2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷【測試范圍：北師大版必修第二冊(cè)第一-三章】全解全析

2024-2025學(xué)年高一數(shù)學(xué)下學(xué)期期中模擬卷

（北師大版2019）

（考試時(shí)間：120分鐘，分值：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，

用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

4.測試范圍：北師大版2019必修第二冊(cè)第一章一一第三章

第一章三角函數(shù)第二章平面向量及其應(yīng)用第三章數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)（二）

5.難度系數(shù)：0.65o

第一部分（選擇題共58分）

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要

求的。

1.-2025。的終邊在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】B

【解析】因?yàn)?2025。=-6x360。+135。，易知135。的終邊在第二象限，

故角-2025。的終邊在第二象限，故選B.

2.已知角。的終邊上有一點(diǎn)（1,2）,則,'（2人（）

cos-COS（71+

A.-2B.2C.-3D.3

【答案】B

【解析】由三角函數(shù)的定義，有tand=2.

sin（n-6*）+cos|-|

由誘導(dǎo)公式，',12Jsm6*+sin6*2sm6>_fanO_2，故選B.

cos（-0）-COS（7t+^）cos^-（-cos^）2cos6

3.設(shè)四邊形相8中，有方=3皮且|洞=國，則這個(gè)四邊形是（）

A.平行四邊形B.矩形C.等腰梯形D.菱形

【答案】C

—1—

【解析】因?yàn)?所以/8//DC且所以四邊形N5CD是梯形.

又|方卜|而|,所以四邊形48CA是等腰梯形，故選C

4.在古代的《扇藝奇譚》一書中有這樣的描述：“有一扇面，其外弧和內(nèi)弧所對(duì)圓心角依周天星辰之軌,

2兀

為？~rad,外弧長為16兀厘米，內(nèi)弧長為8兀厘米則此扇面的面積為（）

cC_Lr?什7C

A.72cm2B.144兀cm?C.—^―兀cmD.180兀cm?

【答案】B

164_.八八87rrc

AC______,4「0—____io

【解析】作出示意圖如圖所示：由題意可得一互一，一五一,

~TT

127r12TT

扇形的面積是"X-24?=192兀,扇形C。。的面積是彳x-^-x12~=48兀.

2323

則扇面（曲邊四邊形4BOC）的面積是1927r-48無=144無，故選B.

5.已知函數(shù)/（x）=sin（3x-"（O<e<7i）的圖象關(guān)于點(diǎn)弓,oj對(duì)稱，貝！]9=（）

A.里B.巴C.如D—

6633

【答案】D

【解析】函數(shù)/（x）=sin（3x-0）（0<夕<兀）的圖象關(guān)于點(diǎn)。。卜寸稱，

貝I]3x4—0=左兀（左￡Z）,即0=2■—版（左￡Z）,

93

冗

因?yàn)?<。<兀，所以左=0,0=1，故選D.

6.在△45C中，角4,B,C的對(duì)邊分別為q,b,c,C=1-,若機(jī)=卜一跖。一6）,〃二（。-6,°+指），且

口//〃，則△4SC的面積為（）

A.3B,也

2

「373

D.373

2

【答案】C

【解析】因比二（°-跖二-）。一“。+痛），且“//,

6,n=n，

所以—卜叫卜+伺，化為八/一。2=2仍-6.

222

所以cos二=a+b-c卷74解得翻=6.

3lab

所以53？=!%^^='*6乂@='8,故選C.

3ABe2222

7.已知夕且sin〃=3sinacos(tz+夕)，貝I］tan/?的最大值是()

【答案】A

【解析】因?yàn)閟ina=sin((i+4)一1)=3sinicos(i+0、,

所以sin(a+/7)cosa-cos(a+力)s%a=3sinacos(a+/?),

即sin(a+/?)cosa=4cos(a+/?)sina,即tan(a+/)=4tana.

tan(a-\-￡)-tana3tana￡33

_tan0=----------------

又1+tanatan^a+/?)1+4tan2a-----+4tana2J——?4tana4,

tana-----------ytana

等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)tana=；時(shí)成立，故選A.

