2025北師版七年級數(shù)學(xué)下冊培優(yōu)專練：角平分線中的幾何綜合

專題5.1角平分線中的幾何綜合

?思維方法

正向思維：是一類常規(guī)性的、傳統(tǒng)的思維形式，指的是大家按照自上而下，由近及遠(yuǎn)、從左到右、從

可知到未知等一般而言的線性方向做出探究問題的思維途徑。

逆向思維：是指在剖析、破解數(shù)學(xué)難題進(jìn)程中，可以靈活轉(zhuǎn)換思維方向，從常規(guī)思維的相反方向出發(fā)

進(jìn)行探索的思維方式，比如正向思維無法解決問題時可反其道而行采取逆向思維，直接證明有困難時可采

用間接證明。

?知識點(diǎn)總結(jié)

一、角平分線的性質(zhì)

角的平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等.

用符號語言表示角的平分線的性質(zhì)定理：

若CD平分/ADB,點(diǎn)P是CD上一點(diǎn)，且PEJ_AD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,貝UPE=PF.

二、角平分線的判定

角平分線的判定：角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.

用符號語言表示角的平分線的判定：

若PE_LAD于點(diǎn)E,PF_LBD于點(diǎn)F,PE=PF,則PD平分NADB

?典例分析

【典例1］已知A4BC,4。是一條角平分線.

【探究發(fā)現(xiàn)】如圖1,若加）是ABAC的角平分線.可得到結(jié)論：黎="

小艷的解法如下：

過點(diǎn)。作DM1AB于點(diǎn)M,DN1AC于點(diǎn)N,過點(diǎn)4作2P1BC于點(diǎn)P,

?.?4D是NB力C的角平分線，S.DM1AB,DN1AC,

.SLABD_^ABXDM_

??一~一

SAADC-ACXDN

又?：S^ABD_匏。X4P_嗎

?S^ADC-^CDXAP-CD'

【類比探究】如圖2,若CD是乙4cB的外角平分線，CO與84的延長線交于點(diǎn)D.求證：裝=案.

BLBD

【拓展應(yīng)用】如圖3,在AyiBC中，ABAC=60°,BF、CE分另是乙4BC、乙4cB的角平分線且相交于點(diǎn)。,

若*=直接寫出器的值是

【思路點(diǎn)撥】

探究發(fā)現(xiàn)：根據(jù)題干中的解題思路求解即可;

類比探究：過點(diǎn)。作ON1AC交C4延長線于N,過點(diǎn)D作DM1BC延長線于M,過點(diǎn)C作CP1BD于點(diǎn)、P.利

用角平分線的性質(zhì)及等面積法證明即可；

拓展應(yīng)用：在3c上取點(diǎn)G,4變得BG=BE,連接DG,先利用全等三角形的判定得出△8DE三△80G,再

由其性質(zhì)及前面的結(jié)論求解即可.

【解題過程】

探究發(fā)現(xiàn):

解：過點(diǎn)。作OM1AB于點(diǎn)M,?？?/。于點(diǎn)2,過點(diǎn)/作AP18C于點(diǎn)P,

?「AO是NB4C的角平分線，且DM1ZB,DN1/C,

:?DM=DN,

?S"BD_/BXOM_AB

??一i-,

S&ADC-ACXDNAC

又??S&ABD_產(chǎn)'*"。_￡￡

?S^ADC-^CDXAP-CD'

.AB_BD

**AC-DC；

故答案為：DM=DN,-=—；

ACACDC

類比探究：

證明：過點(diǎn)。作DN1AC交C4延長線于N,過點(diǎn)。作DM1BC延長線于M,過點(diǎn)C作CP1BO于點(diǎn)P.

：.DN=DM.

.SAACD=%CXDN=紇S/CD=豺DXCP="

,,SADBC-^BCXDMBC'S&DBC-^BDxCPBD'

.AC_AD

??BC-BD，

拓展應(yīng)用：

在BC上取點(diǎn)G,使得8G=BE,連接DG,

'：ABAC=60°,

^ABC+^ACB=120°,

?北。核分別是乙48。、N4CB的角平分線,

:.乙DBE=^DBG,乙DCG=LDCF,ADBC+Z.DCB=^ABC+^ACB）=60°,

：./-BDC=120°,

AABDE=60°,

?:BD=BD,

??△BDE=△BDG,

：.Z-BDE=乙BDG=60°,

:'乙BDG=乙CDG=60°

；.DG是NBDC的角平分線

r+tZ4\/r-f-,DEBE4

由（1）知，—=—=-

DCBC7

設(shè)BE=4x,BC=7x,則BG=4x,CG=3x,

由⑴知器=鬻V，

4

即ptr-tB一D=

DC3

?學(xué)霸必刷

1.如圖，在AABC中，ABAC和NABC的平分線4E,BF相交于點(diǎn)。AE交BC于E,BF交力C于F，過點(diǎn)。作

于。，在下列結(jié)論中：①乙4OB=90。+/。；②若48=4,OD=1,則S-BO=2;③當(dāng)4c=60。

時，AF+BE=AB-,④若OD=a,AB+BC+CA=2b,貝!JS—BC=。從其中正確的結(jié)論為（）

A.②③B.②④C.②③④D.①②④

【思路點(diǎn)撥】

由角平分線的定義結(jié)合三角形的內(nèi)角和的可求解乙4OB與NC的關(guān)系，進(jìn)而判定①；過。點(diǎn)作。P14B于P,

由角平分線的性質(zhì)可求解。P=1，再根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算可判定②；在AB上取一點(diǎn)使BH=BE,

證得AHBO=△EBO,得到ZB0H=乙BOE=60°,再證得△HAOSAFAO,得到2尸=AH,進(jìn)而判定③正

確;作。N14C于N,。"1AB于H,根據(jù)三角形的面積可證得④正確.

