2025年高考數(shù)學復習熱點題型技巧：立體幾何中的平行與垂直問題易錯點（六大題型）學生版+解析

熱點題型?解答題攻略

專題06立體幾何中的平行與垂直問題易錯點

?>-----------題型歸納?定方向-----------?>

目錄

題型01線段成比例證線面平行...................................................................1

題型02線面平行的性質(zhì)定理證線面平行..........................................................3

題型03面面平行證線面平行.....................................................................4

題型04四點共面問題...........................................................................6

題型05面面垂直的性質(zhì)定理應用................................................................7

題型06垂直關(guān)系中全等的應用..................................................................10

?>-----------題型探析,明規(guī)律------------?>

題型01線段成比例證線面平行

【解題規(guī)律?提分快招】

如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的

第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線

平行，進而得到線面平行。

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?浙江杭州?階段練習）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABC。的邊長都

是1,且它們所在的平面互相垂直，活動彈子M,N分別在正方形對角線2。和上移動，且和的

長度保持相等，記BM=BN=a（Q<a<@.

⑴證明：MN”平面BCE；

2.(24-25高三上?貴州貴陽?期末)如圖，在四棱錐P-ABC。中，底面ABCD為平行四邊形，24,底面ABC。,

7T

若ZABC^-,PA=AB^2,E,F分別為民△產(chǎn)(?￡)的重心.

4

(1)求證：EF〃平面尸3C；

3.(23-24高三下?廣東中山?期中)在通用技術(shù)課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模

PF2PF1

型尸-ABCD,點E在棱PB上，滿足蒜=：,點尸在棱PC上，滿足急=；要求同學們按照以下方案進行

切割：

(1)試在棱PC上確定一點G,使得EF〃平面ABG,并說明理由；

②若正四棱錐模型P-ABCD的棱長均為6,求直線R4與平面a所成角的正弦值.

4.(23-24高三下?安徽亳州?期末)如圖，在直四棱柱ABCZ)-ABG2中，底面ABCD為菱形，點E在線段

AC上，且E為△BCD的重心，點尸在棱A4上，且=g以，點G在棱。。上，^.DG^GD,.

(1)證明：平面AEG〃平面應)廠;

題型02線面平行的性質(zhì)定理證線面平行

【解題規(guī)律?提分快招】

線面平行性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個I'1IIIa\

平面平行，經(jīng)過這條lu0=>/〃r

ap=l,\

線〃面n線〃線直線的平面和這個平

面相交，那么這條直

線就和交線平行

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三下.山東?開學考試）如圖，在三棱柱ABC-AAG中，四邊形ABB^為正方形，已知A2=2五,

AC=BC=3,三棱錐C-AAB的體積為述.

3

（1）設平面CA8與平面C44的交線為/,證明：1//AB-

2.（2025高三?全國?專題練習）已知四邊形ABCD是平行四邊形，點P是平面ABC。外一點，M是PC的中

點，在DM上取一點G,過G和上4作平面PAHG交平面于GH.求證：PA//GH.

3.（2024高三.全國?專題練習）在圓柱。。|中，AB是圓0的一條直徑，CD是圓柱。。的母線，其中點C與

A8不重合，M,N是線段3D的兩個三等分點，且BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交線為/,

證明：〃/平面ABD

4.(2024高三.全國?專題練習)如圖，在正三棱柱ABC-A瓦G中，分別為AC,A3的中點，點P滿足

⑴若AB〃平面PNC,求機；

⑵若A.M與平面ABC所成的角為60。,求C、N與平面ABC所成角的大小.

5.(2024?湖北黃岡?模擬預測)如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABCD是菱形，ZABC=60,SAL平面

ABCD,&4=AB=4,E是BC的中點，F(xiàn)D=ASD[0<2<1).

(1)若Cf〃平面&4E,求2的值以及此時三棱錐S-AB的體積;

(2)當2=1時，求直線S3與平面ACT所成角的正切值.

