2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)分類（考查范圍：1~3章）（拓展培優(yōu)篇）含答案

專題2024-2025學(xué)年七年級(jí)下學(xué)期期中數(shù)學(xué)?？键c(diǎn)分類專

題（拓展培優(yōu)篇（考查范圍：整式的乘除、相交線與平行線、

概率初步）

第一部分【考點(diǎn)目錄】

一、選擇填空題

【知識(shí)點(diǎn)一】整式的乘除

【考點(diǎn)11募的運(yùn)算規(guī)律探究

【考點(diǎn)2】塞的運(yùn)算關(guān)系探究

【考點(diǎn)3】塞的運(yùn)算新定義

【考點(diǎn)4】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的字母參數(shù)

【考點(diǎn)5】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式規(guī)律探究

【考點(diǎn)6】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式整體思想化簡求值

【考點(diǎn)71乘法公式綜合運(yùn)算

【考點(diǎn)8】乘法公式的字母參數(shù)

【考點(diǎn)9】乘法公式中的化簡求值

【考點(diǎn)10］乘法公式中的幾何應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)二】相交線與平行線

【考點(diǎn)11】相交線中余角、補(bǔ)角、垂直、對(duì)頂角綜合7

【考點(diǎn)12］線段公理、垂線段公理求最值

【考點(diǎn)131平行線的性質(zhì)與判定綜合

【考點(diǎn)14］相交線與平行線中的旋轉(zhuǎn)問題

【考點(diǎn)151相交線與平行線中的折疊問題

【考點(diǎn)161相交線與平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題

【知識(shí)點(diǎn)三】概率初步

【考點(diǎn)17］感受事件的可能性

【考點(diǎn)18】由頻率估計(jì)概率

【考點(diǎn)19】由概率公式計(jì)算概率

二、解答題

試卷第1頁，共21頁

【考點(diǎn)20】整式的乘除探究題（特例感知、知識(shí)遷移、數(shù)形結(jié)合）

【考點(diǎn)21】相交線與平行線壓軸軸（問題探究、閱讀探究、延伸探究）

第二部分【題型梳理與方法展示】

一、選擇填空題

【考點(diǎn)1】幕的運(yùn)算規(guī)律探究

（2025?浙江臺(tái)州?一模）

1.觀察下面三行數(shù)：

-2,4,-8,16…①

0,6,-6,18…②

-12-4,8…③

設(shè)X，了，z分別為第①②③行的第20個(gè)數(shù)，則2x-〉-2z的值為（）

A.0B.-2C.-219+1D.-220+l

（20-21七年級(jí)上?四川?階段練習(xí)）

2.觀察下列算式：21=2,2?=4，23=8,24=16,2$=32,26=64,27=128,

28=256,……，通過觀察，用你所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出8”的末位數(shù)字是.

（2023?山東泰安?一模）

3.觀察下列等式：

2+22=23-2;

2+22+23=24-2;

2+22+23+24=25-2;

2+22+23+24+25=26-2;

已知按一定規(guī)律排列的一組數(shù)：22000，22°",22°02,22期，.…22047,,若

22000=m,250=n,則22000+22001+22002+22003+…+22047+22048+22049=（結(jié)果用含加、

”的代數(shù)式表示）

【考點(diǎn)2】塞的運(yùn)算關(guān)系探究

（24-25八年級(jí)上?湖北恩施?期末）

4.若a,b是正整數(shù)，且滿足丁+3+3"，=3?…x3,則。與的關(guān)系正確的是

9個(gè)3。相力口9個(gè)夢相乘

（）

試卷第2頁，共21頁

A.a+2=9bB.2a=9b

C.a+2=b9D.2a=9+b

（24-25七年級(jí)上?上海虹口?期中）

5.若b均為正整數(shù)，且滿足2"+2"+2"+2"MZ'xZbxZ'xZJ則。與6的關(guān)系正確的是

（）

A.a=2bB.2a=b+4C.a+2-^D.a+2=46

（2025七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

6.我們知道下面的結(jié)論：若屋=優(yōu)（a>0,且。片1）,則加=〃.利用這個(gè)結(jié)論解決下列

問題：設(shè)2”=3,2"=6,2、=12,則見凡。三者之間的關(guān)系式正確的是（）

A.n2+mp-lB.m+n=2pC.m+p=2MD.p+n=2m

【考點(diǎn)3］哥的運(yùn)算新定義探究

（2025?甘肅嘉峪關(guān)?一模）

7.我們規(guī)定關(guān)于任意正整數(shù)加，"的一種新運(yùn)算：/（加+〃）=/（加）?/（〃），如：

/（6）=/（3+3）=/（3）-/（3）.若八2）=砒70）,那么/（128）的結(jié)果是（）

A.128左B.64左C.2MkD.kM

（2024?河南駐馬店?三模）

8.對(duì)于任意正整數(shù)a,6定義一種新運(yùn)算：尸（“+b）=尸（a）?尸修）.比如尸（2）=5,貝|

F（4）=F（2+2）=5x5=52,7^（6）=F（2+4）=5x52=53,那么尸（2024）的結(jié)果是（）

A.2024B.52024C.51012D.1012

（23-24七年級(jí)下?山東荷澤?期中）

9.新定義：0*6=（/）"'+,"）"（。］，機(jī)，〃均為正整數(shù)），例如：3*2=（32）m+（23）".若

1*4=8,2*2=10,則42"+"的值為（）

A.18B.24C.36D.63

【考點(diǎn)4】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式中的字母參數(shù)

（24-25七年級(jí)下?江蘇鎮(zhèn)江?階段練習(xí)）

10.若關(guān)于x,y的多項(xiàng)式（-加x+3）x-/（3x+5）的結(jié)果中不含f項(xiàng)，則加的值為（）

A.1B.0C.-1D.-5

（24-25八年級(jí)上?河南許昌?期末）

試卷第3頁，共21頁

11.若（x-3）（x+7）=x-+/wx-21,則〃z的值為（）.