【解題過程】

解：：4瓦1(7和N4BC的平分線相交于點(diǎn)。，

：.^BA=^CBA,^OAB^BAC,

：.^AOB=180°-AOBA-^OAB=180°-|(zXBC+zBXC)=180°-1(180°-zC)=90。+沁，故①

錯誤；

過O點(diǎn)作。P1AB于P,

平分N4BC,OD1BC,

：.OP=OD=1,

"：AB=4,

?,SA4B0=[x4xl=2,故②正確；

Vzc=60°,

.'.ABAC+/.ABC=120°,

'：AE,BF分另U是NB4C與乙4BC的平分線，

AOAB+AOBA=|^BAC+乙4BC)=60°,

：.^AOB=120°,

C./.AOF=60°,

:.乙BOE=60°,如圖，在2B上取一點(diǎn)H,使BH=BE,

A

4

B

EDC

??,1是N4BC的角平分線，

?"HBO=LEBO,

BH=BE

在△HB。和△EB。中，\AHBO=LEBO,

BO=BO

：.△HBO三△EBO(SAS),

：.^BOH=乙BOE=60°,

J.Z.AOH=180°-60°-60°=60°,

：.^A0H=2AOF,

ZHAO=乙FAO

在△H4。和△F4。中，AO=AO,

ZAOH=Z.AOF

A△HAO=AFAO(ASA)f

：.AF=AH,

：.AB=BH+AH=BE+AF,故③正確;

作。Nl/C于N,0Hlz8于H,

?2R4c和乙4BC的平分線相交于點(diǎn)O,OD1BC,

：.0N=OH=OD=a,

'：AB+AC-VBC=2b,

:?S〉A(chǔ)BC=-OH+^BC?OD+^AC?ON="?2b=ab,故④正確.

故選：C.

乙①乙

2.如圖，在△ABC中，BE,CE,CO分另lj平分/ABC,4CB,^ACFfAB\\CD,下歹！J結(jié)論：BDC=^BAC；

?￡.BEC=90°+ZT4BZ)；@^CAB=Z.CBA；@￡.ADB+A.ABC=90°,其中正確的為()

AD

//

BCF

A.①②③B.①②④C.②③④D.①②③④

【思路點(diǎn)撥】

由角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)可得=進(jìn)而判定①；由角平分線的定義及平角的定

義可求4ECD=90。，利用三角形外角的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)可判定②；利用角平分線的定義可判定③；由

角平分線的性質(zhì)及判定可得4D為△力BC外角NM4C的平分線，結(jié)合角平分線的定義及三角形外角的性質(zhì)即

可證明乙40B=乙BCE,再利用平行線的性質(zhì)可得結(jié)論④.

【解題過程】

解：,：AB\\CD

：./.ACD=ABAC,乙ABC=4DCF,

平分〃BC

LABD=乙DBC=-^ABC

2

?.?CO平分4/CF,￡.ACF=乙ABC+(BAC,

：.Z.ACD=乙DCF=-^LACF=-AABC+-ABAC.

222

VZ-DCF=乙DBC+乙BDC=-LABC+乙BDC,

2

1ii

：.-^LABC+Z,BDC=-/.ABC+-/.BAC

222

；.4BDC=：4BAC,故①錯誤；

CE平分乙4CB,

1

：.Z.ACE=-Z-ACB.

2

*：Z.ACB+Z.ACF=180°,

AZ.ACE+Z.ACD=90°,BRzECD=90°,

?"BEC=乙ECD+乙CDB=90°+乙CDB,

9：AB\\CD

：.Z.CDB=Z.ABD

?.乙BEC=90°+UBD,故②正確；

?.,2。平分乙4BC,

J.Z.CBA=2乙ABD=24BDC

,:乙BDC=L4BAC,

2

A/.CAB=MBA,故③正確；

過點(diǎn)。作DN_LBF于MDG14C于G,J.BM于H,如圖,

「CD平分N4CF,DN1BF,DGLAC,

：.DN=DG

：8。平分/48。，DGA.AC,DH1BM,

：.DN=DH

：.DG=DH

J.AD^lAABC外角NMAC的平分線，

/./.DAM=H4c=-/.MAC

2

V^LMAC=Z-ABC+乙ACB=2乙CBD+2乙BCE,

：.^DAC=Z.CBD+Z.BCE

U：Z-DAC+Z.ADB=乙DEC+乙BCE

：.Z.ADB=乙BCE,

9

：AB\\CDf

：ZABC=2DCF,

9：/LBCE=Z.ACE,Z.DCF=^ACD

:,乙ABC+乙ADB=AACD+/-ACE=乙DCE=90°

即乙408+乙4BC=90。，故④正確.

