《反證法》名師課件2

反證法1.直接證明的兩種基本證法：綜合法和分析法2.這兩種基本證法的推證過程和特點(diǎn)：由因?qū)Ч麍?zhí)果索因3、在實際解題時，兩種方法如何運(yùn)用？通常用分析法尋求思路，再由綜合法書寫過程綜合法已知條件結(jié)論分析法結(jié)論已知條件1復(fù)習(xí)引入道旁苦李

王戎七歲時，愛和小朋友結(jié)伴玩耍。一天，他們發(fā)現(xiàn)路邊的一棵樹上結(jié)滿了李子，小朋友一哄而上去摘李子，獨(dú)有王戎沒動。等到小朋友們摘了李子一嘗，原來是苦的！他們都問王戎：“你怎么知道李子是苦的呢？”小故事:王戎回答說:“假如李子不苦的話，早被路人摘光了，而這樹上卻結(jié)滿了李子，所以李子一定是苦的?！毙』锇檎∫粋€嘗了一下,果然是苦李.

王戎是怎么知道李子是苦的呢?他運(yùn)用了怎樣的推理方法?

反證法的概念

一般地，假設(shè)原命題不成立（即在原命題的條件下，結(jié)論不成立），經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明了原命題成立，這樣的證明方法叫做反證法

2新課講解一、提出假設(shè)二、推理論證三、得出矛盾四、結(jié)論成立以假設(shè)為條件，結(jié)合已知條件推理，得出與已知條件或是正確命題相矛盾的結(jié)論這與“......”相矛盾所以假設(shè)不成立，所求證的命題成立假設(shè)待證命題不成立反證法的步驟：2新課講解說明：常見的關(guān)鍵詞的否定形式：正面詞語等于大于（>）小于(<)是都是只有一個否定沒有或至少有兩個正面詞語至多有一個至少有一個任意的所有的至多有n個任意兩個否定不等于小于或等于（≤）大于或等于（≥）不是不都是至少有兩個一個也沒有某個某些至少有n＋1個某兩個2新課講解

證明：假設(shè)所求的結(jié)論不成立，即∠A__60°,∠B__60°,∠C__60°

則∠A+∠B+∠C＜180°

這與______________________相矛盾所以______不成立，所求證的結(jié)論成立

＜三角形的三個內(nèi)角之和等于180°＜＜假設(shè)ABC例1已知:∠A,∠B,∠C是△ABC的內(nèi)角（如圖）求證:∠A,∠B,∠C中至少有一個角大于或等于60°3例題講解例2、設(shè)函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a，b，c均為整數(shù)，且f(0)，f(1)均為奇數(shù)，求證：f(x)＝0無整數(shù)根．3例題講解假設(shè)f(x)＝0有整數(shù)根n，則an2＋bn＋c＝0(n∈Z)．因為f(0)，f(1)均為奇數(shù)，且f(0)＝c，f(1)＝a＋b＋c，所以c為奇數(shù)，a＋b為偶數(shù)．即a，b，c同時為奇數(shù)或a，b為偶數(shù)，c為奇數(shù)．(1)當(dāng)n為奇數(shù)時，an2＋bn為偶數(shù)．(2)當(dāng)n為偶數(shù)時，an2＋bn也是偶數(shù)，即an2＋bn＋c為奇數(shù)，這與an2＋bn＋c＝0矛盾．所以假設(shè)不成立，所以f(x)＝0無整數(shù)根．證明：變式訓(xùn)練設(shè)b為整數(shù)，求證不存在函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，使f(－1)為奇數(shù)，f(1)為偶數(shù)．

