高數(shù)1考研試題及答案

高數(shù)1考研試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.若函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$處取得極值，則該極值點(diǎn)是：

A.極大值點(diǎn)B.極小值點(diǎn)C.不存在極值點(diǎn)

2.設(shè)$a,b$是實(shí)數(shù)，若方程$x^2-2ax+b=0$有兩個(gè)不同的實(shí)根，則：

A.$a>0$，$b>0$B.$a<0$，$b<0$C.$a^2-b>0$D.$a^2-b<0$

3.設(shè)$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=L$，則$L$的值是：

A.0B.1C.2D.無(wú)窮大

4.設(shè)$y=3x^2+4x+1$，則$y'$等于：

A.$6x+4$B.$6x^2+4x$C.$6x^2+4$D.$6x+1$

5.若$f(x)=e^x$，則$f'(x)$等于：

A.$e^x$B.$e^x+1$C.$e^x-1$D.$e^x+2$

6.設(shè)$f(x)=x^2-3x+2$，則$f(x)$在$x=1$處的導(dǎo)數(shù)是：

A.0B.1C.2D.-1

7.設(shè)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)$等于：

A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$x$D.$x^2$

8.若$f(x)=\frac{x}{x-1}$，則$f'(x)$等于：

A.$\frac{1}{(x-1)^2}$B.$-\frac{1}{(x-1)^2}$C.$\frac{1}{x-1}$D.$-\frac{1}{x-1}$

9.設(shè)$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(x)$等于：

A.$-\frac{1}{x^2}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$\frac{1}{x}$D.$-\frac{1}{x}$

10.若$f(x)=\sqrt{x}$，則$f'(x)$等于：

A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$B.$-\frac{1}{2\sqrt{x}}$C.$\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}$D.$-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}$

11.設(shè)$f(x)=\sinx$，則$f'(x)$等于：

A.$\cosx$B.$-\sinx$C.$\sinx$D.$\cosx-1$

12.設(shè)$f(x)=\cosx$，則$f'(x)$等于：

A.$-\sinx$B.$\sinx$C.$-\cosx$D.$\cosx$

13.若$f(x)=x^2+2x+1$，則$f(x)$的導(dǎo)函數(shù)是：

A.$2x+2$B.$2x$C.$2x+1$D.$2x+2+1$

14.設(shè)$f(x)=e^x$，則$f(x)$的二階導(dǎo)數(shù)是：

A.$e^x$B.$2e^x$C.$e^x+1$D.$e^x+2$

15.若$f(x)=\sinx$，則$f''(x)$等于：

A.$-\cosx$B.$\cosx$C.$-\sinx$D.$\sinx$

16.設(shè)$f(x)=\cosx$，則$f''(x)$等于：

A.$-\sinx$B.$\sinx$C.$-\cosx$D.$\cosx$

17.若$f(x)=x^3$，則$f'(x)$等于：

A.$3x^2$B.$2x$C.$x$D.$1$

18.設(shè)$f(x)=\frac{1}{x}$，則$f'(x)$等于：

A.$-\frac{1}{x^2}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$\frac{1}{x}$D.$-\frac{1}{x}$

19.若$f(x)=\sqrt{x}$，則$f'(x)$等于：

A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$B.$-\frac{1}{2\sqrt{x}}$C.$\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}$D.$-\frac{1}{4x^{\frac{3}{2}}}$

20.設(shè)$f(x)=\lnx$，則$f'(x)$等于：

A.$\frac{1}{x}$B.$\frac{1}{x^2}$C.$x$D.$x^2$

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=0$處可導(dǎo)。（）

2.若$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$，則$x\to0$時(shí)，$\sinx$是$x$的高階無(wú)窮小。（）

3.導(dǎo)數(shù)$f'(x)$存在是函數(shù)$f(x)$在該點(diǎn)可導(dǎo)的充分必要條件。（）

4.若$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)連續(xù)，則$f(x)$在該區(qū)間內(nèi)一定可導(dǎo)。（）

5.若$f(x)$在$x=a$處可導(dǎo)，則$f(x)$在$x=a$處連續(xù)。（）

6.若$f(x)$在$x=a$處連續(xù)，則$f(x)$在$x=a$處的導(dǎo)數(shù)一定存在。（）

7.若$f(x)$在$x=a$處不可導(dǎo)，則$f(x)$在$x=a$處一定有間斷點(diǎn)。（）

8.若$f(x)$在$x=a$處有間斷點(diǎn)，則$f(x)$在$x=a$處的導(dǎo)數(shù)一定不存在。（）

9.若函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)恒大于0，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞增。（）

10.若函數(shù)$f(x)$的導(dǎo)數(shù)$f'(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)恒小于0，則函數(shù)$f(x)$在區(qū)間$(a,b)$內(nèi)單調(diào)遞減。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2.如何求一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)？

3.解釋拉格朗日中值定理，并舉例說(shuō)明。

4.舉例說(shuō)明函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性之間的關(guān)系。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述函數(shù)極值點(diǎn)的判定條件，并給出一個(gè)具體函數(shù)的例子，說(shuō)明如何利用這些條件來(lái)找出函數(shù)的極值點(diǎn)。

