2025年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講練測第02講 數(shù)式的運(yùn)算（5個(gè)考點(diǎn)6個(gè)題型）-浙江二輪講練測（解析版）

試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁專題一數(shù)與式的綜合問題第02講數(shù)式的運(yùn)算（思維導(dǎo)圖+5考點(diǎn)+6種題型）TOC\o"1-1"\n\h\z\u01考情透視·目標(biāo)導(dǎo)航02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點(diǎn)一有理數(shù)的運(yùn)算題型01、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算題型02、有理數(shù)的四則混合運(yùn)算應(yīng)用考點(diǎn)二整式有關(guān)的運(yùn)算與應(yīng)用考點(diǎn)三實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算考點(diǎn)四分式的運(yùn)算與應(yīng)用考點(diǎn)五二次根式的運(yùn)算試卷第=page44頁，共=sectionpages4343頁中考考點(diǎn)新課標(biāo)要求命題預(yù)測有理數(shù)的運(yùn)算能求有理數(shù)的相反數(shù)和絕對值;會運(yùn)用乘方的意義準(zhǔn)確進(jìn)行有理數(shù)的乘方運(yùn)算;能熟練地對有理數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除、乘方及簡單的混合運(yùn)算(以三步以內(nèi)為主)，理解有理數(shù)的運(yùn)算律能合理運(yùn)用運(yùn)算律簡化運(yùn)算，能運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡單問題。實(shí)數(shù)的運(yùn)算考查形式多樣，多數(shù)以解答題形式出現(xiàn)，結(jié)合絕對值、銳角三函數(shù)、二次根式、平方根、立方根等知識考查，對于實(shí)數(shù)的復(fù)習(xí)，需要學(xué)生熟練掌握實(shí)數(shù)相關(guān)概念及其性質(zhì)的應(yīng)用、實(shí)數(shù)運(yùn)算法則和順序等考點(diǎn)。實(shí)數(shù)的運(yùn)算會求實(shí)數(shù)的相反數(shù)、絕對值;知道平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示平方根、算術(shù)平方根、立方根;知道乘方與開方互為逆運(yùn)算，會用乘方運(yùn)算求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根和千以內(nèi)完全立方數(shù)的立方根(及對應(yīng)的負(fù)整數(shù));能用有理數(shù)估計(jì)一個(gè)無理數(shù)的大致范圍；會用二次根式(根號下僅限于數(shù))的加、減、乘、除運(yùn)算法則進(jìn)行簡單的四則運(yùn)算。式的運(yùn)算能運(yùn)用代數(shù)式表示具體問題中簡單的數(shù)量關(guān)系，體驗(yàn)用數(shù)學(xué)符號表達(dá)數(shù)量關(guān)系的過程，會選擇適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蟠鷶?shù)式的值;會用文字和符號語言表述整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)，能根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪的基本性質(zhì)進(jìn)行冪的運(yùn)算;會用科學(xué)記數(shù)法表示數(shù)(包括在計(jì)算器上表示);理解整式的概念，掌握合并同類項(xiàng)和去括號的法則，能進(jìn)行簡單的整式加法和減法運(yùn)算;能進(jìn)行簡單的整式乘法運(yùn)算(多項(xiàng)式乘法僅限于一次式之間和一次式與二次式的乘法);知道平方差公式、完全平方公式的幾何背景，并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單計(jì)算和推理;能用提公因式法、公式法(對二次式直接利用平方差公式或完全平方公式)進(jìn)行因式分解(指數(shù)為正整數(shù));知道分式的分母不能為零，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分、通分，并化簡分式，能對簡單的分式進(jìn)行加、減、乘、除運(yùn)算并將運(yùn)算結(jié)果化為最簡分式。中考數(shù)學(xué)中，整式這個(gè)考點(diǎn)般會考學(xué)生對整式化簡計(jì)算的應(yīng)用，偶爾考察整式的基本概念，對整式的復(fù)習(xí)，重點(diǎn)是要理解并學(xué)握整式的加減法則、乘除法則及票的運(yùn)算，難度一般不大因式分解作為整式乘法的逆運(yùn)算,在數(shù)學(xué)中考中占比不大旦是依然屬于必考題，常以簡單選擇、填空題的形式出現(xiàn)而且一般只考察因式分解的前兩步，拓展延伸部分基本不考，所以學(xué)生在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，除了要扎實(shí)掌握好基礎(chǔ)，更需要甄別好主次，合理安排復(fù)習(xí)方向。02知識導(dǎo)圖·思維引航03核心精講·題型突破考點(diǎn)一、有理數(shù)的運(yùn)算題型01、有理數(shù)混合運(yùn)算1．（2021·浙江臺州·中考真題）小華輸液前發(fā)現(xiàn)瓶中藥液共250毫升，輸液器包裝袋上標(biāo)有“15滴/毫升”．輸液開始時(shí)，藥液流速為75滴/分鐘．小華感覺身體不適，輸液10分鐘時(shí)調(diào)整了藥液流速，輸液20分鐘時(shí)，瓶中的藥液余量為160毫升．（1）求輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量；（2）求小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間．