8.已知函數(shù)/（x）=3sin2x-cosx,則函數(shù)f（x）在區(qū)間卜兀,2兀］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】C

【解析】令/(x)=3sin2x-cosx=0,即3x2sinxcosx—cos%=0,

亦即cosx(6sinx—l)=0.當(dāng)cosx=0時(shí)，

在區(qū)間［—兀,2兀］上，x=,—,—.當(dāng)6sinx—1=0,即sinx=一時(shí)，

2226

在一個(gè)周期［0,2加內(nèi)，sinx=J有兩個(gè)解，在區(qū)間卜兀,2可上，sin無=)也有兩個(gè)解.

66

由上述計(jì)算可知，cosx=0有3個(gè)解，sinx=］有2個(gè)解，

所以函數(shù)〃x)在區(qū)間卜兀,2句上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3+2=5個(gè)，故選C.

二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部

選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.

9.下列化簡中，正確的是()

A.cosl00-V3sinl0°=2sin20oB.cosl0°+V3sinl0°=2sin20o

C.(sinl0°+cosl0o)2=1+sin20°D.tan20°+tan40°+V3tan20°tan40°=73

【答案】ACD

【解析】對(duì)于A,cos100-V3sin10°=2sin(30°-10°)=2sin20°,A正確,

對(duì)于B,cos10°+V3sin10°=2sin(30°+10°)=2sin40°,故B錯(cuò)誤，

對(duì)于C,(sin10°+cos100)2=sin210°+cos210°+2sin10°cos10°=1+sin20°,C正確，

對(duì)于D,tan20°+tan40°+石tan20°tan40°=tan(20°+40°)(l-tan20°tan40°)+后tan20°tan40°

=73(1-tan20°tan40°)+A/3tan20°tan400=A/3,故D正確，

故選：ACD

10.已知￡,b，7均為單位向量,且博++-2氏%,則()

A.。1(。+2可B.

C.當(dāng)實(shí)數(shù)/變化時(shí)，|。+例的最小值是乎D.若柄)=?,弓，則0e-7)=0

【答案】ACD

【解析】由忻+囚=-2不1石.得14任q-31萬-5=0.解得7km(舍去)或=

因?yàn)閗g均為單位向量.則出但+2今=片+23/=1-1=0,故A正確.

\a+b\=y/a2+2a-b+b2=71-1+1=1,故B錯(cuò)誤.

\d+tb\=^2+2td-b+t2b2=^t2-t+l=X-+|>Y，當(dāng)且僅當(dāng)/=；時(shí)取等號(hào)，故C正確.

—?一

一一一一z-3a-bl

由則cos<i,1〉=cos<a〃〉，所以師[=同可，整理得，石，即展僅-，）=。.故D正

確.

故選：ACD.

11.已知函數(shù)〃x）=sin2]ox-胃（。>0）的最小正周期為則（）

A.。二2

B?小

C./卜）的圖象關(guān)于直線x4對(duì)稱

D.將〃x）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的十（橫坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)>=｝也14工-?的圖

象

【答案】ABD

【解析】已知函數(shù)〃x）=sin2]s-胃（。>0）的最小正周期為（

，T=WTT=三27r，則。=2,故A正確；

22m

.,./（x）=sin（4x—|^,則/[■|1=sin14xg_]j=sin兀=0,故B正確；

?.-/f^Usinf4x-^-^=sin0=0,故/'（x）的圖象不關(guān)于直線x=卷對(duì)稱，故C錯(cuò)誤；

■4J/JLZ

將/'（X）圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)縮短到原來的g（橫坐標(biāo)不變），可得到函數(shù)y=的圖象,

故D正確；

故選：ABD.

