新高考背景下探究性解題教學(xué)的實踐與思考

【摘要】新高考增強了試題的的探究性。在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)著力培養(yǎng)學(xué)生的探究能力，開展探究性解題教學(xué)。探究性解題教學(xué)回歸本真，強調(diào)學(xué)生的自主參與，調(diào)動所學(xué)的知識探索解題的方向、途徑?！娟P(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué)；探究性解題教學(xué)；數(shù)學(xué)思想方法；數(shù)學(xué)思維方法一、問題提出1.高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)的現(xiàn)狀在高中數(shù)學(xué)解題教學(xué)中，不少教師只關(guān)注各種題型的教學(xué)，采用“填鴨式”的教學(xué)方式。在學(xué)生還沒有理解題意、細(xì)致思考、形成解題思路的情況下，就要求學(xué)生說出解題方法。當(dāng)學(xué)生遇到困難、疑惑時，老師就直接告知具體的解法。由于沒有引導(dǎo)學(xué)生開展數(shù)學(xué)探究活動，學(xué)生沒有自主探索，沒有積累探索性解題活動經(jīng)驗，當(dāng)面對高考中的新題、難題，就無法入手。2.高考命題的要求《教育部關(guān)于做好2024年普通高校招生工作的通知》（［教學(xué)2024］2號）中明確提出：注重考查學(xué)生的必備知識、關(guān)鍵能力和學(xué)科素養(yǎng)，引導(dǎo)培養(yǎng)探索性、創(chuàng)新性思維品質(zhì)。優(yōu)化試卷結(jié)構(gòu)和試題形式，增強試題的應(yīng)用性、探究性、開放性。高考的試題設(shè)計注重對探索性思維品質(zhì)的考查，強調(diào)在面對問題，特別是新問題新情境時，能夠自主探究分析問題背后的數(shù)學(xué)模型，抽象出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，利用所學(xué)數(shù)學(xué)知識尋找解決問題的路徑。［1］面對新高考增強試題探究性、突出理性思維和探究能力的考查，在解題教學(xué)中教師應(yīng)強化探究性教學(xué)，讓思維能力培養(yǎng)、探究能力培養(yǎng)和解決問題能力的培養(yǎng)成為最重要的教學(xué)任務(wù)。［2］二、探究性解題教學(xué)的要義解題是指從問題的起始狀態(tài)出發(fā)，對條件進(jìn)行有機組織，實施連續(xù)的操作達(dá)到問題解決的最終狀態(tài)，解題的關(guān)鍵是探索這些操作。探究性解題指學(xué)生從閱讀題目開始，依據(jù)題目的條件，發(fā)現(xiàn)問題、困惑和障礙，明確解題的目標(biāo)，調(diào)動所學(xué)的知識，運用觀察、比較與類比、歸納與猜想、分析與綜合、抽象與概括等思維方法主動探索解決問題的方案，并不斷調(diào)整，不斷優(yōu)化。探究性解題教學(xué)則指在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生積極、主動地直面問題，歷經(jīng)嘗試、實驗、改進(jìn)、調(diào)整、優(yōu)化等過程，孕育解題思路，探索、研究解決問題方法，推廣解題結(jié)果。探究性解題教學(xué)著力培養(yǎng)學(xué)生面對陌生情境，發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題的能力、創(chuàng)新能力和實踐能力，提升探索性思維品質(zhì)。三、探究性解題教學(xué)的策略探究性解題教學(xué)不是把現(xiàn)成的結(jié)果、問題的解法直接告訴學(xué)生，而是讓學(xué)生不斷提出問題、分析問題、解決問題，從而讓學(xué)生經(jīng)歷探究的過程、思考的過程。具體來說，有如下策略。1.引導(dǎo)反思質(zhì)疑，增強探究動力問題是數(shù)學(xué)探究活動的動力，反思質(zhì)疑是提出問題的重要方法，因此反思質(zhì)疑有利于增強學(xué)生的探究動力。數(shù)學(xué)教科書是教學(xué)的載體，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，教師尤其要重視學(xué)生對課本中的概念、定理、公式、解法等的深化理解。