甘肅省甘南藏族自治州臨潭縣第一中學2024-2025學年高二下學期期中考試數(shù)學試卷（解析）

臨潭縣第一中學2024-2025學年度第二學期期中考試數(shù)學試卷高二數(shù)學一、選擇題1.設，則（）A. B. C.3 D.12【答案】B【解析】【分析】根據(jù)導數(shù)定義進行轉化即可.【詳解】，.故選：B2.某質點沿直線運動，位移y（單位：米）與時間t（單位：秒）之間的關系為，則該質點在秒時的瞬時速度是（）．A.14米/秒 B.17米/秒 C.19米/秒 D.21米/秒【答案】A【解析】【分析】利用導數(shù)的意義求函數(shù)一點處的導數(shù)值確定質點在秒時的瞬時速度.【詳解】由題意，則米/秒．故選：A3.已知，若函數(shù)既有極大值又有極小值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求得，分析可知，關于的方程有兩個不等的正根，根據(jù)二次方程根的分布可得出關于實數(shù)的不等式組，由此可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，因為函數(shù)既有極大值，又有極小值，則關于的方程有兩個不等的正根、，所以，，解得，因此，實數(shù)的取值范圍是.故選：C.4.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】結合已知要比較函數(shù)值的結構特點,可考慮構造函數(shù),然后結合導數(shù)與單調性關系分析出時,函數(shù)取得最大值,可得最大,然后結合函數(shù)單調性即可比較大小.【詳解】設,則,當時,,函數(shù)單調遞減,當時,,函數(shù)單調遞增,故當時,函數(shù)取得最大值,因為,,,當時,,函數(shù)單調遞減,可得,

即.

