2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)卷：圓與方程（含解析）

2025屆高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題卷圓與方程

本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。

注意事項：

1.答題前，務(wù)必將自己的姓名、班級、考號填寫在答題卡規(guī)定的位置上。

答選擇題時，必須使用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦

2.擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。

3.答非選擇題時，必須使用0.5毫米黑色簽字筆，將答案書寫在答題卡規(guī)定的位置上。

4.所有題目必須在答題卡上作答，在試題卷上答題無效。

一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選

項中，只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應(yīng)的位置上.

1.若圓C與x軸相切，且圓心坐標(biāo)為（1,2）,則圓C的方程為（）

A.x2+y2-2x-4y+l-0B.x~+y~-2x-4y-1-0

C.x2+y2-2x-4y-3=0D.x2+_y2-2x-4y+3=0

2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯的著作《圓錐曲線論》是古代數(shù)學(xué)的重要成果.其中有這樣一個結(jié)論：平

面內(nèi)與兩定點距離的比為常數(shù)的點的軌跡是圓，后人稱這個圓為阿波羅尼斯圓.已知點

0（0,0）,4（4,0）,動點P（x,y）滿足獸=工，則點尸的軌跡G與圓C：。一+U+1了=1的

\PA\3

公共弦長為（）

A3713口萬「6713「r-

A.-----B.v2C.-----D.

1313

3.已知4（2,0）,5（-1,11動點〃（1,丁）滿足6|/￡4|=夜|//61記動點8的軌跡為曲線C則曲線C

的方程為（）

A.x2+y2+16x-4y+8=0B.f+J-8x+4y+8=0

C.—+/-16x+4y+8=0D-x2+y2+16x-4_y-8=0

4.己知圓G：x2+/+4ax+4a2—4=0和圓。2：/+/—2〃y+Z?2—i=o只有一條公切線，若

a,b^R,且"W0,則±+±的最小值為（）

ab

A.2B.4C.8D.9

5.已知點A（2,0）,B（0,2）,點。為圓％2+,2一6%—6》+16=0上一點，則△ABC的面積的最大值

為（）

A.12B-6A/2C.3夜D.6

6.已知曲線「必+)?+27加—2丁+2=0表示圓，且點尸(1,2)在曲線。外,則根的取值范圍是()

A.1-5，+oo]B.(—co,—l)l-(1,+8)

c1|,i]D卜2(L+⑹

7.已知圓C:%2+y2—6x—8y+21=0,。為坐標(biāo)原點，以O(shè)C為直徑的圓C與圓C交于A,B兩

點，則下列結(jié)論錯誤的是()

A.直線AB的方程為3x+4y—21=0

,，74標(biāo)

B」AB|=7-

C.OA,05均與圓C相切

D.四邊形C4O5的面積為4J五

JT

8.已知a,b,e是平面向量，且e是單位向量，若非零向量。與e的夾角為乙，向量b滿足

4

I)-4e-^+3=0,則卜一同+|a—e|的最小值是()

A.A/5-2B.A/5-1C.2D.V5

二、多項選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選

項中，有多項符合題目要求.全部選對得6分，選對但不全的得部分分，有選錯的得0

分.

9.已知曲線C：以2+緲2_2x+4a2y=0,下列結(jié)論正確的是()

A.當(dāng)=0時，曲線C是一條直線

B.當(dāng)「wo時，曲線C是一個圓

C.當(dāng)曲線C是圓時，它的面積的最小值為2兀

D.當(dāng)曲線C是面積為57r的圓時,同=1

10.瑞士著名數(shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直線上，這條直線

被后人稱為三角形的“歐拉線”.若△ABC滿足AC=6C,頂點4(1,0),5(-1,2),且其“歐拉線”

與圓M:(x-3)2+y2=72相切，則下列結(jié)論正確的是()

A.圓M上的點到原點的最大距離為3+J5

B.圓M上存在三個點到直線x—y-1=0的距離為V2

C.若點(x,y)在圓M上，則缶的最小值是-J5

D.若圓M與圓月+⑶—萬=2有公共點，貝U。e[―3,3]

H.已知直線/:履—y+2左=0和圓0：必+9=16，則()

A.直線/恒過定點(2,0)

B.存在k使得直線I與直線：x—2y+2=0垂直

C.直線/與圓。相交

D.若左=—1,直線I被圓O截得的弦長為4

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.