【答案】（1）輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量為200毫升；（2）小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為60分鐘．【分析】（1）先求出每分鐘輸液多少毫升，進(jìn)而即可求解；（2）先求出輸液10分鐘時(shí)調(diào)整后的藥液流速，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）解：75÷15=5（毫升/分鐘），250-5×10=200（毫升），答：輸液10分鐘時(shí)瓶中的藥液余量為200毫升；（2）（200-160）÷10=4（毫升/分鐘），160÷4+20=60（分鐘），答：小華從輸液開始到結(jié)束所需的時(shí)間為60分鐘．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)運(yùn)算的實(shí)際應(yīng)用，明確時(shí)間，流速，輸液量三者之間的數(shù)量關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．2．（2024·浙江臺州·二模）計(jì)算：；【答案】【分析】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算．先算乘方，再算乘法，然后算減法即可．【詳解】解：．3．（2024·浙江金華·二模）對于有理數(shù)，，定義新運(yùn)算“”，規(guī)則如下：，如．(1)求的值．(2)請你判斷交換律在“”運(yùn)算中是否成立？并給出證明．【答案】(1)(2)成立，見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算；（1）根據(jù)新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）根據(jù)交換律結(jié)合新定義進(jìn)行計(jì)算即可求解．【詳解】（1）（2）交換律在“”運(yùn)算中成立證明如下：即交換律在“”運(yùn)算中成立．4．（2024·浙江杭州·一模）計(jì)算：．芳芳在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．(1)如果被污染的數(shù)字是，請計(jì)算．(2)如果計(jì)算結(jié)果等于4，求被污染的數(shù)字．【答案】(1)；(2)．【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)有理數(shù)的混合運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算即可求解；（2）設(shè)，進(jìn)而解關(guān)于的一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：（2）由題意可得，設(shè)，，，，，，，即被污染的數(shù)字是．5．如圖，在一條不完整的數(shù)軸上從左到右有三個(gè)點(diǎn)，其中，設(shè)點(diǎn)所對應(yīng)數(shù)的和是．

(1)若以為原點(diǎn)，寫出點(diǎn)所對應(yīng)的數(shù)，并求出的值；(2)若原點(diǎn)在圖中數(shù)軸上點(diǎn)的右邊，且，求的值．【答案】(1)點(diǎn)C表示1，點(diǎn)A表示，(2)【分析】（1）以B為原點(diǎn)，先分別求出A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的數(shù)即可解決問題；（2）根據(jù)原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且，分別求出A，B，C三對應(yīng)的數(shù)即可．【詳解】（1）解：∵B是原點(diǎn)，，∴點(diǎn)C表示1，點(diǎn)A表示，∴；（2）解：∵原點(diǎn)O在圖中數(shù)軸上點(diǎn)C的右邊，且，∴點(diǎn)C表示，點(diǎn)B表示，點(diǎn)A表示，∴．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)軸，有理數(shù)的加法等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識解決問題，屬于中考?？碱}型．6．（2023·浙江杭州·模擬預(yù)測）老師在課堂上展示了一個(gè)數(shù)學(xué)問題：請你利用式子“”編題并解決問題．(1)佳佳：若“”表示，“”表示，求算式的計(jì)算結(jié)果．(2)琪琪：若“”表示3，且算式的計(jì)算結(jié)果為13，求“”所表示的數(shù)．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)題意列出算式，再進(jìn)一步計(jì)算即可；（2）根據(jù)題意列出方程，再進(jìn)一步計(jì)算即可．【詳解】（1）由題意知；（2）由題意知．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握有理數(shù)的混合運(yùn)算順序和運(yùn)算法則．7．小明有5張寫著不同數(shù)字的卡片，請你按要求選擇卡片，完成下列各問題：(1)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字的乘積最大．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，積為________；(2)從中選擇兩張卡片，使這兩張卡片上數(shù)字相除的商最小．這兩張卡片上的數(shù)字分別是________，商為________；(3)從中選擇4張卡片，每張卡片上的數(shù)字只能用一次，選擇加、減、乘、除中的適當(dāng)方法（可加括號），使其運(yùn)算結(jié)果為24，寫出運(yùn)算式子及運(yùn)算過程．（寫出一種即可）【答案】(1)-5和-3，15(2)-5和+3，；(3)(答案不唯一)【分析】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，也就是必須選擇同號的兩個(gè)數(shù)相乘，然后取積最大的兩個(gè)卡片即可．