A.-4B.4C.-10D.10

（2025七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

12.若［/+3加?；］（/-3丫+〃）的積中不含；（：和》3項(xiàng)，則加2-加"+；"2=.

【考點(diǎn)51多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式規(guī)律探究

（24-25八年級(jí)上?湖北武漢?期末）

13.我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭

示了（a+b）”（"為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律.

例如：（。+6）°=1,系數(shù)為1；

（a+b）'=a+b,系數(shù)分別為1,1；

（＜?+b}~—a2+2ab+b~,系數(shù)分別為1,2,1；

（a+2）3=a3+3旨b++6,系數(shù)分別為1,3,3,1；

請依據(jù)上述規(guī)律判斷：若今天是星期四，則經(jīng)過85天后是（）

1

11

121

1331

14641

15101051

1615201561

A.星期二B.星期三C.星期四D.星期五

（2025七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

14.觀察：+=X?-1,（x-1）（x2+x+1）=x3-1,（%-1）（丁+x?+x+l）=X，一1,

???,據(jù)此規(guī)律，當(dāng)（尤一1）（/+/+/+，+X+1）=0時(shí)，代數(shù)式B25T的值為（）

A.1B.0C.1或-1D.0或-2

（24-25八年級(jí)上?四川巴中?期末）

15.我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭

示了g+4"（”為非負(fù)整數(shù)）展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，

試卷第4頁，共21頁

(Q+“=a+b

(〃+=a2+lab+b1

3

(a+域=/+3a2b+3ab2+b

利用上述規(guī)律計(jì)算：994+4x993+6x992+4x99+1=

【考點(diǎn)6】多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式整體思想化簡求值

（23-24八年級(jí)上?山西朔州?階段練習(xí)）

16.當(dāng)/+x=5時(shí),(1—x)(2+x)的值是()

A.3B.-3C.7D.-7

（24-25八年級(jí)上?云南昭通?階段練習(xí)）

17.已矢口/+*一1=0,那么——+2024的值為（）

A.2025B.2024C.2023D.2022

（24-25八年級(jí)上?四川眉山?期中）

18.已知〃2+〃_3=0,那么/（Q+4）的值是（

A.-18B.-12C.9D.12

（24-25八年級(jí)上?四川巴中?期中）

ahhm2m-3

19.若規(guī)定符號(hào)的意義是:—ad—be,則當(dāng)加3_7m_6=0時(shí),

dcdl-2mm-2

的值為.

【考點(diǎn)7】乘法公式綜合運(yùn)算

（2025?浙江寧波?一模）

20.已知(x-202iy+(x-2025)2=34,則（％-2023『的值是（）

A.13B.11C.9D.8

（24-25七年級(jí)下?全國?周測）

21.設(shè)M=2025?-2024x2026,N=20252-4050x2026+20262則M與N的關(guān)系是(

試卷第5頁，共21頁

A.M>NB.M=NC.M<ND.M=±N

（24-25九年級(jí)上?山東?期末）

22.化簡：（2x-3）~-（x+y）（x-y）-y2=.

【考點(diǎn)8］乘法公式的字母參數(shù)

（2025七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

23.若/+（2加-1卜+4是一個(gè)完全平方式，則加的值是（）

A.--B.--C.3或-*D.或。

222222

（24-25八年級(jí)上?甘肅平?jīng)?期末）

24.如果加2+加=3,那么加（旭-2）+（%+2『的值為（）

A.10B.9C.4D.-6

（24-25八年級(jí)上?上海閔行?期中）

25.如果二次三項(xiàng)式f+（2"3）x+（"l）2是完全平方式，那么片的值是.

【考點(diǎn)9】乘法公式中的化簡求值

（24-25七年級(jí)上?上海?階段練習(xí)）

26.已知x?-3x—1=0,那么無H--=.

x

（24-25八年級(jí)上?重慶豐都?階段練習(xí)）

27.已知機(jī)-"=8,加〃=20,則加2_3加〃+“2的值是

（2024八年級(jí)上?黑龍江?專題練習(xí)）

28.實(shí)數(shù)m滿足（加-2023）2+（2024-加丫=15,則（加一2023）（2024-加）的值是.

（23-24八年級(jí)上?北京西城?期中）

29.如果/一。一1=0,那么代數(shù)式（0—1）2+（0+2）（。一2）的值為.

