2024-2025學(xué)年人教A版高一數(shù)學(xué)專(zhuān)項(xiàng)復(fù)習(xí)：用二分法求方程的近似解（三大題型）

4.5.2用二分法求方程的近似解

目錄

【背頁(yè)［???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2

題型一：用二分法求近似解的條件.................................................2

題型二：用二分法求方程近似解的過(guò)程.............................................3

■JIJji■寸???????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????5

【重難點(diǎn)集訓(xùn)】.................................................................8

【?nj】?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????16

【題型歸納】

題型一：用二分法求近似解的條件

1.（2024.高一.全國(guó)?課后作業(yè)）用二分法求方程％-23；=3的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（）

s/x

A.（0,1）B.（1,2）C.（2,3）D.（3,4）

【答案】C

【解析】令〃x）=x-21g；-3,根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，以及二分法的概念，即可得出結(jié)果.令

/(%)=x-21g-j=-3,

'Jx

則〃2)=2-21g頁(yè)-3=2-2x卜3lg2-3=lg2_l<0,

i3

/（3）=3-31g^=-3=-lg3>0,

用二分法求方程x-21g=3的近似解，可以取的一個(gè)區(qū)間是（2,3）.

故選：C.

2.（2024?高一?湖南?課后作業(yè)）下列函數(shù)中，只能用二分法求其零點(diǎn)的是（）

A.y=x+7B.y=5v-l

C.y=log3x

【答案】D

【解析1由x+7=0得x=—7；由5'—1=0得x=0;由1°§3%。得x=1；

即ABC選項(xiàng)，均可根據(jù)解對(duì)應(yīng)的方程求出零點(diǎn)；

D選項(xiàng)，由［gj-x=0,不能直接求解，因此需要用二分法求函數(shù)零點(diǎn).

故選：D.

3.（2024?高一?浙江杭州?期中）下列函數(shù)中不能用二分法求零點(diǎn)的是（）

A.y=3x-lB.y=x3C.y=|.x|D.y=liw

【答案】C

【解析】對(duì)于A,y=3x-l為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)x=；,且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),

所以可用二分法求零點(diǎn)，故A能用二分法求零點(diǎn)；

對(duì)于B,y=為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)彳=0,且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào),

所以可用二分法求零點(diǎn)，故B能用二分法求零點(diǎn)；

對(duì)于C,y=W不是單調(diào)函數(shù)，有唯一零點(diǎn)x=o,但函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)都是正的，

故C不能用二分法求零點(diǎn)；

對(duì)于D,y=lnx為單調(diào)遞增函數(shù)，有唯一零點(diǎn)x=l,且函數(shù)值在零點(diǎn)兩側(cè)異號(hào)，

所以可用二分法求零點(diǎn)，故D能用二分法求零點(diǎn).

故選：C.

4.（2024?高一?湖北恩施?期末）下列方程中，不能用二分法求近似解的為（）

2

A.log2x+x=0B.e*+x=0C.x—2x+1=0D.yfx+In.x=0

【答案】C

【解析】對(duì)于A,〃力=1暇》+工在（0,+8）上單調(diào)遞增，且=+=

可以使用二分法，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,〃x）=eX+x在R上連續(xù)且單調(diào)遞增，且/（0）=1>0,"-!）=『-1<0,可以使用二分法,

故B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,X2-2X+1=（X-1）2>0,故不可以使用二分法，故C正確；

對(duì)于D,〃x）=6+lnx在（0,+8）上單調(diào)遞增，且⑴=1",

可以使用二分法，故D錯(cuò)誤.

故選：C

題型二：用二分法求方程近似解的過(guò)程

5.（2024?高一.上海.期末）若函數(shù)/（力=三-彳-1在區(qū)間［LL5］的一個(gè)零點(diǎn)的近似值用二分法逐次計(jì)算列

表如下：

/(1)<0/(1.5)>0

/(1.25)<0“1.375)>0

/(1.3125)<0/(1.34375)>0

那么方程*3一》_1=。的一個(gè)近似解為苫=（精確到0.1）

【答案】L3

【解析】由表格中的數(shù)據(jù)，可得函數(shù)〃力=三-工-1的零點(diǎn)在區(qū)間（1.3125,1.3475）之間，

結(jié)合題設(shè)要求，可得方程％3-尤-1=0的一個(gè)近似解為元=1.3.

