湖南省邵陽市邵東市創(chuàng)新高級中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（解析）

2025年上學(xué)期高二期期中數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的．1.設(shè)隨機(jī)變量，，則（）A.0.25 B.0.35 C.0.3 D.0.7【答案】B【解析】【分析】利用正態(tài)密度曲線的對稱性可求得的值.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，，所以.故選：B.2.已知的展開式共有項，則該展開式中二項式系數(shù)和為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)二項展開式的性質(zhì)，求得，再由展開式的二項式系數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】由二項式的展開式共有項，可得，解得，所以該二項式展開式中二項項系數(shù)和為.故選：B.3.為了弘揚(yáng)體育精神，創(chuàng)新學(xué)校組織第一屆體育節(jié)，在一項教師比賽中，方哥進(jìn)行了8組投籃，得分分別為10，8，6，8，7，9，6，8，那么這組數(shù)據(jù)的80百分位數(shù)為（）A.8 B.8.5 C.9 D.9.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義求解即可.【詳解】這組數(shù)據(jù)從小到大的順序排列為，因?yàn)?，所以這組數(shù)的80百分位數(shù)為，故選：C4.邱老師帶著班上同學(xué)去野外燒烤，現(xiàn)要將4名學(xué)生分配到3個燒烤點(diǎn)，每哥燒烤點(diǎn)至少分配名學(xué)生，則不同的分配方案共有（）A.24種 B.36種 C.48種 D.72種【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分配分組問題將4名學(xué)生按2，1，1的方式分到三個燒烤點(diǎn)，用分步乘法原理即可求解.【詳解】將4個學(xué)生分配到三個燒烤點(diǎn)，則其中一個燒烤點(diǎn)分兩名同學(xué)，另外兩個燒烤點(diǎn)各分一名同學(xué)；故先從4個同學(xué)中選2人去其中一個燒烤點(diǎn)共有種，然后剩下兩名同學(xué)分別去一個燒烤點(diǎn)共有種，根據(jù)分步乘法原理得：，故選：B5.260班和261班舉行射擊比賽，兩班各選出一名射手，射手甲、乙分別用弓箭對準(zhǔn)同一個弓箭靶，兩人同時射箭．已知甲、乙中靶的概率分別為0.5和0.4，且兩人是否中靶互不影響，若弓箭靶被射中，則只被甲射中的概率為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可知，求的是條件概率，根據(jù)條件概率的概率計算公式計算即可.【詳解】設(shè)事件“甲中靶”，“乙中靶”，“弓箭靶被射中”，則，，所以，，．所以．所以．故選：A6.某水文站為了研究所在河段降雨量（單位：）與水位增長量（單位：）之間的關(guān)系，記錄了9次相關(guān)數(shù)據(jù)，繪制出如下散點(diǎn)圖，并利用線性回歸模型進(jìn)行擬合.若將圖中9個點(diǎn)中去掉點(diǎn)后再重新進(jìn)行線性回歸分析，則下列說法正確的是（）A.決定系數(shù)變小 B.相關(guān)系數(shù)的值變小C.殘差平方和變小 D.解釋變量與預(yù)報變量相關(guān)性變?nèi)酢敬鸢浮緾【解析】【分析】結(jié)合題意，由決定系數(shù)、相關(guān)系數(shù)、殘差平方和及相關(guān)性的概念和性質(zhì)作出判斷.【詳解】從圖中可以看出點(diǎn)較其他點(diǎn)，偏離直線遠(yuǎn)，故去掉點(diǎn)后，回歸效果更好，對于A：決定系數(shù)越接近1，擬合的回歸方程越優(yōu)，故去掉點(diǎn)后變大，越趨于1，故A錯誤；對于B：相關(guān)系數(shù)越趨于1，擬合的回歸方程越優(yōu)，由圖可得與正相關(guān)，故會越接近1，即相關(guān)系數(shù)的值變大，故B錯誤；對于C：殘差平方和變小，擬合效果越好，故C正確；對于D：解釋變量與預(yù)報變量相關(guān)性增強(qiáng)，故D錯誤.故選：C7.數(shù)學(xué)課上周媚老師先后兩次擲一枚質(zhì)地均勻的股子，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6”，事件“第一次擲出的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”，事件“兩次擲出的點(diǎn)數(shù)相同”，則（）A. B.A與相互獨(dú)立 C.與相互獨(dú)立 D.A與相互獨(dú)立【答案】C【解析】【分析】根據(jù)古典概率和相互獨(dú)立的公式即可求解.【詳解】對于選項A：兩次擲出的點(diǎn)數(shù)之和是6的情況可為，由乘法公式可得所以可能情況為種，所以，故選項A錯誤；對于選項B：，，，，故選項B錯誤；對于選項C：，，，所以，所以與相互獨(dú)立，故選項C正確；對于選項D：，，，故選項D錯誤.故選：C.8.高三某班有的學(xué)生數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，若從班中隨機(jī)找出名學(xué)生，那么其中數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的學(xué)生數(shù)，則取最大值時的值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)概率公式應(yīng)用最大值列不等式組計算求出的值.【詳解】由已知，，，，，，，所以由得：解得，又因?yàn)?，所以．故選:B．二、多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目的要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B.C. D.【答案】AD【解析】【分析】利用賦值法逐一求解即可判斷．【詳解】對于A，令，則，故A正確，對于B，令可得，故，故B錯誤，對于C，令可得，故，故C錯誤，對于D，令可得，，故D正確，故選：AD．10.高二某班共有20名男生，30名女生，其中男生的平均身高是175cm，女生的平均身高是165cm，男生身高的方差是14，女生身高的方差是4，則下列說法正確的是（）A.該班50名同學(xué)的平均身高是169cmB.50名同學(xué)身高的總方差是32C.某小組共4個女生2個男生，則從中選出2名英語課代表的方法有30種D.某小組共4個女生2個男生，則從中選出3同學(xué)，至少有一位男生的概率是【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的平均數(shù)和方差的計算公式，可判定A、B正確；根據(jù)組合數(shù)的公式，可判定C錯誤；根據(jù)古典摡型的概率計算公式，可得判定D錯誤.【詳解】對于A中，該班50名同學(xué)的平均身高為，所以A正確；對于B中，由分層抽樣的方差的計算公式，可得該班50名同學(xué)身高的總方差為：，所以B正確；對于C中，從4個女生2個男生，則選出2名英語課代表，共有種，所以C錯誤；對于D中，從4個女生2個男生，選出3同學(xué)，共有種不同的選法，其中至少有一位男生，即1名男生2名女生或2名男生1名女生，有種，所以概率為從中選出3同學(xué)，至少有一位男生的概率是，所以D錯誤.故選：AB.11.