2024-2025學(xué)年北師版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)專項(xiàng)練習(xí)：角形的證明章末十二大題型總結(jié)（拔尖篇）

專題1.11三角形的證明章末十二大題型總結(jié)（拔尖篇）

【北師大版】

＞題型梳理

【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】................................................1

【題型2勾股定理在網(wǎng)格問(wèn)題中的運(yùn)用】.........................................................3

【題型3翻折變換】...........................................................................5

【題型4兩圓一線畫等腰】.....................................................................6

【題型5等邊三角形手拉手問(wèn)題】..............................................................7

【題型6分身等腰】...........................................................................9

【題型7一線分二腰】.......................................................................11

【題型8角平分線的綜合應(yīng)用】................................................................13

【題型9垂直平分線的綜合應(yīng)用】.............................................................15

【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應(yīng)用】......................................................17

【題型11由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】...............................................19

【題型12由勾股定理構(gòu)造圖形解決實(shí)際問(wèn)題】...................................................20

〉舉一反三

【題型1由勾股定理求兩條線段的平方和（差）】

【例1】（2023春?陜西咸陽(yáng)?八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，射線AM14N于點(diǎn)力、點(diǎn)C、B在4M、4N上，D為

線段4C的中點(diǎn)，且DE1BC于點(diǎn)E.

（1）若BC=10,直接寫出AC?+AB2的值；

（2）若力C=8,AaBC的周長(zhǎng)為24,求△4BC的面積；

（3）若4B=6,C點(diǎn)在射線AM上移動(dòng)，問(wèn)此過(guò)程中，BE?—的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值;

若不是，請(qǐng)求出它的取值范圍.

1

【變式1-1](2023?福建?模擬預(yù)測(cè))如圖所示，已知AaBC中，AB=6,AC=9,4。18。于￡?,M為力。上

任一點(diǎn)，則MC2-MB2等于

【變式1-2](2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))對(duì)角線互相垂直的四邊形叫做“垂美”四邊形，現(xiàn)有如圖所示的

“垂美"四邊形4BCD,對(duì)角線AC,BD交于點(diǎn)、O,若力B=3,CD=2,則+BC?=.

【變式1-3](2023春?福建莆田?八年級(jí)校聯(lián)考期中)在平面直角坐標(biāo)系中，己知點(diǎn)4(4,4),5(8,0).

(1)如圖1,判斷AAOB的形狀并說(shuō)明理由；

(2)如圖2,M,N分別是y軸負(fù)半軸和x軸正半軸上的點(diǎn)，且4M14N,探究線段。M,ON,。力之間的數(shù)量

關(guān)系并證明；

(3)如圖3,延長(zhǎng)BA交y軸于點(diǎn)C,M,N分別是x軸負(fù)半軸和y軸負(fù)半軸上的點(diǎn)，連接4V交x軸于￡),且乙4M。+

^ANO=45°,探究BD2,DM2,。“2的數(shù)量關(guān)系并證明.

2

【題型2勾股定理在網(wǎng)格問(wèn)題中的運(yùn)用】

【例2】（2023春?浙江?八年級(jí)期末）在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格圖形中.每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為

格點(diǎn).以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形4BCD的邊為斜邊，向外作四個(gè)全等的直角三角形，使四個(gè)直角頂點(diǎn)瓦凡G,“

都是格點(diǎn)，且四邊形EFGH為正方形，我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖.例如，在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中，

正方形4BCD的邊長(zhǎng)為疑，此時(shí)正方形EFGH的面積為52.問(wèn)：當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形28CD的邊長(zhǎng)為庫(kù)

時(shí)，正方形EFGH的面積的所有可能值是（不包括52）.

【變式2-1］（2023春?福建三明?八年級(jí)統(tǒng)考期中）問(wèn)題背景：在△ABC中，AB、BC、AC三邊的長(zhǎng)分別為

V5,V10,V13,求這個(gè)三角形的面積.小輝同學(xué)在解答這道題時(shí)，先建立一個(gè)正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形

的邊長(zhǎng)為1）,再在網(wǎng)格中畫出格點(diǎn)△ABC（即△ABC三個(gè)頂點(diǎn)都在小正方形的頂點(diǎn)處），如圖①所示.這

樣不需求小ABC的高，而借用網(wǎng)格就能計(jì)算出它的面積.