例如，對等差數(shù)列的通項公式的推導(dǎo)，蘇教版高中數(shù)學(xué)教材采用的是疊加法。在教學(xué)中，教師可以追問學(xué)生，為什么要把n-1個式子疊加起來？其目的是什么？從而引發(fā)學(xué)生反思，開展探究活動，幫助學(xué)生弄清疊加法背后的底層邏輯，把探究活動與有意義地接受新知自然地結(jié)合起來。在新授課上這樣來教學(xué)，學(xué)生就能理解疊加法的原理，同時積累了探究活動經(jīng)驗。到了高三復(fù)習(xí)課上就可以引導(dǎo)學(xué)生探究下面問題的解法。例1：對于給定的正整數(shù)k，若數(shù)列{an}滿足an-k+an-k+1+…+an-1+an+1+…+an+k-1+an+k=2kan對任意正整數(shù)n（ngt;k）總成立，則稱數(shù)列{an}是“P（k）數(shù)列”。若數(shù)列{an}既是“P（2）數(shù)列”，又是“P（3）數(shù)列”，求證：{an}是等差數(shù)列。師：這是一道高考試題的變式題，同學(xué)們思考怎樣解決這個問題。學(xué)生嘗試解答：因為{an}是“P（2）數(shù)列”，所以n≥3，an-2+an-1+an+1+an+2=4an，①因為{an}是“P（3）數(shù)列”，所以n≥4，an-3+an-2+an-1+an+1+an+2+an+3=6an。②學(xué)生的思路到此受阻，需要教師進(jìn)行引導(dǎo)。師：證明數(shù)列是等差數(shù)列有哪些方法？生：定義法，中項法和通項公式函數(shù)特征法。師：就此題而言，你認(rèn)為哪種方法比較合適？生：中項法，即要證明an+1-an=an-an-1（n≥2）。師：為什么要這么選擇？生：因為題目中出現(xiàn)了數(shù)列的項與項之間的關(guān)系，根據(jù)以往的經(jīng)驗，就選擇了中項法。師：接下來，怎么辦？生：消去多余的項an-3，an-2，an+2，an+3。師：怎么消？生：由①得，n≥2，an-1+an+an+2+an+3=4an+1，③n≥4，an-3+an-2+an+an+1=4an-1。④③+④－②得，n≥4，an-3+an+1=2an。即an+1-an=an-an-1。所以數(shù)列{an}從第3項起成等差數(shù)列，設(shè)公差為d。在①中，令n=4得，a2+a3+a5+a6=4a4，所以a3-a2=d。在②中，令n=3得，a1+a2+a4+a5=4a3，所以a2-a1=d。所以數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列。學(xué)生在消元法的統(tǒng)領(lǐng)下，把變通后的疊加法遷移到新的情境下解決問題?；谝陨咸骄靠梢钥吹?，例1的解法來源于課本，由此可見研讀課本，反思探究，深入探究、挖掘課本內(nèi)容背后蘊藏的數(shù)學(xué)思想方法，對解決高考試題是大有幫助的。2.采用啟發(fā)性提問，促進(jìn)探究活動探索性解題常見的啟發(fā)性提問有：“解題的目標(biāo)是什么？次目標(biāo)是什么”“為了實現(xiàn)解題目標(biāo)，怎么辦？”“數(shù)學(xué)對象有怎樣的性質(zhì)？數(shù)學(xué)對象之間有怎樣的關(guān)系”等。例2（2024年月九省高考適應(yīng)性考試第14題）以maxM表示數(shù)集M中最大的數(shù)。設(shè)0lt;alt;blt;clt;1，已知b≥2a或a+b≤1，則max{b-a，c-b，1-c}的最小值為_________。師：問題要求三個數(shù)b-a，c-b，1-c中最大數(shù)的最小值，可以分類討論，具體找出哪個數(shù)是最大的，但運算麻煩，可不可以，不具體找出哪個數(shù)解決問題呢？生：運用方程中設(shè)出未知數(shù)的方法，設(shè)b-a，c-b，1-c中最大數(shù)為t。師：t有怎樣的性質(zhì)呢？用不等式怎樣表示t與這三個數(shù)之間的關(guān)系？生：[t≥b-at≥c-bt≥1-c]。師：怎樣運用已知的不等式0lt;alt;blt;clt;1，b≥2a或a+b≤1，求出t的最小值呢？要求t的最小值，就是從以上的這些不等式，推出t≥s（s是常數(shù)）。以上探索出要解決問題的目標(biāo)。師：怎樣實現(xiàn)這一目標(biāo)？生：利用不等式的性質(zhì)，消去字母a，b，c。師：先考慮在b≥2a條件下，怎樣消去字母a，b，c？