題型03面面平行證線面平行

【解題規(guī)律?提分快招】

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面〃面二＞一

在一個平面中的所有直al1[3\

線〃面卜=Q//6

線都平行于另外一個平auaj

面/

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三下?江蘇常州?開學考試）如圖，VA3C中，AC_L8cAe=8C=2,D,E分別為A6,AC的中點,

將VADE沿著翻折到某個位置得到APDE.

⑴若點Af為PB的中點，求證：OW〃平面PCE；

2.（24-25高三上?遼寧鞍山?期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，24,平面A2CD,底面ABC。為直角梯

形，AB±AD,BC//AD,M為上4的中點，N為PC的中點，E為PD的中點，PA=AB=BC=^-AD=2.

2

⑴求證：AE〃平面BAW；

3.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在直角梯形ABCZ）中，AD//BC,AB±BC,AB^BC^2AD,把梯

形ABCD繞AB旋轉(zhuǎn)至A2CQ，E,尸分別為A3,CC1中點.證明：Ef7/平面CQA；

4.（2024.江蘇南通?二模）如圖，在圓臺。。|中，分別為上、下底面直徑，且4再〃42,AB=2A}B},

CQ為異于A4,BBi的一條母線.

⑴若M為AC的中點，證明：GM//平面AZ珥A；

5.（23-24高三下?安徽?期末）如圖①，已知VA3'C是邊長為2的等邊三角形，。是4?的中點，DH±B'C,

如圖②，將B'D”沿邊。H翻折至△比月.

（1）在線段BC上是否存在點E使得A尸〃平面若存在，求等的值；若不存在，請說明理由;

題型04四點共面問題

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?山東濟南?期末）如圖，在四棱柱ABC。-4瓦62中，底面ABC。是矩形

,AAl=AB=2AD,NDQC=60,平面。CCQ，平面ABC。，點E,P分別為棱CC】，招的中點.

（1）證明：B,E，2,下四點共面;

2.（24-25高三上?陜西漢中?階段練習）如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和一個直三棱柱拼接而成,

其中==點G為弧CO的中點，且C,G,D,E四點共面.

（1）證明：D,G,B,歹四點共面;

3.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PCmABCD,AS〃CD,點E在棱PB上,

2

PE=2EB,點、F,H是棱R1上的三等分點，點G是棱尸D的中點.PC=CB=CD=-AB^2,AC=屈.證

明：?。?/平面CPG,且C,E,F,G四點共面；

4.（24-25高三下?湖南長沙?階段練習）如圖，在多面體ZMSCE中,

AB=AC=BC=AD=2,DB=

⑴求證：A,Z）,O,E四點共面;

題型05面面垂直的性質(zhì)定理應用

【解題規(guī)律?提分快招】

1、常見的證明線線垂直的方法

①等腰三角形（等邊三角形）的“三線合一”

如圖：AB=AC,D為BC中點，則

②勾股定理的逆定理

如圖：Wa2+Z?2=c2,則ACLBC

③正方形、菱形的對角線互相垂直。

如圖：四邊形ABCD是菱形，所以AC，5。

④直徑所對的圓周角是90°

如圖：AB是圓的直徑，ZACB=90°

⑤通過證線面垂直證線線垂直

mua

注：若題目要證/已知WU(Z且相，/是異面直線，要證/，加，一般是證所在的平面。

⑥平移法：通過三角形的中位線或者構(gòu)造平行四邊形進行平移

2、面面垂直性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

兩個平面垂直，則一aIB

ac。=a

個平面內(nèi)垂直于交b.La

<buB

性質(zhì)定理線的直線與另一個

b.La

平面垂直■/

【典例訓練】

一、解答題

1.（2025?河南信陽?二模）如圖，在三棱臺ABC-AA￡中，CG，平面ABC,平面平面,

1Q

AG=CG=[AC，ABC的面積為20,三棱錐A-ABC的體積為，

(1)求證：-LBC■

2.（24-25高三上?湖北襄陽?期末）如圖，在三棱柱A8C-A4G中，平面44。。，平面A3C,四邊形ACG4

是菱形，ZAlAC=60°,相=2五,AB±BC,E,P分別是AC,A用的中點.

