2025北京高三一模數(shù)學匯編：壓軸填空（第15題）

2025北京高三一模數(shù)學匯編

壓軸填空（第15題）

一、填空題

1.（2025北京門頭溝高三一模）已知數(shù)列｛4｝滿足%>0,an+i=an+—（k^0）,給出下列四個結(jié)論：

an

①存在%,使得｛%｝為常數(shù)列；

②對任意的人>0,｛%｝為遞增數(shù)列；

③對任意的人>0,｛%｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列；

④對于任意的左，都有。讓如+2左（〃-1）.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

2.（2025北京平谷高三一模）已知各項均不為零的數(shù)列｛?！埃?其前〃項和是S“嗎=a,且

S”=%q+i（"=1,2,…）.給出如下結(jié)論：

①%=1；

②若｛q｝為遞增數(shù)列，則。的取值范圍是（0」）；

③存在實數(shù)。，使得｛%｝為等比數(shù)列；

@3meN,,使得當%>加時，總有烏

a2k-\

其中所有正確結(jié)論的序號是.

3.（2025北京朝陽高三一模）在棱長為1的正方體ABCD-ABGR中，點尸是底面AAGA內(nèi)的動點，給

出下列四個結(jié)論：

①|(zhì)西+定|的最小值為2；

②網(wǎng)+1園的最小值為痣；

③網(wǎng)+|園的最大值為1+5

@|PA|2+|PC|2的最小值為3.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

4.（2025北京順義高三一模）已知函數(shù)〃x）=<,數(shù)列｛%｝滿足卬=加（m>0）,??+1=/（??）.

x-l,x>l.

給出下列四個結(jié)論：

①若%=3,則加有3個不同的可能取值；

②若m=及-1，貝I“〃+3—*N）；

③對于任意相>2,存在正整數(shù)T,使得4+7=%（77eN*）；

④對于任意大于2的正整數(shù)T,存在加＞1,使得。5=/（“eN*）;

其中所有正確結(jié)論的序號是.

5.（2025北京石景山高三一模）高斯取整函數(shù)/（"=[目的函數(shù)值表示不超過x的最大整數(shù)，例如,

[―3.5]=T,[2」=2.有如下四個結(jié)論：

①若則〃-x）+g=+；

②函數(shù)“*）=[尤]與函數(shù)〃（x）=x-l無公共點；

④所有滿足〃⑹=/⑺卜/e0,gj的點（加川組成區(qū)域的面積為年.

其中所有正確結(jié)論的序號是.

6.（2025北京房山高三一模）數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，曲線E：f+（y-W）2=l就是其

中之一.設(shè)曲線E與X軸交于A,B兩點，與y軸交于C,。兩點，點尸是E上一個動點，給出下列四個結(jié)論：

①曲線E關(guān)于y軸對稱；

②曲線E恰好經(jīng)過2個整點（即橫、縱坐標均為整數(shù)的點）；

③面積的最大值為1;

（。為坐標原點）.

其中正確結(jié)論的序號是.

7.（2025北京西城高三一模）記區(qū)表示不超過實數(shù)尤的最大整數(shù).設(shè)函數(shù)*x）=x+[x],有以下四個結(jié)

論：

①函數(shù)〃元）為單調(diào)函數(shù)；

②對于任意的X,〃X）+〃T）=0或〃X）+〃T）=-1;

③集合｛尤"（尤）=。｝"為常數(shù)）中有且僅有一個元素；

④滿足〃x）+〃y）＜7的點（x,y）（轉(zhuǎn)0,yN0）構(gòu)成的區(qū)域的面積為8.

其中，所有正確結(jié)論的序號是.

8.（2025北京海淀高三一模）如圖所示，某游樂場有一款游樂設(shè)施，該設(shè)施由轉(zhuǎn)輪A和轉(zhuǎn)輪3組成，3的

圓心固定在轉(zhuǎn)輪A上的點。處，某個座椅固定在轉(zhuǎn)輪B上的點M處.A的半徑為10米，B的半徑為5

米，A的圓心P距離地面豎直高度為20米.游樂設(shè)施運行過程中，A與3分別繞各自的圓心逆時針方向勻

速旋轉(zhuǎn)，A旋轉(zhuǎn)一周用時萬分鐘，B旋轉(zhuǎn)一周用時1JT■分鐘.當。在P正下方且M在。正下方時，開始計

時，設(shè)在第f分鐘Af距離地面的豎直高度為〃?）米.給出下列四個結(jié)論：

轉(zhuǎn)輪”

②〃⑺最大值是35；

③/在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘；

④存在/。4。,萬)，使得/=為時M到尸的距離等于15米.

