廣東省清遠市三校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（原卷版+解析版）

廣東省清遠市三校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置．3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效．4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)z滿足，則虛部為（）A. B. C. D.2.（）A. B. C. D.3.已知向量，則（）A2 B.3 C.4 D.54.在中，已知，則角（）A B. C. D.5.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度6.正方形的邊長為2，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖（如圖），則原圖形的面積是（）A. B.4 C. D.7.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最低點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤半徑為，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要．在運行一周的過程中，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.8.如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交兩邊于兩點，且，，則的最小值為（）A. B. C.4 D.2二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則（）A.若與垂直，則 B.若，則的值為C.若，則 D.若，則與的夾角為10.在中，角，，所對的邊分別為，，，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.已知，則C.已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為D.若，，，則滿足條件的三角形有兩個11.如圖，為圓錐底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為9πB.三棱錐體積最大值為9C.的取值范圍是D.若，E為線段上的動點，則的最小值為三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則_______．13.若，請寫出一個符合條件的虛數(shù)__________.14.在中，.為所在平面內(nèi)的動點，且，則的取值范圍是___________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，已知，，．（1）求；（2）如為的中點，求的長．16.（1）已知向量，，若，求的值；（2）、的夾角為，，，求的值.17.已知，其中（1）求；（2）求．18.函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，，求的最大值．19.如圖所示，正四面體棱長4，，，分別在棱，，上，.（1）求的最小值；（2）求三棱錐體積最大時的面積.

廣東省清遠市三校聯(lián)盟2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題注意事項：1.本試卷滿分150分，考試時間120分鐘．2.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號等填寫在答題卡的相應(yīng)位置．3.全部答案在答題卡上完成，答在本試題卷上無效．4.回答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號．5.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復(fù)數(shù)z滿足，則的虛部為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運算化簡得出復(fù)數(shù)，再應(yīng)用共軛復(fù)數(shù)定義得出虛部.【詳解】，則，故的虛部為.故選：D.2.（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由兩角差的余弦公式即可求解.【詳解】.故選：B3.已知向量，則（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】先求得，然后求得.【詳解】因為，所以.故選：D4.在中，已知，則角（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，∵，，∴由余弦定理可得：.，.故選：C.5.要得到函數(shù)的圖象，只需將函數(shù)的圖象（）A.向左平移個單位長度 B.向右平移個單位長度C.向左平移個單位長度 D.向左平移個單位長度【答案】C【解析】【分析】根據(jù)平移變換的規(guī)則可得正確的選項.【詳解】函數(shù)，其圖象可由的圖象左移個單位長度而得，故選：C．6.正方形的邊長為2，它是水平放置的一個平面圖形的直觀圖（如圖），則原圖形的面積是（）A. B.4 C. D.【答案】D【解析】【分析】利用直觀圖還原原圖形，再求出面積即可.【詳解】