【考點(diǎn)10］乘法公式中的幾何應(yīng)用

（24-25八年級(jí)上?山西大同?期末）

30.把長和寬分別為。和b的四個(gè)相同的小長方形按不同方式拼成如圖1的正方形和如圖2

的大長方形這兩個(gè)圖形，由兩圖形中陰影部分面積之間的關(guān)系可以驗(yàn)證等式（）

試卷第6頁，共21頁

圖2

B.+Z>)2=a2+lab+b1

C.(^a-b^-a1-2ab+b2D.(a+6)-=4a6

（24-25七年級(jí)下?全國?單元測試）

.穆味題J：

31.南底前有一張邊長為a的大正方形卡片和三張邊長為6的小正方形卡片＜b＜。）如

2,

圖①所示，取出兩張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖②，再重新用三

張小正方形卡片放入“大正方形卡片”內(nèi)拼成的圖案如圖③.已知圖②中的陰影部分面積是

圖③中的陰影部分面積的2倍，則大正方形與小正方形的面積之比為（）

圖②圖③

A.5:3B.4:3C.3:2D.2:1

（24-25八年級(jí)上?四川眉山?期中）

32.如圖，將圖1中陰影部分拼成圖2,根據(jù)兩個(gè)圖形中陰影部分的關(guān)系，可以驗(yàn)證下列哪

個(gè)計(jì)算公式（)

2222

A.(a+b)(a-b)=a-bB.-a-2ab+b

C.(tz+Z?)2=a2+lab+b2D.(a+by=(a-+4ab

試卷第7頁，共21頁

（21-22七年級(jí)下?浙江麗水?期末）

33.已知正數(shù)a,b,c,滿足a-6=6-c=l,ab+ac+bc=4.

(1)a-c=

（2）圖是三張疊放的正方形紙片，其邊長分別為c,c+1,c+2,若這三張正方形紙片的

面積之和為S,則S的值為

【知識(shí)點(diǎn)二】相交線與平行線

【考點(diǎn)11】相交線中余角、補(bǔ)角、垂直、對(duì)頂角綜合

（22-23七年級(jí)上?河南新鄉(xiāng)?期末）

34.如圖，ZAOB=ZCOD=ZEOF=90°,則/I,N2,23之間的數(shù)量關(guān)系為（）

A.Zl+Z2+Z3=90°B.Zl+Z2-Z3=90°

C.Z2+Z3-Z1=9O0D.Zl-Z2+Z3=90°

（19-20七年級(jí)上?福建福州?期末）

35.圖，C是直線上一點(diǎn)，CD^LAB,ECLCF,則圖中互余的角的對(duì)數(shù)與互補(bǔ)的角的對(duì)

數(shù)分別是（）

A.3,4B.4,7C.4,4D.4,5

(2024七年級(jí)上?全國?專題練習(xí))

試卷第8頁，共21頁

36.已知直線48,C。相交于點(diǎn)。，平分//OC,射線。尸，CD于點(diǎn)。，且

ABOF=40°,貝!]/COE=.

（22-23七年級(jí)下?北京海淀?期中）

37.已知直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O,ZAOC=60。，EO，CD于點(diǎn)O,則ZAOE=.

【考點(diǎn)121線段公理、垂線段公理求最值

（20-21七年級(jí)下?湖北武漢?期中）

38.如圖，△N8C中，ZACS=90°,AC=3,BC=4,AB=5,P為直線上一動(dòng)點(diǎn)，連

接尸C,則線段PC的最小值是（）

A.3B.2.5C.2.4D.2

（22-23七年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí)）

39.如圖，直線a〃方，180°-（Z3+Z2）=Z2-Zl=（Z>0.其中/3>90。，Z1=50°,則N4

的最大整數(shù)值是（）

（2023?山東煙臺(tái)?模擬預(yù)測）

40.如圖，在△4BC中，/A4C=90°,/2=4,/C=3,2C=5,點(diǎn)。是2c上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)。與

點(diǎn)8不重合），連接/。，作3關(guān)于直線AD的對(duì)稱點(diǎn)E,當(dāng)點(diǎn)￡在3c的下方時(shí)，連接

BE,CE,則aBEC面積的最大值為.

試卷第9頁，共21頁

（22-23七年級(jí)下?陜西西安?期中）

41.已知：如圖，AB//CD,CAVAB,且NC=12,CD=5,4D=13,點(diǎn)加■是線段/。上的

一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則CM的最大值與最小值的差是.

【考點(diǎn)13］平行線的性質(zhì)與判定綜合

（20-21七年級(jí)下?重慶九龍坡?期中）

42.如圖，點(diǎn)E在CD上，點(diǎn)G,F,/在CD之間，且GE平分/CE7"BI

平分NFBH,GF//BI.若NBFE=52°,則/G的度數(shù)為（）.

A.112°B.114°C.116°D.118°

（2024?湖北武漢?模擬預(yù)測）

43.如圖是一盞可調(diào)節(jié)臺(tái)燈及其示意圖.固定支撐桿/。垂直底座于點(diǎn)。，與BC是

分別可繞點(diǎn)/和8旋轉(zhuǎn)的調(diào)節(jié)桿，臺(tái)燈燈罩可繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)調(diào)節(jié)光線角度，在調(diào)節(jié)過程中，

最外側(cè)光線CD、CE組成的/OCE始終保持不變.現(xiàn)調(diào)節(jié)臺(tái)燈，使外側(cè)光線CD〃血W,

（22-23七年級(jí)下?湖北武漢?階段練習(xí)）

44.如圖，有三條兩兩相交的公路48、BC、CA,從/地測得公路的走向是北偏東48。,

從B地測得公路8c的走向是北偏西42。，若28、BC、C4的長分別為c千米、a千米、6千

試卷第10頁，共21頁

米，點(diǎn)P是直線NC上任意一點(diǎn)，則線段AP的最小值為千米（用含。、6、c的式

子表示）.

（2025七年級(jí)下?浙江,專題練習(xí)）

45.如圖，兩條平行直線4,4被直線N2所截，點(diǎn)。位于兩平行線之間，且在直線N3右側(cè),

點(diǎn)￡是4上一點(diǎn)，位于點(diǎn)A右側(cè).小明進(jìn)行了如下操作：連接/C,BC,在NE4c平分線

上取一點(diǎn)。，過點(diǎn)。作。尸〃2C,交直線4于點(diǎn)尸.記乙4c2=a,NCBF=（3,

尸=7,則7=（用含4的代數(shù)式表示）.