（1）請(qǐng)你將△ABC的面積直接填寫在橫線上：

思維拓展：

（2）我們把上述求△ABC面積的方法叫做構(gòu)圖法.若△ABC三邊的長(zhǎng)分別為逐a,2V2a,V17a（a>0）,

請(qǐng)利用圖②的正方形網(wǎng)格（每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a）畫出相應(yīng)的△ABC,并求出它的面積.

探索創(chuàng)新：

（3）若）ABC三邊的長(zhǎng)分另II為9m2+472,274m2+幾2（m>0,n>0,且n#n）,試運(yùn)用構(gòu)

3

【變式2-2](2023春?湖北武漢?八年級(jí)?？计谥?在10x10網(wǎng)格中，點(diǎn)A和直線/的位置如圖所示:

(1)將點(diǎn)A向右平移6個(gè)單位，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到點(diǎn)2,在網(wǎng)格中標(biāo)出點(diǎn)以

(2)在(1)的條件下，在直線/上確定一點(diǎn)P,使B1+P8的值最小，保留畫圖痕跡，并直接寫出出+尸8

的最小值:

(3)結(jié)合(2)的畫圖過(guò)程并思考，直接寫出Sc?+32+J(7-久產(chǎn)+42的最小值:

【變式2-3](2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期中)如圖，是由邊長(zhǎng)為1的小正方形構(gòu)成的10x10網(wǎng)格，每個(gè)

小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn).五邊形A8COE的頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，僅用無(wú)刻度的直尺在給定網(wǎng)格中畫圖，畫圖過(guò)

程用虛線表示，畫圖結(jié)果用實(shí)線表示，按步驟完成下列問(wèn)題：

(1)五邊形的周長(zhǎng)為.

(2)在A8上找點(diǎn)孔使E,C兩點(diǎn)關(guān)于直線。尸對(duì)稱；

(3)設(shè)。P交CE于點(diǎn)G,連接AG,直接寫出四邊形AEDG的面積；

(4)在直線。尸上找點(diǎn)H,使NAHB=135。.

4

【題型3翻折變換】

【例3】（2023春?福建泉州?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在△力BC中，AACB=90°,=50。，點(diǎn)。是4B邊上一點(diǎn),

將仆ACD沿CD翻折后得至!!△ECD.

A

圖1圖2圖3

（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)E落在BC上時(shí)，求NBDE的度數(shù)；

（2）當(dāng)點(diǎn)￡落在8C下方時(shí)，設(shè)DE與BC相交于點(diǎn)?

①如圖2,若DE1BC,試說(shuō)明：CEWAB；

②如圖3,連接BE,EG平分NBED交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,交BC于點(diǎn)H.若BEIICG,試判斷NCFE與NG之間

的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由.

【變式3-11（2023春?遼寧丹東?八年級(jí)統(tǒng)考期末）在銳角AABC中，4B=4C,將沿力C翻折得到△AB'C,

直線4B與直線"C相交于點(diǎn)E,若AAEB，是等腰三角形，貝此艮4c的度數(shù)為.

【變式3-2]（2023春?江蘇?八年級(jí)期末）如圖1,在ATIBC中，4。=90。，Z71=40°,。為AC的中點(diǎn)，E

為邊A8上一動(dòng)點(diǎn)，連接。E,將AADE沿。E翻折，點(diǎn)A落在AC上方點(diǎn)尸處，連接EECF.

備用圖

5

(1)判斷/I與/2是否相等并說(shuō)明理由；

⑵若ADEF與以點(diǎn)C,D,E為頂點(diǎn)的三角形全等，求出NADE的度數(shù)：

(3)翻折后，當(dāng)ADEF和△ABC的重疊部分為等腰三角形時(shí)，直接寫出N4DE的度數(shù).

【變式3-3](2023春?湖北武漢?八年級(jí)統(tǒng)考期末)已知。是等邊二角形2BC中邊上一點(diǎn)，將CB沿直線

C。翻折得到CE,連接E4并延長(zhǎng)交直線CD于點(diǎn)F.