甲口袋中有3個紅球，2個白球和5個黑球，乙口袋中有3個紅球，3個白球和4個黑球，先從甲口袋中隨機(jī)取出一球放入乙口袋，分別以和表示由甲口袋取出球是紅球，白球和黑球的事件；再從乙口袋中隨機(jī)取出一球，以表示由乙口袋取出的球是紅球的事件，則下列結(jié)論中正確的是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，得到，，是兩兩互斥的事件，且，結(jié)合互斥事件的概念，條件概率公式，以及全概率公式，進(jìn)行計算，即可求解．【詳解】由題意知，事件，，是兩兩互斥的事件，因?yàn)椋瑢τ贏中，由，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于D中，由，所以D正確.對于C中，由，所以C錯誤；故選：ABD.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.如圖，用4種不同的顏色對A，B，C，D四個區(qū)域涂色，要求相鄰的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的涂色方法有__________.【答案】48【解析】【分析】根據(jù)分步乘法計數(shù)原理求解即可.【詳解】根據(jù)題意，對于區(qū)域A，有4種涂色方法，對于區(qū)域B，有3種涂色方法，對于區(qū)域C，有2種涂色方法，對于區(qū)域D，有2種涂色方法，則由分步乘法計數(shù)原理可得種涂色方法.故答案為：4813.小明喜愛踢足球和打羽毛球．在周末的某天，他下午去踢足球的概率為．若他下午去踢足球，則晚上一定去打羽毛球；若下午不去踢足球，則晚上去打羽毛球的概率為．已知小明在某個周末晚上去打羽毛球，則下午踢足球的概率為______．【答案】##0.9【解析】【分析】設(shè)出事件,分別求出和，依題需求，利用條件概率公式計算即得.【詳解】設(shè)小明周末晚間去打羽毛球?yàn)槭录?，下午去踢足球?yàn)槭录?，則，，依題意，.故答案為:．14.2023年11月，我國教育部發(fā)布了《中小學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)基本目錄》，內(nèi)容包括高中數(shù)學(xué)在內(nèi)共有16個學(xué)科900多項實(shí)驗(yàn)與實(shí)踐活動．我市某學(xué)校的數(shù)學(xué)老師組織學(xué)生到“牛馬司農(nóng)產(chǎn)品基地”進(jìn)行科學(xué)實(shí)踐活動，在某種植番石榴的果園中，尹詩老師建議學(xué)生嘗試去摘全園最大的番石榴，規(guī)定只能摘一次，并且只可以向前走，不能回頭．結(jié)果，學(xué)生小明兩手空空走出果園，因?yàn)樗恢狼懊媸欠裼懈蟮模詻]有摘，走到前面時，又發(fā)覺總不及之前見到的，最后什么也沒摘到．假設(shè)小明在果園中一共會遇到n顆番石榴(不妨設(shè)n顆番石榴的大小各不相同)，最大的那顆番石榴出現(xiàn)在各個位置上的概率相等，為了盡可能在這些番石榴中摘到那顆最大的，小明在老師的指導(dǎo)下采用了如下策略：不摘前k(1≤k<n)顆番石榴，自第k+1顆開始，只要發(fā)現(xiàn)比他前面見過的番石榴大的，就摘這顆番石榴，否則就摘最后一顆．記該學(xué)生摘到那顆最大的番石榴的概率為P．若，則__________．【答案】【解析】【分析】利用排列分析4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，再分類討論最大的番石榴位置，利用古典概型求解即可.【詳解】依題意，4顆番石榴的位置從第1顆到第4顆排序，有(種)情況，要摘到那顆最大的番石榴，有以下兩種情況．①最大的番石榴是第3顆，其他的隨意在哪個位置，有(種)情況；②最大的番石榴是最后1顆，第二大的番石榴是第1顆或第2顆，其他的隨意在哪個位置，有(種)情況，所以所求概率為．故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程及驗(yàn)算步驟．15.已知的展開式中的所有系數(shù)之和為729．（1）求的值；（2）求展開式中的系數(shù)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二項式系數(shù)和公式即可求解；（2）根據(jù)二項式展開式的通項即可求解.【小問1詳解】由題意可得，．解得；【小問2詳解】由（1）知求展開式中的系數(shù)，因?yàn)檎归_式的通項為．令，得．展開式中的系數(shù)為．16.現(xiàn)有編號為1，2，3的三個口袋，其中1號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個2號球和一個3號球；2號口袋內(nèi)裝有兩個1號球，一個3號球；3號口袋內(nèi)裝有三個1號球，兩個2號球；第一次先從1號口袋內(nèi)隨機(jī)抽取1個球，將取出的球放入與球同編號的口袋中，第二次從該口袋中任取一個球，（1）在第一次抽到3號球的條件下，求第二次抽到1號球的概率；（2）求第二次取到2號球的概率；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由條件概率公式即可得解.（2）由全概率公式、條件概率公式即可得解.【小問1詳解】記事件分別表示第一次、第二次取到號球，，則第一次抽到號球的條件下，第二次抽到號球的概率；【小問2詳解】依題意兩兩互斥，其和為，并且，，，，應(yīng)用全概率公式，有.17.甲、乙、丙三臺機(jī)床各自獨(dú)立地加工同一種零件，已知甲機(jī)床加工的零件是一等品而乙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，乙機(jī)床加工的零件是一等品而丙機(jī)床加工的零件不是一等品的概率為，甲、丙兩臺機(jī)床加工的零件都是一等品的概率為．（1）分別求甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率；（2）從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)，求至少有一個一等品的概率．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，則再利用獨(dú)立事件的概率計算公式，解方程組即可得到答案.（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)至少有一個一等品的事件，利用對立事件，即計算即可.【詳解】（1）設(shè)A、B、C分別為甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的事件，由題設(shè)條件有即解得，，．即甲、乙、丙三臺機(jī)床各自加工的零件是一等品的概率分別是，，；（2）記D為從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)至少有一個一等品的事件，則．故從甲、乙、丙加工的零件中各取一個檢驗(yàn)，至少有一個一等品的概率為．【點(diǎn)晴】本題主要考查獨(dú)立事件的概率計算問題，涉及到對立事件的概率計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，是一道容易題.18.隨著互聯(lián)網(wǎng)的高速發(fā)展和新媒體形式的不斷豐富，微短劇作為一種新興的文化載體，正逐漸成為拓展文化消費(fèi)空間的重要途徑.某媒體為了了解微短劇消費(fèi)者的年齡分布，隨機(jī)調(diào)查了200名消費(fèi)者，得到如下列聯(lián)表：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計是微短劇消費(fèi)者30