其中所有正確結(jié)論的序號為.

9.(2025北京延慶高三一模)已知函數(shù)〃%)=時了-1卜入+2,給出下列四個結(jié)論：

①及<1,使得/(x)關(guān)于直線X=1對稱；

@3k>l,使得f(x)存在最小值；

③V%>1,/⑺在(1,+8)上單調(diào)遞減；

④來>1,使得/(x)有三個零點；

其中所有正確的結(jié)論的序號是.

10.(2025北京豐臺高三一模)已知函數(shù)/(x)=e*-acos尤.給出下列四個結(jié)論：

①當0=1時，“X)在區(qū)間酷,。］上單調(diào)遞增；

②對任意實數(shù)。，/(X)都沒有最小值；

③當awO時，設(shè)/(X)的零點從大到小依次為毛，%，尤3，，則對任意正整數(shù)i，都有占-%+1<無；

④對任意實數(shù)。，優(yōu)，存在實數(shù)/，當時，恒有〃v)+/(f)>利

其中所有正確結(jié)論的序號為.

11.(2025北京東城高三一模)已知數(shù)列｛見｝滿足。”+2=。用+24(〃=1,2,3廣)，且4=1.給出下列四個結(jié)

論：

①若%e(0,+oo),當〃23時，an+l>an；

②若外2,0),當月23時，??+1<??；

③若為對任意正數(shù)存在正整數(shù)N。，當〃>N°時，an>M.

④若名4-”,-!),對任意負數(shù)存在正整數(shù)N。，當〃>N°時，an<M.

其中正確結(jié)論的序號是.

參考答案

1.②③④

女k

【分析】若僅“｝為常數(shù)列，可得一=。，顯然不成立，可判斷①；由。用-4=—可判斷②；若｛%｝

anan

上cik

是等差數(shù)列，可得%+】-%=—＞。常數(shù)，得到矛盾；若｛〃〃｝是等比數(shù)列，根據(jù)遞推公式3=1+=＞1,

%anan

“2

得到矛盾判斷③；兩邊平方得〃3=d+2女+二之片+2M迭代計算可判斷④./

冊

【詳解】對于①，若｛%｝為常數(shù)列，則。用=〃〃，根據(jù)遞推公式。用=為+幺，

an

kk

可得一，進而可得一=。，解得左=0,又左。0,

冊冊

故不存在左,使得｛4｝為常數(shù)列，故①錯誤；

k

對于②，對于4＞0,由遞推公式%+1=?！?一,可得?！ǎ尽?，

an

k卜

所以一＞0,?！?1一?！?—所以

明%

所以數(shù)列｛%｝是遞增數(shù)列，結(jié)論②正確；

對于③，若是等差數(shù)列，則見+「凡為常數(shù)，可得冊+「冊=七＞。常數(shù),

an

則可得?！笔浅?shù)數(shù)列，則。向-%=。，與?！?廠4=巴＞。矛盾，

an

故對任意的上＞0,｛4｝既不是等差數(shù)列，

若｛%｝是等比數(shù)列，則也為常數(shù)。根據(jù)遞推公式4包=1+與＞1,

%a,%

kQQk

即1+二為常數(shù)，則a；為常數(shù)數(shù)列，則可得3=1,這與3=1+＞1矛盾，

a

nananan

所以對任意的左＞0,｛%｝不是等比數(shù)列；

綜上所述：對任意的人＞0,｛4｝既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，故③正確；

對于④，由4+1=4+與（左片。）,兩邊平方得

an

（k2.?

a；+i=|0,=a；+2kH—工2a■+2k＞a；—+2k+2k＞■?-＞cif+2左（〃一1）,故④正確.

Ia,J冊

故答案為：②③④.

2.①②④

【分析】根據(jù)S“,凡的遞推關(guān)系可得%+2-%=1，所以｛%｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列,

進而得火1-1=。+(a-1)，％〃="，即可結(jié)合選項求解.