故答案為：L3.

6.（2024.高一.天津.階段練習(xí)）若用二分法求方程2d+3x-3=0在初始區(qū)間（0」）內(nèi)的近似解，第一次取

區(qū)間的中點(diǎn)為占=;,那么第二次取區(qū)間的中點(diǎn)為％=.

3

【答案】-/0.75

4

【解析】當(dāng)x=0時(shí)，2X03+3X0-3=-3<0，

當(dāng)x=l時(shí)，2xl3+3xl-3=2>0,

當(dāng)犬=工時(shí)，2x(，］+3xl-3=--<0,

故下一次應(yīng)取區(qū)間(；，1］的中點(diǎn)，即:.

3

故答案為：—.

4

-7

7.(2024?高一?江蘇?課后作業(yè))已知函數(shù)〃%)=優(yōu)+盤(pán)r口(〃>1).

⑴求證：/(幻在(-1,+8)上為增函數(shù).

(2)若。=3,求方程/(%)=。的正根(精確度為0.01).

【解析】(1)證明：設(shè)一1<%<%2，

再_x2%-2%_2畫(huà)__3(%-％)_

???f(x)-f(x)=CtCt-T--CtOr

12%+19+1(玉+1)(工2+1)

v-1<^<x2,.?.玉+1>0,x2+1>0,x1-x2<0,

.3(%-％)〈0

;

"(x1+l)(x2+l)

x

-1<<x2,且。>1,axx<ax2,a'-a^<0,

/(^)-/(x2)<0,即/(xj</(%),

函數(shù)/(元)在(T,y)上為增函數(shù)；

X—2

(2)由(1)知，當(dāng)，=3時(shí)，/(尤)=3"+——在(T+8)上為增函數(shù),

x+l

故在(。,+⑹上也單調(diào)遞增，因此〃x)=0的正根僅有一個(gè)，

以下用二分法求這一正根，由于/(。)=-1<。，/(1)=|>0,

,取(0,1)為初始區(qū)間，用二分法逐次計(jì)算，列出下表：

區(qū)間中點(diǎn)中點(diǎn)函數(shù)值

(0,1)0.50.732

(0,0.5)0.25-0.084

(0.25,0.5)0.3750.322

(0.25,0.375)0.31250.124

(0.25,0.3125)0.281250.021

(0.25,0.28125)0.265625-0.032

(0.265625,0.28125)0.2734375-0.00543

(0.2734375,0.28125)

由于|0.2734375-0.28125|=0.0078125<0.01,

???原方程的根的近似值為0.2734375.

即f(x)=0的正根約為0.2734375.

8.(2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè))已知函數(shù)/0)=；/-爐+1

(1)證明方程/。)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)解；

(2)使用二分法，取區(qū)間的中點(diǎn)三次，指出方程f(x)=0(無(wú)日。，2])的實(shí)數(shù)解尤。在哪個(gè)較小的區(qū)間內(nèi).

【解析】(1)??,/(。)=1>。，/⑵=一；<0

.?"(0).〃2)=一卜0,

由函數(shù)的零點(diǎn)存在性定理可得方程“X)=0在區(qū)間(0,2)內(nèi)有實(shí)數(shù)解；

(2)取占=g(0+2)=l,得/⑴=；>0

由此可得/⑴4(2)=-1<0,下一個(gè)有解區(qū)間為(1,2)

1331

再取馬二不(1+2)=不，得/(不)=_?<0

ZZZo

313

-/(-)=--<0,下一個(gè)有解區(qū)間為(1q)

2o2

135517

再取干”/"得勺)=面>°

‘吟"(|)<o,下一個(gè)有解區(qū)間為g,|)

綜上所述，得所求的實(shí)數(shù)解無(wú)。在區(qū)間目，|).

題型三：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過(guò)程

9.(2024?高一?全國(guó)?課后作業(yè))在用二分法求函數(shù)/(x)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)時(shí)，經(jīng)計(jì)算，/(0.64)<0,/(0.72)

>0,/(0.68)<0,則函數(shù)的一個(gè)精確到0.1的正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值為—.