（1）證明：BCLEF；

3.（24-25高三上?安徽宣城?期末）如圖，在多面體ABCDE中，VABC,ABE,ACD均為等邊三角形,

平面ABE_L平面ABC,平面ACD_L平面ABC,平面ADEI平面ABC=/,M在直線BE上，N在直線/上，

MN1.BE,MN±l.

（1）證明：MV_L平面BCE；

4.（2025?江西新余?一模）如圖，在四棱錐尸一ABCD中，尸。=PC=C3=BA=gAD=2,A。//CB,NA8C=90°,

平面PCD_L平面ABCD.

⑴求證：PDYPA；

5.（24-25高三上?河南許昌?期中）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，平面P鉆，平面A2CZ）,平面ABC。為直

角梯形，AD//BC,AD±CD,BC=3,CD=y/3,A￡>=4.

⑴求證：PALBD.

題型06垂直關(guān)系中全等的應用

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?湖北荊州?階段練習）如圖，在棱長為2的正方體ABC。-A4G2中，M、N、Q分別為

棱G，、8瓦、4瓦的中點.

⑴求證：4"，平面4M。；

2.（24-25高三上?廣東深圳?期末）如圖，四棱錐尸-ABCD中，平面PAD，平面ABCD,〃

CD,ADLCD,PA=PD=AD=CD=2,A8=1,M為棱PC上一點.

（1）證明：BD1PC；

3.（24-25高三下?云南昭通?開學考試）如圖所示，在四棱錐尸-MCD中，PA=PB,底面A2CD為正方形,

側(cè)面上底面ABC。，點M是線段AD的中點.

⑴求證：PCIBM；

?>----------題型通關(guān)?沖高考-----------*>

一、解答題

1.（23-24高三下?四川自貢?期末）如圖，在邊長為4的菱形ABCL（中，/A2C=60,E,尸分別是AB,的

中點，將ABEF沿EF折起，使點8到尸的位置，且如=4血.

⑴若平面E4C平面尸力=/,判斷AC與/的位置關(guān)系并說明理由；

2.（23-24高三下?江蘇鎮(zhèn)江?期末）四棱錐P—ABCD中，AD//BC,ABLBC,AB^BC^2AD,側(cè)面R鉆_L

底面ABC。，且PA=PB=A3;M是棱PC上一動點.

D

⑴當B4//平面M3。時，求后的值;

3.（2024?重慶?模擬預測）如圖，在四棱錐尸-ABC。中，底面ABCD是邊長為3的正方形，點E,F,G,

H分別在側(cè)棱R4，PB,PC,PD上，且尸E=2AE,PF=2FB,GC=2PG,HD=2PH

A

（1）證明：E,F,G,"四點共面;

4.（24-25高三上?福建泉州?期中）在四棱錐尸-ABCD中，底面ABCZ）是邊長為2的正方形，E是BC的中

點，點尸在棱AD上，且PA_L4D,PE=尸A=6.

⑴若平面R4BC平面尸8=/,證明：〃/平面A3CD；

5.（23-24高三下.上海浦東新?階段練習）如圖，在三棱柱ABC-A4G中，側(cè)面BCG片為正方形，平面

BCG4,平面AB=BC=2,分別為人與，AC的中點.

（1）求證：肱V//平面8CC4；

6.（2024.全國?模擬預測）如圖，已知四邊形ABCD與硒4。均為直角梯形，平面ABCD4平面￡出￡）,

AB±BC,AF±AD,M為M的中點，AF=AB=BC=2CD=2DE=2.

（1）證明：c,E,F,M四點共面;

7.（24-25高三上?上海?階段練習）如圖，在平行四邊形ABC。中，AB=2BC,ZABC^120°,E為線段AB

的中點，M為線段OE的中點，將VADE沿直線。E翻折成ADE,使得AM，平面38,尸為線段AC的

中點.

8.（23-24高三下.北京?期末）如圖，在四棱錐P-A5CD中，平面平面A2CD,四邊形ABCD是梯形,

AB//CD,3。，8,2。=。=243=20,石是棱以上的一點.