（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，也就是必須選擇異號的兩個(gè)數(shù)相除且被除數(shù)的絕對值要大于除數(shù)的絕對值，然后選擇商最小的兩個(gè)卡片即可．（3）把分解因數(shù)，可得到，，，然后找到合適的卡片能夠通過運(yùn)算得到的因數(shù)即可．【詳解】（1）依題意，積為正數(shù)才有最大值，選擇同號的兩個(gè)數(shù)相乘則有，積最大為，選擇卡片和卡片；故答案為：-5和-3，15；（2）依題意，商為負(fù)數(shù)才最小值，選擇異號的兩個(gè)數(shù)相除且被除數(shù)的絕對值要大于除數(shù)的絕對值．則有，，商最小為，所選擇卡片和卡片，故答案為：-5和+3，；（3）【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握有理數(shù)的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．8．計(jì)算：(1)；(2)．【答案】(1)13(2)21【詳解】（1）；（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握運(yùn)算法則和運(yùn)算順序．題型02、有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用9．（2022·浙江杭州·中考真題）計(jì)算：．圓圓在做作業(yè)時(shí)，發(fā)現(xiàn)題中有一個(gè)數(shù)字被墨水污染了．(1)如果被污染的數(shù)字是，請計(jì)算．(2)如果計(jì)算結(jié)果等于6，求被污染的數(shù)字．【答案】(1)-9(2)3【分析】（1）根據(jù)有理數(shù)混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得，解方程即可；【詳解】（1）解：；（2）設(shè)被污染的數(shù)字為x，由題意，得，解得，所以被污染的數(shù)字是3．【點(diǎn)睛】本題主要考查有理數(shù)的混合運(yùn)算、一元一次方程的應(yīng)用，掌握相關(guān)運(yùn)算法則和步驟是接替的關(guān)鍵．10．（2024·浙江·一模）在下面兩個(gè)集合中各有一些有理數(shù)，請你分別從中選出兩個(gè)不同的整數(shù)和兩個(gè)不同的分?jǐn)?shù)，再用“+，-，×，÷”中的運(yùn)算符號將選出的四個(gè)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，使得運(yùn)算的結(jié)果是一個(gè)正整數(shù)．整數(shù)分?jǐn)?shù)0，，2024，【答案】見解析【分析】本題考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算，先選出兩個(gè)整數(shù)，兩個(gè)分?jǐn)?shù)，再按要求計(jì)算即可．【詳解】解：選擇，（答案不唯一）．11．（2023·浙江紹興·模擬預(yù)測）為節(jié)約用水，我市居民生活用水按級收費(fèi)，水價(jià)分三個(gè)等級：第一級為月用水量及以下（含）；第二級為月用水量超過，不到第三級為月用水量及以上（含．下面是某住戶收到的一張自來水總公司水費(fèi)專用發(fā)票．自來水息公司水費(fèi)專用發(fā)票發(fā)票聯(lián)計(jì)費(fèi)日期：至上期抄見數(shù)本期抄見數(shù)加原表用水量本期用水量58760720自來水費(fèi)（含水資源費(fèi)）污水處理費(fèi)用水量單價(jià)（元）金額（元）用水量單價(jià)（元）金額（元）階梯一：階梯二：本期實(shí)付金額（大寫）肆拾陸元壹角整注：（居民生活用水水價(jià)自來水費(fèi)污水處理費(fèi)）(1)若該用戶估計(jì)5月份的用水量為，則該用戶在5月份應(yīng)交水費(fèi)多少元？(2)若某用戶該月的實(shí)付水費(fèi)為元，求該用戶該月的用水量．【答案】(1)該用戶在5月份應(yīng)交水費(fèi)元；(2)該用戶該月的用水量為【分析】本題主要考查了有理數(shù)的混合運(yùn)算以及一元一次方程的應(yīng)用；（1）根據(jù)月用水量即可求出需要交的水費(fèi)；（2）設(shè)用水量為，根據(jù)題意按第二級用水，列出方程即可求出的值，．【詳解】（1）解：（元，答：該用戶在5月份應(yīng)交水費(fèi)69.3元；（2），該用戶該月的用水量小于，設(shè)該用戶該月的用水量，，解得，，答：該用戶該月的用水量為．12．（2024·河北滄州·模擬預(yù)測）郵遞員騎摩托車從郵局出發(fā)，先向東騎行到達(dá)A村，繼續(xù)向東騎行到達(dá)B村，然后向西騎行到C村，最后回到郵局．(1)以郵局為原點(diǎn)，以向東方向?yàn)檎较?，?個(gè)單位長度表示1km，請你在圖中數(shù)軸上表示出A，B，C三個(gè)村莊的位置；(2)若摩托車每耗油0.04升，這趟路共耗油多少升？【答案】(1)見解析(2)這趟路共耗油升【分析】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，有理數(shù)混合運(yùn)算的應(yīng)用，絕對值的意義，解題的關(guān)鍵在于讀懂題意弄清正方向．（1）根據(jù)題意在數(shù)軸上分別表示出A，B，C三個(gè)村莊的位置即可；（2）根據(jù)題意計(jì)算出郵遞員行駛的總路程，再用總路程乘以每千米的耗油量，即可解題．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，()，()，故A，B，C三個(gè)村莊的位置如圖所示：（2）解：根據(jù)題意可得：（升），答：這趟路共耗油升．13．（2024·北京朝陽·一模）甲、乙兩位同學(xué)合作為班級聯(lián)歡會制作、、、四個(gè)游戲道具，每個(gè)道具的制作都需要拼裝和上色兩道工序，先由甲同學(xué)進(jìn)行拼裝，拼裝完成后再由乙同學(xué)上色．兩位同學(xué)完成每個(gè)道具各自的工序需要的時(shí)間（單位：分鐘）如下表所示：ABCD甲9568乙7793(1)如果按照的順序制作，兩位同學(xué)合作完成這四個(gè)道具的總時(shí)長最少為______分鐘；(2)兩位同學(xué)想用最短的時(shí)間完成這四個(gè)道具的制作，他們制作的順序應(yīng)該是______．