(1)如圖1,若N8CD=40。，直接寫出/CBE的度數(shù);

(2)如圖1,若CF=10,AF=4,求AE的長(zhǎng);

(3)如圖2,連接8R當(dāng)點(diǎn)。在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，請(qǐng)?zhí)骄烤€段A凡BF,CT之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

【題型4兩圓一線畫等腰】

【例4】(2023春?廣西欽州?八年級(jí)?？计谥?如圖，在Rt△48c中，乙4cB=90度，BC=4,AC=3,在

直線4C上取一點(diǎn)P,使得AP/IB為等腰三角形，則符合條件的點(diǎn)P共有()

C.3個(gè)D.4個(gè)

6

【變式4-1］（2023春?河南駐馬店?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線小/2相交于點(diǎn)A，點(diǎn)8是直線外一點(diǎn)，在

直線"、b上找一點(diǎn)C,使△ABC為一個(gè)等腰三角形.滿足條件的點(diǎn)C有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【變式4-2］（2023春?山東泰安?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知每個(gè)小方格的邊長(zhǎng)為1,A,8兩點(diǎn)都在小方

格的格點(diǎn)（頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)趫D中找一個(gè)格點(diǎn)C,使△ABC是等腰三角形，這樣的格點(diǎn)C有個(gè)。

【變式4-3］（2023春?廣東湛江?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，AaBC中，^ACB=90°,^CAB=60°,動(dòng)點(diǎn)尸在

斜邊A8所在的直線，〃上運(yùn)動(dòng)，連結(jié)尸C,那點(diǎn)尸在直線機(jī)上運(yùn)動(dòng)時(shí)，能使圖中出現(xiàn)等腰三角形的點(diǎn)P的位

C.4個(gè)D.3個(gè)

【題型5等邊三角形手拉手問(wèn)題】

【例5】（2023春?內(nèi)蒙古呼倫貝爾?八年級(jí)?？计谥校┮讶鐖D，△ABC.

△COE均為等邊三角形，連接BE,A。交于點(diǎn)。，AC與3E交于點(diǎn)

尸求證:

(1)BE=AD

（2）ZAOB的度數(shù)

7

【變式5-1]（2023春?山東濟(jì)寧?八年級(jí)濟(jì)寧市第十五中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀與理解：

圖1是邊長(zhǎng)分別為。和6（a>b）的兩個(gè)等邊三角形紙片ABC和疊放在一起（C與。重合）的圖形.

圖1圖2

操作與證明：

（1）操作：固定△ABC,將AC'DE繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)25。，連接2D,BE,如圖2；在圖2中，線段8E與

4。之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；

（2）操作：若將圖1中的AUDE,繞點(diǎn)C按順時(shí)針?lè)较蛉我庑D(zhuǎn)一個(gè)角度a（0。WaW360。），連接AD,BE,

如圖3；在圖3中，線段8E與2。之間具有怎樣的大小關(guān)系？證明你的結(jié)論；

猜想與發(fā)現(xiàn)：

（3）根據(jù)上面的操作過(guò)程，請(qǐng)你猜想當(dāng)a為多少度時(shí)，線段2D的長(zhǎng)度最大是多少？當(dāng)a為多少度時(shí)，線段4。長(zhǎng)

度最小是多少？

【變式5-2]（2023春?廣東廣州?八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，C為線段4E上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A,E重合），

在4E同側(cè)分別作等邊三角形4BC和等邊三角形CDE,4D與BE交于點(diǎn)。4D與BC交于點(diǎn)P,BE與CD交于

點(diǎn)Q,連接PQ.以下結(jié)論：①4。=BE；?PQ\\AE；③乙4OB=60°；@ACPQ是等邊三角形；⑤BQ=4B.恒

成立的是_______________

8

【變式5-3]（2023?山東?八年級(jí)專題練習(xí)）已知，AABC為等邊三角形，點(diǎn)D在邊BC上.

【基本圖形】如圖1,以AD為一邊作等邊三角形△ADE,連結(jié)CE.可得CE+CD=AC（不需證明）.

【遷移運(yùn)用】如圖2,點(diǎn)尸是4C邊上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角ADEF.求證：CE+CD=CF.

【類比探究】如圖3,點(diǎn)尸是AC邊的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，以DF為一邊作等邊三角AOEF.試探究線段CE,CD,CF

三條線段之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由.