（1）若PE=2EA,求證：尸C〃平面EB￡＞；

9.（24-25高三上?河北唐山?階段練習）在直三棱柱ABC-A用G中，/2AC=90，AA=AB=AC=3,2（與

交于點P,G是44瓦G的重心，點。在線段A3（不包括兩個端點）上.

（1）若。為AB的中點，證明：PG〃平面AC。；

10.（24-25高三上?安徽馬鞍山?階段練習）如圖，四棱錐尸-ABCD的底面ABCD為正方形，側(cè)面PCD，底

面ABCD.設平面PAD與平面PBC的交線為I.

⑴證明：/_L平面PCD；

11.（2024高三?全國?專題練習）如圖，在四棱錐中，AB=2AD=25C=2CD,AB〃CD,且PD_L3C,

平面尸皮），平面ABCD.

（1）證明：PD_L平面A38.

12.（2024?江西?模擬預測）如圖，在直三棱柱ABC-A與G中，平面A^C，側(cè)面AB用人，點A到平面

的距離等于1.

（1）求證：AB±BC；

13.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在VA8C中，ZABC=90°,BC=2,ZACB=60°,E為A8的中點，

過點E作EO垂直AC于。，將VADE沿ED翻折，使得平面4羽，平面BCDE,點M是棱AC上一點，且

3A///平面ADE.

14.（24-25高三上?重慶?期中）已知矩形48C。，AB=4,AD=2,E為。中點，沿AE折成直二面角,

M為8c為中點.

D

A

⑴求證：BCLDM；

15.（24-25高三上?內(nèi)蒙古通遼?期末）如圖，菱形ABC。的對角線AC與8。交于點0,AB=5,AC=6,

點E,尸分別在AD,CD上，AE=CF=|,所交BO于點H.將刀斯沿砂折到，少￡尸的位置，OD'=y/10.

⑴證明：D'HLAC

16.（24-25高三上?河南新鄉(xiāng)?期末）如圖，在正三棱柱ABC-中，A3=臺耳］為的中點.

(1)證明：CBJBE.

17.（24-25高三上?湖南長沙?期末）如圖，在平行六面體ABCD-A'B'C'D中，AB=AD=2,ZAAB=ZAAD

且AB_LAC,設AC與30的交于點0.

⑴證明:平面A3C。；

熱點題型?解答題攻略

專題06立體幾何中的平行與垂直問題易錯點

o------------題型歸納?定方向-----------*>

目錄（Ctrl并單擊鼠標可跟蹤鏈接）

題型01線段成比例證線面平行..................................................................17

題型02線面平行的性質(zhì)定理證線面平行.........................................................21

題型03面面平行證線面平行....................................................................25

題型04四點共面問題..........................................................................29

題型05面面垂直的性質(zhì)定理應用...............................................................32

題型06垂直關(guān)系中全等的應用..................................................................37

?>-----------題型探析,明規(guī)律-----------O

題型01線段成比例證線面平行

【解題規(guī)律?提分快招】

如果一條直線截三角形的兩邊（或兩邊的延長線）所得的對應線段成比例，那么這條直線平行于三角形的

第三邊，這也是得到線面平行的一種有力工具。題目中出現(xiàn)比值關(guān)系時，可考慮利用比值關(guān)系，尋找線線

平行，進而得到線面平行。

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?浙江杭州?階段練習）在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框架ABC。，ABEP的邊長都

是1,且它們所在的平面互相垂直，活動彈子N分別在正方形對角線8。和8尸上移動，且和8N的

長度保持相等，記BM=BN=a（0〈”吟.

（1）證明：MN"平面BCE；

17/52

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）由已知可證明MV//Z%"可得MN//CE,由線面平行的判定定理得MN〃平面8CE；

【詳解】（1）連接。RCE,

ABCD,A3EF的邊長都是正方形，則有加=8尸=正，

又BM=BN=a?<a<6），

則V3Db中，—,所以MN//DF,

BDBF

由DCHABHFE,DC=AB=FE,

則四邊形CD巫為平行四邊形，有DFUCE,所以MN//CE,

MV<Z平面5CE,CEu平面3CE,所以MN//平面3CE.