【答案】0.7

【解析】已知/(0.64)<0,/(0.72)>0,則函數(shù)/(尤)的零點(diǎn)的初始區(qū)間為［0.64,0,72］,

又0.68=g(0.64+0.72),且/(0.68)<0,所以零點(diǎn)在區(qū)間［0.68,0.72］,且該區(qū)間的左、右端點(diǎn)精確到0.1

所取的近似值都是0.7.

因此，0.7就是所求函數(shù)的一個(gè)正實(shí)數(shù)零點(diǎn)的近似值.

故答案為：0.7.

10.(2024?高一?全國(guó)?課堂例題)求曲線y=lgx和直線y=2-x的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)(誤差不超過(guò)0.05).

【解析】在同一平面直角坐標(biāo)系中，作出y=igx,y=2-尤的圖象如圖所示，

可以發(fā)現(xiàn)方程lgx=2-x有唯一解，記為七,并且解在區(qū)間(1,2)內(nèi).

設(shè)f(x)=lgx+x_2,則“X)的零點(diǎn)為x0.

用計(jì)算器計(jì)算得/■⑴<0，〃2)>0n%e(1,2)；

/(1.5)<0,〃2)>0n/?1.5,2),

/(1.75)<0,/(2)>O^xoe(1.75,2),

/(1.75)<0,〃1.875)>0n/e(1.75,1.875),

/(1.75)<0,/(1.8125)>0=飛e(1.75,1.8125),

?.?11.8125-1.751=0.0625<0.05x2,

曲線>=Igx和直線V=2x-的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)約為1用12：+175=1.78125.

11.(2024.高一.全國(guó).課堂例題)用二分法求函數(shù)〃￡)=三-x-l在區(qū)間［1,1.5］內(nèi)的一個(gè)零點(diǎn)的近似值.(誤

差不超過(guò)0.01)

【解析】經(jīng)計(jì)算〃1)=-1<0,/(1.5)=1.53-1.5-1=0.875>0,

所以函數(shù)〃尤)在［1,L5］內(nèi)存在零點(diǎn)尤。，

?。?,1.5］的中點(diǎn)國(guó)=1.25,

經(jīng)計(jì)算/(1.25)=1.253-1.25-1=-0.296875<0,

因?yàn)?（1.5）-〃1.25）<0,

所以尤0￡[1.25,1.5],

如此繼續(xù)下去，如下表：

區(qū)間中點(diǎn)值中點(diǎn)函數(shù)近似值

[1,1.5]1.25-0.30

[1.25,1.5]1.3750.22

[1.25,1.375]1.3125-0.05

[1.3125,1.375]1.343750.08

[1.3125,1.34375]1.3281250.01

[1.3125,1.328125]1.3203125-0.02

因?yàn)?1.328125-1.32031251=0.0078125<0.01,

所以函數(shù)“X）=三-x-1在區(qū)間[1,1.5]內(nèi)誤差不超過(guò)0.01的一個(gè)零點(diǎn)近似值可取為1.3203125.

12.（2024.高一.上海.專(zhuān)題練習(xí)）判斷函數(shù)/（"=2/-1的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，并用二分法求零點(diǎn)的近似值.（精確

度0.1）

【解析】因?yàn)椤▁）=2d_l,

所以"0）=-1<0,/（1）=2-1=1>0

因?yàn)椋?）?）⑴<0,所以“力在區(qū)間（0,1）內(nèi)有零點(diǎn),

因?yàn)?（*）=2丁-1在R上為增函數(shù)，

所以有且只有一個(gè)零點(diǎn)七e（0/），

取區(qū)間（Q1）的中點(diǎn)占=05,/（0.5）=2x0.53-l=-0.75<0,

所以“0.5）?/⑴<0,可得修40.5,1）,

取區(qū)間（051）的中點(diǎn)％=075,f（0.75）=2x0.753-l=-0.15625<0,

所以/（0.75）.41）<0,可得/e（0.75,1）,

取區(qū)間（0.75,1）的中點(diǎn)X,=0.875,/（0.875）=2x0.8753-l=0.3398>0,

所以〃0.75）?〃0.875）<0,可得飛e（0.75,0.875）,

取區(qū)間（0.75,0.875）的中點(diǎn)％=0.8125,廣（0.8125）=2x0.81253-1=0.0728>0,

所以/（0.75）?/（0.8125）<0,可得飛e（0.75,0.8125）,

因?yàn)閨0.8125—0.75|=0.0625<0.1,

所以/（x）=2V_1零點(diǎn)的近似值可取為0.75.