故選：c.

3.如圖，在△力8c中，Z718C=60°,4。、?！?分另1］平分234。,乙4。3,且交于點(diǎn)足貝1）下歹!|說法中024尸。=120°；

②SXABD=SXADC；③若4E=EB,則CE128；④CD+2E=aC；⑤S“EF：S^CDF=AE:CD.哪些是正確

C.①②④⑤D.①③④⑤

【思路點(diǎn)撥】

由N2BC=60°,得NZMC+Z.ECA=+Z.ACB)=60°,則乙4FC=120°,可判斷①正確；作DG1AB

于點(diǎn)G,加/14。于點(diǎn)8,則DG=DH,因?yàn)?8與4c不一定相等，SAABD與SAADC不一定相等，可判斷②錯

誤；延長CE到點(diǎn)K,使KE=CE,連接8K,可證明△BKE三△ACE,得NK=N4CE,BK=4C,而乙BCE=

/.ACE,所以Z_BCE=4K,則8K=BC,所以4C=BC,則CE1AB,可判斷③正確；在4C上截取4L=AE,

連接FL,可證明△4LFSAAEF,得N4FL=Z.AFE=60°,貝IkCTL=乙CFD,再證明△FLCSAFDC,得CL=

CD,則CD+4E=CL+AL=AC,可判斷④正確；由④可得AALF三AAEF,△FLC34FDC,由=絲=

S^FLCLC

告即可推出SAAEF：SACDF=4E:CD,可判斷⑤正確.

【解題過程】

解：'.'Z.ABC=60°,

4BAC+Z4CS=180°-^ABC=120°,

平分NBAC,CE平分〃CB,

11

AZ.DAC=-/-BAC,Z.ECA=-^ACB,

22

：.^DAC+AECA=|(NB4C+乙4CB)=60°,

/.Z./4FC=180°-{/.DAC+/-ECA)=120°,

故①正確；

如圖1,作DG14B于點(diǎn)G,DHLAC于點(diǎn)X,貝ljDG=DH,

,?工8與4C不一定相等，

：.^AB-DG^AC-OH不一定相等，

即：S—BD與$△/九不一^定相等，

故②錯誤；

如圖1,延長CE到點(diǎn)K,使KE=CE,連接BK,

在△BKE和△/(：￡*中，

KE=CE

乙BEK=Z.AEC,

、BE=AE

：.△BKE三△ZCE(SAS),

：.Z.K=LACEfBK=AC,

■:乙BCE=Z.ACE,

:?乙BCE=乙K,

：.BK=BC,

：.AC=BC,

：.CELAB,

故③正確；

如圖2,在47上截取/L=ZE,連接尸3

V/-AFC=120°,

：.Z.AFE=4CFD=180°-/.AFC=60°,

在△4LF和△AEF中，

AL=AE

Z.AEF=Z.EAF,

.AF=AF

：.△ALF三△ZEF(SAS),

AZ-AFL=^AFE=60°,

:.乙CFL=Z.AFC-Z,AFL=60°,

:?乙CFL=匕CFD,

在△FLC和△FOC中，

ZLCF=乙DCF

CF=CF，

/CFL=匕CFD

：.△FLC=AFDC(ASA),

JCL=CD,

：.CD^AE=CL+AL=AC,

故④正確；

由④可得，^ALF=^AEF,AFLC=^FDC,

圖2

?*S^ALF_絲_竺

S^FLCLCCD9

?二s：：：；=~CD9即S—E尸:S^CDF='E:CD,

故⑤正確，

正確的結(jié)論為①③④⑤，

故選：D.

4.如圖，在AABC中，BO、C。分另（］平分N4BC和N4CB,。。18（7于點(diǎn)￡）,OD=4,若ZkABC的面積為25,

則AABC的周長為.

/X

BDC

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，過點(diǎn)。作0E，4垂足為E,過點(diǎn)。作。F14C,

垂足為尸，連接4。，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得。。=0E=OF=4,然后根據(jù)三角形的面積公式列式即可，熟

記性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：過點(diǎn)。作。E14B,垂足為E,過點(diǎn)。作。F14C,垂足為尸，連接4。，

：.0D=0E=4,

?1。平分乙4。8,0D1BC,OFLAC,

：.0D=OF=4,

ABC的面積為25,

408的面積+△BOC的面積+△40c的面積=25,

：.-AB-OE+-BC-OD+-AC?。尸=25,

222

：.AB-OE+BC-OD+AC-OF=50,

：.4(AB+BC+AC)=50,

：.AB+BC+AC=12.5,

.?.△48。的周長為12.5,

故答案為：12.5.

5.如圖，在44。8的邊。4OB上取點(diǎn)M,N,連接MN,PM平分Z71MN,PN平分乙MNB,若MN=2,APMN

的面積是2,AOMN的面積是8,則A0MN的周長是.

