2024-2025學(xué)年人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)同步訓(xùn)練：菱形（2個(gè)知識(shí)點(diǎn)+4類熱點(diǎn)題型+習(xí)題鞏固）解析版

第04講菱形

'學(xué)習(xí)目標(biāo)

課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)

1,熟悉菱形的定義，掌握菱形的性質(zhì)，并能夠熟練的應(yīng)用性質(zhì)。

①菱形的定義與性質(zhì)

2,掌握菱形的判定方法，能夠熟練的選擇合適的判定方法判定菱

②菱形的判定

形。

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)《除的判定

菱形利用菱形求不

\/利用菱形的性質(zhì)求?的度數(shù)

題型(利用菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

菱形的一定與性質(zhì)綜合

Lb

知識(shí)清單

知識(shí)點(diǎn)01菱形的定義與性質(zhì)

1.菱形的概念：

有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。

2.菱形的性質(zhì)：

①菱形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形所有的性質(zhì)。

特殊性：

②邊的特殊性：四條邊都相等。

即：AB=BC=CD=AD

③對(duì)角線的特殊性：對(duì)角線相互垂直且平分每一組對(duì)角。

即：/C±BD,且/￡UC=ABAC=ADCA=ZBCA,

NADB=/CDB=NABD=/CBD。

④面積計(jì)算：等于對(duì)角線乘積的一半。即S菱形

⑤對(duì)稱性：既是中心對(duì)稱圖形，也是軸對(duì)稱圖形。

【即學(xué)即練1】

I.下列關(guān)系中，是菱形的性質(zhì)但不是平行四邊形的性質(zhì)的是（）

A.對(duì)角線垂直B.兩組對(duì)邊分別平行

C.對(duì)角線互相平分D.兩組對(duì)角分別相等

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【解答】解：/、菱形的對(duì)角線互相垂直平分、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，符合題意；

8、菱形、平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，不符合題意；

C、菱形、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，不符合題意；

。、菱形、平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，不符合題意；

故選：A.

【即學(xué)即練2】

2.如圖，在菱形N8CD中，AB=5,對(duì)角線NC=6.若過點(diǎn)/作NE_L8C,垂足為E,則NE的長為（）

A.4B.2.4C.4.8D.5

1

【分析】連接3D,根據(jù)菱形的性質(zhì)可得/CL2D,AO=~AC,然后根據(jù)勾股定理計(jì)算出80長，再算

1

出菱形的面積，然后再根據(jù)面積公式BC'AE=-AC-BD可得答案.

【解答】解：連接AD,交/C于。點(diǎn)，

.四邊形/8CD是菱形，

:?AB=BC=CD=AD=5,

1

：.ACLBD,AO=-ACfBD=2BO,

/.ZAOB=90°,

U：AC=6,

：.AO=3,

A5O=V52-32=4,

???Q5=8,

11

???菱形ABCD的面積是5xAC?DB=]X6X8=24,

:?BC?AE=24,

?:BC=AB=5,

24

?\AE=—=4.8,

【即學(xué)即練3】

3.如圖，菱形48CD,/B=60°,E,尸分別是C8,CD上兩點(diǎn)，連接AF,EF,且/E4尸=60°,

如果a,則下列說法錯(cuò)誤的是（）

A.ZCEF—aB.NFAD=60°-a

C./EFC=6Q°-aD./4FD=90°-a

【分析】證出△4BEqZUC/（4SL4）.ZFAD^60°-a,得出N3=N/C尸=60°,AE=AF,證明△

/斯是等邊三角形，得出N/E&=60°,可得出答案.

【解答】解：連接ZC,EF,

?.?四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC,AB//CD.

：.ZB+ZBCD=1SO0.

VZB=60°,

...△48C是等邊三角形，ZBCD=120°.

：.ZBAC=ZACB^60°,AB^AC.

；?NACF=NB=60°.ZCAD=60°，

VZEAF=60°,

AABAC-/CAE=NEAF-/CAE.

：.ZBAE=ZCAF=a.

???△ABE咨AACF(ASA).NFAD=60°-a,

ZB=ZACF=60°,AE=AF,

VZEAF=60°,

???/是等邊三角形，

ZAFE=60°,

???/是等邊三角形，

AZAFE=60°,

ZAFC=/FAD+ND,

ZEFC=ZFAD=60°-a,

：?/CEF=cc,

不能證出NZFZ)=90°-a,

故選：D.

【即學(xué)即練4】

4.如圖，在菱形45C。中，對(duì)角線4。、5。交于點(diǎn)O,點(diǎn)G是45的中點(diǎn)，若OG=2.5,BD=8,則菱形

ABCD的面積是()

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)和已知條件可得OG是斜邊上的中線，由此可求出的長，再根據(jù)

勾股定理可求出OA的長，最后根據(jù)菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半計(jì)算即可.