12.已知圓C:x2+y2—4x-2y+l=0,圓C的弦AB被點。(1,0)平分，則弦A3所在的直線方程

是.

13.已知兩圓必+,2=]0和(》_])2+(,_3)2=10相交于A,B兩點，則直線AB的方程是

14.過原點且傾斜角為60。的直線被圓x2+/_4y=0所截得的弦長為.

四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

15.已知圓C：x2+y2_4x_4y+7=o關(guān)于直線X—y+l=o的對稱圓的圓心為。，若直線/過點

。，4)?

(1)若直線/與圓C相切，求直線/的方程；

⑵若直線/與圓。交于A,8兩點，|AB|=后，求直線/的方程.

16.已知圓C經(jīng)過點4(1,3)和3(2,4),且圓心C在直線2x—y—1=0上.

(1)求圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

⑵過點加(1,—1)作圓C的切線/,求直線I的方程.

17.已知。耳，鳥的圓心分別為月(—2,0),耳(2,0),半徑分別為仆r2,彳=2,々=6,P

的圓心為點P(蒼y),半徑為r.

(1)寫出《，的標(biāo)準(zhǔn)方程，并判斷其位置關(guān)系；

⑵若C，P與C6外切且門P與二巴內(nèi)切，求圓心尸的軌跡方程.

45

18.在平面直角坐標(biāo)系x0y中，動圓C與圓G：x2+y2+2x-w=0內(nèi)切，且與圓

3

C2—2x+/=0外切，記動圓C的圓心的軌跡為H.

⑴求軌跡”的方程；

(2)設(shè)。為坐標(biāo)原點，過點。2且與坐標(biāo)軸不垂直的直線與軌跡”交于P，。兩點.線段。。2上是否存

在點N5,O),使得QPNP=PQ-NQ?若存在，求出"的取值范圍；若不存在，說明理由；

⑶過點用(4,0)且不垂直于無軸的直線與軌跡H交A,8兩點，點8關(guān)于無軸的對稱點為E,證明：

直線AE過定點.

19.已知圓C:f+(y—2)2=32,點A(6,0).點P在圓C上運動，8為線段AP的中點.

(1)求點B的軌跡方程E,并說明其軌跡；

⑵若過點(1,2)的直線/被曲線E(點E為軌跡中心)截得的弦長為4,求直線/的方程.

參考答案

1.答案：A

解析：由已知得圓C的半徑為2,

故圓C的方程為(x—I)?+(丁—2)2=4,

即％2+/一2%—4y+l=0.故A正確.

故選：A.

2.答案：C

￡

解析：由題意知＜=」

41)2+/3

化簡得G：［x+；1229

I+；'

其圓心為半徑彳=［，

又圓C:(x—1)2+(丁+1)2=1的圓心為。(1,—1),半徑G=1,

所以|CG|=半，且忸—r＜|cq|＜」+H，所以兩圓相交,

其公共弦所在的直線方程為3%-2y-3=0,

圓心C到公共弦所在直線的距離d=P12x(-1)-3|=2

西+(—2『岳

故公共弦長為=2“^=誓^

故選：C

3.答案：C

解析：因為㈣剛=0|HB卜即3|曲「=2|加『,

貝U3[(x-2)?+/]=21(x+l)2+(丁一1)]，整理可得犬+j2-16x+4j+8=0-

故選:C.

4.答案：D

解析：由題意可得兩圓相內(nèi)切,

兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x+2a)2+V=4,x2+(y-b)~=1,

圓心分別為（—2a,0）,（0力），半徑分別為2和1,

故有J4a2+/=1,4a2+從=1,

5+4+4

>5+4=9

a2b2

2

當(dāng)且僅b當(dāng)彳4a2時，等號成立,

a"b~

11

L廬的最小值為9.