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟悉理解題意是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)題目所給的組裝順序運(yùn)算時(shí)間即可；（2）讓甲給道具拼接的時(shí)間最短，先拼接時(shí)間短的道具，且在乙上色時(shí)能夠拼接好下一個(gè)道具，排出順序即可．【詳解】（1）解：甲先拼接用9分鐘，然后乙再給上色7分鐘，這7分鐘甲可以給B拼接，（分），還剩下的時(shí)間給拼接2分鐘，這時(shí)還需要（分），乙開始給上色又花了7分鐘，這7分鐘甲給拼接，還留有（分），這3分鐘甲給拼接，在乙完成的上色時(shí)甲給口拼接還需要（分），此時(shí)乙給上色9分鐘，甲就能把拼接完了，最后乙再給上色；綜上所述，總時(shí)長為（分）；故答案為：．（2）解：要用最短的時(shí)間完成這四個(gè)道具的制作，開始的時(shí)候要讓甲給道具拼接的時(shí)間最短，先拼接時(shí)間短的道具，且在乙上色時(shí)能夠拼接好下一個(gè)道具，所以制作的順序應(yīng)該是：；故答案為：．14．（2024·山東東營·模擬預(yù)測）聰聰收集了枚甲郵票和枚乙郵票，它們的總面值是元，__________．這兩種郵票的面值分別是多少元？①乙郵票面值是甲郵票的倍②甲郵票面值比乙郵票面值少元③甲郵票的總面值是元④乙郵票的總面值是元(1)如果要用假設(shè)的策略解決上面的問題，那么可以選擇（

）為條件．（填序號）(2)請你從符合的條件中任選一個(gè)進(jìn)行解答．【答案】(1)①②(2)選擇①，解答見詳解【分析】本題考查四則運(yùn)算的應(yīng)用，熟練掌握四則運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意選取適當(dāng)?shù)臈l件即可；（2）根據(jù)題意選取條件計(jì)算即可求解；【詳解】（1）解：如果要用假設(shè)的策略解決上面的問題，那么可以選擇①②為條件；故答案為：①②（2）解：選擇①，甲：（元），乙：（元），答：甲郵票的面值為元，乙郵票的面值為元；考點(diǎn)二、整式有關(guān)運(yùn)算與應(yīng)用15．（2023·浙江金華·中考真題）已知，求的值．【答案】【分析】原式利用平方差公式、單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式去括號合并得到最簡結(jié)果，把已知等式變形后代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：．當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】此題考查了整式的混合運(yùn)算－化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．16．（2022·浙江麗水·中考真題）先化簡，再求值：，其中．【答案】；2【分析】先利用平方差公式，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式乘法化簡，然后代入即可求解．【詳解】當(dāng)時(shí)，原式．【點(diǎn)睛】本題考查了整式的化簡求值，正確地把代數(shù)式化簡是解題的關(guān)鍵．17．（2022·浙江嘉興·中考真題）設(shè)是一個(gè)兩位數(shù)，其中a是十位上的數(shù)字（1≤a≤9）．例如，當(dāng)a＝4時(shí)，表示的兩位數(shù)是45．(1)嘗試：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；……(2)歸納：與100a(a＋1)＋25有怎樣的大小關(guān)系？試說明理由．(3)運(yùn)用：若與100a的差為2525，求a的值．【答案】(1)③；(2)相等，證明見解析；(3)【分析】（1）③仔細(xì)觀察①②的提示，再用含有相同規(guī)律的代數(shù)式表示即可；（2）由再計(jì)算100a(a＋1)＋25，從而可得答案；（3）由與100a的差為2525，列方程，整理可得再利用平方根的含義解方程即可．【詳解】（1）解：①當(dāng)a＝1時(shí)，152＝225＝1×2×100＋25；②當(dāng)a＝2時(shí)，252＝625＝2×3×100＋25；③當(dāng)a＝3時(shí)，352＝1225＝；（2）解：相等，理由如下：100a(a＋1)＋25=（3）與100a的差為2525，整理得：即解得：1≤a≤9，【點(diǎn)睛】本題考查的是數(shù)字的規(guī)律探究，完全平方公式的應(yīng)用，單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式，利用平方根的含義解方程，理解題意，列出運(yùn)算式或方程是解本題的關(guān)鍵．18．（2024·浙江·模擬預(yù)測）化簡并求值：，其中．【答案】，．【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算化簡求值，先利用整式的運(yùn)算法則對整式進(jìn)行化簡，再把代入到化簡后的結(jié)果中計(jì)算即可求解，掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式，當(dāng)時(shí)，原式，．19．（2024·浙江臺州·二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，3【分析】此題考查了整式的加減－化簡求值．先去括號，然后合并同類項(xiàng)得到最簡結(jié)果，將a與b的值代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：，當(dāng)時(shí)，原式．20．（2023·浙江寧波·三模）化簡：．小明的解答如下：解：原式．小明的解答正確嗎?如果不正確，請寫出正確的解答．【答案】不正確，，正確解答見解析【分析】此題考查了整式的混合運(yùn)算，根據(jù)乘法公式展開，再去括號合并同類項(xiàng)即可．【詳解】解：不正確，正確解答：．21．（2024·浙江杭州·二模）化簡：圓圓的解答如下：．圓圓的解答過程是否有錯誤？如果有錯誤，寫出正確的答案．【答案】圓圓的解答過程有錯誤，【分析】此題考查整式的混合計(jì)算，根據(jù)完全平方公式和平方差公式去括號，再合并同類項(xiàng)即可，熟練掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：圓圓的解答過程有錯誤．．