【解答】解：???菱形

1

：.ACLBD,AC=2AO,BO=~BD,

VOG=2.5,BD=8,

：.AB=2OG=5,80=4,

?9?AO—yjAB2-BO2—3,

/.AC=2AO=6f

1

?,?菱形48CZ）的面積是yC?BD=24.

故選：c.

知識(shí)點(diǎn)02菱形的判定

1.菱形的判定:

判定方法文字語言數(shù)學(xué)語言圖形

四條邊都相等的9：AB=BC=CD=AD

直接判定

四邊形是菱形，四邊形N3CO是菱形

A

鄰邊相等的平行:在口/80中，AB=AD

0

平行四邊形四邊形是菱形...四邊形/BCD是菱形

加特殊性對(duì)角線相互垂直的?在口488中，ACLBDC

四邊形是菱形二四邊形是菱形

【即學(xué)即練1】

5.下列條件中，能判定四邊形是菱形的是（）

A.對(duì)角線垂直

B.兩對(duì)角線相等

C.兩對(duì)角線互相平分

D.兩對(duì)角線互相垂直平分

【分析】由對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出四邊形/BCD是平行四邊形，再由對(duì)角線互相垂

直的平行四邊形是菱形，即可得出結(jié)論.

【解答】解：能判定四邊形是菱形的是兩對(duì)角線互相垂直平分；理由如下：如圖所示：

\'OA=OC,OB=OD,

，四邊形/8C。是平行四邊形，

'JACLBD,

，四邊形/BCD是菱形（對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形）；

故選：D.

【即學(xué)即練2】

6.己知：如圖，在四邊形中，AD//BC,對(duì)角線NC的垂直平分線與邊2C分別相交于點(diǎn)A

F.求證：四邊形ZFCE是菱形.

AED

【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出乙以根據(jù)全等三角形的判定得出月會(huì)△COR根據(jù)全

等三角形的性質(zhì)得出OE=OR根據(jù)平行四邊形的判定得出四邊形是平行四邊形，根據(jù)線段垂直平分線

求出4E=C￡,即可得出答案.

【解答】證明：??ZQ〃BC,

???/EAO=/FCO,

,?7C的垂直平分線是

：.AO=CO,

在△4OE和△CO廠中

（Z.EAO=乙FCO

\OA=OC

U1E04=乙COF

：.LAOE絲LCOF,

：.OE=OF,

9

：OA=OCf

???四邊形4/CE是平行四邊形，

???斯是4C的垂直平分線，

:?AE=CE,

,平行四邊形47PE是菱形.

題型精講

題型01用菱形的性質(zhì)求線段長度

【典例1】菱形4BCD中，若對(duì)角線/C=8cro,BD=6cm,則菱形/BCD的周長是（）

A.25B.20C.15D.10

11

【分析】首先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得NO=pC,BO^-DB,ACLBD,AB=CB=CD=AD,進(jìn)而得到NO

和2。的長，然后再利用勾股定理計(jì)算出長，再計(jì)算菱形的周長即可.

【解答】解：：四邊形/BCD是菱形，

11

：.AO=~AC,BO=~DB,ACLBD,AB=CB=CD=AD,

'.'AC=8cmfBD=6cm,

.9.AO=4cm,BO=3cm,

'?AB=AO2+BO2—5cm,

???菱形的周長是：5cmX4=20cm,

【變式1】如圖，在菱形/5CQ中，對(duì)角線ZC、3。相交于點(diǎn)。，點(diǎn)”為邊的中點(diǎn).若菱形43cZ）的

周長為20,則的長為（）

5

A.-B.4C.5D.10

【分析】由菱形的性質(zhì)得45=08=。。=/。，ACLBD,則N4OD=90°,iAB+CB+CD+AD=4AD=

15

20,求得/。=5,而點(diǎn)H為邊4。的中點(diǎn)，則于是得到問題的答案.

【解答】解：???四邊形是菱形，對(duì)角線/C、相交于點(diǎn)O,

:?AB=CB=CD=AD,ACLBD,

：.ZAOD=90°,

菱形ABCD的周長為20,

AB+CB+CD+AD=44。=20,

：.AD=5,

???點(diǎn)〃為邊4。的中點(diǎn)，

15

：.OH=-AD=~,

故選：A.