故選：D

5.答案：D

解析：因為A（2,0）,3（0,2%所以—2=0,

又因為圓的方程為（x_3y+（y_3）2=2,所以圓心為（3,3〉半徑為「=后,

所以圓上點到直線A5的最大距離為史二1+應(yīng)=3JL

所以△ABC的面積的最大值為,義3人義J22+2z=6,

2

故選：D.

6.答案：D

解析：C:x2+y2+25一2丁+2=0可化為（X+根）2+（丁-ip=一］,

2

m—1>0Q

則1?9，解得——<加<一1或加〉1，

（1+m）+（2-1）>m2-l2

即機(jī)的取值范圍是1—3,（1,+00）.

故選：D.

7.答案：D

解析：由圓+6x—8y+21=0,

得(x-3y+(y-4”4,

則圓心C（3,4）,半徑r=2,

線段0C的中點坐標(biāo)為[I,",且;|。。|=:

x—|

則圓C:I+（y一02嚀

即x2+y2-3x-4y=0.

%2+y2-3x-4y=0

對于選項A：聯(lián)立《

x2+y2-6x-8y+21=0

兩式作差可得：3x+4y—21=0,

即直線A3的方程為3x+4y—21=0,故A正確;

/、_13x3+4x4-2114

對于選項B：圓心C（3,4）到直線AB的距離為J---------------L=-

則創(chuàng)=2卜_[]="當(dāng)，故B正確；

對于選項C：因為A,2在以O(shè)C為直徑的圓上，

則C4LQ4,CBLOB

由圓心與切點的連線與切線垂直，

可得Q4,08均與圓C相切，故C正確；

對于選項D：因為C4LQ4,且OC=5,04=2

則0A=yl0C--CA2=425-4=屈,

所以四邊形C4OB的面積為S=2x,x2x01=201,故D錯誤.

2

故選：D.

8.答案：B

解析：由/?2-46?/?+3=0=>/?2—4e-b+3e2,

設(shè)OA=e,OB—b,OC-a,

以。為原點，Q4的方向為x軸正方向，建立如圖所示的坐標(biāo)系，

由僅一6）工僅一36）,得點B在以。（2,0）為圓心,以1為半徑的圓上，

又非零向量a與e的夾角為

4

設(shè)a的起點為原點，則a的終點在不含端點0的兩條射線y=±x（x>0）上,

設(shè)C（尤

|CD|+|AC|=^(X-1)2+X2+J(x-2.+.

二，2f-2x+l+J2*一4%+4

則最小值為+[；+1]=非，

.■.(|CD|+|AC|-I'|=布-1

故選：B.

9.答案：AB

解析：對于A選項，當(dāng)q=0時，曲線c的方程為了=°，此時，曲線c是一條直線,A對;

7

對于B選項，當(dāng)aw0時，曲線C的方程可化為必+y2—4x+4今=0,

a

因為+16Y=4+16/>0,此時，曲線c是一個圓,B對；

Ia）a1

對于C選項，當(dāng)曲線。是圓時，其半徑為

r

當(dāng)且僅當(dāng)4a2=-1時，即當(dāng)&=土正時，等號成立，即r的最小值為2,

a22

因止匕，當(dāng)曲線C是圓時，它的面積的最小值為兀*2?=4兀C錯;

對于D選項,當(dāng)曲線C是面積為5兀的圓時，其半徑為r=4a2+」_=6,

Va2

即46+4=5,解得a=±l或a=±』，D錯.

a22

故選：AB.

10.答案：BD

解析：由題意，△ABC的歐拉線即A5的垂直平分線，

4（1,0），5（-1,2）,

2-0

「.AB的中點坐標(biāo)為（0,1）,左鉆二-----二—1,

-1—1

則AB的垂直平分線方程為y=x+l,

即“歐拉線”為x—y+1=0.

