《淺析復(fù)數(shù)運算的幾何特性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用》3000字

XXXVIII淺析復(fù)數(shù)運算的幾何特性在數(shù)學(xué)領(lǐng)域的應(yīng)用復(fù)數(shù)是代數(shù)領(lǐng)域的一個重要組成部分，復(fù)數(shù)運算及幾何特性是復(fù)數(shù)內(nèi)容學(xué)習(xí)的一個重點內(nèi)容.復(fù)數(shù)運算的幾何特性是解決一些實際數(shù)學(xué)問題的重要工具，想要發(fā)揮復(fù)數(shù)運算的幾何特性在解決問題中的作用，需要結(jié)合具體的實際問題來構(gòu)造復(fù)數(shù).下面筆者將從平面幾何、不等式、解方程、三角函數(shù)這四個方面結(jié)合具體例題來研究復(fù)數(shù)運算在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用.1.1復(fù)數(shù)運算的幾何特性在平面幾何中的應(yīng)用復(fù)數(shù)可以用復(fù)平面上的點或原點出發(fā)的向量來表示，這不僅使復(fù)數(shù)得到直觀的幾何解釋，而且為用復(fù)數(shù)解決幾何問題奠定了基礎(chǔ)[[]周陽;金康彪.復(fù)幾何在平面幾何上的應(yīng)用及教學(xué)啟示[J].白城師范學(xué)院學(xué)報,2018,32(Z1):62-68.].許多平面幾何問題，特別是涉及到規(guī)則圖形的幾何問題可以轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)運算的方法來解決，例如定點、定值、軌跡問題是平面幾何中綜合性比較強(qiáng)，[]周陽;金康彪.復(fù)幾何在平面幾何上的應(yīng)用及教學(xué)啟示[J].白城師范學(xué)院學(xué)報,2018,32(Z1):62-68.[]茹雙林.復(fù)數(shù)法證明平面幾何問題[J].中等數(shù)學(xué),1997,(04).例1在復(fù)平面有三個點A，B，C，它們對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為，已知，并且存在一個復(fù)數(shù)，使得，，求四邊形的面積.分析由于復(fù)數(shù)的多種表示方法可以互相轉(zhuǎn)換，現(xiàn)將轉(zhuǎn)化為三角形式，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的幾何特性可知，表示將所對應(yīng)的向量逆時針旋轉(zhuǎn)得到點的坐標(biāo)，用同樣的方法可以求出點的坐標(biāo)，然后再根據(jù)兩點之間的距離求出底和高即可.解根據(jù)題意可得設(shè)點的復(fù)數(shù)表示為，對應(yīng)于，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法有即對應(yīng)于點B，由復(fù)數(shù)乘法運算的幾何特性可知，是由繞原點逆時針旋轉(zhuǎn)得到，此時的模也變?yōu)榱嗽瓉淼?倍，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性有，并且又因為即點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，與之相對應(yīng)向量是由向量沿逆時針旋轉(zhuǎn)得到，而且模也變?yōu)榱嗽瓉淼?倍，于是有，并且現(xiàn)在將求四邊形OABC的面積轉(zhuǎn)化為求三角形OAB和三角形OBC的面積和即可.三角形OAB的面積為三角形OBC的面積為于是，所求四邊形OABC的面積為評注：應(yīng)用復(fù)數(shù)運算的幾何特性求幾何圖形的面積是比較普遍的現(xiàn)象，可以使復(fù)雜的問題簡單化解決本題的關(guān)鍵在于將轉(zhuǎn)化為三角形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的幾何特性即可得出結(jié)果.例2現(xiàn)有一復(fù)數(shù)z滿足且，，此時，存在另外一個復(fù)數(shù)使得為實數(shù)，請問在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的集合是什么形狀.分析利用等式將進(jìn)行化簡，再根據(jù)且，知且代入原分式即可得出結(jié)果.解因為令，則上式可化為由題意且，知且，由此可得為純虛數(shù)，同理可得也是純虛數(shù)，由此可知且，從而有，所以w在復(fù)平面上所對應(yīng)的點的集合是除去兩點之外以為圓心，1為半徑的圓.評注：解決本題的關(guān)鍵在于利用等式將進(jìn)行化簡，然后再根據(jù)復(fù)數(shù)運算的幾何特性進(jìn)行計算.例3設(shè)點P對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，點Q對應(yīng)的復(fù)數(shù)為，如果P點在曲線上運動，求點Q的運動軌跡.