【變式2】如圖，四邊形是菱形，對(duì)角線/C、8D交于點(diǎn)O,DE_LAB于點(diǎn)、E,/是線段力。的中點(diǎn),

5

連接。咒若04=4,0F=~,則DE的長為（）

D

6121824

A.~B.-C.-D.-

【分析】由菱形的性質(zhì)得OA=OC,OD=OB,則N49D=90°,因?yàn)槭蔷€段4。的中點(diǎn),

。產(chǎn)=萬，所以。尸=?。=萬，則45=40=5,而04=4,則ZC=2CM=8,OD=y/AD2-OA2=所

124

以BD=2OD=6,由8菱形/8。。=5?！?萬乂8><6,求得。石=三",于是得到問題的答案.

【解答】解：?.?四邊形/5C。是菱形，對(duì)角線ZC、BD交于點(diǎn)O,

：.ACLBD,OA=OCfOD=OB,

：.ZAOD=90°,

5

???月是線段力。的中點(diǎn)，OF=5

15

/.OF=—AD=-,

.\AB=AD=5,

,?Q=4,

2222

.'.AC=2OA=8fOD=AD-0A=V5-4=3,

：.BD=2OD=6,

1

,**S菱形ABCD=5DE=5x8X6，

24

'.DE=—,

故選：D.

【變式3】如圖，在菱形45cZ）中，N4=60°,點(diǎn)E,尸分別在邊45,5C上，ZEDF=6Q°,BF=林,

BE=1,則8。的長為（）

A.V6B.V3+1C.V6+1D.2V3—1

【分析】先證明△4血）是等邊三角形，再根據(jù)證明△ZDEgZSBD尸，得到4E=5/=迎，進(jìn)而可求

解48的長，即可求解.

【解答】解：?..四邊形NBC。是菱形，

J.AB^AD,AD//BC,

VZA=60°,

...△42。是等邊三角形，N/8C=180°-ZA=12O°,

：.AD=BD,ZABD=ZA=ZADB=ZDBC=6Q°,

VZEDF=60°,

NADE=NBDF,

在△/￡)￡1和△AD尸中，

(7.A=/.DBF

\AD=BD,

V^ADE=4BDF

:.4ADE4ABDFCASA),

；.AE=BF=?,

'：BE=\,

：.BD=AB=AE+BE=V6+1.

故選：C.

【變式4】如圖所示，在邊長為2的菱形/BCD中，/DAB=60°,WE為AB中點(diǎn),點(diǎn)尸是/C上一動(dòng)點(diǎn),

則￡尸+2廠的最小值為_V§_.(提示：根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì))

【分析】首先連接。瓦DE,設(shè)DE交4c于M,連接MB,DF.證明只有點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)加時(shí)，EF+BF

取最小值，再根據(jù)菱形的性質(zhì)、勾股定理求得最小值.

【解答】解：連接。8,DE,設(shè)交/C于連接A?,DF,

.四邊形43CD是菱形，

.,.AC,互相垂直平分，

/.點(diǎn)2關(guān)于NC的對(duì)稱點(diǎn)為D,

：.FD=FB,

：.FE+FB^FE+FD》DE.

只有當(dāng)點(diǎn)尸運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)M時(shí)，取等號(hào)（兩點(diǎn)之間線段最短），

△48。中，AD=AB,NDAB=60°,

?*.￡\ABD是等邊三角形.

為的中點(diǎn)，

:.DEL4B,

1______

.,.AE=~AD^1,DE=JAD2-AE2=V22-12=V3>

C.EF+BF的最小值為百.

題型02利用菱形的性質(zhì)求角的度數(shù)

【典例1］如圖，在菱形48CD中，對(duì)角線/C與3。相交于點(diǎn)。，OE±AB垂足為E,若N2CD=50°,

則N20E的大小為（）

D

A.24度B.25度C.40度D.65度

【分析】由菱形的性質(zhì)得NA4D=N8CD=50°,48=/。，/C_L8。，則N8/O=40/0=25°,ZAOB

=90°,ffijOELAB于點(diǎn)E,即可由NBOE+N/2O=90°,ZBAO+ZABO^90°,推導(dǎo)出N8OE=N

BAO=25°,于是得到問題的答案.

【解答】解：?..四邊形/BCD是菱形，對(duì)角線/C與相交于點(diǎn)。，

；./BAD=NBCD=50°,AB=AD,ACLBD,

1

ABAO=ZDAO=~ZBAD^25°,NAOB=90°,

'JOELAB于點(diǎn)E,

：.NOEB=90°,

VZBOE+ZABO=90°,ZBAO+ZABO=90°,

:./BOE=NBAO=25°,

故選：B.