【考點(diǎn)14］相交線與平行線中的旋轉(zhuǎn)問題

（23-24七年級(jí)下?重慶巴南?階段練習(xí)）

46.一副三角板按如圖所示疊放在一起，若固定△/O8,將A/。繞著公共頂點(diǎn)A,按順時(shí)

針方向旋轉(zhuǎn)a（0°<a<180。），當(dāng)A/CA的一邊與的某一邊平行時(shí)，相應(yīng)的旋轉(zhuǎn)角"

的值不可能是（）

C.75°D.45°

試卷第11頁，共21頁

47.如圖，N/EC=80。，在//EC的兩邊上分別過點(diǎn)A和點(diǎn)C向同方向作射線和CD,

且48〃CD.

（1）若44=60。，則/OCE的度數(shù)為.

（2）若NE4B和/ECD的平分線所在的直線交于點(diǎn)P（P與C不重合），則//PC的度數(shù)

（24-25七年級(jí)上?江蘇鎮(zhèn)江?期末）

48.如圖，點(diǎn)O在直線48上，過。在48上方作射線OC,ZSOC=120°,直角三角板的

直角頂點(diǎn)與點(diǎn)。重合，邊與重合，邊ON在直線的下方.如果三角板繞點(diǎn)。按

10度/秒的速度沿逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第秒時(shí)，OCLON.

（23-24七年級(jí)下?河南鄭州?期末）

49.將一副三角板如圖放置（其中且n8=45。,/后=30。），在保持不動(dòng)

的前提下，AADE繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)。E〃8C時(shí)，NA4E的度數(shù)為.

【考點(diǎn)15］相交線與平行線中的折疊問題

（22-23七年級(jí)下?江蘇連云港?階段練習(xí)）

50.如圖1是40〃8c的一張紙條，按圖示方式把這一紙備先沿E尸折疊并壓平，再沿8尸

折疊并壓平，若圖3中NCFE=24。，則圖2中N/E尸的度數(shù)為（）

試卷第12頁，共21頁

A.112°B.68°C.48°D.136°

（24-25八年級(jí)上?廣西梧州?期末）

51.如圖，把一張長方形的紙沿對(duì)角線折疊，若/48C=22。，則1的度數(shù)為（）

A.22°B.30°C.34°D.68°

（24-25七年級(jí)上?江蘇宿遷?期末）

52.如圖，將長方形紙片4BCD折疊，使點(diǎn)B落在點(diǎn)夕處，折痕為EF,E8,延長交AD于a

點(diǎn).G為CZ）上一點(diǎn)，連接FG,若NGFC=18。，F(xiàn)H平分NGFE,則“/F=.

（19-20七年級(jí)下?湖北武漢?期中）

53.如圖，已知ABIICD,點(diǎn)E,F分別在直線AB,CD上點(diǎn)P在AB,CD之間且在EF的

左側(cè).若將射線EA沿EP折疊，射線FC沿FP折疊，折疊后的兩條射線互相垂直，則ZEPF

的度數(shù)為一.

4PB

D

【考點(diǎn)16］相交線與平行線中的動(dòng)點(diǎn)問題

試卷第13頁，共21頁

（23-24七年級(jí)下?四川廣元?期末）

54.如圖，點(diǎn)￡在48和之間，NBAE=a,尸是8上的動(dòng)點(diǎn)，連接斯,

當(dāng)E尸的長度最短時(shí)，2NE尸的度數(shù)是（）

（21-22七年級(jí)下?重慶?期中）

55.如圖，直線點(diǎn)C為直線上一點(diǎn)，連接/C、BC,^CAB=40°,UCB=

90°,48/C的角平分線交MN于點(diǎn)。，點(diǎn)￡是射線ND上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CE、BE,乙CED

的角平分線交AW于點(diǎn)工當(dāng)乙8斯=70。時(shí)，令NECM=a,用含1的式子表示NE3C為

A.—ctB.10°—tzC.10°—aD.—a—10°

222

【知識(shí)點(diǎn)三】概率初步

【考點(diǎn)17］感受事件的可能性

（24-25九年級(jí)上?全國?期末）

56.一個(gè)口袋中有紅球、白球共10個(gè)，這些球除顏色外都相同.將口袋中的球攪拌均勻，

從中隨機(jī)摸出一個(gè)球，記下它的顏色后再放回口袋中.不斷重復(fù)這一過程，共摸了100次球,

發(fā)現(xiàn)有69次摸到紅球，請估計(jì)這個(gè)口袋中白球的數(shù)量為（）

A.7B.6C.4D.3

（24-25九年級(jí)上?廣東惠州?期末）

57.如圖1所示，有一個(gè)不規(guī)則的圖案（圖中畫圖部分），小帆想估算該圖案的面積.他采取

了以下的辦法：用一個(gè)長為3m,寬為2m的矩形，將不規(guī)則圖案圍起來，再在適當(dāng)位置隨

機(jī)地向矩形區(qū)域扔小球，并記錄小球在不規(guī)則圖案內(nèi)的頻率，如圖2（球扔在界線上或長方

試卷第14頁，共21頁

形區(qū)域外不計(jì)入試驗(yàn)結(jié)果），則不規(guī)則圖案的面積大約為（）

（2021八年級(jí)下?江蘇?專題練習(xí)）

58.一只不透明的袋子里裝有4個(gè)黑球，2個(gè)白球.每個(gè)球除顏色外都相同，則事件“從中

任意摸出1個(gè)球，是黑球”的事件類型是—（填“隨機(jī)事件”“不可能事件”或“必然事件”）.