【重難點(diǎn)集訓(xùn)】

1.在使用二分法計(jì)算函數(shù)〃x）=2-+x—2的零點(diǎn)的近似解時(shí)，現(xiàn)已知其所在區(qū)間為（1,2）,如果要求近

似解的精確度為0.1,則接下來(lái)至少需要計(jì)算（）次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值.

A.2B.3C.4D.5

【答案】C

【解析】開(kāi)區(qū)間（L2）的長(zhǎng)度等于1,每經(jīng)過(guò)一次二分法計(jì)算，區(qū)間長(zhǎng)度為原來(lái)的一半，

經(jīng)過(guò)〃次二分法計(jì)算后，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)椤叮?/p>

又使用二分法計(jì)算函數(shù)/（力=2＞2+了-2的在區(qū)間（1,2）上零點(diǎn)的近似解時(shí)，要求近似解的精確度為0.1,

所以《40.1,則〃2咱°」，又上＜0.1＜：,所以一工?！?3,4）,又“eN*，故”24,

所以接下來(lái)至少需要計(jì)算你4次區(qū)間中點(diǎn)的函數(shù)值.

故選：C.

2.已知定義在耳上的增函數(shù)/（%）,在用二分法尋找零點(diǎn)的過(guò)程中，依次確定了零點(diǎn)所在區(qū)間為[區(qū)外，

a+b]「1b]-J2a+3b-51八r一人工…

〃，（一，a+294，又----3------J=°'則函數(shù)/（%）的零點(diǎn)為（）

74-74

A.——B.——C.——D.——

3399

【答案】C

【解析】由/（乃在[?；厣蠁握{(diào)遞增得：f（a）＜o(jì),f（b）＞0,又a+g＞a恒成立，

a+b

u-\-----------------12

21a=——

--------------------------=QH---------3

22,解得

a+b_bb=-

13

2~4

的零點(diǎn)為一4一=7,

39

故選：C.

3.下列函數(shù)一定能用“二分法”求其零點(diǎn)的是（）

A.y=kx+b（k,b為常數(shù)，且左w0）

B.y=ax2+bx+c（〃，b,c為常數(shù)，且〃。0）

C.y=2x

k

D.y=—（左NO,左為常數(shù)）

x

【答案】A

【解析】由指數(shù)函數(shù)與反比例函數(shù)的性質(zhì)可知其沒(méi)有函數(shù)零點(diǎn)，故C,D不能用“二分法”求其零點(diǎn)，故CD

錯(cuò)誤；

對(duì)于二次函數(shù)yuaf+bx+c（tz,b,c為常數(shù)，且awO）,當(dāng)△=/?-4acVO時(shí)，不能用二分法，故B錯(cuò)

誤；

由于一次函數(shù)一定是單調(diào)函數(shù)，且存在函數(shù)零點(diǎn)，故可以用“二分法”求其零點(diǎn)，故A選項(xiàng)正確.

故選：A

4.用二分法求方程/+3x—7=0在（1,2）內(nèi)的近似解的過(guò)程中，構(gòu)造函數(shù)氏0=/+3尤一7,算得犬1）＜0,

川.25）＜0,用.5）＞0,式1.75）＞0,則該方程的根所在的區(qū)間是（）

A.（1,1.25）B.（1.25,1.5）

C.（1.5,1.75）D.（1.75,2）

【答案】B

【解析】由#.25）＜0,-1.5）＞0得加.25）式1.5）＜0,

又函數(shù)兀0的圖象是連續(xù)不斷的，

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理可知，函數(shù)式x）的一個(gè)零點(diǎn)x°e（1.25,1.5）,

即方程/+3%—7=0的根所在的區(qū)間是（1.25,1.5）,

故選：B

5.已知圖像連續(xù)不斷的函數(shù)/'（X）在區(qū)間（。力）8-。=0.1）上有唯一零點(diǎn)，如果用“二分法”求這個(gè)零點(diǎn)（精

確度0.0001）的近似值，那么將區(qū)間（"/）等分的次數(shù)至少是（）

A.4B.6C.7D.10

【答案】D

【解析】設(shè)需計(jì)算”次，貝V滿足審=岑＜。.00。1,即2"＞1000.