【變式1】如圖，四邊形48CD是菱形，對(duì)角線NC、8。相交于點(diǎn)O,DHLBC于點(diǎn)、H,連接。//,ZBAD

=56°,則的度數(shù)是（）

D

A.38°B.34°C.28°D.24°

【分析】首先根據(jù)菱形的一組鄰角互補(bǔ)可以求出N/5C=124。，再根據(jù)菱形的對(duì)角線互相平分且每組對(duì)

1

角線平分一組對(duì)角可得4。8"=/48。=5乙48。=62。、OB=OD,所以可得N5O〃=28°,根據(jù)直角三

角形的斜邊等于斜邊的一半可得80=。。，根據(jù)等邊對(duì)等角可得/?！?=/助0=28°.

【解答】解：如下圖所示，

由菱形性質(zhì)可得NHW+NZBC=180°,

VZBAD=56°,

VZABC=124°,

1

"DBH=AABD=~AABC=62°,

■:DHLBC,

：.ZDHB=9G°,

在RtZXDB”中，ZBDH=90°-/DBH=90°-62°=28°,

?；OB=OD,

???點(diǎn)。是5。的中點(diǎn)，

:?HO=DO,

：.ZDHO=ZBDO=28°.

故選：C.

【變式2】如圖，在菱形/BCD中，ZABC=66°,對(duì)角線4C,BD交于點(diǎn)O,￡為。。的中點(diǎn)，連接

則N/QE的度數(shù)為（）

A.114°B.120°C.123°D.147°

【分析】由菱形的性質(zhì)求得ND3C=33°,N/OD=90°,根據(jù)三角形中位線定理得到0E〃8C,求得

/DOE=33°,據(jù)此求解即可.

【解答】解：：在菱形N8CD中，ZABC=66°,

1

：.ADBC=~^ABC=33°,ZAOD=9Q°,。為3。的中點(diǎn)，

為CD的中點(diǎn)，

是△D5C的中位線，

J.OE//BC,

：.ADOE=ZDBC=33°,

ZAOE=900+33°=123°,

故選：C.

【變式3】如圖，在菱形488中，N4BC=a,點(diǎn)E為對(duì)角線8。上一點(diǎn)，尸為/。邊上一點(diǎn)，連接CE,

EF,若CE=EF,CELBD,則NDEF一定等于()

1

A.aB.90°--aC.90°-aD.90°+a

【分析】連接/C,根據(jù)菱形的性質(zhì)證得“CUD,NABE=NCBE=NADE=*,AB=CB,進(jìn)而得到/

a

EAD=90°一］，證明之△CBE("S),得至"4E=EC=EF,由等腰三角形的性質(zhì)得到NEE4=N

a

EAD=90°-萬，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和直角三角形的性質(zhì)即可求得答案.

【解答】解：連接4C,

???四邊形/BCD是菱形，E點(diǎn)在對(duì)角線5。上，ACLBD,

1a

:?/ABE=/CBE=NADE=q/ABC=；,AB=CB,

a

：.ZEAD=90°-ZADE=90°

■:CELBD,

.,.A,E,C三點(diǎn)共線，

在△48E和△CBE中，

AB=CB

Z.ABE=Z.CBE,

BE=BE

：./\ABE^/\CBE(SAS),

：.AE=EC,

?：CE=EF,

:?AE=EF,

a

：.ZEFA=ZEAD=90°一,，

aa

：.ZAEF=1SO°-(90°一］)-(90°--)=a,

:./DEF=9。。-ZAEF=90°-a.

故選：C.

題型03利用菱形的性質(zhì)求點(diǎn)的坐標(biāo)

【典例1】如圖，菱形。45c的頂點(diǎn)C在x軸的正半軸上，頂點(diǎn)/的坐標(biāo)為(-3,4),頂點(diǎn)2的坐標(biāo)為

【分析】過點(diǎn)4作于點(diǎn)。，過點(diǎn)8作8￡_LOC于點(diǎn)E,利用矩形的性質(zhì)，菱形的性質(zhì)，勾股定

理解答即可.

【解答】解：過點(diǎn)/作/DLOC于點(diǎn)D,過點(diǎn)2作8ELOC于點(diǎn)E,

J.AD//BE,ZADO=90°,

:四邊形。/2C是菱形，

：.OA=AB,AB//OC,

二四邊形ZDE3是矩形，

：.AD=BE,AB=DE,

???點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-3,4）,

：.AD=4,0D=3,

OA=JAD2+OD2=5,

:.BE=4,AB=DE=5,

：.OE=DE-OD=2,

:,點(diǎn)、B(2,4).

故答案為：(2,4).

【變式11如圖，在菱形/BCD中，AB//y^,且8(-1,-2),C(3,1),則點(diǎn)N的坐標(biāo)為(

1,3).

【分析】過8作于點(diǎn)河，與y軸交于點(diǎn)N,由勾股定理求出8C=5,再由菱形的性質(zhì)得N3

BC=5,即可解決問題.