22．（2024·浙江·模擬預(yù)測）對于實(shí)數(shù)，定義新運(yùn)算“”，規(guī)定如下：如(1)求的值；(2)若為某一個(gè)實(shí)數(shù)，記的值為，的值為，請你判斷的值是否與的取值有關(guān)？并給出證明．【答案】(1)3⊕5的值是19(2)的值是否與的取值無關(guān)，證明見解析【分析】此題考查了整式加減方面新定義問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解并運(yùn)用運(yùn)算定義進(jìn)行計(jì)算、辨別．（1）按照題目運(yùn)算定義進(jìn)行代入、求解；（2）先運(yùn)用運(yùn)算定義表示出，的值，再通過計(jì)算進(jìn)行辨別．【詳解】（1）由題意得，3⊕，即3⊕5的值是19；（2）的值是否與的取值無關(guān)，證明：由題意得，⊕3；⊕，，的值是否與的取值無關(guān)．23．（2024·浙江杭州·一模）綜合與實(shí)踐主題任務(wù)“我的校園我做主”草坪設(shè)計(jì)入項(xiàng)探究環(huán)節(jié)任務(wù)背景學(xué)校舉辦“迎五一，愛勞動”主題實(shí)踐活動，九（2）班參加校園美化設(shè)計(jì)任務(wù)：校園內(nèi)有一塊寬為31米，長為40米的矩形草坪，在草坪上設(shè)計(jì)兩條小路，具體要求：（1）矩形草坪每條邊上必須有一個(gè)口寬相等的路口；（2）兩條小路必須設(shè)計(jì)成平行四邊形；驅(qū)動任務(wù)一九（2）班各個(gè)實(shí)踐小組的設(shè)計(jì)方案匯總后，主要有甲、乙、丙三種不同的方案（如圖1）：（1）直觀猜想：方案中小路的總面積大小關(guān)系，；（請?zhí)睢跋嗟取被颉安幌嗟取保┥钊胩骄框?qū)動任務(wù)二驗(yàn)證猜想：各個(gè)實(shí)踐小組用如表格進(jìn)行研究：方案縱向小路面積橫向小路面積縱橫交叉面積小路總面積乙方案甲方案丙方案（2）請用含x的代數(shù)式表示甲方案中小路總面積：；驅(qū)動任務(wù)三（3）如果甲種方案除小路后草坪總面積約為1170平方米．請計(jì)算兩條小路的寬度是多少？拓展探究驅(qū)動任務(wù)四為了深入研究，各個(gè)小組選擇丙方案（如圖2）進(jìn)行研究．若兩條小路與矩形兩組對邊所夾銳角．（4）若時(shí)，用含的代數(shù)式拓表示四邊形的邊長；（5）若時(shí)，請用含的三角函數(shù)表示兩條路重疊部分四邊形的面積，并寫出取值范圍．【答案】（1）相等，不相等；（2）平方米；（3）兩條小路的寬度是1米；（4）x米；（5）【分析】（1）應(yīng)用平移的性質(zhì)即可求得答案；（2）根據(jù)小路總面積橫向小路面積縱向小路面積重疊部分的面積，即可得出答案；（3）表達(dá)出草地面積，建立方程求解即可；（4）連接，過點(diǎn)作，交于，由，得出四邊形是圓內(nèi)接四邊形，進(jìn)而可得，即，再運(yùn)用解直角三角形即可求得答案；（5）連接、、、，過點(diǎn)作，交于，可證得四邊形是正方形，邊長為，即可得出正方形的面積；當(dāng)與重合時(shí)，最小，即的值最小，而的最大值為1，即可求出答案．【詳解】解：（1）如圖1，，，不確定，，故答案為：相等，不相等；（2）（平方米），故答案為：平方米；（3）由題意得：，解得：，（不符合題意，舍去），答：兩條小路的寬度是1米；（4）如圖2，連接，過點(diǎn)作，交于，，，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，，，，，，四邊形是平行四邊形，，，（米；（5）如圖3，連接、、、，過點(diǎn)作，交于，則四邊形是平行四邊形，，，，，四邊形是平行四邊形，由（4）知：，，四邊形是矩形，在中，，同理可得，，四邊形是正方形，兩條路重疊部分四邊形的面積為平方米；如圖4，當(dāng)與重合時(shí)，，，，此時(shí)最小，即的值最小，，，在中，，，．【點(diǎn)睛】本題是解直角三角形應(yīng)用問題，考查了矩形的判定和性質(zhì)，正方形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，解直角三角形等，解題關(guān)鍵是理解題意，熟練運(yùn)用解直角三角形解決問題．24．（2023·浙江嘉興·一模）對于代數(shù)式，不同的表達(dá)形式能表現(xiàn)出它不同的性質(zhì)，若代數(shù)式，代數(shù)式，改變x的值，代數(shù)式A，B有不同的取值，如下表：x012340381524350381524觀察表格發(fā)現(xiàn)：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，我們把這種現(xiàn)象稱為代數(shù)式B參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為1．(1)若代數(shù)式D參照代數(shù)式A取值延后，相應(yīng)的延后值為2，求代數(shù)式D；(2)若代數(shù)式參照代數(shù)式A的取值延后，求相應(yīng)的延后值；(3)若代數(shù)式參照代數(shù)式取值延后，求的值．【答案】(1)；(2)3；(3)．【分析】（1）根據(jù)題意，延后值為2，即將改為，化簡即可；（2）設(shè)延后值為k，將延后的代數(shù)式等于，使得各項(xiàng)系數(shù)相等，解方程即可；（3）設(shè)延后值為m，使得各項(xiàng)系數(shù)相等，解方程即可．【詳解】（1）解：根據(jù)題意，（2）解：設(shè)相應(yīng)的延后值為k，得：，化簡得：，，解得，當(dāng)時(shí)，成立，∴相應(yīng)的延后值是3．（3）解：設(shè)相應(yīng)的延后值為m，得：，化簡得：，，將代入，可得∴．【點(diǎn)睛】本題考查了代數(shù)式求值，多項(xiàng)式的系數(shù)中字母求值，理解題意，清楚的列出代數(shù)式，并進(jìn)行求解是解題的關(guān)鍵．25．把幾個(gè)圖形拼成一個(gè)新的圖形，再通過兩種不同的方式計(jì)算同一個(gè)圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，也可以求出一些不規(guī)則圖形的面積．例如，由圖1，可得等式：．(1)由圖2，可得等式_____；(2)利用（1）所得等式，解決問題：已知，，求的值；(3)如圖3，將兩個(gè)邊長為、的正方形拼在一起，、、三點(diǎn)在同一直線上，連接和，若這兩個(gè)正方形的邊長、如圖標(biāo)注，且滿足，．