生：注意到只有t≥b-a（1）中含有字母a，將（1）兩邊同乘以2得2t≥2b-a（2）為了消去字母c，將兩個不等式t≥c-b，t≥1-c相加得2t≥1-b（3）由（2）+（3）得4t≥b-2a+1≥1，于是t≥[14]。師：再考慮a+b≤1條件下，怎樣消去字母a，b，c？解題的關(guān)鍵是設(shè)出三個數(shù)中的最大值為t，依據(jù)約束條件，在目標(biāo)t≥s（s是常數(shù)）的指引下。探索不等式之間的關(guān)系，利用數(shù)學(xué)運算、不等式的性質(zhì)，消去變量a，b，c。由于關(guān)系比較隱蔽，可以借助換元法，凸顯數(shù)量關(guān)系，減少思維量，優(yōu)化解題過程。3.關(guān)注數(shù)學(xué)思維方式，優(yōu)化探究活動數(shù)學(xué)思維方式是運用數(shù)學(xué)方法和邏輯來思考和解決問題的思維活動形式。數(shù)學(xué)思維方式從數(shù)學(xué)的角度，發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題，用數(shù)學(xué)的眼光觀察世界，用數(shù)學(xué)的思維思考世界，用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界。例如，依據(jù)直角坐標(biāo)系下坐標(biāo)的特征，橫坐標(biāo)是水平的，縱坐標(biāo)是豎直的，所以向橫縱兩個方向轉(zhuǎn)化是解析幾何中的基本的思維方式。解析幾何中斜率公式、兩點間的距離公式、弦長公式、向量坐標(biāo)公式、點到直線的距離公式、定比分點公式、焦半徑公式、直線的參數(shù)方程、一元一次不等式表示的平面區(qū)域表示等的推導(dǎo)都體現(xiàn)這一思維方式。2021年八省市新高考適應(yīng)性考試第21題第（2）問，要證明兩個角之間的關(guān)系，運用這一思維方式，探索出把兩個角之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個角的正切之間的關(guān)系。正切的意象是豎直與水平之比，正好與坐標(biāo)的特征相符合，解析幾何中的角往往轉(zhuǎn)化為角的正切，和坐標(biāo)發(fā)生聯(lián)系，體現(xiàn)解析幾何的坐標(biāo)化思想。例3（2024年新高考全國Ⅰ卷第16題）已知A（0，3）和P[3，32]為橢圓C：[x2a2]+[y2b2]=1（agt;bgt;0）上兩點。（1）求C的離心率；（2）若過P的直線l交C于另一點B，且△ABP的面積為9，求l的方程。對于第（2）問，如圖3，不同的表達(dá)△ABP面積的方法，導(dǎo)致此題的解法繁簡有別，△ABP的邊AP，AB，BP都可以作為三角形底，但注意到[AP]=[352]，預(yù)測選擇AP作為底邊的解法是比較簡潔的。如果進(jìn)一步注意到所給數(shù)據(jù)的特殊性，運用向橫縱轉(zhuǎn)化的思維方式，探索得到下面的最簡解法。解析幾何考查的要點是數(shù)形結(jié)合。充分挖掘圖形的幾何特征、性質(zhì)，有助優(yōu)化運算的途徑，減少運算量。只有多想方能少算。解析幾何運算是認(rèn)識幾何特征下的運算，不是純粹的代數(shù)運算。4.精致數(shù)學(xué)表達(dá)，深化探究活動表達(dá)與交流是最基本的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，書面表達(dá)是把自己的思維成果寫出來與他人分享與交流，這種表達(dá)要合乎邏輯。數(shù)學(xué)解題不但要探索出解題思路，還要探究如何書寫，嚴(yán)謹(jǐn)和準(zhǔn)確表達(dá)。精致數(shù)學(xué)表達(dá)，用清晰的形式化數(shù)學(xué)符號準(zhǔn)確地表達(dá)，不斷把數(shù)學(xué)探究引向深入，既有利于發(fā)展用符號語言表達(dá)的能力，更有利于發(fā)展理性思維。例4高三復(fù)習(xí)課上，再次推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式Sn=[n（a1+an）2]，探究倒序相加，是如何配對的？用數(shù)學(xué)符號怎樣表示？師：怎樣推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項和公式？生：用倒序相加法，Sn=a1+a2+a3+…+an，Sn=an+an-1+an-2+…+a1，兩式相加得2Sn=n（a1+an）。師：你能說清楚是怎樣的項配對相加的嗎？生：首尾配對的。師：還能表達(dá)更清楚一些嗎？