【解答】解：如圖，過8作于點(diǎn)與y軸交于點(diǎn)N,

BM=MN+BN=3+1=4,CM=CE+EM=1+2=3,

?..四邊形/BCD是菱形，

：.AB=BC,

在Rt^BCW中，由勾股定理得：BC=NBM2+CM?=&+32=5,

：.AB=BC=5,

：.AF=AB-BF=5-2=3,

軸，

.,.點(diǎn)N的坐標(biāo)為（-1,3）,

故答案為：（-1,3）.

【變式2】如圖，菱形N8CD的對(duì)角線交于原點(diǎn)O,若點(diǎn)8的坐標(biāo)為（4,加），點(diǎn)。的坐標(biāo)為（〃，2）,

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到OB=OD,進(jìn)而得到點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)。對(duì)稱，由此得到m=-

2,n=-4,求出答案.

【解答】解：?..四邊形N8C。為平行四邊形，

：.OB=OD,

?：aABCD的對(duì)角線交于原點(diǎn)0,

二點(diǎn)B與點(diǎn)D關(guān)于原點(diǎn)O對(duì)稱，

???加=-2,n=-4,

m+n--6,

故選：D.

【變式3】如圖，在坐標(biāo)系中放置一菱形。N2C,已知N/5C=60°,點(diǎn)8在y軸上，。/=1,先將菱形

CM2C沿x軸的正方向無滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，每次翻轉(zhuǎn)60°,連續(xù)翻轉(zhuǎn)2017次，點(diǎn)3的落點(diǎn)依次為B2,

C.(1345,彳)D.(1345.5,0)

【分析】連接NC,根據(jù)條件可以求出/C,畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律:

每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4.由于2017=336X6+1,因此點(diǎn)以向右平移1344（即336義4）即可到達(dá)

點(diǎn)臺(tái)2017，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)就可求出點(diǎn)32017的坐標(biāo).

【解答】解：連接NC,如圖所示.

?..四邊形。/8C是菱形，

.,.OA=AB=BC=OC.

VZABC^60°,

J.AABC是等邊三角形.

J.AC^AB.

：.AC=OA.

：.AC=].

畫出第5次、第6次、第7次翻轉(zhuǎn)后的圖形，如圖所示.

由圖可知：每翻轉(zhuǎn)6次，圖形向右平移4.

,-?2017=336X6+1,

.?.點(diǎn)以向右平移1344（即336X4）到點(diǎn)以017?

:4的坐標(biāo)為（1.5,,

???52017的坐標(biāo)為(1.5+1344,,

?*,^2017的坐標(biāo)為(1345.5,.

題型04菱形的判定與性質(zhì)綜合

【典例1】如圖，在△48C中，BA=BC,。是邊NC上的中點(diǎn)，延長80至點(diǎn)D,使得08=0。，DELBC

于點(diǎn)E.

（1）求證：四邊形/BCD是菱形.

（2）若CD=5,DE=4,求NC的長.

【分析】（1）根據(jù)平行四邊形的判定和菱形的判定解答即可；

（2）根據(jù)勾股定理得出CE,進(jìn)而利用菱形面積公式解答即可.

【解答】（1）證明：是邊/C上的中點(diǎn)，

：.AO^OC,

'：OB=OD,

，四邊形/3CD是平行四邊形，

?:BA=BC,

，四邊形/BCD是菱形；

（2）解：'：DE±BC,

:.NDEB=90°,

由勾股定理可知，CE=7CD2-DE2=752-42=3,

由（1）,可得3C=CD=5,

：.BE=BC+CE=8,

在RdDBE中，=VBE2+DE2=Vs2+42=4立，

11「

,；S菱形4BCD=BC-DE=2AC,BD.5X4=-X4^5AC,

：.AC=2^5.

【變式1】如圖，在RtZUCE中，N/CE=90°,點(diǎn)。是/E的中點(diǎn)，連接CD,過點(diǎn)C作C2〃/E,過點(diǎn)

/作4B〃CD,CB,AB交于點(diǎn)B,連接AD.

（1）求證：四邊形/BCD是菱形；

（2）連接2E交NC于點(diǎn)G,交CD于點(diǎn)尸，若BD=BC,CD=4,求。G的長.

【分析】（1）由N/CE=90°，點(diǎn)。是ZE的中點(diǎn)，得CD=AD=》4E,由C8〃4E,AB//CD,證明

四邊形N2CD是平行四邊形，則四邊形/2CO是菱形；

（2）由菱形的性質(zhì)得NCLBD,BC=CD,則8D〃CE,可證明四邊形8CED是平行四邊形，而

1

BC,CZ)=4,則四邊形5C￡Q是菱形，BD=BC=CD=4,所以05=0。=萬5。=2,ZCBD=60°,BE

LCD,求得尸=30°,則5G=2OG,由=NBG2-0G2=百OG=2,求得OG=等.