分析解決本題的關(guān)鍵在于由復(fù)數(shù)化為實數(shù)，根據(jù)復(fù)數(shù)相等求出實部和虛部，再根據(jù)復(fù)數(shù)運算的幾何特性求出點Q的運動軌跡方程即可.解由題意知，則于是因為點P在曲線上運動，所以，則有化簡得所求點Q的運動軌跡為:半徑為2，圓心為的圓.評注：求軌跡是解析幾何中的核心部分，直接用解析幾何的方法來求解會顯得十分復(fù)雜，而應(yīng)用復(fù)數(shù)方法進(jìn)行求解顯得非常便捷[[]胡文茜.復(fù)數(shù)運算的幾何特征及實踐研究[C].湖南師范大學(xué),2016.].[]胡文茜.復(fù)數(shù)運算的幾何特征及實踐研究[C].湖南師范大學(xué),2016.總結(jié)：由以上例題可知，復(fù)數(shù)運算的幾何特性在平面幾何中的應(yīng)用是較為廣泛的，數(shù)、形的有機(jī)結(jié)合是幾何問題轉(zhuǎn)化為復(fù)數(shù)問題的重要途徑，借助復(fù)數(shù)運算的幾何特性來解決幾何中的動點問題就顯得非常簡潔.1.2復(fù)數(shù)運算及幾何特性在不等式中的應(yīng)用眾所周知，乘法可以解釋成連加，那復(fù)數(shù)的除法我們?nèi)匀豢梢韵葘⒊ㄍㄟ^某種運算變成乘法，再按乘法繼續(xù)進(jìn)行即可,利用復(fù)數(shù)運算的幾何特性就可以解決一些與不等式有關(guān)的問題[[]李富娃.復(fù)數(shù)的幾何意義幫你走出困境[J].數(shù)學(xué)教究,2001(11):28-30[]李富娃.復(fù)數(shù)的幾何意義幫你走出困境[J].數(shù)學(xué)教究,2001(11):28-30.例4已知復(fù)數(shù)，如果，求的最大值.分析解決本題的突破口在于應(yīng)用復(fù)數(shù)運算的幾何特性求解，根據(jù)半徑為1，圓心為的圓，建立直角坐標(biāo)，系然后根據(jù)復(fù)數(shù)模的運算便可計算出結(jié)果.解由復(fù)數(shù)的幾何特性可知，可以解釋為半徑為1，圓心為的圓；所對應(yīng)復(fù)平面上的點為，如圖4-1所示.則的最大值是距離點到圓上最遠(yuǎn)的點的距離，由圖4-1可知，所求最大值為:..圖4-1評注：本題的解題方法主要應(yīng)用了用復(fù)數(shù)運算的幾何特性，將數(shù)形結(jié)合思想融入其中，能夠使問題簡單化，有效地降低了解題難度，提高了解決問題的效率[[]陳定宇.[]陳定宇.試分析復(fù)數(shù)在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用[J].經(jīng)貿(mào)實踐,2016,(23):211.例5求函數(shù)的最大值.分析本題可以應(yīng)用二次根式的性質(zhì)求解，但是計算過程會非常復(fù)雜且容易出錯，而應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運算可以簡便的得出結(jié)果.解由題意可得y==根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性，設(shè)，由得，當(dāng)且僅當(dāng)()時等號成立則有且當(dāng)時，有即從而有綜上所述，當(dāng)時函數(shù)取得最大值.總結(jié)：由上述例題可知，不等式問題如果應(yīng)用實數(shù)來教學(xué)計算解決上述問題的話過程比較復(fù)雜，而且計算量非常大，而應(yīng)用復(fù)數(shù)運算的幾何特性可以巧妙的解決不等式問題，將復(fù)雜的過程簡單化，能有效的提高解決問題的效率[[]梁棟.淺論復(fù)數(shù)方法在解題中的應(yīng)用[J].[]梁棟.淺論復(fù)數(shù)方法在解題中的應(yīng)用[J].新鄉(xiāng)教育學(xué)院學(xué)報,2008,v.21;No.48,112-114.1.3復(fù)數(shù)運算的幾何特性在解方程中的應(yīng)用在解方程問題中常常會用到數(shù)形結(jié)合的方法進(jìn)行解決，而復(fù)數(shù)運算有著顯著的幾何特性，將復(fù)數(shù)運算的幾何特性應(yīng)用到解方程中來，問題就能夠輕松解決[[]陳克鋒.復(fù)數(shù)方法在解題中的一些應(yīng)用[J].[]陳克鋒.復(fù)數(shù)方法在解題中的一些應(yīng)用[J].邵陽高等?？茖W(xué)校學(xué)報,2001,20-22例6解方程.分析題目所給方程比較復(fù)雜，直接進(jìn)行解方程感覺無從下手，利用復(fù)數(shù)代入方程，進(jìn)行簡化后就能應(yīng)用一般解方程的方法解決.解設(shè)，則，代入原方程得展開化簡得即根據(jù)兩個復(fù)數(shù)相等得于是有從而故原方程的解為.評注：本題的解題思路主要是應(yīng)用復(fù)數(shù)運算及幾何特性，將復(fù)雜的三次方程進(jìn)行簡化，使得計算過程簡便，經(jīng)過簡單的計算即可得出結(jié)果[[]郭佩珍.[]郭佩珍.復(fù)數(shù)及其運算的幾何表示在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的應(yīng)用[J].佛山師專學(xué)報(自然科學(xué)版),1986,59-64.例7設(shè)，，求，.

