2024年中考數學壓軸題專項訓練：和長度有關的最值（含解析）

和長度有關的最值

1.如圖，一只螳螂在樹干的點A處，發(fā)覺它的正上方點B處有一只小蟲子，螳螂想捕到這只蟲子，但又怕

被發(fā)覺，于是就繞到蟲子后面吃掉它，已知樹干的半徑為10CM,A，3兩點的距離為45cm,求螳螂爬行

的最短距離（口取3）.

【解析】解：將圓柱形樹干的側面如圖所示綻開，依據兩點之間線段最短，可得AB即為螳螂爬行的最短距

離

AF=2幾X10心60cm,BF=45cm

；?AB=y/AF^+BF2=A/602+452=75cm

答：螳螂爬行的最短距離為75cm.

2.如圖，在處△ABC中，ABC=90，NBAC的平分線AD交5c于。；若DB=3，點P為AC邊

上的動點，求。尸長度的最小值.

【解析】解：由點P是AC上的動點，要使DP的長度最小，依據點到直線垂線段最短,

.-.DP±AC,如圖所示:

A

：AD平分/BAC,ZABC=90°,

；.BD=DP,

VBD=3,

/.DP=3,

即DP的最小值為3.

3.如圖，AABD是邊長為2的等邊三角形，點C為AB下方的一動點，ZACB=90°.

(1)若NA5C=30°，求CD的長；

(2)求點。到A5的最大距離；

(3)當線段CD的長度最大時，求四邊形ACBD的面積.

【解析】(1)是等邊三角形，ZDBA=6Q°

又ZABC=30°

.-.ZDBC=90°

?；NAC3=90°,AB=2

=AB=2,AC=gAB==722-l2=如

:.CD=VfiC2+BD-=V3+4=A/7；

⑵取AB的中點E，連接CE

:ZACB=90°,AB=2,

CE=-AB=\.

2

又點C為AB下方的一動點，

,當A3時，點。到A3的距離最大為1

(3)連接DE

ABD為等邊三角形，

..DE±AB.

BD=AB=2

DE=y/BD-BE=^/4^1=G

依據三角形三邊關系CD<CE+DE=1+V3

即C,。,石共線時，CD最大,

.?.CD的最大長度為1+G

此時CD,AB,四邊形ABC。的面積為gA3.CD=gx2><(l+G)=l+6.

4.已知拋物線丁=。(％-1)(X-3)(。片0)與丁軸交于點0,且00=3.

(1)求拋物線的解析式及頂點。的坐標；

(2)若”(石，弘)，N(5,%)均在該拋物線上，且為＜為，求"點橫坐標七的取值范圍;

(3)點尸為拋物線在直線3C下方圖象上的一動點，當AP5C面積最大時，求點P的坐標.

【解析】解：⑴把(0,3)代入y=a(x—l)(x—3),

即3a=3,解得：a=l,

故拋物線的表達式為：y=f—4%+3,

y=x1-4x+3=(x-2)2-1

則頂點。(2,-1).

(2)由(1)知拋物線的對稱軸％=2,

所以點N關于x=2對稱點2(-1,y2)在拋物線上

；%<%%的取值范圍為T<%<5

(3)令y=0,即y=f-4彳+3=0,

解得xi=l,X2=3,

AC(3,0)

將點3、C的坐標代入一次函數表達式：y=mx+n

0

得13m+On=

n=3

m=-l

解得：］c

n=3

???直線3。的表達式為：y=-x+3,

過點。作了軸的平行線交BC于點、H,

設點P（尤,丁-4%+3）,則點H（x,-x+3）,

??PH——x+3—尤？+4-x—3——龍？+3%

13

2

^SM,BC^--PHXOB=-（-X+3X）,

33

,**——<0,故S^PBC有最大值，止匕時％=

3_3

故點p2，-4

5.某班級在探究“將軍飲馬問題”時抽象出數學模型:

直線/同旁有兩個定點A、B,在直線/上存在點P,使得PA十PB的值最小.解法：如圖1,作點A關于直

線/的對稱點A',連接A'B,則A'B與直線/的交點即為P,且PA+PB的最小值為A'B.

圖1圖2圖3

請利用上述模型解決下列問題;

(1)如圖2,AABC中，ZC=90°,E是AB的中點，P是BC邊上的一動點，作出點P,使得PA+PE的值最

小；

(2)如圖3,ZA0B=30°,M、N分別為OA、0B上一動點，若0P=5,求APMN的周長的最小值.