（2023七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

59.用一副撲克牌中的10張?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)翻牌游戲，要求同時(shí)滿足以下三個(gè)條件；

（1）翻出“黑桃”和“梅花”的可能性相同；

（2）翻出“方塊”的可能性比翻出“梅花”的可能性??；

（3）翻出黑顏色的牌的可能性比翻出紅顏色牌的可能性??；

解：我設(shè)計(jì)的方案如下：

“紅桃”一張，“黑桃，張，“方塊”一張，“梅花，張

【考點(diǎn)18］由頻率估計(jì)概率

（24-25九年級(jí)上?云南昆明?期末）

60.下列說法正確的是（）

A.昆明明天降雨的概率為50%,表示昆明明天有一半的時(shí)間在下雨

B.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣100次，恰好有50次正面朝上

C.任意買一張電影票，座位號(hào)是2的倍數(shù)是必然事件

D.明天太陽從東方升起是必然事件

（24-25九年級(jí)上?重慶潼南?期末）

61.不透明的袋子中有2個(gè)紅球、10個(gè)黃球，這些小球除顏色外無其他差別.隨機(jī)摸取1

個(gè)小球后放回，連續(xù)摸取S次，每次摸取到的都是黃球，下列說法正確的是（）

A.第6次摸取到的一定是黃球

B.第6次摸取到的可能還是黃球

試卷第15頁，共21頁

C.第6次摸取到的一定是紅球

D.第6次摸取到紅球的可能性更大

（24-25九年級(jí)上?遼寧沈陽?期中）

62.在一個(gè)不透明的口袋中裝有紅色、白色小球共25個(gè)，這些小球除顏色外其他完全相

同.攪勻后從中隨機(jī)摸出一個(gè)，記下顏色，放回，重復(fù)上述過程，小林通過多次摸球試驗(yàn)后

發(fā)現(xiàn)，其中摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.4,則口袋中紅色小球的個(gè)數(shù)為.

（24-25九年級(jí)上?廣東江門?期末）

63.一個(gè)盒子中裝有除顏色外其他都相同的20個(gè)藍(lán)色小球和若干個(gè)紅色小球.小明通過多

次摸取小球的試驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，摸取到紅色小球的頻率穩(wěn)定在0.2左右，則盒子中約有個(gè)紅

色小球.

【考點(diǎn)19］由概率公式計(jì)算概率

（24-25九年級(jí)下?河北秦皇島?開學(xué)考試）

64.下列說法中，錯(cuò)誤的是（）

A.“任意畫一個(gè)三角形，其內(nèi)角和是180?！笔潜厝皇录?/p>

B.在做拋硬幣試驗(yàn)時(shí)，隨著拋擲次數(shù)的增加，正面向上的頻率將穩(wěn)定在。附近

C.從一個(gè)不透明的口袋中摸出紅球的概率為（，已知袋中的紅球有15個(gè)，則袋中共有75

個(gè)球

D.在一次考試中，嘉嘉遇到兩道單項(xiàng)選擇題不會(huì)做，于是從/、B、C、。四個(gè)選項(xiàng)中隨機(jī)

地選擇答案，則嘉嘉恰好答對(duì)這兩道題的概率是:

（2025?廣東佛山?一模）

65.甲、乙、丙同時(shí)在-1WXW3的范圍內(nèi)隨機(jī)取整數(shù)的值，每個(gè)數(shù)被取到的可能性相等，

設(shè)甲取到的值為x,乙取到的值為九丙取到的值為z,則滿足x+y+z20的概率為（）

1r115-2c57

A.-----B.C.—D.

12512525125

（2025七年級(jí)下?全國?專題練習(xí)）

66.從背面相同的同一副撲克牌中取出10張黑桃牌和11張方塊牌.從這些牌中取出水，">6）

張黑桃牌，剩下的牌洗勻，背面朝上放在桌面上，再從桌面上隨機(jī)抽出一張牌.若此時(shí)“抽

出的這張牌是方塊牌”為隨機(jī)事件，則該事件的概率是.

（24-25七年級(jí)下?全國?課后作業(yè)）

試卷第16頁，共21頁

67.“五一”勞動(dòng)節(jié)某超市開展“有獎(jiǎng)促銷”活動(dòng)，凡購物不少于30元的顧客均有一次轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)

盤的機(jī)會(huì)（如圖，轉(zhuǎn)盤被分為8個(gè)相同的小扇形），當(dāng)指針最終指向數(shù)字8時(shí)，該顧客獲一

等獎(jiǎng)；當(dāng)指針最終指向數(shù)字3或5時(shí)，該顧客獲二等獎(jiǎng)（若指針指向分界線則重轉(zhuǎn)）.經(jīng)統(tǒng)

計(jì)，當(dāng)天發(fā)放一、二等獎(jiǎng)品共600份，那么據(jù)此估計(jì)參與此次活動(dòng)的顧客為人.

二、解答題

【考點(diǎn)20】整式的乘除探究題（特例感知、知識(shí)遷移、數(shù)形結(jié)合）

（24-25七年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）

68.【概念學(xué)習(xí)】

一個(gè)含有多個(gè)字母的代數(shù)式中，任意交換其中兩個(gè)字母的位置，當(dāng)字母的取值均不相等，且

都不為0時(shí)，代數(shù)式的值不變，這樣的式子叫作對(duì)稱式.