ONB

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了角平分線的性質(zhì)，過P作PHLMN與H,PKJ.OB于K,PL14。于3連接P0,利用角平分線

的性質(zhì)和三角形的面積可得PK=PL=PH=2,根據(jù)△OMN的面積+△PMN的面積=△POM的面積+△

PON的面積，進(jìn)行計(jì)算即可求出。M+ON=10,進(jìn)而得到A0MN的周長，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形

添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：過P作PHJ.MN與H,PKJ.OB于K,PL1AO^L,連接P。，

平分N4MN,PN平分乙MNB,

：.PL=PH,PK=PH,

：.PL=PK,

-1

,:MN=2,APMN的面積,PH=2,

：.PH=2,

：.PK=PL=2,

,/APOM的面積=|OM-PL,△PON的面積=^ON-PK,

；.△OMN的面積+APMN的面積=△POM的面積+△PON的面積=[CW-PL+^ON-PK=|(OM+ON)-

PK=8+2,

+ON)x2=10,

：.OM+ON=10,

.?.△。M可的周長=OM+ON+MN=10+2=12,

故答案為：12.

6.如圖，在AABC中，D,E分另(]是邊力C,BC上的點(diǎn)，SLAD=2CD.BC=4EC,連接BD、4E交于點(diǎn)力F

的平分線交BD于點(diǎn)G,且4B:AF=2:1,若AAGF的面積為4,則圖中陰影部分的面積為.

A

【思路點(diǎn)撥】

本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形的面積比，連接CF,根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得點(diǎn)G到4的距離相

等，則可得AABG的面積，再根據(jù)40=26,求得ACFB的面積，根據(jù)8c=4EC求得ABFE和△CEF的面

積，即可求得△ABC的面積，最后求得ACDF的面積，即可求得四邊形CDFE的面積，即可解答，熟練根據(jù)

底邊之比進(jìn)行三角形面積的轉(zhuǎn)換是解題的關(guān)鍵.

【解題過程】

解：如圖，連接CF,

二點(diǎn)G到4B,4F的距離相等,

AB\AF=2:1,

S—BG：S-FG=2:1,

???△/GF的面積為4,

^LABG=8，

???AD=2m

SfBO=2s△BCO，SLADF=2s△COF，

SfBO—S—OF=2s△RCO-2S&CDF，

即S-BF=2S〉CBF，

S^BFC=6,

??,BC=4EC,

133

，?S〉FEC=0AFBC=2fS4BEF=

S^ABE=S〉A(chǔ)BF+尸=F

3

4S?ABC—^LABE，

?',S“BC=22，

，?^^ACF=^AABC~^AABF~SMBF=%

14

?',S^DCF~3^LAFC~"

???陰影部分的面積為:+:=￥,

236

故答案為：三.

6

7.如圖，在Aaoc和AB。。中，OA=OB,OC=OD,OA<OC,AAOB=/.COD=36°.連接AC,BD交于

點(diǎn)M,連接。M.則在下列結(jié)論中：①N2MB=36。，②AC=BD,③若。B平分乙4OM,則AOECmAOM。,

@AO||BD.正確的結(jié)論有（填序號）

C

【思路點(diǎn)撥】

由題意易證AZOC三△BOD(SAS),即得出乙4=NB,AC=BD,故②正確；結(jié)合4。瓦4=NME8,即可求

出乙4MB=乙4。8=36。，故①正確；由角平分線的定義可知乙40B=NBOM,從而可證NC。。=NBOM,

進(jìn)而可證NMOD=乙EOC.即可利用“ASA”證明△OEC三4OMD故③正確；過點(diǎn)O作。G14C于點(diǎn)G,OH1

BD于點(diǎn)”，易證AAOG三ABO/KAAS),即得出OG=。"，說明。M平分乙4MD,即N力MO=NDM。.假設(shè)

AO||BO成立，得出乙M2。=Z.AMB=Z.AOB=乙MBO=36°,從而可求出N2MD=144°,進(jìn)而可證。8平

分N40M.因?yàn)椴淮_定OB平分N40M,AO||BD不一定成立，故④錯誤.

【解題過程】

解:'：AAOB=ACOD=36°,

：.AAOB+Z.BOC=乙COD+NBOC,即N40C=乙BOD.

在Aaoc和AB。。中，

'AO=BO

ZXOC=乙BOD,

.CO=DO

△AOCSABOD(SAS),

.??N4=AB,AC=BD,故②正確;

,：/LOEA=乙MEB,

J.Z.AMB=180°-ZB-Z.MEB=180°-/.A-^OEA=/.AOB=36°,故①正確;

?.,若。B平分"OM,

：.^AOB=乙BOM.

V/.AOB==36°,

J./-COD=乙BOM,

:.乙COD+Z.COM=4BOM+乙COM,即NM。。=4EOC.

V△AOCmAB。。，

Z-D=zC.

又：OD=OC,

：.△OECdOMD(ASA),故③正確；

如圖，過點(diǎn)。作。G于點(diǎn)G,OHLBD于點(diǎn)、H,

o

/.OGA=乙OHB=90°

N04G=AOBH,

.AO=BO

：.AAOG=A50W(AAS),

：.OG=OH,

；.OM平分乙4MD,即乙4M。=4DMO.

假設(shè)力。IIBD成立,

."MA。=Z.AMB=Z.AOB=乙MBO=36°,

：.^AMD=180°-^AMB=144°,

J.2LAMO=乙DMO=-^AMD=72°,

2

???乙4OM=180°-/LMAO-Z.AMO=72°,

：.Z-EOM=AAOM-4AOB=36°,

J.Z.AOB=/.EOM,即。8平分〃OM.