【題型6分身等腰】

【例6】（2023春?湖南永州?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在第1個(gè)△力iBC,NB=20。同=CB；在邊力中上

任取一點(diǎn)D延長(zhǎng)C4i到乙，使442=4。，得到第2個(gè)△力〃2。；在邊出。上任取一點(diǎn)E，延長(zhǎng)久久，到

&，使&4=4您得到第3個(gè)4.…按此做法繼續(xù)下去，則第w個(gè)三角形中以4n為頂點(diǎn)的內(nèi)角

度數(shù)是（）

C.Q)n1-100°D.Q)n-100°

9

【變式6-1］（2023春?江西宜春?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，AOB是一鋼架，設(shè)N力。B=a,為了使鋼架更

加堅(jiān)固，需在其內(nèi)部添加一些鋼管EF,FG,添加的鋼管長(zhǎng)度都與OE相等，若最多能添加這樣的鋼

管5根，貝布的取值范圍是.

【變式6-2］（2023春?河北張家口?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一鋼架中，乙4=%。，焊上等長(zhǎng)的鋼條

P1P2，P2P3，P3P4，以「5,…來(lái)加固鋼架，且PM=P1P2，對(duì)于下列結(jié)論，判斷正確的是（）

結(jié)論I：若乙P3P2P4=75°,貝h=25；

結(jié)論II：若這樣的鋼條在鋼架上至多能焊上6根，那么x的取值范圍是三<“<15

A.I和II都對(duì)B.I和n都不對(duì)c.I不對(duì)n對(duì)D.I對(duì)n不對(duì)

【變式6-3］（2023春?湖南岳陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，NMON=30。，點(diǎn)4，4,人,…在射線ON上，點(diǎn)

瓦，層,外,…在射線加上，△A4A，…均為等邊三角形.若。4=1,則紇A”的邊

長(zhǎng)為（）

10

【題型7一線分二腰】

【例7】（2023?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí)）已知AABC是等腰三角形，過(guò)A4BC的一個(gè)頂點(diǎn)的一條直線，把ZL4BC分

成兩個(gè)小三角形，如果這兩個(gè)小三角形也是等腰三角形，我們把這樣的等腰三角形叫做和諧三角形.請(qǐng)構(gòu)

造出所有符合條件的和諧三角形并標(biāo)出相關(guān)角的度數(shù).

【變式7-1]（2023春?福建廈門?八年級(jí)廈門雙十中學(xué)思明分校?？计谥校┤绻粋€(gè)三角形能被一條線段分割

成兩個(gè)等腰二角形，那么則稱這個(gè)二角形為“雙腰二角形”.現(xiàn)有如下4個(gè)結(jié)論：

①若一個(gè)三角形的兩個(gè)內(nèi)角分別是36。、72。，則這個(gè)三角形是“雙腰三角形”

②若一個(gè)三角形是直角三角形，則這個(gè)三角形是“雙腰三角形”

③若一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍，則這個(gè)三角形一定是“雙腰三角形”

④若一個(gè)三角形的一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的3倍，則這個(gè)三角形一定是“雙腰三角形”

其中正確的個(gè)數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

【變式7-2]（2023春?江蘇淮安?八年級(jí)統(tǒng)考期中）【學(xué)習(xí)概念】：規(guī)定①：如果一個(gè)三角形的三個(gè)角分別等

于另一個(gè)三角形的三個(gè)角，那么稱這兩個(gè)三角形互為“等角三角形”.

規(guī)定②：從三角形（不是等腰三角形）一個(gè)頂點(diǎn)引出一條射線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段把這個(gè)

三角形分割成兩個(gè)小三角形，如果分得的兩個(gè)小三角形中一個(gè)為等腰三角形，另一個(gè)與原來(lái)三角形是“等角

三角形”，我們把這條線段叫做這個(gè)三角形的“等角分割線”.

【理解概念】：

（1）如圖1,在RtAABC中，AACB=90°,CDLAB,請(qǐng)根據(jù)規(guī)定①，寫出圖中所有的“等角三角形”；

圖1

（2）如圖2,在AABC中，CZ）為角平分線，ZX=40°,zB=60°,請(qǐng)根據(jù)規(guī)定②，求證：CD為AABC的等

角分割線；

11

c

圖2

【應(yīng)用概念】：

(3)在△ABC中，N4=42。，CD是△ABC的等角分割線，〃CB=

【變式7-3](2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))在AABC中，AB=AC,Nd=36。，把像這樣的三角形叫做黃

金三角形.