2.（24-25高三上?貴州貴陽?期末）如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，PAL底面ABC。,

JT

若ZABC=-,PA=AB=2,E,F分別為的重心.

4

P

（1）求證：砂〃平面MC；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由三角形重心得到線段成比例，從而證明線線平行，從而得到線面平行;

【詳解】（1）延長PE交A3于G,延長尸尸交C。于連接E￡GH,

因為E,B分別為APABAPCD的重心，

18/52

所以G,H分別為AB,CD的中點，且黑二H，

rCjrriJ

又因為底面ABC。為平行四邊形，

所以GH〃EF〃BC

又因為BCu平面PBC,EF<z平面PBC,

所以所〃平面P3C.

3.（23-24高三下?廣東中山?期中）在通用技術(shù)課上，老師給同學們提供了一個如圖所示的木質(zhì)正四棱錐模

型尸-ABCD,點E在棱上，滿足P旗F=:2,點尸在棱PC上，滿足P黃F=］1，要求同學們按照以下方案進行

⑴試在棱PC上確定一點G,使得EF〃平面ABG,并說明理由；

【答案】（DG為PC上靠近C的四等分點，理由見解析

【分析】（D由條件箴PF=；2及P含F(xiàn)=；1結(jié)合圖形，考慮取PC上靠近C的四等分點為G,即可推得3G〃跖,

即得砂//平面A3G；

【詳解】（1）

19/52

由已知得，點E在棱PB上，滿足P言F=；2,點F在棱PC上，滿足PF/=]1，

pppp2

如圖，取PC上靠近C的四等分點為G,則必有3=

r（jrt>3

則根據(jù)三角形相似，必有BG//EF,

因EPO平面ABG,BGu平面ABG,易得EF〃平面A8G.

4.（23-24高三下?安徽亳州?期末）如圖，在直四棱柱ABC。-ABGR中，底面ABCD為菱形，點E在線段

AC上，且E為△BCD的重心，點/在棱A4上，且點G在棱上，且DG=；G2.

⑴證明：平面AEG//平面8DR；

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）根據(jù)重心性質(zhì)和相似比可證明AE//F。，通過證明4陽G為平行四邊形可得AG//尸。，然后

由線面平行判定定理和面面平行判定定理可證；

【詳解】（1）如圖，設80交AC于點0,連接尸O.

因為底面ABCD為菱形，E為△3C。的重心,

所以EO=；OA.

1AFFO

又產(chǎn)=/，所以■=而

所以AE//R9.

因為AEa平面由加，歹Ou平面3Z",

所以A]E〃平面瓦加.

20/52

在直四棱柱A8C￡>-A與G2中，AA.//DD,,S.AAi=DDl,

11

XDG=-GDj,AiF=-FA,

所以4F=DG,\FHDG,

所以四邊形4FDG為平行四邊形，所以AG//FD.

因為AGs平面尸，F(xiàn)Du平面3D產(chǎn)，

所以AG//平面瓦加.

因為46門4E=4,46,4石匚平面4片6,

所以平面AEG//平面BDF.

題型02線面平行的性質(zhì)定理證線面平行

【解題規(guī)律?提分快招】

線面平行性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果一條直線和一個1//a'

平面平行，經(jīng)過這條lu0=l〃l'

線〃面n線〃線直線的平面和這個平ap=I',

面相交，那么這條直

線就和交線平行

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三下?山東?開學考試）如圖，在三棱柱A8C-A與G中，四邊形42與4為正方形，已知=，

AC=BC=3,三棱錐C-AAB的體積為撞.

3

（1）設平面CAB與平面CA耳的交線為/,證明：1//AB-

【答案】（1）證明見解析

【分析】（D由線面平行的判定定理證明AB〃平面C44,再由線面平行的性質(zhì)定理得線線平行；

【詳解】（1）因為四邊形AB4A為正方形，所以A8//A瓦，又因為ABU平面CA耳，4用u平面C4片,

21/52

所以AB〃平面CAB],因為ABu平面CAB,平面C43平面CAB|=/,所以"/AB

2.（2025高三?全國?專題練習）已知四邊形ABC。是平行四邊形，點尸是平面ABC。外一點，Af是尸C的中

點，在。0上取一點G,過G和上4作平面PAHG交平面于GW.求證：PA//GH.

