．3．放縮法的理論依據(jù)主要有（1）不等式的傳遞性；（2）等量加不等量為；（3）同分子(分母)異分母(分子)的兩個(gè)分式大小的比較．【課堂檢測】[例1]已知f(x)＝x2＋px＋q求證：（1）f(1)＋f(3)－2f(2)＝2（2）|f(1)|，f|(2)|，|f(3)|中至少有一個(gè)不小于eq\f(1,2).[例2]已知實(shí)數(shù)x、y、z不全為零．求證：eq\r(x2＋xy＋y2)＋eq\r(y2＋yz＋z2)＋eq\r(z2＋zx＋x2)>eq\f(3,2)(x＋y＋z)．【拓展探究】1.實(shí)數(shù)a，b，c不全為0的等價(jià)條件為 ()A．a(chǎn)，b，c均不為0B．a(chǎn)，b，c中至多有一個(gè)為0C．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)為0D．a(chǎn)，b，c中至少有一個(gè)不為02．證明：三個(gè)互不相等的正數(shù)a、b、c成等差數(shù)列，則a，b，c不可能成等比數(shù)列．3．設(shè)n是正整數(shù)，求證：eq\f(1,2)≤eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,2n)＜1.【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．命題“任意多面體的面至少有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形”的結(jié)論的否定形式是()A．任意多面體沒有一個(gè)是三角形或四邊形或五邊形的面B．任意多面體沒有一個(gè)是三角形的面C．任意多面體沒有一個(gè)是四邊形的面D．任意多面體沒有一個(gè)是五邊形的面2．設(shè)都是正實(shí)數(shù)，，則三個(gè)數(shù)()A．至少有一個(gè)不大于2B．都小于2C．至少有一個(gè)不小于2D．都大于23．設(shè)，則的大小關(guān)系是()A．B．C．D．不確定4．用反證法證明命題“若,則且”時(shí)應(yīng)假設(shè).【學(xué)習(xí)小結(jié)】１.反證法適用范圍：凡涉及不等式為否定性命題，唯一性、存在性命題可考慮反證法．如證明中含“至多”，“至少”，“不能”等詞語的不等式．（注意：在對原命題進(jìn)行否定時(shí)，應(yīng)全面、準(zhǔn)確，不能漏掉情況，反證法體現(xiàn)了“正難則反”的策略，在解題時(shí)要靈活應(yīng)用）．２.利用放縮法證明不等式，要根據(jù)不等式兩端的特點(diǎn)及已知條件(條件不等式)，審慎地采取措施，進(jìn)行恰當(dāng)?shù)胤趴s，任何不適宜的放縮都會導(dǎo)致推證的失?。ㄒ欢ㄒ煜し趴s法的具體措施及操作方法，利用放縮法證明不等式，就是采取舍掉式中一些正項(xiàng)或負(fù)項(xiàng)，或者在分式中放大或縮小分子、分母，或者把和式中各項(xiàng)或某項(xiàng)換以較大或較小的數(shù)，從而達(dá)到證明不等式的目的）．選修4-5§2.3反證法和放縮法【課外拓展】1．不全為零等價(jià)為()A．均不為0B．中至多有一個(gè)為0C．中至少有一個(gè)為0D．中至少有一個(gè)不為02．設(shè)是正數(shù)，，則“”是“”同時(shí)大于零”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．若，且，則的取值范圍是()A．B．C．D．4．在中,若是內(nèi)一點(diǎn)，,求證:,用反證法證明時(shí)應(yīng)分:假設(shè)和兩類.5．log23與log34的大小關(guān)系是.6．關(guān)于復(fù)數(shù)的方程，證明對任意的實(shí)數(shù)，原方程不可能有純虛根.7．若是大于1的自然數(shù),求證：8．設(shè)是正數(shù)，求證：選修4-5§2.1比較法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解用作差比較法證明不等式2.了解用作商比較法證明式不等3.提高綜合應(yīng)用知識解決問題的能力二、知識梳理1．作差比較法（1）作差比較法的理論依據(jù)a－b>0?