故選:C5.函數(shù)的單調增區(qū)間為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先確定函數(shù)的定義域，再利用導數(shù)求函數(shù)的單調區(qū)間即可.【詳解】函數(shù)的定義域為，因為，所以，令，即，所以，解得，所以函數(shù)的單調遞增區(qū)間為.故選：B.6.已知函數(shù)，則曲線在點處的切線方程為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】求，取，可求，再求，，再由導數(shù)的幾何意義及點斜式求切線方程.【詳解】由，得，所以，得，所以，，，，故所求切線方程為，即.故選：A.7.函數(shù)的單調遞增區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意得，由解得即可得到結論.【詳解】由題意，函數(shù)的定義域為，則，令，解得，所以，函數(shù)單調遞增區(qū)間為.故選：B.【點睛】本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性，易錯點在于忽視函數(shù)的定義域，屬于基礎題.8.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，其導函數(shù)為，且當時，，則不等式的解集為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)，根據(jù)題意可判斷，是偶函數(shù)，在上是增函數(shù)，在減函數(shù)，把原不等式轉化為解不等式，進而，解得即可.【詳解】令，則，當時，，所以當時，，即在上是增函數(shù)，由題意是定義在上的偶函數(shù)，所以，所以，所以是偶函數(shù)，在單調遞減，所以，，即不等式等價為，所以，解得或，所以不等式的解集為．故選：D二、多項選擇題9.下列函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增是（）A.y＝x﹣（）x B.y＝x+sinxC.y＝3﹣x D.y＝x2+2x+1【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，利用基本函數(shù)的單調性，可得答案．【詳解】對于A，∵與，都是增函數(shù)，∴在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，符合題意；對于B，y＝x+sinx，其導數(shù)y′＝1+cosx，由y′≥0在R上恒成立，則這個函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，符合題意；對于C，y＝3﹣x，是一次函數(shù)，在R上是減函數(shù)，不符合題意；對于D，y＝x2+2x+1＝（x+1）2，是二次函數(shù)，其開口向上，對稱軸為x＝﹣1，則這個函數(shù)在區(qū)間（0，+∞）上單調遞增，符合題意；故選：ABD．10.一個質量為4kg的物體做直線運動，該物體的位移y（單位：m）與時間t（單位：s）之間的關系為，且（表示物體的動能，單位：J；m表示物體的質量，單位：kg；v表示物體的瞬時速度，單位：m/s），則（）A.該物體瞬時速度的最小值為1m/s B.該物體瞬時速度的最小值為2m/sC.該物體在第1s時的動能為16J D.該物體在第1s時的動能為8J【答案】AD【解析】【分析】借助導數(shù)定義計算可得瞬時速度的最小值，借助所給動能公式計算即可得其動能.【詳解】由題意得，則該物體瞬時速度的最小值為，A正確，B錯誤.由，得，所以該物體在第時的動能為，C錯誤，D正確.故選：AD.11.函數(shù)滿足，則正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)給定條件，構造函數(shù)，利用導數(shù)探討單調，再比較大小即得.【詳解】依題意，令函數(shù)，求導得，函數(shù)在R上遞減，對于A，，，則，A正確；對于B，，，則，B錯誤；對于C，，，則，C正確；對于D，，，則，D錯誤.故選：AC三、填空題12.在空間直角坐標系中，向量若，則____.【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行的坐標表示，結合已知條件，直接計算即可.【詳解】若，則，解得，，故.故答案為：.13.函數(shù)是上的單調增函數(shù)，則a的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】因為函數(shù)在上是遞增函數(shù)，所以可利用導數(shù)恒大于或等于零來研究參數(shù)的取值范圍.【詳解】由函數(shù)求導得：，因為函數(shù)是上的單調增函數(shù)，所以，即，又由，則，解得，故答案為：.14.若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調函數(shù)，則實數(shù)k的取值范圍是___________．【答案】【解析】【分析】由題意求導結合函數(shù)單調性，列出不等式組即可求解.【詳解】由題意單調遞增，且，所以若函數(shù)在其定義域的一個子區(qū)間上，不是單調函數(shù)，則，解得.故答案為：.四、解答題15.某制造商制造并出售球形瓶裝的某種飲料．瓶子的制造成本是分，其中r（cm）是瓶子的半徑，已知每出售1mL的飲料，制造商可獲利0.2分，且制造商能制作的瓶子的最大半徑為6cm．（1）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最大？（2）瓶子半徑多大時，每瓶飲料的利潤最小？【答案】（1）瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最大（2）瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最小，并且是虧損的【解析】【分析】先確定利潤函數(shù)，再利用求導的方法，即可得到結論．【小問1詳解】由于瓶子的半徑為，所以每瓶飲料的利潤是，．令，解得（舍去）．所以當時，；當時，．當時，，它表示在區(qū)間上單調遞增，即半徑越大，利潤越高；當時，，它表示在區(qū)間上單調遞減，即半徑越大，利潤越低．又，故半徑為時，能使每瓶飲料的利潤最大．【小問2詳解】由（1）可知，在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減．所以當時，有最小值，其值，故瓶子半徑為時，每瓶飲料的利潤最小，并且是虧損的.16.求下列函數(shù)的導數(shù)：（1）；（2）；（3）.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】由復合函數(shù)的求導法則求解即可；【小問1詳解】函數(shù)可以看作函數(shù)和的復合函數(shù)，由復合函數(shù)的求導法則可得：.所以；【小問2詳解】函數(shù)可以看作函數(shù)和的復合函數(shù)，由復合函數(shù)的求導法則可得：.所以【小問3詳解】函數(shù)可以看作函數(shù)和的復合函數(shù)，，所以.17.已知曲線，求：（1）曲線在點處的切線方程；（2）曲線過點的切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先得到點是切點，故只需求出即可得解；（2）首先得到點不是切點，設切點為，由，即可列式并聯(lián)立求解即可.【小問1詳解】由于，從而點是切點，又，所以，從而曲線在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】由，從而點不是切點，設切點為，顯然，一方面，另一方面，聯(lián)立以上兩式可得，所以或，也就是或，又，，所以曲線過點的切線方程為或，也就是或.18.如圖，在多面體中，底面為矩形，底面，，且，，．（1）當時，求直線與平面所成角的正弦值．（2）是否存在實數(shù)，使得在平面內的射影恰好為的重心？若存在，求出；若不存在，請說明理由．【答案】（1）（2）不存在實數(shù)，理由見解析【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標系，然后利用空間向量的方法求線面角；（2）計算平面的法向量，利用射影的性質得到，然后列方程，解方程無解，則不存在.【小問1詳解】解：由題易得直線，，兩兩垂直，故以為坐標原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，因為，所以，，，，，，．設平面的法向量為，所以即得，取，則，所以平面的一個法向量為．設直線與平面所成的角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為．【小問2詳解】設的重心為，則，，，，所以，，，．設平面的法向量為，所以即取，則，，即，假設在平面內的射影恰好為的重心，則，所以，無解，故不存在實數(shù)，使得在平面內的射影恰好為的重心．19.已知函數(shù).（1）當時，求曲線在點處的切線方程；（2）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，代入點斜式直線方程求解即可.（2）求