45不是微短劇消費(fèi)者

合計100

200（1）根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”有關(guān)聯(lián)？（2）記2020~2024年的年份代碼x依次為1，2，3，4，5，下表為2020~2023年中國微短劇市場規(guī)模及2024年中國微短劇預(yù)測的市場規(guī)模y（單位：億元）與x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份代碼x12345市場規(guī)模y9.436.8101.7373.9m根據(jù)上表數(shù)據(jù)求得y關(guān)于x經(jīng)驗(yàn)回歸方程為，求相關(guān)系數(shù)r，并判斷該經(jīng)驗(yàn)回歸方程是否有價值.參考公式：，其中，.，相關(guān)系數(shù)..若，則認(rèn)為經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價值.0.10.050.010.00500012.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）有關(guān)聯(lián)（2），該經(jīng)驗(yàn)回歸方程有價值.【解析】【分析】（1）先補(bǔ)全列聯(lián)表，再計算卡方，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)原則即可判斷；（2）通過給出的經(jīng)驗(yàn)回歸方程公式求相關(guān)系數(shù)，再判斷．【小問1詳解】2×2列聯(lián)表如下：

年齡不超過40歲年齡超過40歲合計是微短劇消費(fèi)者301545不是微短劇消費(fèi)者7085155合計100100200零假設(shè)“是微短劇消費(fèi)者”與“年齡不超過40歲”無關(guān)聯(lián)，因?yàn)椋鶕?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