【特例感知】

代數(shù)式加+"+P中任意兩個(gè)字母交換位置，可得到代數(shù)式"+加+P,P+n+m,m+p+n,

因?yàn)椤?"7+。=。+〃+俏=機(jī)+。+〃，所以加+"+。是對(duì)稱式.而交換式子機(jī)中字母加，

"的位置，得到代數(shù)式”一%,因?yàn)榧?"丁"-加，所以比-〃不是對(duì)稱式.

【問題解決】閱讀以上材料，解答下面的問題：

⑴下列代數(shù)式中是對(duì)稱式的有（填序號(hào)）；

（T）

U（-2）”

④（小一

（2）若關(guān)于他，〃的代數(shù)式上（加一力丫+而2一/為對(duì)稱式，則左的值為；

⑶在（2）的條件下，已知上述對(duì)稱式上（加-〃y+初=-io,且加〃=1,求（加-〃）2的

值.

試卷第17頁，共21頁

（24-25八年級(jí)上?山東臨沂?期末）

69.【知識(shí)生成】圖形是一種重要的數(shù)學(xué)語言，我國著名的數(shù)學(xué)家華羅庚先生曾經(jīng)說：“數(shù)缺

形時(shí)少直觀，形缺數(shù)時(shí)難入微”.在學(xué)習(xí)整式的乘法時(shí)可以發(fā)現(xiàn)：用兩種不同的方法表示同

一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，進(jìn)而可以利用得到的等式解決問題.

>靄

（1）①如圖1,用不同的代數(shù)式表示大正方形的面積，由此得到的等式為；（用6

表示）

②根據(jù)上面結(jié)論，當(dāng)4+6=5,“6=6時(shí)，a2+b2=.

【知識(shí)應(yīng)用】

（2）①類比⑴的探究過程，請用不同的代數(shù)式表示圖中大正方形的面積.

由此得到的等式為;（用。、b、c表示）；

②根據(jù)上面的結(jié)論，已知a+b+c=6,ab+ac+bc=\\,貝！J/+/?+<?=.

【知識(shí)遷移】

（3）類比上述兩個(gè)題目探究過程，請直接寫出（a+6+c+d『=.（用。、b、。、"表

示）

（24-25七年級(jí)下?河南鄭州?開學(xué)考試）

70.如圖，邊長為。的大正方形內(nèi)有一個(gè)邊長為6的小正方形.

（1）用含字母的代數(shù)式表示圖1中陰影部分的面積為；

（2）將圖1的陰影部分沿斜線剪開后，拼成了一個(gè)如圖2所示的長方形，用含字母的代數(shù)式

表示此長方形的面積為；

（3）比較（2）、（1）的結(jié)果，請你寫出一個(gè)非常熟悉的乘法公式.

試卷第18頁，共21頁

（4）【問題解決】利用（3）的公式解決問題:

①已知4加2—幾2=12,2加+〃=4,則2機(jī)一〃的值為.

②直接寫出下面算式的計(jì)算結(jié)果：［1一±）［1一

【考點(diǎn)21】相交線與平行線壓軸軸（問題探究、閱讀探究、延伸探究）

（23-24七年級(jí)下?甘肅蘭州?期中）

71.［問題情境］

在綜合實(shí)踐課上，老師組織班上的同學(xué)開展了探究兩角之間數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)活動(dòng)，如圖1,

己知直線AB〃CD,點(diǎn)、E、G分別為直線48、上的點(diǎn)，點(diǎn)尸是平面內(nèi)任意一點(diǎn)，連接

EF、GF.

［拓展探究］

（2）如圖2點(diǎn)P、。分別是直線上的點(diǎn)，且ZPFQ=ZEFG=90°,直線MN〃FG,

交尸。于點(diǎn)K,“智勝小組”探究/EKN與/列花之間的數(shù)量關(guān)系.請寫出它們的關(guān)系，并

說明理由.

（2024七年級(jí)上?全國?專題練習(xí)）

72.如圖①，將一副三角尺的直角頂點(diǎn)。重合，疊放在一起.若保持三角尺NQ8不動(dòng)，將

三角尺COD繞點(diǎn)。按順時(shí)針方向轉(zhuǎn)動(dòng).（本題中所有的角均小于180。）

（1）如圖②，若NBOC=55。,貝!|N4OZ）=,ZAOC乙BOD（填或

“=”）；

（2）如圖③，若Z8OC=55。，貝!|NNOZ）=,ZAOC4BOD（填，5“<”或

“=”）；

【探究】三角尺COD在轉(zhuǎn)動(dòng)過程中，N8OC和N/。。之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？N/OC和

/BOD之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請說明理由；

【拓展】借助【探究】中的結(jié)論，在備用圖中利用畫直角的工具畫出一個(gè)與/NOC相等的

試卷第19頁，共21頁

角.

（24-25七年級(jí)上?河南洛陽?期末）

73.如圖1,在同一個(gè)平面上，已知點(diǎn)O為直線N8上一點(diǎn)，將三角板COD（/C=30。）按如

圖所示放置，且直角頂點(diǎn)與。重合，點(diǎn)P在線段。上，設(shè)N/OC=a.

OO

圖1圖2

（1）【問題探究】已知：。=30。且，AOPD=75°,通過計(jì)算說明：0P平分NCOD；

（2）【類比探究】當(dāng)三角板按圖2放置時(shí)，OP平分NA0D,求/C0P的度數(shù)（結(jié)果用含a

的代數(shù)式表示）；

（3）【拓展應(yīng)用】在（2）的條件下，請直接寫出與/C。尸存在的數(shù)量關(guān)系.