(1)請(qǐng)你設(shè)計(jì)三種不同的分法，將黃金三角形力BC分割成三個(gè)等腰三角形，使得分割成的三角形中含有兩個(gè)

黃金三角形(畫圖工具不限，要求畫出分割線段；標(biāo)出能夠說(shuō)明不同分法所得三角形的內(nèi)角度數(shù)，不要求

寫畫法，不要求證明.分別畫在圖1,圖2,圖3中)

注：兩種分法只要有一條分割線段位置不同，就認(rèn)為是兩種不同的分法.

(2)如圖4中，BF平分N2BC交AC于F,取4B的中點(diǎn)E,連接EF并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M.試判斷CM與48之

間的數(shù)量關(guān)系？只需說(shuō)明結(jié)果，不用證明.

答：CM與4B之間的數(shù)量關(guān)系是—.

12

【題型8角平分線的綜合應(yīng)用】

【例8】(2023春?福建廈門?八年級(jí)福建省廈門第二中學(xué)校考期中)已知：在A4BC和ADEC中，AC=BC,

DC=ECfZ-ACB=乙ECD=a.

(1)如圖1,A,C,。在同一直線上，延長(zhǎng)AE交BD于R求證：AF1BD；

圖1

(2)如圖2,4E與BD交于尸，G在4。上，若FG平分乙4FD,求證：點(diǎn)C在直線FG上.

【變式8-1](2023春?湖北武漢?八年級(jí)?？茧A段練習(xí))己知：乙4OB=60。，小新在學(xué)習(xí)了角平分錢的知識(shí)

后，做了一個(gè)夾角為120。(即ADPE=120。)的角尺來(lái)作乙4OB的角平分線.

(1)如圖1,他先在邊OA和08上分別取。。=OE,再移動(dòng)角尺使PD=PE,然后他就說(shuō)射線OP是乙4OB的

角平分線.試根據(jù)小新的做法證明射線OP是NAOB的角平分線；

(2)如圖2,將角尺繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)了一定的角度后，OD手OE,但仍然出現(xiàn)了PD=PE,此時(shí)OP是N40B的角

平分線嗎？如果是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

(3)如圖3,在(2)的基礎(chǔ)上，若角尺旋轉(zhuǎn)后恰好使得。PIIOB,請(qǐng)判斷線段。。與OE的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明

13

【變式8-2](2023春?廣東珠海?八年級(jí)珠海市文園中學(xué)校考階段練習(xí))已知點(diǎn)C是NM4N平分線上一點(diǎn)，乙BCD

的兩邊CB、CD分別與射線AM、AN相交于3,。兩點(diǎn)，且乙48。+乙4。。=180。.過(guò)點(diǎn)C作CEL4B,垂足為

E.

(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上時(shí)，求證：BC=DC；

(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)E在線段4B的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究線段4B、4。與BE之間的等量關(guān)系；

(3)如圖3,在(2)的條件下，若乙MAN=60°,連接BD,作乙48。的平分線BP交4D于點(diǎn)P,交2C于點(diǎn)。,

連接。。并延長(zhǎng)交4B于點(diǎn)G.若BG=2,DF=4,求線段OB的長(zhǎng).

【變式8-3](2023春?黑龍江哈爾濱?八年級(jí)統(tǒng)考期末)如圖1,AABC的乙4BC和乙4cB的平分線BE,CF相交

于點(diǎn)G,ABAC=60°.

(1)求NBGC的度數(shù)；

(2)如圖2,連接力G,求證：4G平分NBAC；

(3)如圖3,在⑵的條件下，在4c上取點(diǎn)“，使得UGH=4BGC,且力"=8,BC=10,求A4BC的周長(zhǎng).

