高數(shù)自我檢查試題及答案

高數(shù)自我檢查試題及答案姓名：____________________

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.設(shè)函數(shù)\(f(x)=x^3-3x\)，則\(f(x)\)的奇偶性為：

A.奇函數(shù)

B.偶函數(shù)

C.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)

2.下列哪個(gè)級(jí)數(shù)是收斂的？

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)

B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\)

C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}\)

D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{4^n}\)

3.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則下列哪個(gè)等式成立？

A.\(\sinx=x\)

B.\(\cosx=1\)

C.\(\tanx=1\)

D.\(\lnx=1\)

4.函數(shù)\(y=e^x\)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上的導(dǎo)數(shù)是：

A.\(e^x\)

B.\(e^x+1\)

C.\(e^x-1\)

D.\(e^x\cdotx\)

5.設(shè)\(A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\)，則\(A\)的行列式\(\det(A)\)為：

A.0

B.1

C.2

D.5

6.下列哪個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)連續(xù)？

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=\sqrt{x}\)

C.\(f(x)=|x|\)

D.\(f(x)=x^2-4\)

7.若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處：

A.必定連續(xù)

B.必定可導(dǎo)

C.必定可導(dǎo)且連續(xù)

D.可導(dǎo)或連續(xù)

8.設(shè)\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(A\)的特征值為\(\lambda_1,\lambda_2,\ldots,\lambda_n\)，則\(\det(A)\)為：

A.\(\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\ldots\cdot\lambda_n\)

B.\(\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n\)

C.\(\lambda_1^2+\lambda_2^2+\ldots+\lambda_n^2\)

D.\(\lambda_1^3+\lambda_2^3+\ldots+\lambda_n^3\)

9.下列哪個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)？

A.\(f(x)=e^x\)

B.\(f(x)=\lnx\)

C.\(f(x)=\sinx\)

D.\(f(x)=\cosx\)

10.設(shè)\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極值，則\(f'(a)\)：

A.必定存在

B.必定不存在

C.可以為0

D.可以為非0

11.若\(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，則\(f(x)\)和\(g(x)\)的關(guān)系是：

A.\(f(x)=g(x)\)

B.\(f(x)\geqg(x)\)

C.\(f(x)\leqg(x)\)

D.\(f(x)\)和\(g(x)\)的關(guān)系無(wú)法確定

12.設(shè)\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(A\)的逆矩陣為\(A^{-1}\)，則\(\det(AA^{-1})\)等于：

A.1

B.0

C.\(A\)

D.\(A^{-1}\)

13.下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增？

A.\(f(x)=e^{-x}\)

B.\(f(x)=\lnx\)

C.\(f(x)=\sinx\)

D.\(f(x)=\cosx\)

14.設(shè)\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極大值，則\(f''(a)\)：

A.必定小于0

B.必定大于0

C.必定等于0

D.可以為任意值

15.下列哪個(gè)級(jí)數(shù)是交錯(cuò)級(jí)數(shù)？

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)

B.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)

C.\(\sum_{n=1}^{\infty}n\)

D.\(\sum_{n=1}^{\infty}n^2\)

16.設(shè)\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(A\)的伴隨矩陣為\(A^*\)，則\(\det(A^*)\)等于：

A.\(\det(A)\)

B.\(\det(A)^{n-1}\)

C.\(\det(A)^n\)

D.\(\det(A)^{-n}\)

17.下列哪個(gè)函數(shù)在區(qū)間\((0,+\infty)\)上有界？

A.\(f(x)=\frac{1}{x}\)

B.\(f(x)=e^x\)

C.\(f(x)=\lnx\)

D.\(f(x)=x^2\)

18.設(shè)\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極小值，則\(f'(a)\)：

A.必定小于0

B.必定大于0

C.必定等于0

D.可以為任意值

19.下列哪個(gè)級(jí)數(shù)是絕對(duì)收斂的？

A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)

B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n}{2^n}\)

C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{3^n}\)

D.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^3}{4^n}\)

20.設(shè)\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，\(A\)的秩為\(r(A)\)，則\(r(A^T)\)為：

A.\(r(A)\)

B.\(n-r(A)\)

C.\(r(A)-1\)

D.\(n-r(A)+1\)