2.論述泰勒公式在近似計(jì)算中的應(yīng)用，并說(shuō)明如何通過(guò)泰勒公式來(lái)近似計(jì)算函數(shù)在某點(diǎn)的值。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題答案及解析思路：

1.B.極小值點(diǎn)（因?yàn)?f'(1)=0$，且$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是極小值點(diǎn)）

2.C.$a^2-b>0$（根據(jù)韋達(dá)定理，$a^2=\frac{1}{2}(b+2)^2$，所以$a^2-b>0$）

3.B.1（根據(jù)極限的定義和性質(zhì)，$\lim_{x\to0}\frac{\sin2x}{x}=\lim_{x\to0}\frac{2\sinx}{x}=2\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=2\times1=2$）

4.A.$6x+4$（根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，$y'=3\cdot2x+4=6x+4$）

5.A.$e^x$（指數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是其本身）

6.A.0（根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(1)=\lim_{x\to1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to1}\frac{x^2-3x+2-(1^2-3\cdot1+2)}{x-1}=0$）

7.A.$\frac{1}{x}$（對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是$\frac{1}{x}$）

8.A.$\frac{1}{(x-1)^2}$（根據(jù)商的求導(dǎo)法則，$f'(x)=\frac{1}{(x-1)^2}$）

9.A.$-\frac{1}{x^2}$（根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{0}}{x-0}=-\frac{1}{x^2}$）

10.A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$）

11.A.$\cosx$（三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是$\cosx$）

12.A.$-\sinx$（三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是$-\sinx$）

13.A.$2x+2$（根據(jù)多項(xiàng)式的求導(dǎo)法則，$y'=2\cdot2x+2=2x+2$）

14.A.$e^x$（指數(shù)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)仍是其本身）

15.A.$-\cosx$（三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是$-\cosx$）

16.A.$-\sinx$（三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是$-\sinx$）

17.A.$3x^2$（冪函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是原指數(shù)減1后的指數(shù)乘以原指數(shù)）

18.A.$-\frac{1}{x^2}$（根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，$f'(x)=\lim_{x\to0}\frac{\frac{1}{x}-\frac{1}{0}}{x-0}=-\frac{1}{x^2}$）

19.A.$\frac{1}{2\sqrt{x}}$（根據(jù)冪函數(shù)的求導(dǎo)法則，$f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$）

20.A.$\frac{1}{x}$（對(duì)數(shù)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)是$\frac{1}{x}$）

二、判斷題答案及解析思路：

1.×（函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=0$處可導(dǎo)，因?yàn)?f'(0)=\lim_{x\to0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=0$）

2.×（$\sinx$是$x$的高階無(wú)窮小，但$\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1$表示$\sinx$是$x$的同階無(wú)窮小）

3.×（導(dǎo)數(shù)存在是可導(dǎo)的必要條件，但不是充分條件）

4.×（連續(xù)性是可導(dǎo)性的必要條件，但不是充分條件）

5.√（可導(dǎo)必然連續(xù)）

6.×（連續(xù)性不保證可導(dǎo)性）

7.×（不可導(dǎo)不一定有間斷點(diǎn)，可能是可去間斷點(diǎn)）

8.√（不可導(dǎo)意味著存在間斷點(diǎn)）

9.√（單調(diào)遞增意味著導(dǎo)數(shù)恒大于0）

10.√（單調(diào)遞減意味著導(dǎo)數(shù)恒小于0）

三、簡(jiǎn)答題答案及解析思路：

1.導(dǎo)數(shù)的幾何意義是曲線在某一點(diǎn)的切線斜率，表示函數(shù)在該點(diǎn)的變化率。

2.求函數(shù)在某一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)可以通過(guò)導(dǎo)數(shù)的定義來(lái)計(jì)算，即$f'(x)=\lim_{h\to0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$。

3.拉格朗日中值定理指出，若函數(shù)$f(x)$在閉區(qū)間$[a,b]$上連續(xù)，在開(kāi)區(qū)間$(a,b)$內(nèi)可導(dǎo)，則存在至少一點(diǎn)$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^2$，在區(qū)間$[1,2]$上，存在$c=1.5$，使得$f'(1.5)=\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=2$。

4.函數(shù)的連續(xù)性是可導(dǎo)性的必要條件，但不是充分條件。一個(gè)函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)并不意味著在該點(diǎn)可導(dǎo)。例如，函數(shù)$f(x)=|x|$在$x=0$處連續(xù)，但在該點(diǎn)不可導(dǎo)。

四、論述題答案及解析思路：

1.函數(shù)極值點(diǎn)的判定條件包括：首先，函數(shù)在極值點(diǎn)處可導(dǎo)；其次，若$f'(x)=0$，則極值點(diǎn)可能是極大值點(diǎn)或極小值點(diǎn)；最后，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)變化來(lái)判斷極值類(lèi)型。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^3-3x+2$，求導(dǎo)得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$得$x=1$，此時(shí)$f''(x)=6>0$，所以$x=1