:不確定。B平分乙4?！?，

.,.AO||B￡）不一定成立，故④錯誤.

故答案為：①②③.

7.如圖，在AaBC中，ZX=6O℃ZXBC>^A）,角平分線8D、CE交于點(diǎn)O,。尸_L2B于點(diǎn)F.下列結(jié)論；

①SHBOC：SHBOE=BC:BE；@Z.EOF=/.ABC—Z.A；③BE+CD=BC；④S四邊形BED。=2SABOC+SAEDO，其

中正確結(jié)論是

【思路點(diǎn)撥】

過點(diǎn)。作。G1BC于點(diǎn)G,由角平分線的性質(zhì)定理可得。F=OG,然后結(jié)合三角形面積公式即可判斷結(jié)論①;

首先求得NBOE=60。，假設(shè)N4BC=80°,則N0B4=40°,可求得NEOF=10°,再根據(jù)-乙4=20°,

即可判斷結(jié)論②；在BC上截取BM=8E,連接。M,分別證明ABOE三A80M和AC。。三ACOM,由全等

三角形的性質(zhì)可得CD=CM,即可判斷結(jié)論③；由全等三角形的定義和性質(zhì)易得SABOE=SABOM，S^OD=

SACOM，可知SABOE+SACOD=^ABOM+^ACOM=^ABOC）即可判斷結(jié)論④。

【解題過程】

解：如下圖，過點(diǎn)。作。G1BC于點(diǎn)G,

平分N4BC,OFLAB,OG1BC,

：.0F=OG,

??S^BOC：SABOE=QBCxOG:-BExOF=BC:BE,

故結(jié)論①正確；

???乙4=60°,

：ZABC+/-ACB=180-4/=120°,

?「BO平分448C,CE平分

：.^OBA=乙OBC=-/-ABC,Z.OCA=Z.OCB=-^ACB,

22

工人BOE=Z.OBC+乙OCB=|(zXBC+乙ACB)=60°,

設(shè)448c=80°,貝=^ABC=40°,

VOF1X5,

:?乙BOF=90°-Z.OBA=50°,

:?乙EOF=乙BOE一乙BOF=60°-50°=10°,

^：Z.ABC—=80°-60°=20°,

Z-EOF豐Z-ABC—Z-A,

故結(jié)論②錯誤；

在BC上截取=連接OM,

在△80E和ABOM中，

'BE=BM

乙OBE=乙OBM,

OB=OB

：.△BOE三ABOM(SAS),

：.OE=OM,(BOM=乙BOE=60°,

?:(COD=乙BOE=60°,Z.COM=180°-(BOE一乙BOM=60°,

：.z.COD=zCOM,

...在△。。0和4COM中，

NOCD=Z.OCM

OC=OC,

ZCOD=/.COM

：.△CODSACOM(ASA),

:.CD=CM,

：.BE+CD=BM+CM=BC,

故結(jié)論③正確；

「△BOE三△BOM,△CODSACOM,

'?SABOE=S^BOM，SACOD=^ACOM，

,,S^BOE+S^COD-SABOM+SACOM=S&BOC,

,=SABOE+S^COD+S^BOC+S&EDO=2SABOC+S^EDO'

故結(jié)論④正確.

綜上所述，結(jié)論正確的為①③④.

故答案為：①③④.

8.如圖，△力BC中，點(diǎn)D在邊BC延長線上，乙4cB=100。，N4BC的平分線交4。于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作EH1BD,

垂足為H,且NCEH=50°.

(1)求證：4E平分NG4F；

(2)直接寫出乙4E8的度數(shù)；

(3)若4C+CD=14,AB=8.5,且SAACD=21,求△ABE的面積.

【思路點(diǎn)撥】

(1)過E點(diǎn)分別作EM1BF于M,6可14。與可，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可證得EM=EN,進(jìn)而可證明結(jié)論;

(2)設(shè)乙4BE=x,分別表示出乙B4C=80°-2x,ACAE=X+50°,求出NBAE=130°-x,再利用三角

形內(nèi)角和定理計(jì)算；

（3）利用三角形的面積公式可求得EM的長，再利用三角形的面積公式計(jì)算可求解.

【解題過程】

(1)解：???乙ACB=100°,

???乙ACD=180°-100°=80°,

???EH1BD,

???Z,CHE=90°,

???乙CEH=50°,

??.Z.ECH=90°-50°=40°,

:.乙4CE=80°-40°=40°；

過E點(diǎn)分別作EM1于M,EN14c與N,

???BE平分乙4BC,

??.EM=EH,

???Z.ACE=Z.ECH=40°,

???CE平分乙4cO,

??.EN=EH,

??.EM=EN,

???4E平分4C/尸；

(2)設(shè)=%,

?.?BE平分乙ZBC,

:.乙ABC=2/-ABE=2x,

V/-ACH=/.ACE+乙ECD=80°,

A^LBAC=^ACD-/-ABC=80°-2%,

VZ.CAF=乙ABC+Z.ACB=2%+100°,4E平分乙CZF,

：.Z-CAE=-/LCAF=X+50°,

2

：.Z-BAE=Z.BAC+^CAE=80°-2x+x+50°=130°-x,

Z.AEB=180°-4BAE-/.ABE=180°-(130°-x)—x=50°；

故答案為:50°；

(3)vAC+CD=14,S-CD=21,EM=EN=EH,

1-11

S-CD=SAACE+S&CED=\AC-EN+\CD-EH=*"+CD)?EM=21,

即［x=21,

解得EM=3,

???AB=8.5,

S*BE=?EM=；*8.5x3=中.