第二部分（非選擇題共92分）

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知〃x）是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，且0<x<2時(shí)，/（%）=%,則2〃2）+3/（3）=

【答案】-3

【解析】因?yàn)?'⑺是定義在R上的周期為4的奇函數(shù)，所以/（x+4）=/（x）,/（-x）=-/（x）,

令》=-2,得”-2+4)=/(-2)=-〃2),所以〃2)=0,

因?yàn)?(3)=/(3-4)=/(-1)=一/(1)=一1,

所以"(2)+3/⑶=-3.

13.如圖所示，為測量一樹的高度，在地面上選取48兩點(diǎn)，從48兩點(diǎn)分別測得樹尖的仰角為30。,45',且

45兩點(diǎn)間的距離為60m,則樹的高度為m.

【答案】30+30省

【解析】在"MB中，/PAB=30°,ZAPB=15°,AB=60m,

=sin450cos30。-cos450sin30。=變x@-變xL正交

sin15=sin(45-30

22224

在AP/5中，由正弦定理得一槳=一與，

sin30sin15

所以*坐*4^=30函+?

sin15-72

-4-

5

所以樹的高度為sin45°=30（&+收）x半=30+30君（m）.

14.已知函數(shù)/（x）=V^sin0x+cos<yx（0>O）的定義域?yàn)椋?,2兀），若=2有且僅有兩個(gè)解，則。的取

值范圍為.

【答案】［II］

【解析】因?yàn)?(x)=V3sin69%+cosa)x=2sina)x+—(6?>0),

由|〃x)|=2可得2sinf(yx+^l=2

可得sit?=1,

1-COS2a)x+—(c兀、1

n即nI3J_］，則cos12ox+§J=_l,

即方程cos(2啰x+=—1在xw(0,2兀)時(shí)有兩個(gè)解,

因?yàn)椤?gt;0,當(dāng)工￡(0,2兀)時(shí)，1<20x+§<4兀0+w,

兀27

由題意可得3兀＜4兀0H—V5兀，解得

336

因此，實(shí)數(shù)0的取值范圍是仔］.

"6J

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

15.（本小題滿分13分）已知,,6是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，AB=2ex+e2,BE=-ex+Ae2,

麗=-國+3，且4旦C三點(diǎn)共線.

⑴求實(shí)數(shù)彳的值；

（2）若q=（2,1）,e2=（2,-2）,求前的坐標(biāo)；

（3）已知點(diǎn)。（3,5）,在（2）的條件下，若48,。,。四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形，求點(diǎn)A的坐標(biāo).

【解】（1）因?yàn)槭?21+4，礪=-錄+幾4,

所以次=與+礪=—+（2+1）］,.........................................2分

因?yàn)?旦C三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)上使得近=4比，

即9+（彳+l）e2=左（一Ze1+e2）,.........................................4分

又因?yàn)?，后是平面內(nèi)兩個(gè)不共線的非零向量，

\\=-2k3

所以一7，解得人....................5分

［A+l=k2

（2）由（1）可知BE=—,一,4，EC=-2ex+e2,

所以就=礪+及=—3錄-］,....................7分

若［=（2,1）,1=（2,-2）,貝”芯=一3（2,1卜g（2「2）=（_7,_2）..........................................9分

（3）由48,C。四點(diǎn)按逆時(shí)針順序構(gòu)成平行四邊形可得~AD=BC，

設(shè)/（龍,田，則石=（3-尤,5-了），由（2）得前=（-7廠2）,.........................................11分

3-工=一7x=10

所以,解得

5—y=—2y=7

所以/（10,7）.13分

3兀

cos(2025TI-x)cosxIsinlx+^-

16.(本小題滿分15分)已知/(x)

sin(-71+x)sin(x+3兀)cos(兀+x)

(1)化簡函數(shù)/(x)；

⑵若〃。)=；,求sinacosa+2sin2a的值;

it

⑶若/>一#=-2,〃a)=-3且ae0,匹pjrh求2a-分的值.