【詳解】由5“=anan+i(〃=1,2,…)得E”i=a?+2a?+1,相減可得

S“+i-Sn=an+2an+l-an+lan->%=an+1(a,I+2-o?),

由于｛q｝各項均不為零，所以4+2-。"=1,所以｛g｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，

對于①，[出=4f%=1,故正確；

對于②，由于｛q｝的奇數(shù)項和偶數(shù)項分別為公差為1的等差數(shù)列，所以%“T=4+(7L1),%=",

若V〃eN*,a“+i>a“，則需要>%.>%“_]+(〃一1),則0<。<1,故正確，

對于③，a2n_i=a+(ii-\),aln=n,若｛%｝為等比數(shù)列，則§-=〃二一八為常數(shù),則。=1,

U2n-\i)

此時上"=1,故%=”"=〃，進而可得數(shù)列的項為LL2,2,3,3,…，顯然這不是等比數(shù)列，故錯誤,

a2n-l

對于④，^―=—^<2001,只要％足夠大，一定會有a+k-l>0,

a2k_xa+k-\

則”*只要上足夠的大，?趨近于0,

kkk

而2加-1<0,顯然能滿足嘲>2工3-1,故3〃eN*,當人>歷時，總有區(qū)<2°°，故正確，

k

故答案為：①②④

【點睛】方法點睛：本題考查了數(shù)列的遞推公式，數(shù)列單調(diào)性及與數(shù)列有關(guān)的比較大小問題.根據(jù)數(shù)列前

〃項和與數(shù)列的項的遞推關(guān)系求通項公式時，注意分析〃=1,〃22,在處理涉及隔項數(shù)列問題，一般要考慮

分〃為奇數(shù)和偶數(shù)來分類討論，含參的恒成立或者存在類問題，先分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求式子的最大值或最

小值問題來處理.

3.①②④

【分析】設(shè)點A、B、C、。關(guān)于平面480|八|的對稱點分別為&、層、Q、2，設(shè)底面

43GA的中心分別為點0、。1,作出圖形，推導出國+因=2而，網(wǎng)詞因2=2時1+1,求出

|所|的最小值，可判斷①④；由對稱性得出。尤卜進而可判斷②；取點尸和點耳重合，可判斷③.

A、

【詳解】設(shè)點、Bc、。關(guān)于平面4月G2的對稱點分別為4、與、3、D2,

設(shè)底面ABC。、AQiGA的中心分別為點0、。1,如下圖所示：

42

對于①，易知。為AC的中點，貝1］而=；（而+無），可得向+定=2所,

所以，國+因=2而，

當點尸與點。?重合時，底面ABC。，此時，|戶科取最小值1,

即|可+定|的最小值為2,①對；

222

對于④，網(wǎng)2+|PC|=|TO+OA|+|PO+OC|=\PO+如（+“一國2

=2（附（+網(wǎng)］=2叫2+2網(wǎng)2=2匹『+2x

當點尸與點。?重合時，。。，底面488,此時，|而|取最小值1,

則國『+■『的最小值為2XF+I=3,④對；

對于②，由對稱性可知，|定|=|南

當且僅當點尸為線段AQ與平面的交點時，|可|+|正|取最小值幾，②對；

對于③，當點尸與點片重合時，|可+|無口詞+|小卜|碉+|同=20>1+港,

所以，國+|葉的最大值不是1+5③錯.

故答案為：①②④.

4.①②④

—,0vciW1

【分析】由己知得，=%，若%=3,分別對見嗎分類討論即可判斷；②若"7=后-1，求得

%-1,%>1

即可判斷.③當m=3時，計算可判斷；@/=k+a,ZwN*,O<aWl,進而可得

a=上空4€(()』]，可判斷.

【詳解】①〃X)="所以4,+1=<。"'"-,若。3=3,

x-l,x>l[an-\,an>\

當出>1時，a2-l=a3=3,解得的=4.

當q=相>1時，則q-1=〃2=4,解得。1=5,當4=加<1時，則^=。2=4,解得q=；；

1114

當〃2<1時，一=。3=3,解得%=彳，當4=相>1時，則4-1=%=三，解得％=7，當4=用<1時，則

—=a2=1,解得％=3(舍去)；

ax3

14

綜上可得：機可以取3個不同的值：5,因此①正確.

43

②若根=行一1<1，則％=*=忘_]=夜+1,a3=a2-l=&,,...可得

4+3=%(〃WN*).數(shù)列是周期為3的數(shù)列，故②正確.

