用三垂線法求二面角的方法

PAGEPAGE4用三垂線法求二面角的方法三垂線定理：平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面內(nèi)的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直。已知：如圖,PB是平面的斜線,PA是平面的垂線,直線a平面,直線a垂直;射影AB.ABP求證：aABP證明：∵PA是平面的垂線,直線a平面∴直線aPA又∵直線aABABPA∴直線a平面PAB而PB平面PAB∴aPB總結(jié)：定理論述了三個垂直關(guān)系，①垂線PA和平面垂直;②射影AB和直線a垂直;③斜線PB和直線a垂直.三垂線定理揭示了一個平面和四條直線所構(gòu)成的三種垂直關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，是線面垂直的性質(zhì)，在立體幾何中有廣泛的應(yīng)用。求二面角是高考考查的熱點，三垂線法是求二面角最常用的方法,應(yīng)用好定理的關(guān)鍵是實現(xiàn)斜線與其在面內(nèi)射影垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化，因此尋找垂線、斜線及其射影至關(guān)重要。運用三垂線法求二面角的一般步驃：①作：過二面角的其中一個平面上一點作(找)另一個平面的垂線,過垂足作二面角的棱的垂線。.②證：證明由①所得的角是二面角的平面角(符合二面角的定義)。③求：二面角的平面角的大小(常用面積相等關(guān)系求垂線段長度)。ABDC1、如右圖所示的四面體中，平面BCD，且，，①求二面角的大??；②求二面角的大小；ABDC1．解：①∵面∴∴為二面角的平面角∵且∴=∴二面角的大小為②∵面∴由三垂線定理得∴為二面角的平面角∵∴∵平面BCD∴∴在中，，∴二面角的大小為方法點撥：本題①的方法是直接運用二面角的定義求解,本題②的關(guān)鍵是找出垂線AB、斜線AC及其射影BC,。從而得到二面角的平面角為。2222正視圖側(cè)視圖求二面角A—VB—D的余弦值．VVEADBC2俯視圖2俯視圖2解:取AB的中點P,連結(jié)VP、DE，則由題意可知VP⊥平面ABCD，∴DA⊥VP又∵AD⊥AB∴AD⊥平面VAB∵是正三角形，E為VB的中點，∴AE⊥VB，∴由三垂線定理得VB⊥DE.所以就是所求二面角的平面角.由已知得DA=2,AE=∴DE=∴故二面角A—VB—D的余弦值為．方法點撥：本題的關(guān)鍵是過二面角的一個平面VBD上一點D到二面角的另一個平面AVB的垂線D則斜線為DE,其射影為AE從而得到二面角的平面角為。,。.3．一個三棱錐的三視圖、直觀圖如圖．求二面角的正切值． 3解：由正視圖、俯視圖知；由正視圖、側(cè)視圖知，點B在平面SAC上的正投影為AC的中點D，則，平面，；由俯視圖、側(cè)視圖知，點S在平面ABC上的正投影為DC的中點O，則，平面，．如圖．作于H，作交AB于E，則，連接SE，因OE是SE在底面ABC內(nèi)的射影，而，故由三垂線定理得，∴為二面角的平面角．ABCDS7．如圖，在底面是直角梯形的四棱錐ABCDS∠ＡＢＣ＝９０°，ＳＡ⊥面ABCD，SA＝AB＝ＢＣ＝１，ＡＤ＝．求面SCD與面SBA所成的二面角的正切值．7.解法一：延長BA、CD相交于點E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱ABCDSE∵ＡＤ∥ＢＣ，ＢＣ＝２ＡＤ∴ＥＡ＝ＡＢ＝ＳＡABCDSE∵ＳＡ⊥面ABCD，得面SEB⊥面EBC，EB是交線.