如圖所示，根據(jù)斜二測畫法可知原圖形為平行四邊形，其中所以原圖形的面積為.故選：D.7.摩天輪是一種大型轉(zhuǎn)輪狀的機械建筑設(shè)施，游客坐在摩天輪的座艙里慢慢地往上轉(zhuǎn)，可以從高處俯瞰四周景色．如圖，某摩天輪最低點距離地面高度為，轉(zhuǎn)盤半徑為，開啟后按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，游客在座艙轉(zhuǎn)到距離地面最近的位置進艙，轉(zhuǎn)一周大約需要．在運行一周的過程中，游客甲坐上摩天輪的座艙，開始轉(zhuǎn)動后距離地面的高度為，則關(guān)于的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定的信息設(shè)出函數(shù)解析式，再逐一求出參數(shù)值即可.【詳解】依題意，設(shè)關(guān)于函數(shù)解析式為，由轉(zhuǎn)盤半徑為，得，由最低點距離地面高度為，得，解得，由轉(zhuǎn)一周大約需要，得，解得，又當(dāng)時，，即，而，解得，因此，或，A正確，BCD錯誤故選：A8.如圖所示，已知點是的重心，過點作直線分別交兩邊于兩點，且，，則的最小值為（）A. B. C.4 D.2【答案】A【解析】【分析】利用重心的性質(zhì)結(jié)合平面向量共線定理得到，最后利用‘1’的代換結(jié)合基本不等式求解最值即可.【詳解】∵是的重心，，又，結(jié)合題意知，因為三點共線,當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，的最小值為，故A正確.故選：A【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查平面向量，解題關(guān)鍵是找到利用平面向量共線定理得到，然后利用基本不等式得到所要求的最值即可．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.已知向量，則（）A.若與垂直，則 B.若，則的值為C.若，則 D.若，則與的夾角為【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量垂直的坐標表示，數(shù)量積的坐標運算，模的坐標表示，以及向量夾角的公式，逐項求解，即可得到答案.【詳解】因為向量，，對于A中，若與垂直，可得，解得，所以A不正確；對于B中，若，可得，解得，即，則，所以B正確；對于C中，若，可得，則，所以，所以C正確；對于D中，若，可得，則，此時，所以D錯誤.故選：BC.10.在中，角，，所對的邊分別為，，，下列結(jié)論正確的有（）A.若，則為等腰三角形B.已知，則C.已知，，，則最小內(nèi)角的度數(shù)為D.若，，，則滿足條件的三角形有兩個【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)即可判斷A；利用余弦定理即可判斷B；根據(jù)大邊對大角結(jié)合余弦定理即可判斷C；利用正弦定理即可判斷D.【詳解】對于A，因為，所以，又因為，所以或，所以或，所以為等腰三角形或直角三角形，故A錯誤；對于B，由，得，所以，則，又，所以，故B正確；對于C，因為，所以角為最小角，則，又，所以，即最小內(nèi)角的度數(shù)為，故C正確；對于D，因為，滿足條件的三角形不存在，故D錯誤.故選：BC.11.如圖，為圓錐底面圓O的直徑，點B是圓O上異于A，C的動點，，則下列結(jié)論正確的是（）A.圓錐的側(cè)面積為9πB.三棱錐體積最大值為9C.的取值范圍是D.若，E為線段上的動點，則的最小值為【答案】BD【解析】【分析】對于選項A：直接利用扇形的面積公式求解；對于選項B：直接求出三棱錐體積的最大值；對于選項C：先求出的范圍，由，即可求出的范圍；對于選項D：將以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，判斷出，利用余弦定理求出最小值.【詳解】在中，,則圓錐的母線長，半徑.對于選項A：圓錐SO的側(cè)面積為，故選項A錯誤；對于選項B：當(dāng)時，的面積最大，此時，則三棱錐體積的最大值為：，故選項B正確；對于選項C：當(dāng)點B與點A重合時，為最小角；當(dāng)點B與點C重合時，，達到最大值，又因為點B與A，C不重合，則.又，可得，故選項C錯誤；對于選項D：因為，所以.又，所以為等邊三角形，∴.將以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，得到，則為等邊三角形，.如圖：.因為，,∴；故選項D正確.故選：BD【點睛】關(guān)鍵點點睛：對于選項D：將以AB為軸旋轉(zhuǎn)到與共面，是解決最值的關(guān)鍵.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.若，則_______．【答案】【解析】【分析】直接利用二倍角公式計算可得.【詳解】因為，所以.故答案為：13.若，請寫出一個符合條件的虛數(shù)__________.【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的模長求解復(fù)數(shù)即可.【詳解】若，則符合條件的虛數(shù)可以是.故答案為：（答案不唯一）.14.在中，.為所在平面內(nèi)動點，且，則的取值范圍是___________.【答案】【解析】【分析】依題意建立平面直角坐標系，設(shè)，表示出，，根據(jù)數(shù)量積的坐標表示、輔助角公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得【詳解】解：依題意如圖建立平面直角坐標系，則，，，因為，所以在以為圓心，為半徑的圓上運動，設(shè)，，所以，，所以，其中，，因為，所以，即故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．15.在中，已知，，．（1）求；（2）如為的中點，求的長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形的內(nèi)角和公式以及正弦定理即可求出角；（2）利用余弦定理與已知的長度和角度即可求解.【小問1詳解】因為，且，，根據(jù)正弦定理可得，解得；又，且，故.【小問2詳解】由（1）可知，，由可得.因為D為AC的中點，所以，在中，由余弦定理可得，則，從而.16.（1）已知向量，，若，求的值；（2）、的夾角為，，，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）分析可知、方向相反，可得出關(guān)于實數(shù)的等式與不等式，解之即可；（2）利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得的值.【詳解】（1）設(shè)、的夾角為，則，易知、均為非零向量，因為，則，所以，、方向相反，因為向量，，則，解得；（2）因為、的夾角為，，，由平面向量數(shù)量積的定義可得，因此，.17.已知，其中（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，然后利用兩角差的余弦代入即可．（2）根據(jù)，利用倍角公式算出代入即可求解．【小問1詳解】由題意得：，，，【小問2詳解】，，，.18.函數(shù)的部分圖像如圖所示．（1）求的解析式；（2）已知函數(shù)，，求的最大值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由圖象可得到，再分別利用點和求得和即得的解析式；（2）先利用三角恒等變換知識求出的解析式，再結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性求出的最大值.【小問1詳解】由圖象可知的最大值是，所以，當(dāng)時，，可得，又，所以，當(dāng)時，有最小值，所以，解得，所以；【小問2詳解】，可得所以，即時，取得最大值為.19.如圖所示，正四面體棱長為4，，，分別在棱，，上，.（1）求的最小值；（2）求三棱錐體積最大時的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中，利用余弦定理可得，設(shè)