由于29=512,*=1024,故計(jì)算10次就可滿足要求，

所以將區(qū)間等分的次數(shù)至少是10次.

故選：D.

6.用二分法求方程尤3一2了-5=0在區(qū)間[2,3]內(nèi)的實(shí)根，下一個(gè)有根區(qū)間是（）

A.[2,2.5]B.[2.5,3]C.[2,2.25]D.[2.75,3]

【答案】A

【解析】由題意，設(shè)〃力=三-2》-5,

其中42）=23-2X2—5=T<0,43）=33—2X3—5=16>0,

又由/（2.5）=（2.5）3-2-5=5.625>0,則/（2）?/（2.5）<0,

可得方程根在區(qū)間[2,2.5].

故選：A.

7.用二分法求八元）=0在區(qū)間（1,2）內(nèi)的唯一實(shí)數(shù)解配時(shí)，經(jīng)計(jì)算得了⑴=括，犬2）=-5,/（1）=9,則

下列結(jié)論正確的是（）

A.尤oC（l，5）B.xo--1-

3

C.XO￡（5>2）D.XO=1

【答案】c

【解析】根據(jù)二分法求區(qū)間根的方法只須找到滿足八加?八6）V。由于"3）陰11｝與-0義=-<，所

以七?g?]

故選C.

8.已知/（x）=』-lnx在區(qū)間（1,2）內(nèi)有一個(gè)零點(diǎn)七,若用二分法求升的近似值（精確度）為0.2,則最少需要

將區(qū)間等分的次數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】設(shè)需要將區(qū)間等分〃次，

因?yàn)槊看蔚确謪^(qū)間，都會(huì)將區(qū)間的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，原區(qū)間長(zhǎng)度為1,

所以402，得〃2l°g25,

因?yàn)椤癳N*,所以”的最小值為3,

故選：A

9.（多選題）下列說(shuō)法正確的是（）

A.已知方程的解在化左+l）（%eZ）內(nèi)，貝蛛=1

B.函數(shù)/（力=f—x—6的零點(diǎn)是（3,0）,（-2,0）

C.函數(shù)y=2'-x2有兩個(gè)不同的零點(diǎn)

D.用二分法求函數(shù)/（尤）=3'+3%-8在區(qū)間（1,2）內(nèi)零點(diǎn)近似值的過(guò)程中得到

/(1)<0,/(1.5)>0,/(1.25)<0,則零點(diǎn)近似值在區(qū)間(125,1.5)上

【答案】AD

【解析】對(duì)A,記〃x)=e*-8+(易知y=e「8,y=5都在R單調(diào)遞增,

所以f(x)在R上單調(diào)遞增，

又〃l)=e-8+g=e-T(°，"2)=e2.7)0,

所以存在唯一零點(diǎn)飛,且9?1,2),

即方程/=8-：的唯一解在(1,2)內(nèi)，所以左=1,A正確；

對(duì)B,^>/(X)=X2-X-6=0,解得x=-2或尤=3,

所以函數(shù)〃x)=f-x-6的零點(diǎn)是一2或3,B錯(cuò)誤；

當(dāng)x<0時(shí)，函數(shù)y=2"和y=x2的圖象顯然有一個(gè)交點(diǎn)，

又22=2?,24=42,所以函數(shù)y=2工和>=/的圖象在％=2,x=4處相交，

所以y=2,-Y有三個(gè)不同的零點(diǎn)，c錯(cuò)誤；

對(duì)D,因?yàn)?(1.25)〃1.5)<0,

所以由零點(diǎn)存在性定理可知，零點(diǎn)近似值在區(qū)間(125,1.5)上，D正確.