③當m=3時，〃2=q—1=2,。3=。2-1=1，〃4=~1,

所以不存在正整數(shù)T,%+rW4(〃eN*),故③正確.

④先考慮數(shù)列｛%｝的周期性，

對于4=k+a,keN\O<a<l,貝|%=。]_1=左_1+〃，a3=a2-l=k-2+a,

...,%i=a,ak+2=1,要使｛an｝是周期數(shù)列，

則有1=左+”，解得"士龍

a2

從而存在根=左+4,使得數(shù)列｛%｝是周期數(shù)列，周期為左+1,

從而要使周期為T,只需T=k+1,即4=7-1即可，故④正確.

故答案為：①②④.

5.①②④

【分析】根據(jù)x的取值范圍，分別求出〃f)+3，-+的值，判斷①；作出函數(shù)〃x)=[x]與函

數(shù)/i(x)=xT的圖像，即可判斷②；對上的取值分類討論，即可判斷③；對孤”的取值分類討論，求出點

(加,”)組成區(qū)域的面積，判斷④.

【詳解】對于①：若xe(O,l),則TC(T,O),則〃-x)+g=-l+；=-g,

即?/'(-x)+；=-1"x)+；j,故①正確；

對于②：函數(shù)〃力=國與函數(shù)/i(x)=x-l的圖象如圖所示,

由圖可得函數(shù)〃力=因與函數(shù)/i(x)=x-l無公共點，故②正確;

對于③：當左平|1＜心6,左eN｝時，/審=0,

當左7M13,上eN｝時，=

當左e｛414〈左＜20,左eN｝時，=

當ke｛[21=人＜23,左eN｝時，/n=3,

當左e｛glW左W7,左wN｝時，=

當4平84左W14,上eN｝時，/[一,)=一2,

當左e*|15W左421#eN｝時，=

當左€桐22〈人＜23,上eN｝時，/|^-1^=-4,

?/[-5]+￡/m=(T-2-3)x7+(-4)x2+0x6+(l+2)x7+3x3=-20,故③錯誤;

對于④：當加e[0,l)時，〃e[0,l),/(〃z)=fS)=。，此時(人〃)組成區(qū)域的面積為1,

當〃?41,2)時，〃?1,2),〃〃工)=”")=1,此時("?,")組成區(qū)域的面積為1,

當加?2,3)時,ne[2,3),/(m)=/(n)=2,此時(孫小組成區(qū)域的面積為1,

當相e時，ne[3,了J,〃⑼="")=3,此時(m,n)組成區(qū)域的面積為=-,

綜上點(辦”)組成區(qū)域的面積為lx3+x1=?OR，故④正確.

99

故答案為：①②④.

6.①③④

【分析】曲線E上的任意點尸(x,y),其關(guān)于y的對稱點為(-x,y),代入曲線方程驗證判斷①，根據(jù)方程易

知(0,±1),(±1,1)均在曲線上判斷②，結(jié)合曲線的對稱性研究OVxVl時的曲線性質(zhì)確定1力1最大值，結(jié)合

|AB|=0即可判斷③，在OVxWl上，y=x+J1-X?才能保證IOP|=Jx?+與最大,再應(yīng)用三角換元及三

角恒等變換、正弦型函數(shù)的性質(zhì)求|0口="存范圍判斷④.

【詳解】曲線E上的任意點尸(x,y),其關(guān)于y的對稱點為(-x,y),

代入曲線左側(cè)有(―幻2+。一卜乂)2=/+。一忖)2=1,即點(一羽y)也在曲線上，

所以曲線E關(guān)于》軸對稱，①對；

由方程易知(。,±1),(±1,1)均在曲線上，曲線至少經(jīng)過4個整數(shù)點，②錯;

由(V—尤)i=1—x?e[0,l],即一且y=x±J1-/，

根據(jù)曲線E關(guān)于y軸對稱，只需研究0VXW1時的曲線性質(zhì)，

y=x+y/1^7<y/2(x2+l-x2)=^2,當且僅當x時取等號，

對于y=x—〃7在on上單調(diào)遞增，則ye【-U]，

令y=0,則(0-x)2=l-x2,可得x=美，結(jié)合曲線的對稱性有|AB|=VL

所以，最大S“AB=gx0x0=1,③對；

在0<九41上，y=x+71-x2才能保證|QP|=y/x2+y2最大，

令1=cos8且夕￡[0,1],止匕時y=sin8+cos6=0sin(6+：)￡口，,

所以|OP|=Jcos2C+(sin夕+cos6)2=Vcos2^+l+2sin^cos^

=^sincos2^+-1=+^7)+-1,且tan°=g,

所以IOP區(qū)區(qū)口=]宜警=苴5，當且僅當sin(2O+⑼=1取等號，④對.