【解答】(1)證明：???//CE=90°,點(diǎn)。是/￡的中點(diǎn)，

1

CD=AD=ED=

YCB//AE,

:?CB〃AD,

?：AB〃CD,

???四邊形ABCD是平行四邊形，

\9CD=AD,

???四邊形45CQ是菱形.

(2)解：??,四邊形45CZ)是菱形，

C.ACLBD,BC=CD,

；?/BOC=NACE=90°,

J.BD//CE,

,:CB//DE,

???四邊形BCED是平行四邊形，

?:BD=BC,CD=4,

???四邊形5CEZ)是菱形，BD=BC=CD=4,

1

：.OB=OD=-BD=2,ZCBD=60°,BELCD,

1

ZDBF=ZCBF=-ZCBD=30°,

：.BG=2OG,

*.*OB=yjBG2-OG2=7(2OG)2-OG2=V^OG=2,

?“28

??OG=3,

；.OG的長是手.

【變式2】如圖，口48("＞對(duì)角線/C,8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)。作。E〃NC且。E=OC,連接C￡,OE,

OE=CD.

(1)求證：C748CD是菱形；

(2)若AB=2,ZABC^60°,求/E的長.

AD

【分析】（1）先證四邊形。CEZ）是平行四邊形.再證平行四邊形。CE。是矩形，則NCOO=90°,得

ACLBD,然后由菱形的判定即可得出結(jié)論；

（2）證△48C是等邊三角形，得NC=/3=2,再由勾股定理得OD=百，然后由矩形的在得CE=O。=

百，ZOCE=90°,即可解決問題.

【解答】（1）證明：'：DE//AC,DE=OC,

：.四邊形OCED是平行四邊形.

"：OE=CD,

平行四邊形OCE。是矩形，

：.ZCOD=9G°,

：.AC±BD,

.?.□/BCD是菱形；

（2）解：：四邊形/BCD是菱形，

：.OA=OC,CD=AB=BC=2,ACLBD,

VZABC=60°,

：./\ABC是等邊三角形，

:.AC=AB=2,

：.OA=OC=\,

在Rt/XOCD中，由勾股定理得：OD=hD2_0C2=限

由（1）可知，四邊形OCEO是矩形，

:.CE=OD=?ZOCE=90°,

'-AE=YIAC2+CE2=J22+（75）2=V7，

即AE的長為V7.

【變式3】如圖，△/2C中，AC=2AB,NO平分/A4C,過點(diǎn)C作交/。延長線于點(diǎn)K,點(diǎn)尸是

NC中點(diǎn)，連接EREB.

（1）證明：四邊形跖是菱形；

（2）若NA4c=120°,AB=277，求邊3c的長.

A

【分析】(1)由直角三角形的性質(zhì)得/F=CF=EF=yC,則又AC=2AB,則

AF=EF,從而證明"4〃環(huán)，即可證明四邊形45跖是平行四邊形，再由菱形的判定方法即可求證；

(2)作昉JL4C交C4延長線于點(diǎn)7/,則N/7ffi=900,通過勾股定理即可求解.

【解答】(1)證明：???CE，/E,

/.ZAEC=90°,

??,點(diǎn)廠是4c中點(diǎn)，

1

：.AF=CF=EF=~AC,

：.ZFAE=ZFEA,

■;AC=2AB,

：.AB=AF=EF,

平分NH4C,

???/BAE=/FAE,

：./BAE=/FEA,

:?BA〃EF,

???四邊形ABEF是平行四邊形，

■:AB=AF,

???四邊形4BEF是菱形;

(2)解：作昉LL4C交C4延長線于點(diǎn)則N4/ra=90°,

VZBAC=120°,

:?NBAH=60°,

AZABH=30°,

1一

:,AH=^AB=S，

'：AC=2AB,

：.AC=2AB=4y[7,

：.CHAH+AC5V7,

由勾股定理得：BH=y/AB2-BH2=J(277)2—(77)2=①，

在中，由勾股定理得：Be?=?2+CH2=J(?」+(SV?」=14,

.?.BC的長為14.

強(qiáng)化訓(xùn)練

1.菱形具有而一般平行四邊形不具有的性質(zhì)是（）

A.兩組對(duì)邊分別相等B.兩組對(duì)邊分別平行

C.對(duì)角線互相垂直D.有一個(gè)角是直角

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可.

