高數(shù)b類試題及答案

高數(shù)b類試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.若函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f'(0)\)的值為：

A.0

B.3

C.-3

D.6

2.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((-\infty,+\infty)\)上連續(xù)的函數(shù)是：

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=x^2\)

D.\(f(x)=\sqrt{x}\)

3.已知函數(shù)\(f(x)=2x^2-3x+1\)，則\(f(2)\)的值為：

A.1

B.3

C.5

D.7

4.設(shè)\(a>0\)，函數(shù)\(f(x)=ax^2-2x+1\)的對(duì)稱軸為：

A.\(x=-\frac{1}{a}\)

B.\(x=\frac{1}{a}\)

C.\(x=-\frac{1}{2}\)

D.\(x=\frac{1}{2}\)

5.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處不可導(dǎo)的是：

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=e^x\)

D.\(f(x)=\sinx\)

6.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)>f(b)\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)：

A.一定存在一個(gè)零點(diǎn)

B.一定存在一個(gè)極值點(diǎn)

C.一定存在一個(gè)拐點(diǎn)

D.一定存在一個(gè)極小值點(diǎn)

7.設(shè)\(f(x)=e^x\)，則\(f'(x)\)的值為：

A.\(e^x\)

B.\(e^x-1\)

C.\(e^x+1\)

D.\(e^x\cdotx\)

8.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上單調(diào)遞增，則\(f(a)\)與\(f(b)\)的大小關(guān)系為：

A.\(f(a)>f(b)\)

B.\(f(a)<f(b)\)

C.\(f(a)=f(b)\)

D.無法確定

9.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處取得極大值的是：

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=-x^2\)

C.\(f(x)=e^x\)

D.\(f(x)=\sinx\)

10.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上有極值點(diǎn)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)：

A.必定存在零點(diǎn)

B.必定存在拐點(diǎn)

C.必定存在極值點(diǎn)

D.必定存在極大值點(diǎn)

11.設(shè)\(f(x)=\frac{1}{x}\)，則\(f'(x)\)的值為：

A.\(-\frac{1}{x^2}\)

B.\(\frac{1}{x^2}\)

C.\(\frac{1}{x}\)

D.\(-\frac{1}{x}\)

12.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(f'(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)恒大于0，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上：

A.一定單調(diào)遞增

B.一定單調(diào)遞減

C.一定存在極值點(diǎn)

D.一定存在拐點(diǎn)

13.設(shè)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f''(x)\)的值為：

A.\(6x-3\)

B.\(6x+3\)

C.\(3x-6\)

D.\(3x+6\)

14.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)<f(b)\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)：

A.一定存在一個(gè)零點(diǎn)

B.一定存在一個(gè)極值點(diǎn)

C.一定存在一個(gè)拐點(diǎn)

D.一定存在一個(gè)極小值點(diǎn)

15.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處不可導(dǎo)的是：

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=|x|\)

C.\(f(x)=e^x\)

D.\(f(x)=\sinx\)

16.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)>f(b)\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)：

A.一定存在一個(gè)零點(diǎn)

B.一定存在一個(gè)極值點(diǎn)

C.一定存在一個(gè)拐點(diǎn)

D.一定存在一個(gè)極小值點(diǎn)

17.設(shè)\(f(x)=e^x\)，則\(f'(x)\)的值為：

A.\(e^x\)

B.\(e^x-1\)

C.\(e^x+1\)

D.\(e^x\cdotx\)

18.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上單調(diào)遞增，則\(f(a)\)與\(f(b)\)的大小關(guān)系為：

A.\(f(a)>f(b)\)

B.\(f(a)<f(b)\)

C.\(f(a)=f(b)\)

D.無法確定

19.下列函數(shù)中，在\(x=0\)處取得極大值的是：

A.\(f(x)=x^2\)

B.\(f(x)=-x^2\)

C.\(f(x)=e^x\)

D.\(f(x)=\sinx\)

20.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\((a,b)\)上有極值點(diǎn)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)：

A.必定存在零點(diǎn)

B.必定存在拐點(diǎn)

C.必定存在極值點(diǎn)

D.必定存在極大值點(diǎn)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的極限不存在。（）

2.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)必有零點(diǎn)。（）

3.函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)函數(shù)\(f'(x)=3x^2-3\)在\(x=0\)處的值為0。（）

4.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(f'(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)恒大于0，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞增。（）

5.函數(shù)\(f(x)=e^x\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)為1。（）

6.函數(shù)\(f(x)=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處取得極大值。（）

7.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上連續(xù)，且\(f(a)<f(b)\)，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)必有極值點(diǎn)。（）