故答案為：①③④

7.①②④

【分析】①利用定義法證明單調(diào)性；②分〃<*<〃+1和％="兩種情況討論；③求出OWx<l和lWx<2時

/(元)的值域，結(jié)合單調(diào)性可知，當。取值域未包含的值時，集合為空集；④令以，y=n+/3,其中

機,“eN*,tz,/7G[0,1),將問題轉(zhuǎn)化為〃什“W3,找出符合題意的單位正方形，即可求出區(qū)域面積.

【詳解】Vjq,x2eR,且占<%,則[引9引，則

則〃x)在R上單調(diào)遞增，故①正確；

^n<x<n+l,“eZ時，/(x)=x+[x]=x+?,

故當篦<x<"+l時,-n-l<-x<-n,Wf[x}=x+\x\=x+n,f(-x)=-x+\-x\^-x-n-l,此時

當％=九時，一尤=_〃，/(x)=2〃，f{-x)=-2n,此時/(%)+/(_力=0,

故②正確；

當0Wx<l時，/(x)=xe[0,l),當l<x<2時，〃x)=x+le[2,3),結(jié)合在R上單調(diào)遞增可知，當

。式1,2)時，方程〃x)=a無解，故集合為空集，故③錯誤；

設(shè)x=〃2+ar,y=n+/3,其中〃z,weN*,a,/3e[0,l),貝°/(x)+/(y)=2m+(z+2〃+/W7,因

。<a+分v2,則2m+2n<7,

則m+n<3,

在每個單位正方形[相，根+l)x[〃,〃+l)內(nèi)，/(x)+/(^)的值從2zn+2〃到2m+2〃+2,但不包括2根+2〃+2,

因此在機+〃W3的區(qū)域內(nèi)的每個單位正方形內(nèi)，〃x)+/(y)W7的點(x,y)構(gòu)成的區(qū)域面積為1,

由于〃7+〃<3的區(qū)域內(nèi)的單位正方形有1+2+3+4=10個(根+〃=0,1,2,3),因此滿足/(x)+〃y)V7的點

(x,y)構(gòu)成的區(qū)域面積為圖中△Q43的面積8.

故答案為：①②④

8.①③

【分析】根據(jù)題意，可求得在第f分鐘M距離地面的豎直高度為〃(r)=-10cos22r-10cos2f+25,逐項判斷

即可求解.

【詳解】轉(zhuǎn)輪A與轉(zhuǎn)輪3分別繞各自的圓心逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，A旋轉(zhuǎn)一周用時萬分鐘，B旋轉(zhuǎn)一周用

時g分鐘，可得最小正周期?；=乃，所以0=3=2,5=3,

227i—

又A的半徑為10米，A的圓心尸距離地面豎直高度為20米,

所以第I分鐘，。點距離地面的高度為：/(0=20-10cos2G

第f分鐘，〃距離地面的豎直高度為：//(0=/(0-5cos4r=20-lOcos2t-5cos4t,

化簡得/z(r)=-lOcos22t-lOcos2Z+25--101cos2z+155

d----，

2

所以/zg)=-10cos[2x：]+g+曰=25

故①正確;

當cos2f+g=0,即cos2/=-g時，g)得最大值，為空，故②錯誤；

若/到P的距離等于15米，則點Q在線段RW上，則需今=2/+2E#eNnr=E#wN,

所以不存在務(wù)4。力),使得/=4時/到P的距離等于15米.故④錯誤；

7720萬

因為A旋轉(zhuǎn)一周用時萬分鐘，8旋轉(zhuǎn)一周用時g分鐘，所以可得點。在圓周上的速度為笆=20,同理可

27T

膽-2。

得點M在圓周上的速度為工一，所以點M在豎直方向上的速度大小低于40米/分鐘，故③正確.

2

故答案為：①③.