故選：AD

10.(多選題)教材中用二分法求方程2,+3x-7=0的近似解時(shí)，設(shè)函數(shù)〃x)=2'+3x-7來(lái)研究，通過(guò)計(jì)

算列出了它的對(duì)應(yīng)值表

X1.251.3751.406251.4221.43751.5

“X)-0.87-0.26h-0.050.020.33

分析表中數(shù)據(jù)，則下列說(shuō)法正確的是：()

A.//>0

B.方程T+3x-7=0有實(shí)數(shù)解

C.若精確度到0.1,則近似解可取為1.375

D.若精確度為0.01,則近似解可取為1.4375

【答案】BC

【解析】???>=2'與y=3X-7都是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

.?"(x)=2*+3x-7是R上的單調(diào)遞增函數(shù)，

在R上至多有一個(gè)零點(diǎn)，由表格中的數(shù)據(jù)可知：/(1.422)<0,/(1.4375)>0,

.?"(X)在R上有唯一零點(diǎn)，零點(diǎn)所在的區(qū)間為(1422,1.4375),

.-?/z<0,A錯(cuò)誤；方程2'+3x-7=O有實(shí)數(shù)解，B正確；/(1.375)=-0.26(0,/(1.4375)=0.02)0,

1.4375-1.375=0.0625<0.1,即精確度到0.1,則近似解可取為1.375,C正確；

/(1.422)=-0.05(0,/(1.4375)=0.02)0,1.4375-1.422=0.0155>0.01,即精確度為0.01,則近似解不可取為

1.4375,D錯(cuò)誤.

故選：BC.

11.(多選題)下列方程中能用二分法求近似解的為()

A.lnx+x=0B.ex-3x=0

C.X3-3^+1=0D.4X2-4A/5X+5=0

【答案】ABC

【解析】對(duì)于A項(xiàng)，設(shè)〃x)=lnx+x,

貝U/(e]=ln4+3=-2+4<0,/(1)=1>0,

所以，旦"X)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線.

根據(jù)零點(diǎn)的存在定理可知，罵使得/日)=0,故A正確；

對(duì)于B項(xiàng)，設(shè)g(x)=e"-3x,

則g(0)=l>0,g(l)=e-3<0,

所以，g(o)g⑴<0,且g(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線..

根據(jù)零點(diǎn)的存在定理可知，3A,G(0,1),使得g(%)=。，故B正確；

對(duì)于C項(xiàng),設(shè)旗力=丁-3x+l,

則旗0)=1>0,A(l)=l-3+l=-l<0,

所以，/1(0)/1(1)<0,且/7(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線..

根據(jù)零點(diǎn)的存在定理可知，居e(O,l),使得%?)=0,故C正確；

對(duì)于D項(xiàng)，設(shè)3(%)=4/-4&%+5,

因?yàn)?（2尤-6『20恒成立，不存在函數(shù)值異號(hào)區(qū)間，

所以不滿足二分法的條件，故D錯(cuò)誤.

故選：ABC.

12.用二分法求函數(shù)在區(qū)間［1,3］上的零點(diǎn)，若要求精確度為0.001,則至少進(jìn)行次二分.

【答案】11

【解析】根據(jù)題意，原來(lái)區(qū)間［1,3］的長(zhǎng)度等于2,

每經(jīng)過(guò)一次二分法操作，區(qū)間長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，

則經(jīng)過(guò)〃次操作后，區(qū)間的長(zhǎng)度為2義±=±,

令，7<0.001,又“eN*,解得“211.

故答案為：11.

13.用二分法求函數(shù)/（尤）=3,-尤-4的一個(gè)零點(diǎn)，其參考數(shù)據(jù)如下:

/(1.6000)~0.20041.5875卜0.1337(1.5750)-0.067

/(1.5625)?0.003/(1.5562卜-0.029/(1.5500卜-0.060

據(jù)此數(shù)據(jù)，可得方程3、-》-4=0的一個(gè)近似解為.（精確到0.01）

【答案】1.56

【解析】因?yàn)?'（1.5625）=0.003>0,/（1.5562）=-0.029<0,

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理，可知零點(diǎn)在（1.5562,1.5625）內(nèi)，

由二分法可得零點(diǎn)的近似值可取為理空注=1.55935,

所以〃x）=3-x-4的一個(gè)零點(diǎn)的近似值可取為1.55935,誤差不超過(guò)0.005.