【解析】(1)作點A關于直線BC的對稱點A，連接AE,交BC于P,

如圖所示，點P即為所求;

(2)作點P關于直線0A的對稱點F,作點這P關于直線0B的對稱點G,連接尸G,分別交OA、0B于M、

N,如圖:

依據“將軍飲馬問題”得到APMN的周長的最小值為FG,

由軸對稱的性質得：NFOA=NAOP,ZPOB=ZGOB,OP=OF,OP=OG,

VZA0P+ZP0B=ZA0B=30°,0P=5,

ZFOG=ZFOA+ZAOP+ZPOB+ZG0B=2x30°=60°,0F=0G=5,

/.△FOG為邊長為5的等邊三角形，

FG=5,

答：APMN的周長的最小值為5.

6.如圖，在平面直角坐標系中，4(0,1)、8(2,0)、C(0,-2),連接BC,點P是x軸上隨意一點，連

接AP，求+的最小值.

2

【解析】解：如圖，過點A作5C的垂線，垂足為點。，與x軸交于點p.

VA（O,1）,3（2,0）、C（0,-2）,

.?.04=1,OB=OC=2.

；?05。為等腰直角三角形.

/.ZOBC=45°.

/.PA+—PB=PA+PD=AD.

2

；ADIBC,

此時的值最小，最小值為AD的長.

2

VAC=OA+OC=3,NOCB=45°,

?23近

??AD-AC—------?

22

PA+—PB的最小值為述.

22

7.如圖1,在平面直角坐標系中有長方形勿比；點C(0,4),將長方形的8c沿/C折疊，使得點6落在點，

處，切邊交x軸于點區(qū)ZOAC=30°.

(1)求點，的坐標;

(2)如圖2,在直線AC以及y軸上是否分別存在點%N,使得△用W的周長最小？假如存在，求出△覬V

周長的最小值；假如不存在，請說明理由；

(3)點尸為y軸上一動點，作直線/尸交直線切于點0,是否存在點尸使得△h0為等腰三角形？假如存

在，懇求出//戶的度數；假如不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)???四邊形是矩形,

：.0C=AB=\,

,：Z0AC=30°

：.AC=2CO=8,AO=6CO=46Z.CAB=60°,

..?長方形OABC沿AC折疊，使得點8落在點，處,

：.AQ4B=4,/。。=60

；./物。=30°,

如圖1,過點，作加U/。于凡

圖1

,：DFLAO,/物。=30°,

.?.加/k2,AF=6DF=2上,

：.OF=AO-AF=2,yj3，

.?.點。坐標（2出，-2）；

（2）如圖2,過點￡作了軸的對稱點G,過點￡作/C的對稱點〃，連接力交了軸于點兒與4C交于肱即

△加的周長最小值為GH,

：/如。=30°,A9=4,/ADC=9Q°

.?./￡=迎1,

3

OE=,

3

,/點G,點E關于y軸對稱，點￡,點〃關于AC對稱,

.?.點G（-逋，0）,點〃（更，4）

33

.廣口[~4^/38^/32二八2o

——1-)2+(0-4)-=8,

；.△小的周長最小值為8；

(3)存在點尸使得△少0為等腰三角形,

'：ZACB=ZACD=30°,

：.ZOCE=30°,

①若CP=CQ,如圖3,

YCP=CQ,ZOCE=30°,

：.ZCPQ=75°,

：.ZOAP=90°-/CPg\5

②若國=8時，如圖4,

'：CQ=PQ,

:■/QPC=/PCQ=3G°，

如々90°-/(W=60°；

③若g圖如圖5,

：.ZPCQ=ZPQC=3Q°,

.?.ZftP4=60°,且/。。=60°,

???不存在這樣的點R

綜上，滿意條件的點P存在，并且/OAP=15°或60。.

8.如圖1,直線A3分別與坐標軸交于點A（O,T）和點3（—3,0）,C點的坐標是（2,0）.點。是直線A3

上的一個動點，以。C為邊在DC一側作正方形CDE尸（C、D、E、R四點始終為逆時針依次）

（1）求直線A3的解析式;

（2）當正方形CDER的一個頂點恰好落在?軸上時（。點除外），求出對應的。點的坐標；

（3）如圖2,ZMDN=45°,且NMDN的兩邊分別交邊跖和FC于"、N兩點，連接MN,在點。

運動的過程中，當一的周長最小時，干脆寫出對應的點。的坐標和oRWN周長的最小值.