【解答】解：根據(jù)菱形的性質(zhì)、平行四邊形的性質(zhì)分別判定：

/、菱形、平行四邊形的兩組對(duì)邊都相等，不符合題意；

5、菱形、平行四邊形的兩組對(duì)邊都平行，不符合題意；

C、菱形的對(duì)角線互相垂直，一般平行四邊形對(duì)角線不互相垂直，符合題意；

。、菱形、平行四邊形不一定都有一個(gè)角是直角，不符合題意；

故選：C.

2.在下列條件中選取一個(gè)作為增加條件，能使口/BCD成為菱形的是（）

A.AC=BDB.AB=DCC.ACA.BDD.AD//BC

【分析】由四邊形N8C。是平行四邊形，且ZC=B。，可證明四邊形/8C。是矩形，但不一定是菱形，

可判斷/不符合題意；由平行四邊形的性質(zhì)得AD//BC,但由或NO〃8C不能證明

四邊形/BCD是菱形，可判斷2不符合題意，。不符合題意；由四邊形/BCD是平行四邊形，且NC,

BD,可證明四邊形Z2CD是菱形，可判斷C符合題意，于是得到問題的答案.

【解答】解：：四邊形/BCD是平行四邊形，且NC=AD,

四邊形/BCD是矩形，但不一定是菱形，

故/不符合題意；

;平行四邊形的兩組對(duì)邊分別相等，

.?./8=DC,但由AB=DC不能證明四邊形ABCD是菱形，

故2不符合題意；

.??四邊形/BCD是平行四邊形，^.ACLBD,

四邊形4BC。是菱形，

故C符合題意；

???平行四邊形的兩組對(duì)邊分別平行，

：.AD//BC,但由不能證明四邊形48co是菱形，

故。不符合題意，

故選：C.

3.若菱形/BCD的邊的長為2cm,則菱形的周長為（）

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

【解答】解：?.?菱形/BCD的邊48的長為2cm,

AB—BC—CD—AD—2cm,

菱形48co的周長為4X2=8（cw）,

故選：D.

4.如圖，菱形/BCD的對(duì)角線/C、8。相交于點(diǎn)O,過點(diǎn)D作。于點(diǎn)“，連接若。/=4,

0H—3,貝1JS菱形48C。為（）

A.6B.8C.24D.12

【分析】由RtZXBAD中，點(diǎn)。是AD的中點(diǎn)，根據(jù)直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半，0H=3可

得BD=6,由菱形對(duì)角線的性質(zhì)可得/C=8,應(yīng)用菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半，即可得出答

案.

【解答】解：：四邊形/BCD是菱形，

：.OB=OD,ACLBD,OA=OC,

:DHL4B,

ZBHD=90°,

：.BD=2OH,

:。/=4,0H=3,

：.AC=8,BD=6,

11

菱形NBC。的面積=5X/C?8O=5X8X6=24.

故選：C.

5.如圖，兩張寬度均為3cm的紙條交叉疊放在一起，交叉形成的銳角為60°,則重合部分構(gòu)成的四邊形

ABCD的周長為（)

A.6cmB.6V3cmC.8V3cmD.IOV3cm

【分析】過點(diǎn)/作8c于點(diǎn)E,4FLCD于點(diǎn)R易知四邊形48CD為平行四邊形，AE=AF=3cm,

ZADF=ZABE=60°,可證產(chǎn)gZUBE（44S）,得到可證四邊形N8CO為菱形.在Rt

4尸LLL

△4。尸中，AD=-.—=2V3-因此四邊形的周長為：2百x4=8西cm.

sinoO

【解答】解：如圖，過點(diǎn)N作NEL8c于點(diǎn)E,4FLCD于點(diǎn)凡

：.ZAEB=ZAFD=90°,

???兩張紙條寬度均為3CM

二四邊形48CD為平行四邊形，且/E=/F=3c"?,

ZADF=ZABE=60°,

:.4ADF色AABE(AAS),

：.AD=AB,

四邊形/BCD為菱形,

在RtZ\4D廠中，ZADF=60°,AF=3cm,

AF「

??AD=.=2底

sin60°

四邊形Z5CD的周長為：2V3X4=8V冽.

ZABC=60°,對(duì)角線/C與80相交于點(diǎn)。，/尸，3。于點(diǎn)尸，交BD于點(diǎn)、

P.若/8=6,則。P的長為（）

BFC

A.2V3B.3V3C.4V3D.6V3

【分析】先由菱形的性質(zhì)得到4D=48=8C=6,ACLBD,4c=204,再證明△NBC是等邊三角形，

則/C=/5=6,進(jìn)而得到。4=3,由三線合一定理得到/。/尸=30°,則可求出。P=3-04=百，利

用勾股定理得到。。=3百，貝=OP+OD=4V3.