（23-24七年級(jí)上?山東濟(jì)南?期末）

74.【閱讀探究】

（1）如圖1,/8〃。2乙尸分別是/氏。。上的點(diǎn)，點(diǎn)又在4及8兩平行線之間，

NAEM=50°,ZCFM=20。，求AEMF的度數(shù).

解：過點(diǎn)別■作兒W〃48,

所以NEVN=/

因?yàn)?/p>

所以MN〃CZ),

試卷第20頁，共21頁

所以=N,

因?yàn)?/EM=50°,ZCFM=20°,

所以NEMF=ZEMN+NFMN=NAEM+ZCFM=500+20°=70°.

(2)從上面的推理過程中，我們發(fā)現(xiàn)平行線可將N/EN和NCW湊”在一起，得出角之間

的關(guān)系，使問題得以解決.進(jìn)一步研究，我們可以發(fā)現(xiàn)圖1中和NCW之間

存在一定的數(shù)量關(guān)系，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系為.

【方法應(yīng)用】

(3)如圖2,/8〃。2￡,尸分別是/8,。0上的點(diǎn)，點(diǎn)〃在/民。。兩平行線之間，

ZAEM^135°,ZCFM=155°,求NEMF的度數(shù).

【應(yīng)用拓展】

(4)如圖3,〃CD,昆尸分別是“民CO上的點(diǎn)，點(diǎn)M在AB,。兩平行線之間，作AAEM

和NCW的平分線￡尸,燈，交于點(diǎn)尸(交點(diǎn)尸在兩平行線28、CD之間)，若NEMF=a°,

則ZEPF的度數(shù)為。(用含。的式子表示).

試卷第21頁，共21頁

1.B

【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律、同底數(shù)幕相乘等知識(shí)點(diǎn)，掌握相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的

關(guān)鍵.

先觀察數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)規(guī)律，確定X，■z的值，然后代入計(jì)算即可.

【詳解】由題知，第①行是以2為底數(shù)，從1開始的連續(xù)自然數(shù)為指數(shù)，奇數(shù)位置為負(fù)，

偶數(shù)位置為正的數(shù)，所以第①行的第20個(gè)數(shù)為X=220X(-1)20=220,

第②行的數(shù)比第①行對(duì)應(yīng)的數(shù)大2,所以第②行的第20個(gè)數(shù)為2勵(lì)+2,即尸22。+2,

第③行的數(shù)由第①行對(duì)應(yīng)的數(shù)除以2所得，所以第③行的第20個(gè)數(shù)為z=220<2=2%

所以2x-y-2z

=2X220-(220+2)-2X219

=221-220-2-220

=221-2X2M-2

=221-221-2

=-2.

故選B.

2.2

【分析】首先發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位是2,4,8,6四個(gè)一循環(huán)，再根據(jù)幕運(yùn)算的性質(zhì)得8"=233,

33-4=8...1,則它的個(gè)位數(shù)字是2.

【詳解】等式右邊的個(gè)數(shù)數(shù)字分別為，2,4,8,6,2,4,8,6....,體現(xiàn)數(shù)字的重復(fù)性，

周期為4,

...8"=(23『=233,

而33=4x8+1,

??.8”的末位數(shù)字和7的個(gè)位數(shù)相同，即為2.

故答案為：2.

【點(diǎn)睛】此題首先發(fā)現(xiàn)2n的個(gè)位是2,4,8,6四個(gè)一循環(huán)的規(guī)律，再結(jié)合塞運(yùn)算的性質(zhì)分

析計(jì)算.

3.mn-m

【分析】根據(jù)規(guī)律將所求式子變形為29(1+2+22+...+2“+249)=2由(1+2包-2),再變形代入

答案第1頁，共48頁

即可.

【詳解】解：由題意可得：2+22+23+24+...+2"=2向-2,

■-220m=m,250=n,

...22ooo+22001+22002_(_22003-|_____|_22047+22048+22049

22000(l+2+22+...+248+249)

22000(1+250-2)

=m(?—1)

=mn-m.

故答案為：mn-m.

【點(diǎn)睛】本題是一道找規(guī)律的題目，要求學(xué)生通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律，并應(yīng)

用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決問題.解決本題的難點(diǎn)在于得出規(guī)律：2+22+23+...+2"=2"+1-2.

4.A

【分析】本題考查了合并同類項(xiàng)、同底數(shù)幕的乘法、有理數(shù)乘方的逆運(yùn)算，熟練掌握各運(yùn)算

法則是解題關(guān)鍵.根據(jù)已知等式可得9x3。=39J貝|3“+2=3”，由此即可得.

【詳解】解：???4"??+3K7X…x3\

9個(gè)3a相加9個(gè)3。相乘

.?.9x3"=3幼，

.?,32x3a=39b,

.?.3。+2=3%，

.'.a+2=9b,

故選：A.

5.D

【分析】該題主要考查了募的乘方、同底數(shù)累的乘法解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則.

根據(jù)2"+2"+2。+2"=2*，2bx2bx2bx2b，列出等式即可解答.

【詳解】解：20+2°+2°+2°=2°x4=2ax22=2fl+2,

2Ax26x26x26=（26）=2皿,

,?,2"+2"+2"+2"=2隈2隈2陵2”，。、6均為正整數(shù)，

.??〃+2=4b,

故選：D.

6.C

答案第2頁，共48頁

【分析】本題考查同底數(shù)累的乘法，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用同底數(shù)基的乘法公式，本題屬于

中等題型.