14

【題型9垂直平分線的綜合應(yīng)用】

【例9】(2023春?福建莆田?八年級(jí)校考開學(xué)考試)如圖，在RtAABC中，^CBA=90°,NC4B的角平分線4P

和NMCB的平分線CF相交于點(diǎn)D,4D交CB于點(diǎn)P,CF交2B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)D作。E1CF交CB的延長(zhǎng)

線于點(diǎn)G,交4B的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,連接CE并延長(zhǎng)交FG于點(diǎn)”，則下列結(jié)論：?ACDA=45°；②4F-CG=CA-,

③DE=DC；@CF=2CD+EG-,其中正確的有.(填序號(hào))

【變式9-1](2023春.四川成都.八年級(jí)四川省成都市第七中學(xué)初中學(xué)校?？奸_學(xué)考試)如圖：在AABC中，

/.BAC=110°,AC^AB,射線4。、4E的夾角為55。，過(guò)點(diǎn)B作BF12。于點(diǎn)尸，直線BF交4E于點(diǎn)G,連接

CG.

(1)如圖1,若射線AD、4E都在NB4C的內(nèi)部，且點(diǎn)B與點(diǎn)8'關(guān)于4D對(duì)稱，求證：CG=BG

(2)如圖2,若射線2D在NB4C的內(nèi)部，射線4E在NB4C的外部，其他條件不變，求證：CG+2GF=BG；

(3)如圖3,若射線AD、2E都在的外部，其他條件不變，若CG=3GF,AF=3,SLABG=7.5,求BF的

長(zhǎng).

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【變式9-21(2023春?全國(guó)?八年級(jí)專題練習(xí))如圖，在△ABC中,。為4B中點(diǎn),DE1AB,^ACE+乙BCE=180°,

EF1BC于點(diǎn)F,AC=6,BC=9,貝!JBF的長(zhǎng)為.

【變式9-3](2023春?江蘇?八年級(jí)專題練習(xí))在△ABC中，AB=10,AC=6.若點(diǎn)。為NBAC的平分線上

-*點(diǎn).

(1)當(dāng)點(diǎn)。在△ABC的外部時(shí)，如圖1,過(guò)點(diǎn)。作。ELA8于E,作。FLAC交AC的延長(zhǎng)線于R且BE

=CF.

①求證：點(diǎn)。在BC的垂直平分線上;

②BE=

(2)當(dāng)點(diǎn)。在線段8C上時(shí)，如圖2,若/C=90。，BEABC,交AC于點(diǎn)E,交A。與點(diǎn)尸，過(guò)點(diǎn)尸

作FGLBE,交BC于點(diǎn)G,則

?ZDFG=

②若BC=8,EC=(則GC

(3)如圖3,過(guò)點(diǎn)A的直線/II8C,若NC=90。，BC=8,點(diǎn)。到△ABC三邊所在直線的距離相等，則點(diǎn)。

到直線/的距離是

圖2圖3

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【題型10直角三角形斜邊中線的綜合應(yīng)用】

【例10】（2023春?安徽阜陽(yáng)?八年級(jí)?？计谥校┚C合與實(shí)踐

已知△ABC與ABDE均為等腰直角三角形，其中ABAC=NBDE=90。，連接CE,尸是EC的中點(diǎn)，連接

PA,PD.

（1）如圖1,當(dāng)B,D,C三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，P4和PD的數(shù)量關(guān)系為,位置關(guān)系為.

【深入探究】

（2）如圖2,當(dāng)B,D,4三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，（1）中得到的結(jié)論成立嗎？請(qǐng)加以證明.

【拓展提高】

（3）如圖3,若等腰直角△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)EC恰好與8。平行時(shí)，（1）中得到的結(jié)論還成立嗎？

請(qǐng)加以證明.

【變式10-1】（2023春?安徽合肥?八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在ATIBC中，AELBC于點(diǎn)E,BD1AC于點(diǎn)

點(diǎn)廠是AB的中點(diǎn)，連接。凡EF,設(shè)NDFE=a,貝此C的度數(shù)可表示為（）

A.aB.2aC.90°—aD.90°--a

2

【變式10-2]（2023春?福建泉州?八年級(jí)期末）如圖,等腰RtAABC中，AB=AC,LBAC=90°,ID1BC于

點(diǎn)、D,乙4BC的平分線分別交AC、AD于E、F兩點(diǎn)，M為EF的中點(diǎn)，AM的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)N,連接DM,下

列結(jié)論：①DF=DN；②DM=MN；③NF垂直平分AB；@AE=NC,其中正確結(jié)論有.