【解答】解：：四邊形/BCD是菱形，

：.AD=AB=BC=6,ACVBD,AC=2OA,

VZABC=60°,

二.△ABC是等邊三角形，

.\AC=AB=6,

.?.CU=3,

?：AF2BC,

???NCU尸=30°,

；.OP=券。4=百，

在Rt/\AOD中,由勾股定理得。。=dAD?-0屋=3百，

：.DP=OP+OD=4>/3,

故選：C.

A.一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形

B.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形

C.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形

D.四條邊相等的四邊形是菱形

【分析】由作圖得即可根據(jù)“四條邊相等的四邊形是菱形”證明四邊形N3C。是菱

形，于是得到問題的答案.

【解答】解：由作圖得CB=CD=AD,

：.AB=AD=CB=CD,

???四條邊相等的四邊形是菱形，

，四邊形/BCD是菱形，

故選：D.

8.如圖，。是坐標(biāo)原點(diǎn)，菱形/8OC的頂點(diǎn)8在x軸的負(fù)半軸上，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,4）,則頂點(diǎn)/的

【分析】過C作CNLx軸于N,由勾股定理求出OC=NON2+CN2=5,由菱形的性質(zhì)推出/C〃2。,

由勾股定理求出BM~AB2-AM2=3,得到0M=O2-MB=5-3=2,因此點(diǎn)/的坐標(biāo)為（-2,4）.

【解答】解：過C作CNLx軸于N,過“作軸于跖

?.?點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3,4）,

：.ON=3,CN=4,

'-OC=vON2+CN2=5,

?.?四邊形N5OC是菱形，

：.AC=OC=5,AC//BO,

點(diǎn)力的坐標(biāo)為（-2,4）.

故選：C.

9.如圖，已知/8=8,P為線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，分別以/尸，尸8為邊在N8的同側(cè)作菱形NPCD和菱形

PBFE,點(diǎn)P,C,E在一條直線上，ZDAP=60°,M,N分別是對(duì)角線/C,的中點(diǎn).當(dāng)點(diǎn)尸在線段

上移動(dòng)時(shí)，點(diǎn)之間的距離最短為（）

A.2B.2V3C.4D.4V3

1

【分析】連接。P，連接尸R連接。R證明〃乂=尹尸，求出。尸的最小值，可得結(jié)論.

【解答】解：連接。尸，連接尸凡連接。尸，

'：MA^CM,EN=BN,

.?.點(diǎn)M■在線段尸。上，點(diǎn)N在線段尸尸上,

.四邊形APCD,四邊形PBFE是菱形，

二點(diǎn)M是。尸中點(diǎn)，點(diǎn)N是尸產(chǎn)中點(diǎn)，

:.MN是4PDF的中位線，

1

：.MN=~DF,

當(dāng)。尸最小時(shí)，最小，

DF的最小值為DF垂直BF時(shí)，

VZDAB^60°,

：.DF的最小值為4百，

的最小值為2百.

故選：B.

10.如圖，在菱形N8CD中，對(duì)角線NC與AD相交于點(diǎn)O,E,尸分別是08,。。的中點(diǎn)，下列結(jié)論：①

四邊形NECF是菱形；②/BAE=/DCF；③NDAF=/FAO；④S菱形48=斯,/。，其中正確結(jié)論

的個(gè)數(shù)是（）

_________D

Bc

A.1B.2C.3D.4

【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)得到O/=OC,OB=OD,AC-LBD,求得根據(jù)線段中點(diǎn)的定義得到

OE=~OB,OF=-OD,求得OE=OF,根據(jù)菱形的判定定理得到四邊形是菱形，故①正確；根

據(jù)菱形的性質(zhì)得到求得NR4C=NDG4,同理可證N￡4C=NFC4,得到NA4E=NOCR故②

1

正確；無法證明乙D/b=NE4。成立，故③不正確；根據(jù)菱形的面積公式得到S菱形

OB=OD,求得OB=2OE,OD=2OF,于是得到S菱形初8=斯'/。，故④正確.

【解答】解：???四邊形"BCD是菱形，

：.OA=OC,OB=OD,AC±BD,

：.ACLEF,

,:E,尸分別是08,的中點(diǎn)，

11

：.OE=~OB,0F=~0D,

：.OE=OF,

四邊形NEC尸是菱形，故①正確；

???四邊形/BCD是菱形，

：.AB//CD,

：.ZBAC=ZDCA,

同理可證

/.ZBAE=ZDCF,故②正確；

無法證明N￡>4F=NE4。成立，故③不正確；

.四邊形4BCD是菱形，

1

?\S菱形ABCD=^BD?AC,OB=OD,

,:E,尸分別是。2,0D的中點(diǎn)，

：.OB=2OE,OD=2OF,

：.BD=OB+OD=2（OE+OF）=2EF,

:,S菱形ABCD=