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.函數(shù)\(y=\sqrt[3]{x}\)在整個(gè)實(shí)數(shù)域上是單調(diào)遞增的。（）

2.若\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)，則\(\lim_{x\to0}\sinx=0\)。（）

3.若兩個(gè)函數(shù)在某區(qū)間內(nèi)連續(xù)，則它們的乘積也在該區(qū)間內(nèi)連續(xù)。（）

4.若\(\lim_{x\to\infty}f(x)=\lim_{x\to\infty}g(x)=0\)，則\(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)。（）

5.任何奇函數(shù)在原點(diǎn)都有極值。（）

6.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)}{x}=0\)，則\(f(x)\)在\(x=0\)處有極小值。（）

7.設(shè)\(A\)為\(n\timesn\)矩陣，若\(\det(A)\neq0\)，則\(A\)必定可逆。（）

8.若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)。（）

9.若\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{x}=0\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）

10.函數(shù)\(y=\lnx\)在其定義域內(nèi)是單調(diào)遞增的。（）

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.簡(jiǎn)述洛必達(dá)法則的基本內(nèi)容和適用條件。

2.給出求函數(shù)\(y=x^3-6x+9\)在\(x=2\)處的切線(xiàn)方程的步驟。

3.說(shuō)明什么是函數(shù)的連續(xù)性和可導(dǎo)性，并給出它們的區(qū)別。

4.解釋什么是級(jí)數(shù)的收斂性和發(fā)散性，并舉例說(shuō)明。

四、論述題（每題10分，共2題）

1.論述如何利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和極值問(wèn)題，并舉例說(shuō)明。

2.論述線(xiàn)性方程組解的情況與系數(shù)矩陣的秩之間的關(guān)系，并給出具體的數(shù)學(xué)表達(dá)式。

試卷答案如下：

一、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20題）

1.A

解析思路：奇函數(shù)滿(mǎn)足\(f(-x)=-f(x)\)，偶函數(shù)滿(mǎn)足\(f(-x)=f(x)\)。對(duì)于\(f(x)=x^3-3x\)，有\(zhòng)(f(-x)=(-x)^3-3(-x)=-x^3+3x=-f(x)\)，故為奇函數(shù)。

2.A

解析思路：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是著名的巴塞爾問(wèn)題，其和為\(\frac{\pi^2}{6}\)，收斂。

3.A

解析思路：洛必達(dá)法則用于求解\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{\infty}{\infty}\)形式的極限，對(duì)\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)應(yīng)用洛必達(dá)法則，得到\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx}{1}=\cos0=1\)。

4.A

解析思路：\(e^x\)的導(dǎo)數(shù)仍然是\(e^x\)，故\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)。

5.B

解析思路：行列式的計(jì)算規(guī)則，\(\det(A)=ad-bc\)，代入\(A\)的元素，得到\(\det(A)=(1\cdot4)-(2\cdot3)=4-6=-2\)。

6.B

解析思路：\(\sqrt{x}\)在\(x\geq0\)時(shí)定義，且\(\sqrt{x}\)在其定義域內(nèi)連續(xù)。

7.C

解析思路：若\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)，這是可導(dǎo)的必要條件。

8.A

解析思路：特征值的乘積等于行列式，\(\det(A)=\lambda_1\cdot\lambda_2\cdot\ldots\cdot\lambda_n\)。

9.A

解析思路：\(e^x\)的導(dǎo)數(shù)是\(e^x\)，故\(f(x)=e^x\)的導(dǎo)數(shù)等于原函數(shù)。

10.C

解析思路：若\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極值，則\(f'(a)\)必須等于0，否則\(f(x)\)在\(x=a\)處不是極值。

11.B

解析思路：若\(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)，則\(f(x)\)和\(g(x)\)的增長(zhǎng)速度相同，故\(f(x)\geqg(x)\)。