，a－b<0?，a－b＝0?.（2）作差比較法解題的一般步驟：①作差；②變形整理，③判定符號，④得出結(jié)論．其中變形整理是解題的關(guān)鍵，變形整理的目的是為了能夠直接判定，常用的手段有：因式分解，配方，通分，分子或分母有理化等．2．作商比較法（1）作商比較法的理論依據(jù)是不等式的基本性質(zhì)：①b>0，若，則a>b；若則a<b；②b<0，若則a<b；若則a>b.（2）作商比較法解題的一般步驟：①判定a，b符號；②作商；③變形整理；④判定；⑤得出結(jié)論．【課堂檢測】[例1]設(shè)△ABC的三邊長分別是a、b、c，求證：[例2]設(shè)a>0，b>0，求證：[例3]甲、乙二人同時(shí)同地沿同一路線走到同一地點(diǎn)，甲有一半時(shí)間以速度m行走，另一半以速度n行走；乙有一半路程以速度m行走，另一半路程以速度n行走．如果m≠n，問甲、乙二人誰先到達(dá)指定地點(diǎn)？．【拓展探究】1.求證：2．設(shè)，求證：.3．某人乘出租車從A地到B地，有兩種方案；第一種方案：乘起步價(jià)為10元．每千米1.2元的出租車，第二種方案：乘起步價(jià)為8元，每千米1.4元的出租車．按出租車管理?xiàng)l例，在起步價(jià)內(nèi)．不同型號的出租車行駛的路程是相等的，則此人從A地到B地選擇哪一種方案比較合適？【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)都是正數(shù),且,則下列不等式中恒成立的是()A．B．CQUOTEQUOTE．D．2．“”是“”的()A．充分但不必要條件B．必要但不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件3．已知，則其中最大的是.4．若是正數(shù)，且，則與的大小關(guān)系為.【學(xué)習(xí)小結(jié)】１.作差比較法中，變形具有承上啟下的作用，變形的目的在于判斷差的符號，而不用考慮差能否化簡或值是多少．２.變形所用的方法要具體情況具體分析，可以配方，可以因式分解，可以運(yùn)用一切有效的恒等變形的方法．３.因式分解是常用的變形手段，為了便于判斷“差式”的符號，常將“差式”變形為一個(gè)常數(shù)，或幾個(gè)因式積的形式，當(dāng)所得的“差式”是某字母的二次三項(xiàng)式時(shí)，常用配方法判斷符號．有時(shí)會遇到結(jié)果符號不能確定，這時(shí)候要對差式進(jìn)行分類討論．當(dāng)欲證的不等式兩端是乘積形式或冪指數(shù)形式時(shí)，常采用作商比較法，用作商比較法時(shí)，如果需要在不等式兩邊同乘某個(gè)數(shù)，要注意該數(shù)的正負(fù)，且最后結(jié)果進(jìn)行比較應(yīng)用不等式解決實(shí)際問題時(shí)，關(guān)鍵是如何把等量關(guān)系、不等量關(guān)系轉(zhuǎn)化為不等式的問題來解決．也即建立數(shù)學(xué)模型是解應(yīng)用題的關(guān)鍵，最后利用不等式的知識來解．在實(shí)際應(yīng)用不等關(guān)系問題時(shí)，常用比較法來判斷數(shù)的大小關(guān)系，若是選擇題或填空題則可用特殊值加以判斷．選修4-5§2.1比較法【課外拓展】1．設(shè)，則的大小關(guān)系是()A．B．C．D．2．已知下列不等式：①;②;③.其中正確的個(gè)數(shù)為()A．0B．1C．2D．33．設(shè)，下列不等式中不正確的是()A．BQUOTEQUOTE．C．DQUOTEQUOTE．4．在等比數(shù)列和等差數(shù)列中，則與的大小關(guān)系為()A．B．C．D．不確定5．設(shè)則的大小關(guān)系為.6．已知，求證：7．若都為正實(shí)數(shù)，且求證：8．已知函數(shù)，當(dāng)滿足時(shí),證明：對于任意實(shí)數(shù)都成立的充要條件是.選修4-5§2.2綜合法與分析法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.結(jié)合已經(jīng)學(xué)過的數(shù)學(xué)實(shí)例，了解直接證明的兩種基本方法：分析法和綜合法；2.會用綜合法證明問題；了解綜合法的思考過程.3.