由“歐拉線”與圓M:（x-3）2+/=r-相切,

.-.（3,0）到直線x—y+l=0的距離d=￡總

=272,.\r=2y/2

則圓的方程為：（x—3）2+/=8,

圓心（3,0）到原點的距離為3>2J5,

則圓M上的點到原點的最大距離為3+20,故A錯誤;

圓心(3,0)到直線x—y—1=0的距離為4=；總=J5,

二圓M上存在三個點到直線x—y-1=0的距離為夜，故B正確；

上的幾何意義為圓上的點與定點P(-1,0)連線的斜率，

設(shè)過(—1,0)與圓相切的直線方程為丁=左(尤+1)，即H—y+左=0,

由|心+左|=20,解得左=±1,

a+1

，上的最小值是-1,故C錯誤；

X+1

必+⑶―”)2=2的圓心坐標(biāo)(0,。)，半徑為0,

圓”的(X—3)2+V=8的圓心坐標(biāo)為(3,0),半徑為2&,

要使圓必+(y—a>=2與圓M有公共點，

解得一3WaW3,故D正確.

-y*?2—-v*_2

解析：對于A、C,由八6―v+2左=0,得左(x+2)—y=0,令/一，解得《一一

-y=0〔y=0

所以直線I恒過定點(-2,0)，故A錯誤；

因為直線I恒過定點(-2,0)，而(-2)2+。2=4<16，即(-2,0)在圓。：爐+產(chǎn)二露內(nèi)，

所以直線/與圓。相交，故C正確;

對于B,直線4：x—2y+2=0的斜率為;,則當(dāng)左=—2時，滿足直線/與直線/（）：x—2y+2=0垂直,

故B正確；

對于D,左=_1時，直線l；x+y+2=0，圓心到直線的距離為d=尸0+Z=血，

Vi2+i2

所以直線I被圓0截得的弦長為zJT%7=2J42—（可=2。值，故D錯誤.

故選：BC.

12.答案：y=-x+1

解析：圓C：尤2+,2一4%—2y+l=0

變形為C:（x_2）2+（y—l）2=4,

圓心為（2,1）,半徑為2,

因為圓C的弦A5被點Q（1,O）平分，所以CQLA3,

其中kcQ=2_]=1，故^-AB=-1，

所以弦AB所在的直線方程是y=-（x-1），即y=—尤+1.

故答案為：y=—x+1

13.答案：x+3y-5=0

解析：兩個圓方程可化為冗2+,2=]0,尤2+,2-2%一6,=0,

兩式相減得2x+6y=10,即l+3丁-5=0.

故答案為：x+3y-5=0.

14.答案：

解析：設(shè)弦長為/,過原點且傾斜角為60。的直線方程為＞=瓜=瓜-y=0

整理圓的方程為：X2+（,_2）2=4，圓心為（0,2），半徑〃=2

圓心到直線的距離為：型5=1

2

則：—=yjr2-I2=6，；,I=2V3

2

故答案為：2班

15.答案：（1）%=1或3x+4y-19=0;

(2)x-y+3=0或x+y-5=0

解析：(1)由題意可知圓。：必+9―4x—4y+7=0的圓心坐標(biāo)C(2,2)，半徑r=1，當(dāng)直線的

斜率不存在時，直線/過點(1,4).

即/的方程為％=1時，此時直線與圓相切，符合題意；

當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)斜率為七直線/過點(1,4).

設(shè)直線的方程為y—4=左(x—1)，

即化為一般式：kx-y-k+4^0,直線/與圓C相切,

則d=P/一2—1+4|,即]=|22—2——+4],解得上=

VFTiVFTT4

所以/的方程為：—三X—>+2+4=0，即3x+4y—19=0.

4'4

綜上，當(dāng)直線/與圓C相切，直線/的方程為％=1或3x+4y—19=0.

(2)圓。：必+9—4x—4y+7=0的圓心坐標(biāo)C(2,2),半徑廠=1，

設(shè)Q(a,Z?)，因為圓C關(guān)于直線x—y+1=0的對稱圓的圓心為

a+2b+2

+1=0

22a=1

所以4,解得V圓。的圓心為(1,3)，半徑為L

b-2b=3

=-1

、a—2

當(dāng)直線/斜率不存在時，直線/的方程為兀=1，此時直線/過圓。的圓心，|AB|=2w/，不符合

題意；

當(dāng)直線/斜率存在時，設(shè)斜率為晨直線/過點(1,4).