9.如圖，NC4B和NCBA的角平分線AF,BD相交點(diǎn)P,ZC=60°.

(2)求證：PD=PF；

(3)若Z718C=80。，求證：AP=BC.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)角平分線的定義可得NP4B=1NC4B,^PBA=^CBA,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理即可求出乙4PB

的度數(shù).

(2)過尸作PELAB,PG1AC,PH1BC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得PH=PG,再證NPGD=乙PHF，4DPG=

/.FPH,根據(jù)ASA證明△PDG=△PFH即可得PD=PF.

(3)作/^8。的平分線交4。于點(diǎn)N,由力F平分和平分NCB4BN平分NCBD,可得NPAD=乙CBN=

20°.易證NDP4=NC=60。，由等邊對等角可得￡M=BD=BN,由此得D4=BN,根據(jù)AAS可證△

APD^^CBN,因此可得4P=BC.

【解題過程】

(1)■：AF,8D分另IJ平分Z.C4B和NCB4

4PAB=-/.CAB,乙PBA^-/.CBA,

22

乙APB=180°-(4PAB+乙PBA)

=180°-6Z.CAB+1CBAj

=180°-(180°-ZC)

=120°.

(2)如圖，過尸作PE_L48,PGLAC,PHIBCf

c

vAF,80分另U平分4G48和

：.PE=PG,PE=PH,

??.PH=PG,

???PHIBC,PGJ_ZC,

???乙PGC=乙PHC=90°,

???乙GPH=360°-90°-90°-60°=120°,

???乙GPH=乙APB=120°=乙DPF,

???乙DPG=乙FPH,

在APOG和中，

2PGD=乙PHF

PG=PH,

ZDPG=Z.FPH

??.△POG三△PF”(ASA),

??.PD=PF.

(3)如圖，作乙C80的平分線交ZC于點(diǎn)N,則乙CBN=^DBN=3乙CBD,

c

?：^ABC=80°,BD平分4ABC,

???乙CBD=Z.ABD=-/.ABC=三x80°=40°.

22

?；BN平分乙CBD,

???乙CBN=乙DBN=上乙CBD=ix40°=20°.

22

,.?△ZBC中,Z-ABC=80°,4c=60。,

???乙CAB=180°-60°-80°=40°.

尸平分4C4B,

i-1

???乙DAP=乙PAB=-/.CAB=-x40°=20°,

22

:.乙CBN=乙DAP,

???ADPA=Z.PAB+乙PBA=20°+40°=60°,

???乙DPA=Z-C,

???乙CAB=乙ABD=40°,

???AD=BD,

VZ-BDC=匕CAB+4ABD=80°,

???(ANB=ZC+乙CBN=60°+20°=80°,

AZ-ANB=Z-BDC,

???BD=BN,

???AD=BN,

在△/PO和ABCN中，

/.PAD=心CBN

乙4Po=ZC,

.AD=BN

???△4PD三ZkCBNSAS),

???AP=BC.

10.如圖，在△ABC中，4D為BC邊上的高，AE是NB4D的角平分線，點(diǎn)廠為4E上一點(diǎn)，連接BF,乙BFE=45°.

(1)求證：BF平分乙4BE；

(2)連接CF交力D于點(diǎn)G,若SAMF=SACBF，求證：乙4FC=90。；

(3)在(2)的條件下，當(dāng)BE=3,4G=4.5時，求線段4B的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)4E是NB4D的角平分線和NBFE=45。得24FBA+2NB4F=90。，再結(jié)合4D為BC邊上的高得出

Z.EBF=即可證明；

(2)過點(diǎn)/作FM1BC于點(diǎn)M,FN14B于點(diǎn)N,證明△力BF三&CBF,得出乙4FB=乙CFB,再根據(jù)NBFE=

45°,解出乙4FB=LCFB=135。即可證明；

(3)根據(jù)AABFw/kCBF及力。為BC邊上的高證明A4FGWACFE,得出4G=EC=4.5,再根據(jù)BE=3,

解得BC=BE+EC=7.5,結(jié)合△ABF=△CBF即可求出力B=BC=7.5；

【解題過程】

(1)證明：???4E是NB4D的角平分線，

.-./.BAD=2Z.BAF.

???乙BFE=45°,

???Z.FBA+乙BAF=45°.

.-.2Z.FBA4-2乙BAF=90°.

40為BC邊上的高，

.-.Z.EBF+Z.FBA+2Z.BAF=90°.

Z.EBF=/.FBA.

：.BF平分N4BE.

(2)過點(diǎn)尸作FM1BC于點(diǎn)M,FN14B于點(diǎn)N,

A

???BF平分且FMJLBC,FNLAB,

:.FM=FN.