請求出陰影部分的面積．【答案】(1)(2)的值為45(3)陰影部分的面積為20【分析】本題主要考查完全平方公式與幾何圖形面積關(guān)系，解題的關(guān)鍵是由幾何圖形得到恒等式．（1）根據(jù)圖形可知正方形的邊長為，然后問題可求解；（2）根據(jù)（1）中的結(jié)論可把條件代入求解即可；（3）根據(jù)題意陰影部分的面積=兩個(gè)正方形的面積-兩個(gè)直角三角形的面積，進(jìn)而問題可求解．【詳解】（1）解：由圖可得：；（2）解：由（1）可知：，∵，，∴，∴；（3）解：由圖可知：，∵，，∴，∴．26．當(dāng)我們利用兩種不同的方法計(jì)算同一圖形的面積時(shí)，可以得到一個(gè)等式，由圖，可得等式：．(1)由圖可得等式：．(2)利用（）中所得到的結(jié)論，解決下面的問題：已知，，求的值；(3)利用圖中的紙片（足夠多），畫出一種拼圖，使該拼圖可用來驗(yàn)證等式：．【答案】(1)；(2)；(3)見解析．【分析】（）根據(jù)圖，利用直接求與間接法分別表示出正方形面積，即可確定出所求等式；（）根據(jù)（）中結(jié)果，求出所求式子的值即可；（）根據(jù)已知等式，作出相應(yīng)圖形即可；此題考查了多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及完全平方公與幾何圖形的面積，代數(shù)式求值問題，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1），故答案為：；（2）∵，，∴，；（3）如圖所示：27．（2024·浙江杭州·二模）小璐在研究數(shù)學(xué)題的時(shí)候發(fā)現(xiàn)：任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是4的奇數(shù)倍．(1)計(jì)算的結(jié)果是4的幾倍？(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)較小的一個(gè)為（為整數(shù)），請論證“發(fā)現(xiàn)”中的結(jié)論正確；(3)任意三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和一定是4的奇數(shù)倍嗎？______（填“是”或“否”）．【答案】(1)(2)見解析(3)否【分析】本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，整式的運(yùn)算（1）直接計(jì)算判斷；（2）根據(jù)完全平方公式展開計(jì)算，再根據(jù)倍數(shù)的定義判斷；（3）仿照（2）計(jì)算，即可求解．【詳解】（1），的結(jié)果是4的5倍；（2）兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)較小的一個(gè)為，則較大的一個(gè)為，它們的平方和為，，為整數(shù)，為偶數(shù)，為奇數(shù)，即任意兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和是4的奇數(shù)倍．（3）否．設(shè)兩三連續(xù)偶數(shù)為，，，則．所以任意三個(gè)連續(xù)偶數(shù)得平方和是4的倍數(shù)．∵不一定是奇數(shù)，∴任意三個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方和不一定是4的奇數(shù)故答案為：否．考點(diǎn)三、實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算28．（2024·浙江·中考真題）計(jì)算：【答案】7【分析】此題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．首先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，立方根和絕對值，然后計(jì)算加減．【詳解】．29．（2023·浙江金華·中考真題）計(jì)算：．【答案】【分析】根據(jù)零指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的意義，計(jì)算即可．【詳解】解：原式，，．【點(diǎn)睛】本題考查了零指數(shù)冪、算術(shù)平方根的定義、特殊角的三角函數(shù)值、絕對值的意義．本題的關(guān)鍵是注意各部分的運(yùn)算法則，細(xì)心計(jì)算．30．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）計(jì)算：．【答案】2【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、特殊角的三角函數(shù)值、零次冪等知識點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)運(yùn)算法則成為解題的關(guān)鍵．先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值、零次冪、絕對值、算術(shù)平方根的知識化簡，然后再運(yùn)算即可．【詳解】解：．31．（2024·浙江臺州·模擬預(yù)測）計(jì)算：．【答案】【分析】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算，涉及零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、實(shí)數(shù)的性質(zhì)及特殊角三角函數(shù)等知識，熟悉這些基礎(chǔ)知識是關(guān)鍵；依次計(jì)算零指數(shù)冪、絕對值、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪及特殊角三角函數(shù)值，最后進(jìn)行加減運(yùn)算即可．【詳解】解：．32．（2023·浙江·模擬預(yù)測）計(jì)算：【答案】666【分析】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時(shí)，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．