分析結(jié)合復(fù)數(shù)運算的幾何特性，將u(x)=，v(x)=利用復(fù)數(shù)的指數(shù)表示式，進(jìn)而有，然后再應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法運算即可求出題目所問.解令，于是有①而②由①、②兩式和復(fù)數(shù)相等可知:

，.評注：本題解題的關(guān)鍵是利用u(x)=，v(x)=構(gòu)造復(fù)數(shù)，靈活得應(yīng)用復(fù)數(shù)乘法的幾何特性.例8求除以的余式.分析本題如果用直接計算的方法求解是非常非常困難的，題目所給函數(shù)為高次函數(shù)，此時可以用復(fù)數(shù)方法來進(jìn)行求解會更加的便捷.解將進(jìn)行分解，得此時設(shè)，其中分別令是的兩個根，則有而于是由比較實部與虛部得解得故所求余式為:.總結(jié)：綜合上述三個例題可知，復(fù)數(shù)運算在解方程中有著廣泛的應(yīng)用.應(yīng)用復(fù)數(shù)知識解方程，可以利用復(fù)數(shù)相等的條件，轉(zhuǎn)化為實數(shù)集中的方程問題，然后再利用實數(shù)的知識解方程即可，并且將復(fù)數(shù)運算的相關(guān)特性應(yīng)用于解方程中，可以簡化計算過程，使解題方法多樣化.1.4復(fù)數(shù)運算的幾何特性在三角函數(shù)數(shù)中的應(yīng)用求解三角函數(shù)的過程是一個相對較復(fù)雜的過程，在求解三角函數(shù)的時候要運用所學(xué)過的一切知識以便簡化過程.尤其是很多函數(shù)項級數(shù)都會和三角函數(shù)或指數(shù)函數(shù)有關(guān)，因此在解決問題的過程中我們可以考慮用復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式來進(jìn)行探索求解問題，這樣可以大大簡化求解過程.下面我將列舉如下實例來分析用復(fù)數(shù)的有關(guān)知識進(jìn)行問題求解的簡潔性和實用性[[]鄧世東.復(fù)數(shù)在三角問題中的應(yīng)用[J].[]鄧世東.復(fù)數(shù)在三角問題中的應(yīng)用[J].科技信息,2009(21):604.例9如圖4-2所示，在不規(guī)則四邊形中，，設(shè)，求證.分析以的中點為原點建立復(fù)平面，運用數(shù)形結(jié)合思想使問題直觀化，根據(jù)圖形構(gòu)造出，然后載根據(jù)復(fù)數(shù)加法的幾何特性進(jìn)行證明即可.證明以為實軸，的中點坐標(biāo)原點，建立復(fù)平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則有，如圖4-2所示，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何特性有由，得由得化簡得即.圖4-2例10已知為銳角，且，求的值.

分析本題利用復(fù)數(shù)的三角表示式可以求出輻角的主值，然后再運用復(fù)數(shù)乘法運算的幾何特性進(jìn)行運算即可.

解由可知是的輻角主值；由可得，即是的輻角主值；由復(fù)數(shù)乘法運算的幾何特性可知:是的一個輻角，由于而于是有所以即是的輻角主值，故.例11求的值.分析本題的解題依據(jù)復(fù)數(shù)乘法運算的幾何特性，當(dāng)時，則有；當(dāng)n不同余3于模7時，令代入題目所給等式計算即可.解當(dāng)時，則有，否則令，根據(jù)復(fù)數(shù)乘法的幾何特性有評注：本題的解題