cos(7i-x+1012x27i)(-sinx)cosx_sinxcos2x_cosx_1

【解】⑴由題意〃x)=3分

(一sinx)(—sinx)(-cosx)-sin2xcosxsinxtanx

(2)由(1)得若/(。)=),貝！Jtani=-2,

5分

sin6zcoscr+2sin2atan6Z+2tan2a6

所以sinacosa+2sin2a=8分

si?n?a+cos2atan2cr+15

⑶由⑴得若〃"尸硒"2〃什

-=-3,

tan。

貝Utan(a—,tana=g<1,

10分

所以712aef0,^-1,

4

/xr/\-itana+tan(a-￡)

所以tan(2a_#=tan[a+(a_0]=]_tanatan(a_m=l'12分

又因?yàn)椤阤(方兀，所以一￡e卜兀,號(hào),2a-^e(-7t,0),

3兀

所以加一左一彳15分

17.(本小題滿分15分)設(shè)。，b,。分別為△/呂。三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊，且

4/cosC=a2+b2-c2+2bccosA.

⑴求角C的大小;

(2)已知。=7,a=5,求△45。的面積.

【解】(1)H^34b2cosC=a2+b2-c1+2bccosA,

所以46?cosC=2abcosC+2bccosA，

即2bcosC=acosC+ccos4,3分

由正弦定理得2sinBcosC=sin4cosc+sinCcos4=sin(/+C)=sin5,

△ABC中sinBw0,所以cosC=—,6分

2

jr

又Ce（O,兀），所以C=；；.........................................7分

jr

（2）由余弦定理得52+〃-10兒0$]=49,.........................................10分

即b2-5b-24=0,解得6=8（負(fù)值舍去），....................12分

所以S&ABC=gsinC=；x5x8xsing=10百.....................15分

18.(本小題滿分17分)已知函數(shù)/(無)=然皿5+。“/>0,0>0,網(wǎng)<之的部分圖象如圖所示.

⑴求函數(shù)/'(x)的解析式.

(2)將/(x)圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的;倍，再將所得圖象上各點(diǎn)向右平移:個(gè)

26

單位長度，得到g(x)的圖象，求g(x)圖像的對(duì)稱中心及單調(diào)增區(qū)間.

【解】(1)由圖形可知/=1,1分

2兀71T12兀

一=—x—，得。二23分

3622G

二.

??,y=/（x）過點(diǎn)sin12xg+0=1,

即工+0='+2版（左￡Z）,/.0=工+2左兀（左￡Z）

326

兀兀

,?>1<一.（p=—6分

26

函數(shù)/'(X)的解析式〃X)=sin(2x+^

7分

(2)將/(x)圖象上各點(diǎn)縱坐標(biāo)保持不變，橫坐標(biāo)伸長為原來的9倍,

得至Ijy=sin[4x+[J的圖象,

8分

7T

再將所得圖象上各點(diǎn)向右平移g個(gè)單位長度,

6

兀+兀

得至!Jg（x）=sin|4x的圖象,9分

由4x=]+E(左￡Z),得x=]+?(左EZ)

所以g(無)的對(duì)稱中心為t+*oKeZ),

14分

令2祈V4XW2ATC+7I,得弓+g(左EZ),

ujrTTK7T

所以g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為y,-+y(k*.17分

19.(本小題滿分17分)雙曲函數(shù)是一類與常見的三角函數(shù)類似的函數(shù)，最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函

數(shù)和雙曲余弦函數(shù)(歷史上著名的“懸鏈線問題”與之相關(guān)).其中雙曲正弦函數(shù)：sinh(x)=

雙曲余弦函數(shù)：cosh(x)=e；e'(e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)e=2.71828…).

⑴求cosh?(X)-sinh?(x)的值;

⑵證明：兩角和的雙曲余弦公式cosh(x)cosh(j)+sinh(x)sinh(j)=cosh(x+j)；

(3)若關(guān)于x的不等式4mcosh2(x)-2sinh(2x)-320在［ln