首先計(jì)算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值、算術(shù)平方根和絕對值，然后計(jì)算加減，求出算式的值即可．【詳解】原式33．（2023·浙江金華·模擬預(yù)測）計(jì)算：．【答案】【分析】此題考查了有理數(shù)的乘方，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解題的關(guān)鍵是掌握以上知識點(diǎn)．首先計(jì)算有理數(shù)的乘方，特殊角的三角函數(shù)值，零指數(shù)冪和負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，然后計(jì)算加減．【詳解】解：．考點(diǎn)四、分式的運(yùn)算及應(yīng)用34．（2023·浙江紹興·中考真題）解答下列各題：(1)計(jì)算：(2)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式的值．【答案】(1)3(2)【分析】（1）根據(jù)絕對值的定義，算術(shù)平方根的定義，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪的運(yùn)算法則，即可求解，（2）括號中兩項(xiàng)通分，利用除法法則，約分得到最簡結(jié)果，將代入，即可求解，本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，分式的化簡求值，解題的關(guān)鍵是：熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．【詳解】（1）解：，（2）解：，當(dāng)時(shí)，原式．35．（2023·浙江溫州·中考真題）計(jì)算：(1)．(2)．【答案】(1)12(2)【分析】（1）先計(jì)算絕對值、立方根、負(fù)整數(shù)指數(shù)，再計(jì)算加減；（2）根據(jù)同分母分式的加減法解答即可．【詳解】（1）．（2）．【點(diǎn)睛】本題考查了實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算和同分母分式的加減，熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．36．（2024·浙江·模擬預(yù)測）小孫同學(xué)化簡分式，解答過程如下：解：原式（第一步）（第二步）．（第三步）你認(rèn)為小孫的解答過程是否正確？如果不正確，請指出是從第幾步開始出錯的，并寫出此題正確的解答過程．【答案】小孫的解答過程不正確，他是從第一步開始出錯的，正確解答見解析【分析】本題主要考查分式的計(jì)算，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)題意找出錯誤重新計(jì)算即可．【詳解】解：小孫的解答過程不正確，他是從第一步開始出錯的．正確解答過程如下：原式．37．（2024·浙江金華·模擬預(yù)測）已知，，顯然，觀察下列等式：，，，(1)猜想：①_______．

②__________________________＝_______．(2)請證明猜想②成立．【答案】(1)①1；②，(2)見解析【分析】本題考查了分式的加減運(yùn)算、規(guī)律型問題等知識點(diǎn)，熟練掌握分式的運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）①根據(jù)分式的加法法則計(jì)算即可；②利用（1）得出的規(guī)律猜想出結(jié)論即可；（2）根據(jù)分式的加法法則計(jì)算即可解答．【詳解】（1）解：①∵，∴．故答案為1．②猜想：故答案為：，．（2）證明：．38．（2024·浙江溫州·三模）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】本題主要考查了實(shí)數(shù)和分式的加減運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值和分式的通分與約分．（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、特殊角的三角函數(shù)值，先算乘方，再算乘法，最后算加減即可；（2）先把分式的分母化成，然后進(jìn)行計(jì)算，最后約分即可．【詳解】解：（1）原式；（2）原式．39．（2024·浙江·模擬預(yù)測）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，先通分計(jì)算括號內(nèi)的，同時(shí)將除法變?yōu)槌朔?，并因式分解，再約分，然后將數(shù)值代入求值即可．【詳解】原式，當(dāng)時(shí)，原式．40．（2024·江蘇徐州·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：；（2）化簡：．【答案】（1）；（2）【分析】（1）根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的性質(zhì)分別計(jì)算，再將結(jié)果相加即可；（2）先把括號內(nèi)分式與1通分再計(jì)算出來，將除法運(yùn)算化為乘法運(yùn)算，再將可以因式分解的分母因式分解，約分即可．【詳解】解：原式；原式．【點(diǎn)睛】本題考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的性質(zhì)和分式的化簡，解題的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，特殊三角函數(shù)值，零指數(shù)冪的性質(zhì)和分式化簡的方法．41．（2024·浙江·模擬預(yù)測）觀察下面的一列數(shù)：，，，…(1)嘗試：；__________；__________．(2)歸納：__________．(3)推理：運(yùn)用所學(xué)知識，推理說明你歸納的結(jié)論是正確的．【答案】(1)；(2)(3)見解析【分析】此題考查了分式的加減混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是掌握以上運(yùn)算法則．（1）根據(jù)題意代數(shù)求解即可；（2）根據(jù)（1）的規(guī)律求解即可．（3）首先根據(jù)分式的加減運(yùn)算求出，，然后代入求解即可；【詳解】（1）；；（2）；（3）∴．42．（2024·浙江杭州·二模）化簡．