根據(jù)問題的特點(diǎn)，結(jié)合綜合法的思考過程、特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法二、知識梳理1．綜合法（1）證明的特點(diǎn)：綜合法又叫順推證法或法，是由和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的，最后推出所要證明的結(jié)論成立．（2）證明的框圖表示：用P表示已知條件或已有的不等式，用Q表示所要證明的結(jié)論，則綜合法可用框圖表示為eq\x(P?Q1)→eq\x(Q1?Q2)→eq\x(Q2?Q3)→……→eq\x(Qn?Q)2．分析法（1）證明的特點(diǎn)：分析法又叫逆推證法或法，是從要證明的不等式出發(fā)，逐步尋找使它成立的條件．直到最后把要證明的不等式轉(zhuǎn)化為判定一個(gè)已知或明顯成立的不等式為止．（2）證明過程的框圖表示：用Q表示要證明的不等式，則分析法可用框圖表示為eq\x(Q?P1)→eq\x(P1?P2)→eq\x(P1?P3)→……→eq\x(得到一個(gè)明顯成立的條件)【課堂檢測】[例1]已知x>0，y>0，且x＋y＝1，求證：(1＋eq\f(1,x))·(1＋eq\f(1,y))≥9[例2]已知x>0，y>0，求證[例2]設(shè)a>0，b>0，且a＋b＝1，求證：eq\r(a＋1)＋eq\r(b＋1)≤eq\r(6)【拓展探究】1.已知a，b，c∈R＋，證明不明式：a＋b＋c≥eq\r(ab)＋eq\r(bc)＋eq\r(ca)，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝c時(shí)取等號．2求證：eq\r(3)＋eq\r(7)<2eq\r(5)3．已知a，b，c都是正數(shù)，求證：2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)－\r(ab)))≤3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b＋c,3)－\r(3,abc)))【當(dāng)堂訓(xùn)練】1．設(shè)且，則()A．B．C．D．2．若，下面不等式中正確的是()A．B．C．D．3．下列三個(gè)不等式中:①；②；③，其中能使立的充分條件有()A．①②B．①③C．②③D．①②③4．等式“QUOTE”的證明過程:“等式兩邊同時(shí)乘以QUOTE得,左邊，右邊=1,左邊=右邊,故原不等式成立”,應(yīng)用了的證明方法.(填“綜合法”或“分析法”)5．設(shè)為正實(shí)數(shù),滿足，則的最小值是.【學(xué)習(xí)小結(jié)】1.綜合法證明不等式，揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系，為此要著力分析已知與求證之間，不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系．合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換，恰當(dāng)選擇已知不等式，這是證明的關(guān)鍵．２.當(dāng)所證不等式與重要不等式、基本不等式?jīng)]有什么直接聯(lián)系，或條件與結(jié)論之間的關(guān)系不明顯時(shí)，可用分析法來尋找證明途徑．３.有些不等式的證明，需要一邊分析一邊綜合，稱之為分析綜合法，或稱“兩頭擠”法．選修4-5§2.2綜合法與分析法【課外拓展】1．要證，只要證()A．2B．C．D．2．已知為三角形的三邊且，則()A．B．C．D．3．設(shè)和是方程的兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,則()A．且B．C．D．且4．設(shè)都是正實(shí)數(shù)，，則的最大值為.5．用分析法證明:當(dāng)時(shí),.6．已知均為正數(shù),求證：7．在某兩個(gè)正數(shù)之間,若插入一個(gè)數(shù)，使成等差數(shù)列，若插入兩個(gè)數(shù)，使成等比數(shù)列,求證：選修4-5§2.3反證法和放縮法【自主學(xué)習(xí)】一、學(xué)習(xí)目標(biāo)