12.A

解析思路：行列式和逆矩陣的乘積等于單位矩陣，故\(\det(AA^{-1})=\det(E)=1\)。

13.B

解析思路：\(\lnx\)在\(x>0\)時(shí)單調(diào)遞增。

14.A

解析思路：若\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極大值，則\(f''(a)<0\)。

15.B

解析思路：交錯(cuò)級(jí)數(shù)的定義是項(xiàng)的正負(fù)號(hào)交替變化。

16.C

解析思路：伴隨矩陣的行列式等于原矩陣的行列式的\(n\)次方根的負(fù)數(shù)。

17.D

解析思路：\(x^2\)在\(x\geq0\)時(shí)有上界。

18.A

解析思路：若\(f(x)\)在\(x=a\)處取得極小值，則\(f''(a)>0\)。

19.A

解析思路：\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)是收斂的。

20.A

解析思路：矩陣的秩與轉(zhuǎn)置矩陣的秩相同。

二、判斷題（每題2分，共10題）

1.√

解析思路：函數(shù)\(y=\sqrt[3]{x}\)的導(dǎo)數(shù)\(f'(x)=\frac{1}{3}x^{-\frac{2}{3}}\)在\(x\neq0\)時(shí)都大于0，故單調(diào)遞增。

2.×

解析思路：極限\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}=1\)僅說(shuō)明\(\sinx\)與\(x\)在\(x\to0\)時(shí)的增長(zhǎng)速度相同，但并不意味著\(\sinx=x\)。

3.√

解析思路：兩個(gè)函數(shù)的乘積在定義域內(nèi)連續(xù)，因?yàn)閮蓚€(gè)連續(xù)函數(shù)的乘積仍然是連續(xù)的。

4.×

解析思路：極限\(\lim_{x\to\infty}\frac{f(x)}{g(x)}=1\)意味著\(f(x)\)和\(g(x)\)的增長(zhǎng)速度相同，但不一定相等。

5.×

解析思路：奇函數(shù)在原點(diǎn)可以取得極值，但不一定總是如此。

6.×

解析思路：極限\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{x}=0\)僅說(shuō)明\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x\to0\)時(shí)的斜率相同，但不一定\(f(x)=g(x)\)。

7.√

解析思路：可逆矩陣的行列式不為0，這是可逆的必要條件。

8.√

解析思路：可導(dǎo)是連續(xù)的必要條件，因此如果\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)，則\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)。

9.×

解析思路：極限\(\lim_{x\to0}\frac{f(x)-g(x)}{x}=0\)僅說(shuō)明\(f(x)\)和\(g(x)\)的斜率相同，但不一定\(f(x)=g(x)\)。

10.√

解析思路：\(\lnx\)在其定義域\(x>0\)內(nèi)是單調(diào)遞增的。

三、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）

1.洛必達(dá)法則的基本內(nèi)容是：若\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}\)是\(\frac{0}{0}\)或\(\frac{\infty}{\infty}\)形式，且\(f'(x)\)和\(g'(x)\)在\(x=a\)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)存在，則\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\toa}\frac{f'(x)}{g'(x)}\)。適用條件是：函數(shù)\(f(x)\)和\(g(x)\)在\(x=a\)的某個(gè)去心鄰域內(nèi)可導(dǎo)，且\(g'(x)\neq0\)。

2.求函數(shù)\(y=x^3-6x+9\)在\(x=2\)處的切線(xiàn)方程的步驟如下：

-求導(dǎo)數(shù)\(y'=3x^2-6\)。

-計(jì)算切點(diǎn)\(x=2\)處的導(dǎo)數(shù)值\(y'(2)=3\cdot2^2-6=6\)。

-計(jì)算切點(diǎn)坐標(biāo)\((2,y(2))=(2,2^3-6\cdot2+9)=(2,5)\)。

-使用點(diǎn)斜式方程\(y-y_1=m(x-x_1)\)，得到切線(xiàn)方程\(y-5=6(x-2)\)。

3.函數(shù)的連續(xù)性是指在一點(diǎn)處，函數(shù)的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值?？蓪?dǎo)性是指在一點(diǎn)處，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在。連續(xù)性是可導(dǎo)性的必要條件，但不是充分條件。區(qū)別在于，連續(xù)性要求函數(shù)在一點(diǎn)處的極限值與函數(shù)值相等，而可導(dǎo)性要求函數(shù)在該點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在。

4.級(jí)數(shù)的收斂性是指級(jí)數(shù)的部分和的極限存在，發(fā)散性是指級(jí)數(shù)的部分和的極限不存在。如果級(jí)數(shù)的部分和的極限存在，則稱(chēng)該級(jí)數(shù)收斂；如果不