下面是小濱、小江兩位同學(xué)的部分運(yùn)算過程．小濱：原式小江：原式(1)小濱解法的依據(jù)是___________（填序號）；小江解法的依據(jù)是___________（填序號）．①等式的基本性質(zhì)；②分式的基本性質(zhì)；③乘法交換律；④乘法對加法的分配律．(2)已知，先化簡題中代數(shù)式，再求代數(shù)式的值．【答案】(1)②；④(2)，【分析】本題考查了分式的化簡求值、二次根式的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解此題的關(guān)鍵．（1）觀察兩位同學(xué)的解題過程，確定出各自的依據(jù)即可；（2）先化簡題中的代數(shù)式，再將的值代入計(jì)算即可得出答案．【詳解】（1）解：由題意得：小濱解法的依據(jù)是②分式的基本性質(zhì)，小江解法的依據(jù)是④乘法對加法的分配律；故答案為：②，④；（2）解：，當(dāng)時(shí)，原式．43．（2024·江蘇泰州·二模）張老師設(shè)計(jì)了一個(gè)數(shù)學(xué)接力游戲，由學(xué)生合作完成分式的計(jì)算，如圖，老師把題目交給一位同學(xué)，他完成一步解答后交給第二位同學(xué)，依次進(jìn)行，最后完成計(jì)算．規(guī)則是每人只能看到前一人傳過來的式子．(1)這個(gè)“接力游戲”中計(jì)算錯誤的同學(xué)有；(2)請你寫出正確的解答過程．【答案】(1)小明，小紅(2)過程見解析；【分析】本題考查了分式的混合運(yùn)算，準(zhǔn)確熟練地進(jìn)行計(jì)算是解題的關(guān)鍵．（1）利用異分母分式加減法的法則進(jìn)行計(jì)算，逐一判斷即可解答；（2）利用異分母分式加減法的法則進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【詳解】（1）解：，小明計(jì)算錯誤，小紅計(jì)算錯誤；（2）解：．44．（2024·浙江臺州·二模）先化簡，再求值：，其中．【答案】，【分析】本題考查了分式化簡求值，分母有理化；先根據(jù)分式的加減計(jì)算括號內(nèi)的，同時(shí)將除法轉(zhuǎn)化為乘法，再根據(jù)分式的性質(zhì)化簡，最后將字母的值代入求解．【詳解】解：；當(dāng)時(shí)，原式．45．（2024·浙江杭州·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：．（2）先化簡，然后從中選擇一個(gè)你最喜歡的整數(shù)作為的值代入求值．【答案】（1）；（2），當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式【分析】本題主要考查了分式的化簡求值，求特殊角三角函數(shù)值，零指數(shù)冪：（1）先計(jì)算特殊角三角函數(shù)值和零指數(shù)冪，再計(jì)算乘方，最后計(jì)算加減法即可得到答案；（2）先把小括號內(nèi)的式子通分，再把除法變成乘法，然后約分化簡，最后根據(jù)分式有意義的條件代入合適的值計(jì)算求解即可．【詳解】解：（1）；（2），∵分式要有意義，∴，∴且，當(dāng)時(shí)，原式；當(dāng)時(shí)，原式．考點(diǎn)五、二次根式的運(yùn)算46．（2023·浙江紹興·中考真題）（1）計(jì)算：．（2）解不等式：．【答案】（1）1；（2）【分析】（1）根據(jù)零指數(shù)冪的性質(zhì)、二次根式的化簡、絕對值的性質(zhì)依次解答；（2）先移項(xiàng)，再合并同類項(xiàng)，最后化系數(shù)為1即可解答．【詳解】解：（1）原式．（2）移項(xiàng)得，即，∴．∴原不等式的解是．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)的混合運(yùn)算、零指數(shù)冪、二次根式的化簡和解一元一次不等式等知識，是基礎(chǔ)考點(diǎn)，掌握相關(guān)知識是解題關(guān)鍵．47．（2019·浙江嘉興·中考真題）小明解答“先化簡，再求值：，其中．”的過程如圖．

請指出解答過程中錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．【答案】步驟①、②有誤,.【分析】異分母分式的加減應(yīng)通分，而不是去分母，據(jù)此可找出小明錯誤的步驟；然后按照異分母分式的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】步驟①、②有誤.原式：.當(dāng)時(shí)，原式.【點(diǎn)睛】本題考查了分式的加減運(yùn)算，同分母的分式相加減，分母不變，把分子相加減；異分母的分式相加減，先把它們通分，變?yōu)橥帜阜质剑偌訙p.分式運(yùn)算的結(jié)果要化為最簡分式或者整式.也考查了二次根式的除法.48．（2023·浙江臺州·模擬預(yù)測）（1）計(jì)算：（2）先化簡，再從有意義的范圍內(nèi)選取一個(gè)整數(shù)作為的值代入求值．【答案】（1）3；（2），當(dāng)時(shí)，值為2【分析】此題考查了分式的化簡求值，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．（1）原式第一項(xiàng)利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪法則計(jì)算，第二項(xiàng)利用立方根定義計(jì)算，第三項(xiàng)利用絕對值的代數(shù)意義化簡，最后一項(xiàng)利用零指數(shù)冪法則計(jì)算即可得到結(jié)果；（2）原式括號中兩項(xiàng)通分并利用同分母分式的減法法則計(jì)算，同時(shí)利用除法法則變形，約分得到最簡結(jié)果，把a(bǔ)＝2代入計(jì)算即可求出值．【詳解】解：（1）原式

（2）原式

∵有意義∴∴

當(dāng)時(shí)，原式49．（2024·浙江寧波·一模）先化簡，再求值：，其中．小明解答過程如下，請指出其中錯誤步驟的序號，并寫出正確的解答過程．原式＝……①……②……③當(dāng)時(shí)，原式【答案】小明的解答中步驟①開始出現(xiàn)錯誤，正確解答見解析【分析】此題考查了分式的化簡求值，先利用分式的加法法則計(jì)算，得到化簡結(jié)果，再把字母的值代入計(jì)算即可．【詳解】小明的解答中步驟①開始出現(xiàn)錯誤，正確解答如下：當(dāng)時(shí)，原式50．