【解析】（1）設直線/解析式為y=履+優(yōu)

A,3兩點在直線/上,

,4

6=-4,k-----,

3

4

的解析式：y=——x-4

3

（2）正方形頂點尸落于y軸上，且c點橫坐標為2,

.?.￡）點縱坐標為2,

49

將y=2,代入y=----%一4中，得％=一一.

32

（3）將ADCN向左旋轉90。得到ADEQ,

CD=DE,-Q,E,R三點一線，

DMN=45°,ZQDM=ZEDM+ZCDN=45°,

在ADMQ和ADMN中，

DM=DM

<ZQDM=NNDM,

DQ=DN

MJMQ=ADMN(SAS),

：.MN=QM=EM+CN,

:.NFMN周長=FM+FN+MN=2CD,

在點。運動的過程中，的周長存在最小值.

即讓CD最短即可，C點到直線/最短距離為垂線段長度,即CD，/即可,

3

???直線CD的斜率一，

4

3

設直線。解析式為y=-x+b,

3

1?直線CD經過C點，代入C點坐標得。=—-,

2

33

直線CD解析式為丁=——x——,

42

直線CD與/的交點為(—l，-y),

故點-時，AFMN周長有最小值為8.

9.如圖,在矩形ABCD中,AB=2,E為BC上一點，且BE=1,ZAED=90°,將“AED繞點E順時針旋轉得到AA'ED'，

A，E交AD于P,WE交CD于Q,連接PQ,當點Q與點C重合時，.AED停止轉動.

(1)求線段AD的長；

(2)當點P與點A不重合時，試推斷PQ與的位置關系，并說明理由；

(3)求出從起先到停止，線段PQ的中點M所經過的路徑長.

【解析】解：⑴VAB=2,BE=1,ZB=90°,

，AE={AB?+BE?=722+12=小，

YNAED=90°,

AZEAD+ZADE=90°,

???矩形ABCD中，NABC=NBAD=90°,

ZBAE+ZEAD=90°,

???NBAE=NADE,

???AABE^ADEA,

AD_AE

AE-BE

.AD45

飛F

???AD=5；

(2)PQ〃A，D，，理由如下：

VAD=5,AE=5NAED=90°

???DE=《DA2-A石2=衣—(后=2非,

\?AD=BC=5,

AEC=BC-BE=5-1=4,

過點E作EF±AD于點F,

則NFEC=90°,

,/NA'ED'=NAED=90

???NPEF=NCEQ,

VZC=ZPFE=90°,

???APEF^AQEC,

.EPEF2_1

"EQ-EC_4-2"

..EA__EA_j5__l

'ED~ED~2y/5~2'

.EPEA

??=T,

EQED

；.PQ〃A，W；

(3)連接EM,作MN_LAE于N,

由(2)知PQ〃A'D,,

.,.ZEPQ=ZA/=ZEAP,

又「△PEQ為直角三角形，M為PQ中點，

APM=ME,

AZEPQ=ZPEM,

VZEPF=ZEAP+ZAEA,,NNEM=NPEM+NAEA'

；.NEPF=/NEM,

又；NPFE=NENM-90°,

.'.△PEF^AEMN,

,NMEMPQ

EFPE2PE

又；EF=AB=2,

AMN為定值，即M的軌跡為平行于AE的線段，

1/M初始位置為AD中點，停止位置為DE中點,

AM的軌跡為△ADE的中位線,

線段PQ的中點M所經過的路徑長=LAE=B.

22

10.如圖1,點C是線段A5上一點，將C4繞點。順時針旋轉90°得到CE,將CB繞點C旋轉，使點8

的對應點〃落在CE上，連BE,AD,并延長AD交BE于點戶.

(1)求證：AF±BE；

(2)連接。/，猜想AF,EF,C/存在的等量關系，并證明你猜想的結論.

(3)如圖2,延長A3到G,使36=08,將線段5G沿直線班上下平移，平移后的線段記為8'G',

若NABE=60°,當CB'+CG'的值最小時，請干脆寫出tan/G'CG的值.