設(shè)直線/的方程為y-4=左(％-1)，即化為一般式：kx-y-k+4—0>

圓心D到直線I的距離dJ"§+4|

VF+i

若直線/與圓。交于A,8兩點，|AB|=0,

根據(jù)勾股定理可得儲+(當(dāng)『=r2，

(卜7+4++(烏2=仔,解得％=±i，

JF+12

所以直線I的方程為x—y+3=0或x+y—5=0

16.答案：(D(X-2)2+(J-3)2=1

(2)%=I或15無一8y—23=0

解析：⑴設(shè)圓C的方程為(x—ap+U—=，什＞0),

(l-?)2+(3-^)2=r2a=2

貝”(2-十+(4-6)2=，,解得.

b=3,

2a-b-\=Qr=1

故圓C的方程為(x—2)2+(y—3)2=l

(2)由⑴知，圓心為0(2,3)半徑為廠=]

若直線I的斜率不存在，則直線I的方程為％=1，此時，圓心C到直線I的距離為1,合乎題意;

若直線/的斜率存在，設(shè)直線/的方程為y+l=k(x—1),即區(qū)—y—Z—1=0,

由題意可得R左；3-勺-1|=4|=1,解得女="，

此時，直線/的方程為y+l="(x-1)，即15x—8y—23=0.

8

綜上所述，直線I的方程為x=l或15x—8y—23=0.

17.答案：(1)答案見解析

22

(2)—+^-=l(x*-4)

1612、)

解析：(DC耳，"的圓心分別為片(—2,0),瑪(2,0),

半徑分別為4，4=2,弓=6

所以耳的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x+2『+y2=4；

F2的標(biāo)準(zhǔn)方程為(龍—2)2+丁=36,

可得忸耳|=4,可知恒閭=乃_"=6_2=4,

所以F，"內(nèi)切.

(2)因為動圓P的半徑為r,

因為動圓尸與(片外切且：P與內(nèi)切,

則r<6,且歸制+歸用=廠+2+（6—廠）=8>寓閭，

由橢圓的定義可知，動點P在以片（—2,0）,耳（2,0）為焦點,

8為長軸長的橢圓上，

22

設(shè)橢圓的方程為\+3=1（?！?〉0）,半焦距為C,

則。=4,c=2,則〃=16—4=12,

又因為耳，入內(nèi)切，則點P不能在切點處，

即橢圓應(yīng)去掉點（T,0）,

所以動圓的圓心尸的軌跡方程為2+左=1（》*一4）.

⑵存在，ne（0,—）

4

（3）證明見解析

解析：（1）設(shè)動圓C的半徑為民

由于G：x+y+2x—m=0的圓心半徑分別為G（—1,0）,4=5,

31

且與圓。2：X+y—2%+彳=0的圓心和半徑分別為C2（1,0）,r2=-

71

由題意可得匕。1|=5-氏，|。。2|=7?+耳

故|CCj+|CG|=4>CGI=2,因此點C軌跡滿足橢圓方程，

且以G，。2為焦點，以4為長軸長的橢圓,

故2〃=4,2c—2,

.\a=2,。=1,b=y/3

22

二1

（2）設(shè)直線PQ的方程為:y=k{x-V),k/O,

22

代入產(chǎn)=1'

得：(3+4左2)x2—8左?x+4左2—12=0,

A=(—8左2)2-4(3+4左2)(4左2—12)〉0恒成立.

設(shè)P（Xi，%），e（x2,y2）,線段PQ的中點為尺（七，/），

x,+x4k2,八3k

則x=----2-=-----,%=k{xz.-1)=--------7

3323+4公％33+4公

由QPNP=PQNQ,

得：PQ(NQ+NP)=PQ(2NR)=Q,

：.直線NR為直線PQ的垂直平分線,

Ak14k2

直線NR的方程為：y=—±(x-一竺丁),

-3+4左2k3+4左2,

k21

令y=0得：N點的橫坐標(biāo)〃~3~7

3+442

L

,3