【答案】證明見解析

【分析】連接AC交于點。，連接MO,由平行四邊形可得N/MO,進而可得上4//平面氏WD,然后根

據(jù)由直線與平面平行的性質(zhì)可得.

【詳解】如圖所示，連接AC交2￡）于點。，連接MO,

因為四邊形A5C。是平行四邊形，所以。是AC的中點，

又因為M是PC的中點，所以B4//MO.

又因為MOu平面平面所以B4//平面

又因為平面PAHGc平面3MD=GH,B4//平面3MD,且PAu平面PAHG,

所以PA/GH.

3.（2024高三?全國?專題練習）在圓柱。。|中，是圓0的一條直徑，CD是圓柱。。1的母線，其中點C與

A8不重合，M,N是線段80的兩個三等分點，且BM=MN=ND.若平面COM和平面C4N的交線為/,

證明：〃/平面ABD

【答案】證明見解析

【分析】利用三等分點得中位線可得線線平行，再應用線面平行判定與性質(zhì)定理證明即可;

【詳解】由知M為3N中點，又。為A8中點，

所以OMHAN,平面CAN,ANu平面CAN,

所以。W〃平面CAN,又。Wu平面COM,

由平面COM平面CAN=/,且Ce/,

22/52

故由線面平行的性質(zhì)定理可得OM/n,

由點C與A8不重合，可知CC平面故/Z平面

又OMu平面所以〃/平面A3D

4.（2024高三.全國.專題練習）如圖，在正三棱柱ABC-AAG中，M,N分別為AC,AB的中點，點尸滿足

AiP—mPM.

B

⑴若AB”平面PNC,求人

【答案】（1）2

PMMO

【分析】（1）作出輔助線，由線面平行的性質(zhì)得到。所以工方=至萬，由三角形相似得到

PMMO1

~\P~^O~2,得到答案；

【詳解】（1）如圖，連接記NC與交于點。，連接尸。，

B

因為45//平面PNC,平面A13M平面PNC=OP,Abu平面A/M,

PMMO

由線面平行的性質(zhì)定理可得所以為

OP//A3,TF=D7.

/\xrU

在VABC中，M,N分別是AC,AB的中點，

貝!IBC=2MN.

易知四邊形肱VBC為梯形，

0為NC與BM的交點,所以AMNOSABCO,

23/52

MNMO1PMMO1

貝ntUI——=——=—6|f以---二------5,則=

BCBO2AXPBO

由A尸尸M，可得相=2；

5.（2024湖北黃岡?模擬預測）如圖，在四棱錐S-ABCD中，底面ABC。是菱形，ZABC=6Q,SAL平面

ABCD,SA=AB=4,E是BC的中點，F(xiàn)D=2S￡>(0<A<1).

S

（1）若CF//平面&4E,求％的值以及此時三棱錐S-ACF的體積；

【答案】（1）幾=還

23

【分析】（1）通過線面平行的性質(zhì)證四邊形EC/G是平行四邊形，進而證出P為SD中點，確定2的值，通

過七棱鏈S-ACF=//棱錐S-4C￡>即可求解；

【詳解】（1）

S

過尸作BC的平行線交&4于點G,連接EG,

因為CP〃平面S4E,。v<=平面￡（7尸6,平面ECFGc平面S4E=EG,

所以CF〃GE,則四邊形ECfG是平行四邊形，所以龍=R7,

因為CE=^D4,所以FG=」ZM,

22

因為ABC。是菱形，所以BC7/A。，又GFHBC,所以FG//AD,

所以尸為S。中點，所以X=

因為尸為SD的中點，

24/52

所以%棱黜tb=；0棱錐ST。=：xg*(|Z)CH/m|-sin/AOC)?|SA|

11/1,”有)”8有

=—x—x—x4x4x----x4=-----.