根據(jù)同底數(shù)暴的乘法公式即可求出m,n,p的關(guān)系.

【詳解】解:???2"=6=2x3=2x2"=24"，

:.n=\+m,

?/2P=12=22x3=22+m,

p=2+m,

p=n+l,m+p=n-\+n+l=2n,

故選：C.

7.D

【分析】本題主要考查的是同底數(shù)塞的乘法，新定義運(yùn)算，關(guān)鍵是正確理解新定義，將把新

運(yùn)算化成常規(guī)運(yùn)算.根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解.

【詳解】解：寸⑵//左。）

由新運(yùn)算，可知加28）==/⑵./⑵….…/（?=4j=甘［

64個(gè)64個(gè)64個(gè)

故選D.

8.C

【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算和同底數(shù)累的乘法，根據(jù)新定義運(yùn)算法則和同底數(shù)累運(yùn)算

法則進(jìn)行計(jì)算即可

【詳解】解：???尸（。+6）=尸⑷?尸他），且尸（2）=5,尸（4）=/（2+2）=5x5=52,

F（6）=F（2+4）=5x52=53,

尸（2"）=5",

???2024+2=1012,

.-.F（2O24）=51012,

故選：C

9.D

【分析】本題主要考查新定義運(yùn)算，塞的乘方和積的乘方逆運(yùn)算，根據(jù)新運(yùn)算法則求出

￥=3,4"=7,再把42就"變形為（4"1x4",再代入計(jì)算即可

答案第3頁，共48頁

【詳解】解：???4*6=(/)"'+(/)"(。、b、"2、"均為正整數(shù)),

.?.1*4=(14)，"+(4了=1+4"=8,2*2=(22)m+(22)"=4ffl+4"=10,

...4"=7,4"'=3,

..“*"=(4"')，4"=3?x7=9x7=63,

故選：D

10.D

【分析】本題考查了單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，熟練掌握其運(yùn)算法則以及多項(xiàng)式不含某一項(xiàng)的意義是

解題的關(guān)鍵.先根據(jù)單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式的運(yùn)算法則計(jì)算，然后根據(jù)結(jié)果中不含f項(xiàng)，即可求

出m的值.

【詳解】解：(~mx+3)x-x2(3x+5)

=-mx2+3x-3x3-5x2

=-(5+m)x2+3x-3x3,

；多項(xiàng)式不含f項(xiàng)，

—(5+〃?)=0,

m=-5,

故選：D.

11.B

【分析】本題多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式法則，把(x-3)(x+7)展開得f+4x-21,得出

x2+4%-21=x2+mx-21,即可得加的值.

【詳解】解：(X-3)(X+7)=X2+4X-21,

???()—3)(尤+7)=x2+mx-21,

+4x—21—%?+THX—21,

???m=4,

故選：B.

49?13

12.—##1—

3636

【分析】本題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、不含無關(guān)類問題及代數(shù)式求值，熟練掌握運(yùn)算法則

答案第4頁，共48頁

及不含無關(guān)類做題方法是解決本題關(guān)鍵.利用多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式的法則計(jì)算，再根據(jù)不含X

和1的項(xiàng)，即可求出機(jī)與〃的值，將機(jī)與〃的值代入加之—加〃求解即可.

4

【詳解】解：+3mx-1^(x2-3X+M)

=x4-3x3+HX2+3mx3-9mx2+3mnx--x2+x--n

33

=x4+(3m-3)x3+[〃一9加一!)X2+(3加〃+l)x一;〃

?.{/+3加工一；]卜2—3工+〃)展開后的結(jié)果中不含》和丁的項(xiàng)，

???3加—3=0,3mn+1=0

m=1,〃=一；；

???m=1,n=

3

212

m-mn+—n

4

=l2-lx

=i+l+±

336

49

36

49

故答案為:

36

13.D

【分析】本題考查多項(xiàng)式乘法中的規(guī)律性問題，將85變形為(7+1)5,利用“楊輝三角”展開,

得出(7+1)5+7的余數(shù)，即可求解.

【詳解】解：???85=(7+1)5,

.?.可有(7+1)5=75+5x74xl+...+5x7xl4+l5,

，(7+1)5+7的余數(shù)為1,即葭+7的余數(shù)為1,

,若今天是星期四，則經(jīng)過85天后是星期五.

故選D.

14.D

答案第5頁，共48頁

【分析】本題考查了整式的乘法、求代數(shù)式的值.首先根據(jù)規(guī)律可得：x6=l,從而可知

X=±1,把X的值代入代數(shù)式》2。25T求值即可.

【詳解】解：(x-l)(x5+x4+x3+x2+x+l)=0,

x6-l=0,

x6=1,

(丁)=1，

x3=±1>

X=±1,

當(dāng)X=1時(shí)，原式=p25-i=o,

當(dāng)X=T時(shí)，原式=(-1)2025-1=-2.

故選：D.

15.108

【分析】根據(jù)前面的變化規(guī)律，計(jì)算后解答即可.

本題是閱讀理解題，考查了完全平方公式的拓展一規(guī)律型問題，根據(jù)已知展開式找出一般性

的數(shù)字規(guī)律是解題關(guān)鍵.

【詳解】解：(fl+b)3=a3+?>a2b+3ab2+b2,

(a+6)4=/+4a%+6a2b2+4ab3+

.-.994+4x993+6x992+4x99+1=(99+1)4=108,

故答案為：

16.B

【分析】本題考查多項(xiàng)式的乘法，求代數(shù)式的值.解題的關(guān)鍵是掌握多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則，