假設(shè)存在函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c，使f(－1)為奇數(shù)，f(1)為偶數(shù)，則f(－1)＝a－b＋c為奇數(shù)，f(1)＝a＋b＋c為偶數(shù)．令a－b＋c＝2m－1，①a＋b＋c＝2n，②(m，n∈Z)，方法歸納(1)用反證法證明否定性命題的適用類型結(jié)論中含有“不”“不是”“不可能”“不存在”等詞語的命題稱為否定性命題，此類問題的正面比較模糊，而反面比較具體，適合使用反證法．(2)用反證法證明數(shù)學(xué)命題的步驟鞏固訓(xùn)練1、已知三個正數(shù)a，b，c，若a2，b2，c2成公比不為1的等比數(shù)列，求證：a，b，c不成等差數(shù)列．假設(shè)a，b，c構(gòu)成等差數(shù)列，則有2b＝a＋c，即4b2＝a2＋c2＋2ac，又a2，b2，c2成公比不為1的等比數(shù)列，且a，b，c為正數(shù)，所以b4＝a2c2且a，b，c互不相等，即b2＝ac，因此4ac＝a2＋c2＋2ac，所以(a－c)2＝0，從而a＝c＝b，這與a，b，c互不相等矛盾．故a，b，c不成等差數(shù)列．證明：3例題講解例3、若函數(shù)f(x)在區(qū)間[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，且f(x)在[a，b]上單調(diào)遞增，求證：f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．由于f(x)在[a，b]上的圖象連續(xù)不斷，且f(a)<0，f(b)>0，即f(a)·f(b)<0，所以f(x)在(a，b)內(nèi)至少存在一個零點(diǎn)，設(shè)零點(diǎn)為m，則f(m)＝0.假設(shè)f(x)在(a，b)內(nèi)還存在另一個零點(diǎn)n，證明：即f(n)＝0，則n≠m.若n>m，則f(n)>f(m)，即0>0，矛盾；若n<m，則f(n)<f(m)，即0<0，矛盾．因此假設(shè)不正確，即f(x)在(a，b)內(nèi)有且只有一個零點(diǎn)．方法歸納(1)“唯一性”問題是數(shù)學(xué)中的常見問題，常見的詞語有“唯一”“有且只有一個”“僅有一個”等．這類問題通常既要證明“存在性”，又要證明“唯一性”.(2)證明“存在性”一般比較簡單，多數(shù)采用直接證明的方法，但“唯一性”的證明需要用反證法，通常可假設(shè)“存在兩個…”或“至少有兩個”等，再經(jīng)過推理論證，得出矛盾．鞏固訓(xùn)練

3例題講解例4、已知a、b、c、d∈R，且a＋b＝c＋d＝1，ac＋bd＞1，求證：a、b、c、d中至少有一個是負(fù)數(shù)．假設(shè)a、b、c、d都是非負(fù)數(shù)，因為a＋b＝c＋d＝1，所以(a＋b)(c＋d)＝1.又因為(a＋b)(c＋d)＝ac＋bd＋ad＋bc≥ac＋bd，所以ac＋bd≤1.這與已知ac＋bd＞1矛盾，所以a、b、c、d中至少有一個是負(fù)數(shù)．證明:

方法歸納(1)對于結(jié)論中含有“至多”“至少”等詞語的命題，若直接從條件推證，解題方向不明確，過程不可推測，不易證明，則可考慮用反證法證明．(2)注意“至少有一個”“至多有一個”“都是”的否定形式分別為“一個也沒有”“至少有兩個”“不都是”．鞏固訓(xùn)練3、已知函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上是增函數(shù)．求證：函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至多有一個零點(diǎn)．假設(shè)函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上至少有兩個零點(diǎn)，設(shè)x1，x2(x1≠x2)為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上的兩個零點(diǎn)，且x1＜x2，則f(x1)＝f(x2)＝0.因為函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(a，b)上為增函數(shù)，x1，x2∈(a，b)且x1＜x2，所以f(x1)＜f(x2)與f(x1)＝f(x2)＝0矛盾，假設(shè)不成立，故原命題正確.證明：

素養(yǎng)提煉宜用反證法證明的題型有：(1)一些基本命題、基本定理；(2)易導(dǎo)出與已知矛盾的命題；(3)“否定性”命題；(4)“唯一性”命題；(5)“必然性”命題；(6)“至多”“至少”類命題；(7)涉及“無限”結(jié)論的命題等．反證法的適用范圍

素養(yǎng)提煉不成立假設(shè)原命題4歸納小結(jié)

1．反證法假設(shè)原命題_______