又ＢＣ⊥ＥＢ，∴ＢＣ⊥面SEB，故SB是SC在面SEB上的射影，∴CS⊥ＳＥ，所以∠ＢＳＣ是所求二面角的平面角∵ＳＢ＝∴ｔｇ∠ＢＳＣ＝即所求二面角的正切值為解法二：延長BA、CD相交于點E，連結(jié)SE，則SE是所求二面角的棱ABCDSEFABCDSEF ∵ＳＡ⊥面ABCD∴AD⊥SA又∵∠ＡＢＣ＝９０°， ∴AD⊥AB而∴DA⊥面SAE ∴由三垂線定理得：SE⊥DF∴∠DFA是所求二面角的平面角 由已知得A為BE的中點∴AE1，SE 由面積相等關(guān)系得 在中，即所求二面角的正切值為解法三（提示）：取SC的中點Q，BC的中點H，連結(jié)QH、DH、DQ，則,從而平面QHD平面SBA，所以面QHD與面SCD所成二面角的大小等于面SCD與面SBA所成二面角的大小ABCDABCDSQH∵ＳＡ⊥面ABCD∴SA⊥BC,又∵∠ＡＢＣ＝９０°∴BC⊥面SAB∴CH⊥面QHD由已知得:∴SD=CD,又Q為SC的中點∴由三垂線逆定理得：所以,是面QHD與面SCD所成二面角的平面角由已知得:在中,解法四（提示用面積投影法）：∵ＳＡ⊥面ABCD∴SA⊥BC,又∵∠ＡＢＣ＝９０°∴BC⊥面SAB∵BC//AD∴AD⊥面SAB∴C在平面SAB上的射影為B,D在平面SAB上的射影為A,∴面的投影面為面，設(shè)Q為SC的中點,所求二面角的大小為，則由已知得:, 從而求得方法點撥：本題的難點是作二面角的公共棱,方法①是先延展兩個面SCD與面SBA得到公共棱SE,然后找其中一個面SBA的重線DA或CB,方法②是先平移面SBA到面HQD得到公共棱QD,然后找其中一個面HQD的垂線,,解法3用二面角的定義得面QHD與面SCD所成二面角的平面角為,解法四用三垂線法得面QHD與面SCD所成二面角的平面角為.8.（本小題滿分14分）已知所在的平面互相垂直，且ＡＢ＝ＢＣ＝ＢＤ，，求：⑴．直線AD與平面BCD所成角的大小；⑵．直線AD與直線BC所成角的大小；⑶．二面角A-BD-C的余弦值．8.解：⑴如圖，在平面ABC內(nèi)，過A作AH⊥BC，垂足為H，∵所在的平面互相垂直∴AH⊥平面DBC，∴∠ADH即為直線AD與平面BCD所成的角由題設(shè)知△AHB≌△AHD，則DH⊥BH，AH=DH，∴∠ADH45°…………….5分⑵∵BC⊥DH，且DH為AD在平面BCD上的射影，∴BC⊥AD，故AD與BC所成的角為90°……9分⑶過H作HR⊥BD，垂足為R，連結(jié)AR，則由三垂線定理知，AR⊥BD，故∠ARH為二面角A—BD—C的平面角的補角，設(shè)BC=a,則由題設(shè)知，AHDH=,在△HDB中，HR=a，∴tanARH==2故二面角A—BD—C的余弦值的大小為…………14分9．如圖，在四棱錐中，為正三角形，平面，平面，為上一點，.（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）當(dāng)時，求二面角的正切值.9解：（Ⅰ）∵平面，平面∴∥而平面平面∴∥平面（Ⅱ）∵平面∴平面平面在平面中過點做，垂足為，則有平面，∥，∴且∥，過做于，則，則為二面角的平面角，在四邊形中，∵，∴四邊形為矩形∴=，∴為的中點，為的中點，在中，，ABCEPABCEPDO10.(2012廣東理)如圖所示，在四棱錐中，底面為矩形，平面，點在線段上，平面。證明：平面；若，求二面角的正切值；10.解：（1）平面，面平面，面又面（2）法一：(定義法)設(shè)由（1）得：，，平面是二面角的平面角在中，在中，得：二面角的正切值為法二：(三垂線法)設(shè)由（1）得：平面,過垂足作公共棱的垂線OF,連結(jié),則由三垂線定理得∴就是二面角的平面角. ∵底面為矩形,∴, 易得∽∴在中, 故二面角的正切值為11(2011廣東高考題改編)（本小題滿分13分）如圖5，在椎體中，是邊長為1的菱形，且,,求二面角的大小.法一：(定義法)取的中點,連結(jié)、 ∵,為的中點 ∴ ∵, ∴是等邊三角形N ∵為的中點N ∴ ∴就是二面角的平面角. 由已知得， 過作交其延長線于,則 即,解得 ∴從而，故二面角的大小.為 法二：(三垂線法)過作平面,垂足為點,連結(jié)、 作于，連結(jié)，則由三垂線定理得 ∴就是就是二面角的平面角的補角， ∵， ∴為的中點∴∵,∴是等邊三角形∴，∵∴、、三點共線設(shè),則 即,解得 在中,,∴ 所以二面角的大小.為12．(2013廣東高考題)（本小題滿分14分）如圖1,在等腰直角三角形中,,,分別是上的點,,.COBDEACDOBE圖