故答案為：L56

14.用二分法求方程d—2x-5=0的實(shí)根，由計(jì)算器可算得"2）=-1,"3）=16,“2.5）=5.625,那么

下一個(gè)有根區(qū)間為.

【答案】（2,2.5）

【解析】因?yàn)?（2）=-1<0,f（2.5）=5.625>0,/（2）/（2.5）<0,

所以下一個(gè)有根區(qū)間為（2,2.5）,

故答案為:（2,2.5）.

15.現(xiàn)有a個(gè)乒乓球，從外觀上看完全相同，除了1個(gè)乒乓球質(zhì)量不符合標(biāo)準(zhǔn)外，其余的乒乓球質(zhì)量均相

同.你能用一架天平盡快把這個(gè)“壞乒乓球”找出來(lái)嗎？

(1)當(dāng)a=12時(shí)，若只稱(chēng)3次就可以找到此“壞乒乓球”，并得出它是偏輕還是偏重，該如何稱(chēng)？

(2)若已知“壞乒乓球偏輕”，當(dāng)a=26時(shí)，至少稱(chēng)幾次就一定可以找到此“壞乒乓球”？

【解析】(1)第一次，天平左右各放4個(gè)乒乓球，有兩種情況：

①若平，貝壞乒乓球”在剩下的4個(gè)乒乓球中，第二次，取剩下的4個(gè)乒乓球中的3個(gè)乒乓球?yàn)橐贿?，?/p>

3個(gè)“好乒乓球”為另一邊，放在天平上.

(i)若仍平，貝『‘壞乒乓球”為剩下的4個(gè)乒乓球中未取到的那個(gè)乒乓球，將此乒乓球與1個(gè)“好乒乓球”放

上天平一看，即知“壞乒乓球”是偏輕還是偏重；

(ii)若不平，貝『‘壞乒乓球”在取出的3個(gè)乒乓球之中，且知是偏輕還是偏重，任取其中2個(gè)乒乓球放在

天平上，無(wú)論平還是不平，均可確定“壞乒乓球”.

②若不平，則“壞乒乓球”在天平上的8個(gè)乒乓球中，不妨設(shè)右邊偏重，從右邊4個(gè)乒乓球中取出3個(gè)乒乓

球置于一容器內(nèi)，然后從左邊4個(gè)乒乓球中取3個(gè)乒乓球移入右邊，再?gòu)耐饷妗昂闷古仪颉敝腥?個(gè)乒乓球

補(bǔ)入左邊，看天平，有三種可能.

(i)若平，貝產(chǎn)壞乒乓球”是容器內(nèi)3個(gè)乒乓球之一且偏重；

(ii)若左邊重，貝廠壞乒乓球”已從一邊換到另一邊，因此，“壞乒乓球”只能是從左邊移入右邊的3個(gè)乒乓

球之一，并且偏輕；

(iii)若右邊重，據(jù)此知“壞乒乓球”未變動(dòng)位置，而未被移動(dòng)過(guò)的乒乓球只有兩個(gè)(左右各一)，“壞乒乓

球”是其中之一(暫不知是偏輕還是偏重).

顯然對(duì)于以上兩種情況的任一種，再用一次天平，即可找出“壞乒乓球”，且知其是偏輕還是偏重.

(2)將26個(gè)乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，貝「壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那13個(gè)乒乓球里

面；

從這13個(gè)乒乓球中拿出1個(gè)，然后將剩下的12個(gè)乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，若天平平

衡，貝1]“壞乒乓球，，一定是拿出的那一個(gè)，若天平不平衡，貝廣壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那6個(gè)乒乓球里

面；

將這6個(gè)乒乓球平均分成兩份，分別放在天平兩端，貝『‘壞乒乓球”一定在質(zhì)量小的那3個(gè)乒乓球里面；

從這3個(gè)乒乓球中任拿出2個(gè)，分別放在天平兩端，若天平平衡，則剩下的那一個(gè)即是“壞乒乓球”，若天

平不平衡，則質(zhì)量小的那一個(gè)即是“壞乒乓球”.