S>ABF=SACBF，

???AB=BC,

???B尸平分乙4BE,

:.乙ABF=Z-CBF,

AB=BC

在^ABF^\LCBF中，4ABF=乙CBF

BF=BF

???△48尸三△CBF(SZS),

???Z-AFB=乙CFB,

???乙BFE=45°,

???Z.AFB=乙CFB=135°,

???Z.AFC=90°,

(3)?:〉A(chǔ)BFWXCBF,

/.AF=FC./-AFC=90°,

???Z-AFC=Z-EFC,

???40為BC邊上的高，

???AADE=90°,

???Z-EAD+Z-AEC=Z-FCE+Z.AEC,

???Z.EAD=乙FCE.

ZEAD=乙FCE

在△AFG和△CFE中，AF=CF

./.AFC=乙EFC

AFG三XCFECASA).

??.AG=EC=4.5,

??,BE=3,

BC=BE+EC=7.5,

???△ABF=△CBF,

??.AB=BC=7.5.

11.【問題情境】在AaBC和ADEC中，AC=BC,DC=EC,^ACB=Z.DCE=90°.

圖1圖2圖3

(1)【初步探究】如圖1,當(dāng)點(diǎn)A,C,。在同一條直線上時，連接BD、AE,延長力E交BD于點(diǎn)凡貝以后與

BD的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

(2)【類比探究】如圖2,當(dāng)點(diǎn)A、C、。不在同一條直線上時，連接2E交DC于點(diǎn)連接交4E于點(diǎn)R

(1)中結(jié)論是否仍然成立，為什么？

(3)【衍生拓展】如圖3,在(2)的條件下，連接CF并延長CF交4。于點(diǎn)G,乙4FG的大小固定嗎？若固

定，求出乙4FG的度數(shù)；若不固定，請說明理由.

【思路點(diǎn)撥】

(1)證明AACE三△BCD,得到41=/2,由對頂角相等得到N3=乙4,所以NBFE==90。，即可

解答；

(2)證明AACE三△BCD,得到41=乙2,又由N3=44,得至！JNBFA==90。，即可解答；

(3)/.AFG=45°,如圖3,過點(diǎn)C作CM1BD,CN1AE,垂足分別為M、N,由AACE三△BCD,得到

SXACE=SABCD，AE=BD,證明得到CM=CN，得到CF平分NBFE，由4F_LBD，得到NBFE=90。，所以

NEFC=45。，根據(jù)對頂角相等得到〃1FG=45。.

【解題過程】

(1)證明：如圖1,

B

在△ACE和△BCD中,

(AC=BC

\/-ACB=乙ECD=90°,

(EC=DC

ACE三△BCD(SAS),

Z1=z2,AE=BD,

z3=z4,

???乙BFE=Z.ACE=90°,

???AE1BD；

故答案為：AE=BD,AE工BD；

(2)解：成立，證明：如圖2,

圖2

Z-ACB=乙ECD,

Z-ACB+Z-ACD=Z-ECD+Z-ACD?

Z.BCD=Z.ACE,

在△ACE和△BCD中，

AC=BC

Z-ACE=乙BCD,

EC=DC

ACE=△BCD(SAS),

Z.1=Z.2,AE=BD,

vz3=z4,

???乙BFA=乙BCA=90°,

???AF1BD；

(3)^AFG=45°,

如圖3,過點(diǎn)。作CM_L80,CNLAE,垂足分別為M、N,

圖3

??,△ACE=△BCD,

?*,LACE=S^BCDF"E=BD,

ii

-S*CE=~AE.CN,SABCD=*?CM,

???CM=CN,

vCM1BD,CNLAE,

???CF平分4BFE,

??,AF1BD,

???Z-BFE=90°,

???(EFC=45°,

???Z-AFG=45°.

12.在△ABC中，^BAC=60°,線段B9、CE分別平分N/BC、乙/CB交于點(diǎn)G.

D

N

AA

(1)如圖1,求NBGC的度數(shù)；

(2)如圖2,求證：EG=FG；

(3)如圖3,過點(diǎn)C作CD1EC交BF延長線于點(diǎn)。，連接力。，點(diǎn)N在B4延長線上，連接NG交4C于點(diǎn)M,

使=NNGD,若EB:FC=1:2,CG=10,求線段MN的長.

【思路點(diǎn)撥】

(1)根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出N48C+乙4cB=120。，根據(jù)BF平分N48C、CE平分乙4CB,得出NG8C=

乙GBE=L/_ABC,/-GCB=Z.GCF=-/.ACB,求出NGBC+ZGCB=60。，根據(jù)三角形內(nèi)角和得出NBGC+

22

Z.GBC+Z.GCB=180°,即可求出結(jié)果；

(2)作GH平分NBGC交8c于點(diǎn)H,證明△BGE三△BGH,得出EG=GH,證明△CGF三△CGH,得出FG=GH,

即可證明結(jié)論；

(3)作DP1BC交BC延長線于點(diǎn)P,作DQ1&B交B4延長線于點(diǎn)Q,作。R14C于點(diǎn)R,證明CO平分乙4CP,

根據(jù)DR1AC,DP1BC,得出DR=DP,根據(jù)BF平分N4BC,DR1AC,DQLAB,得出DP=DQ,證明

DR=DQ,證明△NEG三△CFG,得出NG=CG=10,證明△BEG三△MFG,得出BE=MF,作FL1NG于

點(diǎn)、L,FKLCG于點(diǎn)K,GWLMC于點(diǎn)卬，根據(jù)S^MGF=?FL=?GW,SACGF^GC-FK^FC-

GW,得出蜉=整=9，求出MG=5即可得出答案.