生：項數(shù)和為n+1的項配對的。師：用符號語言怎樣表達(dá)？（學(xué)生感到困難）可否引入一個變化的字母來表達(dá)？生：設(shè)等差數(shù)列第k項為ak（k=1，2，…，4），把第k項ak與第n+1-k項an+1-k配對。師：用求和符號怎樣寫出詳細(xì)的證明過程？生：證明：Sn=a1+a2+a3+…+an=[k=1nak]，Sn=an+an-1+an-2+…+a1=[k=1nan+1-k]，兩式相加得2Sn=[k=1nak]+[k=1nan+1-k]=[k=1n（ak+an+1-k）]，因為{an}是首項為a1，公差為d的等差數(shù)列，所以ak+an+1-k=2a1+（n-1）d=a1+an。于是2Sn=[k=1n（a1+an）]=n（a1+an），Sn=[n（a1+an）2]。師：能感受到用求和符號來表達(dá)的好處嗎？（引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)中引入求和符號來表達(dá)的必要）生：用求和符號來表達(dá)，不再用省略號來表達(dá)了，表達(dá)更清晰了。同時哪些項配對也表達(dá)清楚了，真精妙！四、結(jié)語探究性解題教學(xué)要關(guān)注學(xué)情，以人為本。充分尊重學(xué)生的思考，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的主動性、積極性。讓他們主動反思質(zhì)疑，提出猜想，探究解題思路，探索推廣問題結(jié)果等。在教學(xué)中，數(shù)學(xué)解題探究要把握好學(xué)生獨立探究與教師啟發(fā)提示的度。根據(jù)學(xué)生的課堂反應(yīng)，適時采用啟發(fā)性提示語促進(jìn)探究活動，把探究逐步引入深入。讓學(xué)生領(lǐng)悟到解決問題的難點在什么地方，是怎樣克服這些困難與障礙的，積累探究性解題活動經(jīng)驗。探究性解題教學(xué)讓學(xué)生經(jīng)歷從不完善到完善的探究過程，學(xué)會調(diào)整，反思，糾正出現(xiàn)的錯誤，從不嚴(yán)密到嚴(yán)密。重視解題探索過程的暴露，讓學(xué)生歷經(jīng)探究過程。學(xué)生歷經(jīng)數(shù)學(xué)探究，知道探究什么，學(xué)會怎樣探究，形成數(shù)學(xué)探究活動經(jīng)驗。在新的情境中，形成遷移，探究一些新題、難題的解法。探究性解題首先要從大的方面來著眼，猜測、預(yù)估大體的解題方向、前景。其次考慮處理問題有幾種方法，并且對每一種方法進(jìn)行預(yù)測，預(yù)測所選方法的繁、簡，解題路徑的長短，解題的難度，等等。再次根據(jù)預(yù)估、判斷及時調(diào)整變通思路、優(yōu)化解題途徑。讓學(xué)生體會精巧的解法不是一蹴而就的，是不斷學(xué)習(xí)、反思的結(jié)果。培養(yǎng)學(xué)生良好的探究性解題習(xí)慣，從觀念層面的探究，到方法層面的探究，再到具體的解決。大處著眼，小處著手，從想法到算法，讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)會思考，學(xué)會探究，發(fā)展核心素養(yǎng)。探究性解題要找準(zhǔn)著眼點，抓住關(guān)鍵點。發(fā)揮解題目標(biāo)的定向作用，有了目標(biāo)，運用數(shù)學(xué)思維方法、數(shù)學(xué)思想方法，開展探究活動，探索實現(xiàn)目標(biāo)的途徑；如果沒有目標(biāo)，或目標(biāo)不具體，就要探索次目標(biāo)。探究性解題需要全面的、組織良好的基礎(chǔ)知識和基本方法。探究不是無本之木，無源之水。2021年八省市新高考適應(yīng)性考試第20題，以大興機場為生活情境，給出刻畫空間彎曲性曲率的定義?？疾閷臻g圖形的認(rèn)識，基本概念頂點、棱、面，常識相鄰兩個面有一條公共棱，是解決問題的基礎(chǔ)。進(jìn)而對頂點處角的和的轉(zhuǎn)化，由關(guān)注頂點處角的和，到關(guān)注面中角的和，從而聯(lián)想到用多邊形的內(nèi)角和公式解決問題，要求學(xué)生處理好部分與整體的關(guān)系、轉(zhuǎn)換數(shù)學(xué)對象、化生疏為熟悉。對探究性思維的有較高的要求。以探究性解題教學(xué)為契機，幫助學(xué)生領(lǐng)悟掌握數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)