綜上可知，至少稱(chēng)4次就一定可以找到這個(gè)“壞乒乓球”.

16.求方程?='+1的零點(diǎn)(精確到0.1).

【解析】令〃x)=6-設(shè)函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)為％,

因?yàn)椤?)<0,/(3)>0^/(2)-/(3)<0,所以吃42,3),

由二分法得到下表，

(aS)中點(diǎn)4%所在區(qū)間

2.5>0/（2）-/（2.5）＜0（2,2.5）

2.25>0/⑵."2.25）<0（2,2.25）

2.125<0/（2.125）-/（2.25）<0（2.125,2.25）

2.1875>0/（2.125）-/（2.1875）<0（2.125,2.1875）

2.15625>0/（2.125）-/（2.15625）<0（2.125,2.15625）

2.140625<0f（2.140625）?/（2.15625）<0（2.140625,2.15625）

2.1484375>0/（2.140625）-/（2.1484375）<0（2.140625,2.1484375）

因?yàn)樵诰_度為o.l時(shí)，2.140625*2.1,2.1484375?2.1,

所以在精確度為0.1時(shí)，

17.已知函數(shù)/。）=尤+4一3.

尤

（1）判斷函數(shù)/（X）在區(qū)間（L+8）上的單調(diào)性，并用定義證明；

（2）用二分法求方程/（X）=0在區(qū)間（1,口）上的一個(gè)近似解（精確度為0.1）.

【解析】（1）y=〃x）在。,+⑹單調(diào)遞增；證明如下：

任取玉,工2e。，”），不妨設(shè)玉＜工2，/（X2）_/（X1）=%2_%1+------=——=）（'*_12

?^2X?

因?yàn)?＜兄1＜%2，貝!]%2—11〉0，2%—1＞0，XjX2＞0,

可得了（%）—/a）＞0，即/（%）＞/（%），

所以y=/（x）在（i,+s）上單調(diào)遞增.

（2）因?yàn)楹瘮?shù)/'（x）=x+J-3在區(qū)間（1,+⑹上是連續(xù)且單調(diào)的，

可知其在區(qū)間（1,+⑹上的零點(diǎn)即為方程〃尤）=0在區(qū)間。,+⑹上的解，

且〃2）＜0,/（3）＞0,可得“力在（L田）內(nèi)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)再?2,3）,

在區(qū)間（L"）上利用二分法列表如下：

區(qū)間中點(diǎn)修中點(diǎn)函數(shù)值了（%）區(qū)間長(zhǎng)度

（2,3）-=2.51

240°

11…

一=2.75f>0

42

「21、j_

—=2.625f>0

84

21'41J_

—=2.5625

16<。8

此時(shí)解在區(qū)間(匕41工21〕、’此區(qū)間長(zhǎng)度為上，M2滿足精確度為0.1,故區(qū)間俘，當(dāng)

161610<loo)

即(2.5625,2.625)內(nèi)任意一個(gè)實(shí)數(shù)都是對(duì)應(yīng)方程符合精確度要求的一個(gè)近似解，比如2.6是方程〃x)=0在

(1,+00)上的一個(gè)近似解.

18.判斷方程尤3一元一1=0在區(qū)間［1,1.5］內(nèi)是否有解；如果有，求出一個(gè)近似解.(精確度為0.1)

【解析】設(shè)/(工)=丁-》-1,

利用二分法，列表計(jì)算如下：

X11.51.251.3751.31251.34375

/(無(wú))-10.875-0.29690.2246-0.051510.0826

由表中數(shù)據(jù)可得7(1.34375)>0,/(L3125)<0,

因?yàn)轭}中要求精確度為0.1,而左右端點(diǎn)的近似值都為13

所以近似解為13

【高考真題】

2尤+1

1.(2024.高三.海南?？?階段練習(xí))若在用二分法尋找函數(shù)>=/-(%>0)零點(diǎn)的過(guò)程中，依次確定