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【變式10-3X2023春?安徽阜陽(yáng)?八年級(jí)校聯(lián)考期中)定義:如圖1,在AABC和△力DE中,4B=AC=4。=AE,

當(dāng)ABAC+ACME=180°時(shí)，我們稱△ABC與△4DE互為“頂補(bǔ)等腰三角形“，△ABC的邊BC上的高線力”叫

做仆ADE的“頂心距”，點(diǎn)4叫做“旋補(bǔ)中心”.

圖1圖2圖3圖4

(1)特例感知：在圖2,圖3中，AABC與ADAE互為“頂補(bǔ)三角形”，AM,4N是“頂心距”.

①如圖2,當(dāng)/艮4。=90。時(shí)，AM與DE之間的數(shù)量關(guān)系為AM=DE；

②如圖3,當(dāng)ABAC=120。，8c=6時(shí)，AN的長(zhǎng)為.

(2)猜想論證：在圖1中，當(dāng)NB4C為任意角時(shí)，猜想力M與DE之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明.

(3)拓展應(yīng)用：如圖4,在四邊形28CD中，AD=AB,CD=BC,乙8=90。，Z71=60°,CD=2,在四邊形

4BCD的內(nèi)部是否存在點(diǎn)P,使得與APBC互為“頂補(bǔ)等腰三角形”？若存在，請(qǐng)給予證明，并求APBC

的“頂心距”的長(zhǎng)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

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【題型11由勾股定理確定在幾何體中的最短距離】

【例11】（2023春?山西大同?八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，在墻角處放著一個(gè)長(zhǎng)方體木柜（木柜與墻面和地面均

沒(méi)有縫腺），一只螞蟻從柜角力處沿著木柜表面爬到柜角C］處.若AB=3,BC=4,CC1=5,則螞蟻爬行

的最短路程是（）

A.V74B.3V10C.V89D.12

【變式H-1］（2023春?安徽合肥?八年級(jí)合肥壽春中學(xué)校考期中）如圖，一個(gè)圓柱形食品盒，它的高為10cm,

底面圓的周長(zhǎng)為32cm

（1）點(diǎn)A位于盒外底面的邊緣，如果在A處有一只螞蟻，它想吃到盒外表面對(duì)側(cè)中點(diǎn)B處的食物，則螞蟻需

要爬行的最短路程是cm；

（2）將左圖改為一個(gè)無(wú)蓋的圓柱形食品盒，點(diǎn)C距離下底面3cm,此時(shí)螞蟻從C處出發(fā)，爬到盒內(nèi)表面對(duì)側(cè)

中點(diǎn)8處（如右圖），則螞蟻爬行的最短路程是—cm.

【變式11-2】（2023春?全國(guó)?八年級(jí)期中）愛(ài)動(dòng)腦筋的小明某天在家玩遙控游戲

時(shí)遇到下面的問(wèn)題：己知，如圖一個(gè)棱長(zhǎng)為8cm無(wú)蓋的正方體鐵盒，小明通過(guò)遙

控器操控一只帶有磁性的甲蟲玩具，他先把甲蟲放在正方體盒子外壁A處，然后

遙控甲蟲從A處出發(fā)沿外壁面正方形ABCD爬行，爬到邊CD上后再在邊CD上

爬行3cm,最后在沿內(nèi)壁面正方形ABC。上爬行，最終到達(dá)內(nèi)壁2C的中點(diǎn)

甲蟲所走的最短路程是cm

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【變式11-3】(2023春?廣東佛山?八年級(jí)統(tǒng)考期末)初中幾何的學(xué)習(xí)始于空間的“實(shí)物和具體模型”，聚焦平

面的“幾何圖形的特征和運(yùn)用”，形成了空間幾何問(wèn)題要轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題的解題策略.

問(wèn)題提出：如圖所示是放在桌面上的一個(gè)圓柱體，一只螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)B,如何

求最短路程呢？

(1)問(wèn)題分析：螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)可以有幾條路徑？在圖中畫出來(lái)；

(2)問(wèn)題探究：①若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為18cm,高為12cm,螞蟻從點(diǎn)4出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)

B,求最短路程；

r----------

②若圓柱體的底面圓的周長(zhǎng)為2