23223

題型03面面平行證線面平行

【解題規(guī)律?提分快招】

文字語言圖形語言符號語言

如果兩個平面平行，那么

面〃面=>

在一個平面中的所有直a//⑶

線〃面}=a//尸

線都平行于另外一個平auaj

面

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三下?江蘇常州?開學考試）如圖，VABC中，AC，3C,AC=3C=2,D,E分別為AB,AC的中點,

將VADE沿著DE翻折到某個位置得到APDE.

⑴若點M為的中點，求證：DM〃平面PCE；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）取BC中點G,連接DG,GM,通過證明平面DWG//平面尸CE,可得證;

【詳解】（1）取8C中點G,連接。G,GM,

因為D,M,G為A8,尸8,8C中點，所以MG//PC,DG//CE,

又平面PCE,PCu平面「CE,DGU平面PCE,CEu平面尸CE,

所以A/G//平面PCE,DG〃平面PCE,

又MGDG=G,MG,E>Gu平面DMG,

所以平面DMGII平面PCE,

25/52

因為DMu平面。0G,所以DM〃平面PCE.

2.（24-25高三上?遼寧鞍山?期末）如圖，在四棱錐尸-ABCD中，PAL平面ABC。，底面A3CL）為直角梯

形，ABLAD,BC//AD,M為R4的中點，N為尸C的中點，E為尸。的中點，PA=AB=BC=AD=2.

⑴求證：AE〃平面BAfV；

【答案】⑴證明見解析

【分析】（1）連接ME、CE、AC,推導出平面ACE//平面3MN,利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；

【詳解】（1）連接ME、CE、AC.

因為M、E分別為R4、PO的中點，所以，MEHAD,ME=^AD,

因為3C〃AT）,BC^-AD,所以，MEIIBC,ME=BC,

2

所以，四邊形BCEM是平行四邊形，所以，CE//BM,

因為CEz平面BMN,BMu平面則CE〃平面3MN,

又因為M、N分別為上4、PC的中點，則MV//4C,

因為ACu平面MNu平面BMN,所以，AC7/平面BMN,

因為CEAC=C,CE、ACu平面ACE,所以，平面ACE〃平面

因為AEu平面ACE,故AE〃平面

3.（2025高三?全國?專題練習）如圖，在直角梯形ABCD中，AD//BC,ABLBC,AB=BC=2AD,把梯

形ABC。繞旋轉(zhuǎn)至ABC4,E,尸分別為A5,CQ中點.證明：跖〃平面CRA；

【答案】證明見解析

【分析】先根據(jù)線面平行證明面面平行，再應用面面平行性質(zhì)得出線面平行

【詳解】證明：設。G的中點為G,連接尸G,EG,

26/52

fU為△CC|R的中位線，F(xiàn)G//CD,,

又CD}u平面CDtA,FG<z平面CDtA,

.?./G〃平面C，A,

EG為梯形ABC,￡>,的中位線，EGHAD},

又ADXu平面CQA,EGN平面CDrA,

EG//平面CD,A,

EG\FG=G,尸Gu平面EFG,EGu平面EFG,

平面EFGH平面CD,A,

E/;^u平面E尸G,

/平面C2A.

4.（2024?江蘇南通?二模）如圖，在圓臺。。|中，4月,分別為上、下底面直徑，且A4//AB，AB=2AtBt,

CG為異于A4,BB,的一條母線.

⑴若“為AC的中點，證明：CM//平面

【答案】⑴證明見解析

【分析】（D如圖根據(jù)題意和圓臺的結(jié)構(gòu)可知平面ABC//平面有面面平行的性質(zhì)可得AG//AC,

根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得C1為尸C中點，則qw〃的，結(jié)合線面平行的判定定理即可證明;

【詳解】（1）如圖，連接AG.

因為在圓臺。。中，上、下底面直徑分別為A4，A8,且A瓦//AB,

所以4VB4,GC為圓臺母線且交于一點p,所以A，A，G，C四點共面.

在圓臺。。1中，平面ABC//平面AB1G，

由平面441clC平面A3C=AC,平面AAG。平面4片弓=4^,得AG//AC.

27/52

又A4〃A氏A3=244,所以招=m=」，

PAAB2

所以等=魯=4,即C|為尸C中點.