9.①③④

【分析】賦值法判斷①；數(shù)形結(jié)合判斷②④；利用導函數(shù)判斷③，

【詳解】取左=0,得/(尤)=1中一1|+2,

因為/(2-尤)=阿2-*-1||+2=『皿-4+2=/(%),

所以衣＜1,使得/(x)關(guān)于直線x=l對稱；故①對;

由/(x)=|ln|x-l||-Ax+2,

In(x-l)—fcv+2,x>2

所以/(%)=卜中一“一日+2=

-In(%—1)—kx+2,1<xv2

若k>l,

當xN2時，令/(x)=ln(x_l)-h+2,貝|廣(司=^-一k,

x~\

令h(x)=工-k,貝"7'(X)=_T^<0，

'，x-1(x-1)

所以廣(x)=」7-左在［2,+⑹單調(diào)遞減，所以廣(x)=」7T4-(2)=1-左<0,

x~lx—1

所以f(x)在［2,y)單調(diào)遞減，

當l<x<2時，令/(x)=—ln(x—1)—Ax+2,貝!J/'(無)=------k<0,

x-l

所以在(1,2)單調(diào)遞減，

所以\/女>1,/(尤)在(1,+8)上單調(diào)遞減，故Mt>l,FQ)不存在最小值，故②錯，③對,

若k〉l,則當函數(shù)〃(了)=阿》-1|與直線>=履-2的圖象相切時，

設(shè)切點橫坐標為4,止匕時/z(x)=Tn(l—x),貝=,

1-X

得到方程組1-%，化簡得lnZ:=左一3,易得左e(4,5),

-ln(l-x0)=Ax0-2

則此時有兩個零點，圖象見下圖，

當上>1時，只需將上圖相切時的直線向左偏一點，圖象如下圖所示,

則兩函數(shù)會出現(xiàn)三個交點，此時有三個零點，如下圖所示，

N

尸|1中-1||

AI

O^12x

x=l

-2

故④對,

故答案為：①③④

【點睛】方法點睛：對于復雜函數(shù)的零點個數(shù)問題我們常將其轉(zhuǎn)化成兩個函數(shù)的交點個數(shù)問題，其次就是

相切的臨界狀態(tài)將是零點變化得關(guān)鍵位置.

10.②④

【分析】①取特殊值，根據(jù)導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系即可判斷；

②對。進行分類討論，即可判斷；

③結(jié)合①②的情況進行判斷即可.

【詳解】對于①，當。=1時，〃x)=e*-cosx,則/'(x)=e*+sinx,存在％e,使得了'(%())=0,

所以f(x)在(-],%)上單調(diào)遞減，在(天,。)上單調(diào)遞增，故①錯誤；

對于②，當。=0時，/(?=/,則/(x)在R上單調(diào)遞增；

當。>0時，工--8?->0,(：0$》€(wěn)[-1,1],則/。)在口上沒有最小值；

當a<0時，*--8?-0,8$彳€[-1,1],則/(%)在口上沒有最小值；

故②正確；

對于③，結(jié)合①②，當a=l時，/(?在(-右。)的零點，最大的①中的無。€(-,0),/(-1)>0,

3冗7T

當％￡(--^-，-萬)時，/(x)=ex-cosx>0,

3兀

當占e(-2無,一3)時，/(x)存在零點，

所以毛,占這兩個零點距離大于兀，故③錯誤；

對于④，/(-?)+/(?)=er-acos(f)+e'-acost=e'+e-,-2acosf,

因為e'+e"是對勾函數(shù)，可以取到小，2acost<\2a\,所以〃T)+〃。可以取到+口,故④正確.

故答案為：②④.

11.①③④

【分析】先根據(jù)限=an+1+2an(n=1,2,3,…)構(gòu)造新數(shù)列｛an+l+%｝是首相為。?+1，公比為2的等比數(shù)列,

得出〃向+%=(%+1)27,再構(gòu)造新數(shù)列卜，-位是首相為笥1,公比為—1的等比數(shù)列，從而求

出數(shù)列｛%｝的通項公式；對于①，利用作差法即可判斷；對于②，取的=-1即可判斷錯誤；對于③，求解

不等式4>〃，利用放縮法找到正整數(shù)時即可；對于④，求解不等式%<M,利用放縮法找到正整數(shù)

即可.

【詳解】因為=??+1+2