【解析】(1)證明：：CA=CE,CD=CB,ZACD=ZECB=90°

:.「ACD三二ECB

ZA=ZE

:ZADC=NEDF（對頂角相等）

ZACD=NEFD=90°

/.AF±BE

（2）AF,EF,C/存在的等量關系為：AF=FE+42CF

過點C作。于點M,作QVLBE于點N

?/AF±BE

四邊形CMFN為矩形

VZA=ZE,ZAMC=AENC=9Q°,CA=CE

/.=ACM蘭一ECN

.\CM=CN,AM=EN

四邊形CMFN為正方形

/.FM=FN=—CF

2

；AM=EN

：.AF-FM=FE+FN

AF=FE+42CF

(3)由題意可知B'G'BG,且B'G'=BG

?：BG=CB

AB'G//BC,且=

，四邊形BCB'G'為平行四邊形

當CB'+CG'的值最小時，即BG'+CG'的值最小

/.點G在GG'上運動時，Z.GGB=ZABE=60°

依據將軍飲馬模型(或軸對稱的性質)，若使BG'+CG',應作B關于GG'的對稱點3〃，連接CB",則

CB"=BG'+CG'

過8"作于點H

NGGB=NB"GG'=60°

ZB"GH=60°

:.設BC=BG=B"G=a

.GH=、

22

AtanZGfCG=^^T

CH1—5

〃+〃H—a

2

tanZG'CG^—

5

11.如圖1,平面直角坐標系中，菱形A3CD的邊長為4,ZABC=60°,對角線AC與的交點E恰

好在丁軸上，點G是3c中點，直線AG交3。于

(1)點、F的坐標為

(2)如圖1,在x軸上有一動點H,連接懇求出FH+工?！钡淖钚≈导跋鄳狞cH的坐標；

2

(3)如圖2,若點N是直線AC上的一點，那么在直線AG上是否存在一點"，使得以3、F、M、N

為頂?點的四邊形是平行四邊形？若存在，懇求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.

【解析】解：(1)如圖1中,

圖1

四邊形A3CD是菱形，ZABC=60°,

AB=BC=CD=AD=4,XABC-XADC=60°,CAJ_BD,

:.ZEDC=ZEDA=30°,NCED=90。,

;.EC=-CD=2,ZECD=60°,

2

/EOC=90°,

:.ZCEO=3Q°,

OC=~EC=1,OE=6(JC=6，

：.C(-l,0),E(0,石)，。(3,0),

AE=EC,BE=DE,

A(1,2?8(-3,2^3),

???直線BC的解析式為y=-瓜-6直線瓦）的解析式為y=—/x+省,

AG1BC,

二直線AG的解析式為尸*+限

y——x-\------x--L

由《廠，解得《4百，

y=Wx+69=亍

F(-l,

故答案為（―1,

(2)如圖1一1中，過點。作射線DM，使得NODM=30°，點點H作于K,過點E作"，DM

于

0(3,0),ZODK=30°,F(-l,

直線DM的解析式為y=gx—5

FJ±DM,

直線FJ的解析式為y=-瓜，

在RtADHK中，ZKDH=30°,

:.KH=-DH,

2

FH+-DH=FH+HK..FJ,

2

mJnw際

rri-\—Uri..；----

26

：.FH+\DH的最小值為亙I,此時點H的坐標為(0,0).

26

(3)如圖2中，過點C作CN//BF交AG于N,連接BN,CF.

圖2

AABC是等邊三角形，AG±BC,

:.BG=CG,

ZBFG=ZCNG,ZBGF=ZCGN,

.NBGF=ACGN(AAS),

.BF=CN,

BF//CN,

■四邊形BFCN是平行四邊形，

.當點M與。重合時，四邊形的W是平行四邊形，此時〃(-1,0),

依據對稱性可知，當點M與V關于點A對稱時，四邊形①是平行四邊形，此時加'(3,4而,

綜上所述，滿意條件的點”的坐標為(-1,0)或(3,4后).

12.如圖1,在平面直角坐標系中，已知拋物線y=ax"+bx-5與x軸交于A(-1,0),B(5,0)兩點，與y

軸交于點C.

(1)求拋物線的函數表達式；

(2)如圖2,CE〃x軸與拋物線相交于點E,點H是直線CE下方拋物線上的動點，過點H且與y軸平行的

直線與BC,CE分別交于點F,G,摸索究當點H運動到何處時，四邊形CHEF的面積最大，求點H的坐標及

最大面積；

(3)若點K為拋物線的頂點，點M(4,m)是該拋物線上的一點，在x軸，y軸上是否存在點P,Q,使四

邊形PQKM的周長最小，若沒有，說明理由；若有，求出點P,Q的坐標.

【解析】解:(1):點/(-L0),B(5,0)在拋物線尸a9+6x-5上,

\a-b-5=0

25a+5b—5=0,

。=1

解得《

b=-4'

???拋物線的表達式為7=/-4^-5,

(2)設〃(t,t2-4t-5),

軸,

...點￡的縱坐標為-5,

???￡在拋物線上,

.*./-4x-5=-5,

.?.x=0（舍）或x=4,

：.E（4,-5）,

???四=4,

設直線BC的解析式為尸kx+