GCFC2

【解題過程】

(1)解：在△4BC中，/LBAC+^ABC+^ACB=180°,

,/^BAC=60°

：.^ABC+^ACB=120°,

平分N4BC、CE平分NACB,

：.AGBC=乙GBE=-/.ABC,乙GCB=zGCF=-/.ACB,

22

：.AGBC+/LGCB=60°,

在△BGC中，^BGC+Z.GBC+Z.GCB=180°,

:?乙BGC=120°.

(2)解：作G"平分MGC交BC于點(diǎn)”，如圖所示：

:.乙BGH=乙CGH=60°,

?:乙BGE=Z.CGF=Z.GBC+乙GCB=60°,

"BGH=乙CGH=乙BGE=(CGF,

?:乙GBC=LGBE,BG=BG

??△BGE=△BGH,

：.EG=GH,

■:乙GCH=^GCF,CG=CG,

：.△CGF=△CGH,

：.FG=GH,

：.EG=FG；

(3)解：作。218。交8。延長線于點(diǎn)2，作。、148交84延長線于點(diǎn)、，作。/?14。于點(diǎn)/?,如圖所示:

CE平分乙/CB,

：.^LACB=2Z.ACE,

VCD1EC,

:.乙ECD=90°,

???乙4CE+乙4co=90°,

u：Z.ACB-VZ.ACP=180°,

：.^ACP=2Z.ACD,

：.CO平分乙4CP,

〈ORI",DPIBC,

：.DR=DP,

9平分々ABC,DRLAC,DQLAB,

：.DP=DQ,

：.DR=DQ,

???/O平分4/C,

VLBAC=60°,

???乙DAQ=^DAC=60°,

：.^NGD=ADAC=60°,

由（1）得上BGC=120°,

:.乙BEG=乙FGC=180°-乙BGC=60°,

VGF=/.ABF+乙BNG=60°,

（FGC=乙FBC+乙ECB=60°,

/-ABF=乙FBC,

?"BNG=乙ECB,

?:乙ECB=Z.ACE,

C.Z.ACE=乙BNG,

由(2)得EG=FG,

「?△NEG三△CFG,

：.NG=CG=10,

乙NEG=乙CFG,

■:乙NEG+乙BEG=180°,

乙CFG+Z.MFG=180°,

A/-BEG=4MFG,

MBEGexMFG,

：.BE=MF,

?；BE:FC=1:2,

：.MF\FC=1:2,

作FLING于點(diǎn)3FK_LCG于點(diǎn)K,GW1MC于點(diǎn)W,

VZ.MGF=乙CGF=60°,

：.FK=FL,

S^GF=IMG-FL=^MF-GW,

11

SLCGF=\GC-FK=\FC-GW,

.MG_MF_1

??GC-FC-2’

：.MG=5,

：.MN=NG-MG=5.

13.已知△ABC中，BE平分/ABC,BE交AC于點(diǎn)E,CO平分NACB,交AB于點(diǎn)D,BE與CD交于點(diǎn)0.

(1)如圖1,求證：^BOC=90°+1z^C.

圖1

(2)如圖2,連接0A,求證：。4平分NB2C.

圖2

(3)如圖3,若乙8"=60。，BD=4,CE=2,求器的值.

【思路點(diǎn)撥】

(1)由角平分線的性質(zhì)得出NOBC=［乙48C,LOCB乙ACB,由三角形的內(nèi)角和定理得出乙4BC+

Z.ACB=180°-/LBAC,Z.BOC+^OBC+Z.OCB=180°,代入即可得出結(jié)論；

(2)過點(diǎn)。作。N_LBC于N,OMLAB^M,OK_LAC于K,證明。M=OK,則點(diǎn)。在NB4C的平分線上，

即可得出結(jié)論；

(3)過點(diǎn)B作，CD交CD的延長線于點(diǎn)H,過點(diǎn)。作。F平分NBOC交BC于點(diǎn)F,過點(diǎn)。作。N1BC于N,

0Ml力B于M,證明NBOF=NBOD,ACOF=ACOE,由角平分線的性質(zhì)得出NOBF=NOBD,AOCF=

乙OCE,由ASA證得△BOFBOD,BF=BD=4,由ASA證得△COFCOE,CF=CE=2,求出BC=6,

由SABOD：SABOC=^OD-BH-.^OC-BH=OD.OC,ShB0D：S^B0C=^BD-OM-.^BC-ON=BD-.BC,進(jìn)行計(jì)算

即可得出結(jié)論.

【解題過程】

⑴證明：rBE平分4BC,CD平分NACB,

AOBC=-2LABC,^OCB=-^ACB,

22

???Z.ABC+Z,ACB+ABAC=180°,

???/-ABC+^ACB=180°-^BAC,

???乙BOC+乙OBC+乙OCB=180°,

???乙BOC=180°-(乙OBC+乙OCB)

=180°一乙ABC+|44CB)

1

=180°--(/LABC+乙ACB)