8.函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)不存在。（）

9.若函數(shù)\(f(x)\)在區(qū)間\([a,b]\)上可導(dǎo)，且\(f'(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)恒小于0，則\(f(x)\)在\([a,b]\)上單調(diào)遞減。（）

10.函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處取得極小值。（）

三、簡答題（每題5分，共4題）

1.簡述導(dǎo)數(shù)的幾何意義。

2.解釋函數(shù)的可導(dǎo)性、連續(xù)性和可微性之間的關(guān)系。

3.如何判斷一個(gè)函數(shù)在某一點(diǎn)處是否可導(dǎo)？

4.給出一個(gè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，求其在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述拉格朗日中值定理的幾何意義及其在求解函數(shù)極值中的應(yīng)用。

2.論述泰勒公式的概念及其在近似計(jì)算中的應(yīng)用，并舉例說明。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.B

解析思路：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的定義，\(f'(0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}=\lim_{h\to0}\frac{h^3-3h-0}{h}=\lim_{h\to0}(h^2-3)=-3\)。

2.BCD

解析思路：\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處無定義，不連續(xù)；\(f(x)=|x|\)、\(f(x)=x^2\)、\(f(x)=\sqrt{x}\)在\((-\infty,+\infty)\)上連續(xù)。

3.B

解析思路：將\(x=2\)代入\(f(x)=2x^2-3x+1\)，得\(f(2)=2\cdot2^2-3\cdot2+1=8-6+1=3\)。

4.B

解析思路：二次函數(shù)\(f(x)=ax^2+bx+c\)的對(duì)稱軸為\(x=-\frac{2a}\)，所以對(duì)稱軸為\(x=\frac{1}{a}\)。

5.B

解析思路：\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

6.A

解析思路：根據(jù)零點(diǎn)定理，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)值為0。

7.A

解析思路：\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)。

8.B

解析思路：若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，則任意兩點(diǎn)\(a\)和\(b\)滿足\(f(a)\leqf(b)\)。

9.B

解析思路：\(f(x)=-x^2\)在\(x=0\)處取得極大值，因?yàn)閈(f'(0)=0\)且\(f''(0)<0\)。

10.C

解析思路：若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)必有極值點(diǎn)。

11.A

解析思路：\(f(x)=\frac{1}{x}\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=-\frac{1}{x^2}\)。

12.A

解析思路：若導(dǎo)函數(shù)恒大于0，則原函數(shù)單調(diào)遞增。

13.A

解析思路：\(f(x)=x^3-3x\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=3x^2-3\)，在\(x=0\)處的值為\(3\cdot0^2-3=-3\)。

14.A

解析思路：根據(jù)零點(diǎn)定理，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)值為0。

15.B

解析思路：\(f(x)=|x|\)在\(x=0\)處不可導(dǎo)，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

16.A

解析思路：根據(jù)零點(diǎn)定理，若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)，則至少存在一點(diǎn)使得函數(shù)值為0。

17.A

解析思路：\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)。

18.B

解析思路：若函數(shù)在閉區(qū)間上單調(diào)遞增，則任意兩點(diǎn)\(a\)和\(b\)滿足\(f(a)\leqf(b)\)。

19.B

解析思路：\(f(x)=-x^2\)在\(x=0\)處取得極大值，因?yàn)閈(f'(0)=0\)且\(f''(0)<0\)。

20.C

解析思路：若函數(shù)在某點(diǎn)可導(dǎo)，則在該點(diǎn)必有極值點(diǎn)。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.×

解析思路：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的極限為無窮大，因此不存在。

2.×

解析思路：零點(diǎn)定理要求函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)，且兩端點(diǎn)函數(shù)值異號(hào)。

3.√

解析思路：若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f'(a)\)存在。

4.√

解析思路：若\(f'(x)>0\)在\((a,b)\)內(nèi)恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞增。

5.√

解析思路：\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=e^x\)，在\(x=0\)處的值為1。

6.×

解析思路：\(f(x)=\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處取得極小值，因?yàn)閈(f''(x)=-\sinx\)在\(x=\frac{\pi}{2}\)處為負(fù)。

7.×

解析思路：函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù)并不保證存在極值點(diǎn)。

8.√

解析思路：函數(shù)\(f(x)=\frac{1}{x}\)在\(x=0\)處的導(dǎo)數(shù)不存在，因?yàn)樽笥覍?dǎo)數(shù)不相等。

9.√

解析思路：若\(f'(x)<0\)在\((a,b)\)內(nèi)恒成立，則\(f(x)\)在\((a,b)\)內(nèi)單調(diào)遞減。

10.√

解析思路：二次函數(shù)\(f(x)=x^2\)在\(x=0\)處取得極小值，因?yàn)閈(f'(x)=2x\)，在\(x=0\)處的值為0，且\(f''(x)=2\)為正。

三、簡答題（每題5分