在.X4C中，又M為AC的中點，所以qw〃M.

因為A41u平面ABB^,GM<z平面ABB^,

所以GM”平面ABBiA;

5.（23-24高三下?安徽?期末）如圖①，已知VA3'C是邊長為2的等邊三角形，。是4夕的中點，DHLB'C,

如圖②，將BZ歸沿邊。//翻折至△或月.

圖①圖②

（1）在線段5c上是否存在點凡使得A方〃平面區(qū)明？若存在，求總BF的值；若不存在，請說明理由；

FC

【答案】⑴存在,黑BF=:1

FC2

【分析】（1）在圖①中，取3'M的中點M,連接AM,證明40〃。"，貝!JAM〃平面BDH,在線段BC上

RF1

取點F使=；=，，連接MF,FA,證明平面AA/F〃平面8Z汨，再根據(jù)面面平行的性質(zhì)即可得解；

FC2

【詳解】（1）在圖①中，取的中點M,連接AM,如圖所示，

因為VABC是等邊三角形，B'C的中點為M,

所以AM_L3'C,

因為。〃_LB'C,

所以AM//L歸，

在圖②中，AM//DH,AMU平面BDH,DHu平面BDH,

所以40〃平面BDH,且槳=:，

MC2

28/52

BF

在線段BC上取點F使矢=：1,連接MF,FA,如圖所示,

FC2

HMBF1

所以MF//BH,

又因為平面BDH,MF.平面BDH,

所以ME//平面BDH,

又因為MFcAAl=M,MF,AMu平面AMF,

所以平面AMFH平面BDH,

又因為AFu平面AMF,

所以Ab〃平面BDH,

所以存在點F滿足題意，且B受F=：1;

FC2

題型04四點共面問題

【典例訓練】

一、解答題

1.（24-25高三上?山東濟南?期末）如圖，在四棱柱ABCD-A4G2中，底面ABCD是矩形

,A\=AB=2AD,NDQC=6。，平面。CCQ，平面ABC。，點、E,尸分別為棱CC1，A4,的中點.

（1）證明：B,E，A，F(xiàn)四點共面；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）證明四邊形為平行四邊形，利用平面的基本性質(zhì)得出結(jié)論;

【詳解】（1）取。〃中點G,連接AG,EG,則有DG//CE,DG=CE,

29/52

D1________C.

所以四邊形CDGE為平行四邊形，所以CD"EG,CD=EG,

又因為AB//CD,鉆=。。,所以48〃￡3,AB=EG,

所以四邊形ABEG為平行四邊形，所以防〃AG,BE=AG,

又因為A尸//，G,A尸=RG所以四邊形AG。尸為平行四邊形，

所以AG//DF所以BE//2R所以B,E，2,F四點共面.

2.（24-25高三上?陜西漢中?階段練習）如圖所示的幾何體是由等高的半個圓柱和一個直三棱柱拼接而成,

其中筋=4尸=2,M，4尸，點6為弧。。的中點，且C,G,￡）,E四點共面.

⑴證明：RG,2,產(chǎn)四點共面；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）法一：連接DG,由題意可得DG〃EC,根據(jù)平行線性質(zhì)有OG〃m，即可證結(jié)論；法二:

建立空間直角坐標系，設的＞=九由EB=2OG即可求證；

【詳解】（1）

連接DG,因為=

所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，ZDCE=45°,

在半圓DGC上，G是弧C。中點，所以NGDC=45。,

所以DG//EC,又EC//FB,

所以DG//FB,所以RGB/四點共面.

30/52

法二：直三棱柱中以A為原點，建立如圖所示空間直角坐標系，

AF=AB=2,設的=〃，則4(0,0,0),3(0,2,0),網(wǎng)2,0,0),。(0,0,h),G(-1,1,h),

所以DG=(-l,L0),q=(-2,2,0)

所以尸3=2QG，則DG7/FB,

所以四點共面.

3.(2024高三?全國?專題練習)如圖，在四棱錐尸-ABCZ)中，PC,平面ABCD,AB//CD,點E在棱PB上，

2

PE=2EB,點、F,H是