四川省廣元市廣元中學(xué)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析）

第頁(yè)，共頁(yè)廣元中學(xué)高2024級(jí)高一下期第一次階段性測(cè)試數(shù)學(xué)試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.化簡(jiǎn)為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】利用平面向量的數(shù)乘及加減運(yùn)算即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)向量的四則運(yùn)算可知，.故選：D2.若向量，，且，則等于（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示可得出關(guān)于的等式，解之即可.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，且，則，解得.故選：A.3.已知α，，且，，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)角的變換，再根據(jù)兩角差的余弦公式，以及同角三角函數(shù)基本關(guān)系式，即可求解.【詳解】由，且，則，則.則，由，則，，.故選：A4.已知兩個(gè)非零向量和，若，，則（）A. B.0 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直數(shù)量積為零結(jié)合向量夾角的運(yùn)算求解即可.【詳解】由已知得，即，所以，得故選：D.5.已知六邊形為正六邊形，設(shè)，，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由平面向量的線(xiàn)性運(yùn)算可得出，，再結(jié)合正六邊形性子逐項(xiàng)計(jì)算即可判斷.【詳解】如下圖所示：由正六邊的幾何性質(zhì)可得，所以，，所以，，對(duì)于A選項(xiàng)，，A錯(cuò)；對(duì)于B選項(xiàng)，，B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，，C對(duì)；對(duì)于D選項(xiàng)，，D對(duì).故選：A.6.在中，內(nèi)角、、對(duì)邊分別為、、，已知，，，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理可得出關(guān)于方程，結(jié)合可得出的值.【詳解】由題意，由余弦定理可得，整理可得，因?yàn)椋獾?故選：B7.在平面直角坐標(biāo)系中，角和角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，那么（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)直線(xiàn)與單位圓交于點(diǎn)，則，分析可得，再利用二倍角的正弦、余弦公式結(jié)合弦化切可得出所求代數(shù)式的值.【詳解】設(shè)直線(xiàn)與單位圓交于點(diǎn)，則，由于角和角均以軸的非負(fù)半軸為始邊，它們的終邊關(guān)于直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)，則，所以，，所以，.故選：D.8.已知函數(shù)在上存在最值，且在上單調(diào)，則的取值范圍是（）A B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用三角恒等變換然后結(jié)合整體法結(jié)合三角函數(shù)圖像性質(zhì)對(duì)進(jìn)行最值分析，對(duì)區(qū)間上進(jìn)行單調(diào)分析；【詳解】因?yàn)椋?dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，因?yàn)楹瘮?shù)在上存在最值，則，解得，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)，則，所以其中，解得，所以，解得，又因?yàn)?，則．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．又因?yàn)?，因此的取值范圍是．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：整體法分析是本題的突破點(diǎn)，結(jié)合三角函數(shù)圖像分析是本題的核心；二、多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，選對(duì)但不全的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.的最大值為 D.【答案】ABD【解析】【分析】利用兩角和的正切公式可得選項(xiàng)A正確；利用倍角公式及條件可計(jì)算，由此可得選項(xiàng)B正確；利用兩角差的正切公式和基本不等式可得選項(xiàng)C錯(cuò)誤；利用條件可得，根據(jù)兩角和、差的正弦公式可得選項(xiàng)D正確.【詳解】對(duì)于A，若，則，，∴，故A正確；對(duì)于B，若，則，由得，，故，解得，∴，，故，故B正確；對(duì)于C，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由得，即.∴，故D正確.故選：ABD.10.如圖，正方形是邊長(zhǎng)為2，E，F(xiàn)分別是邊，的中點(diǎn)，則（）A. B.C. D.【答案】BCD【解析】【分析】建立直角坐標(biāo)系，求出各點(diǎn)的坐標(biāo)，利用向量逐項(xiàng)判斷【詳解】如圖建立直角坐標(biāo)系，則,所以，故A錯(cuò)，，故B對(duì)；，故C對(duì)；，故D對(duì)；故選：BCD11.在中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，，則（）A.B.當(dāng)有兩解時(shí)，的取值范圍是C.面積的最大值為D.當(dāng)BC邊上的中線(xiàn)的長(zhǎng)為時(shí)，【答案】BCD【解析】【分析】利用余弦定理判斷A，利用正弦定理判斷B，利用基本不等式求出的最大值，即可求出面積的最大值，從而判斷C，設(shè)的中點(diǎn)為，則，將兩邊平方，再由數(shù)量積的運(yùn)算律判斷D.【詳解】對(duì)于A：因?yàn)?，，所以，所以，又，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：當(dāng)有兩解時(shí)，則，即，所以，故B正確；對(duì)于C：因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故面積的最大值為，故C正確；對(duì)于D：設(shè)的中點(diǎn)為，則，所以，即，又，所以，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.計(jì)算______．【答案】##【解析】【分析】利用兩角差的正弦公式可求得所求代數(shù)式的值.【詳解】.故答案為：.13.已知、，則向量在向量上的投影向量為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】求出向量的坐標(biāo)，利用投影向量的定義可求得結(jié)果.【詳解】由已知條件可得，記，且，所以，向量在向量上的投影向量為.故答案為：14.在中，，且，若，則______．【答案】【解析】【分析】推導(dǎo)出為的重心，由平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可得出，利用兩角和的正切公式推導(dǎo)得出，代入所求等式，化簡(jiǎn)得出，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)以及余弦定理得出與的等量關(guān)系，即可得出的值.【詳解】在中，記內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，因?yàn)?，即，則，即，故為的重心，所以，，則，因?yàn)?，則、、均不為直角，因?yàn)?，整理可得，所以，，可得，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則為的中點(diǎn)，且，可得，如下圖所示：又因?yàn)?，即，所以，，即，整理可得，故，因此?故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15.已知向量，.（1）當(dāng)時(shí)，求的值；（2）若，且，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)向量數(shù)量積坐標(biāo)表示得.（2）先根據(jù)向量數(shù)量積得，再根據(jù)二倍角公式以及配件公式得，即得，根據(jù)同角三角函數(shù)關(guān)系得，最后根據(jù)角的關(guān)系并利用兩角和的余弦公式得的值.試題解析：解：（1）當(dāng)時(shí)，，，所以.（2），若，則，即，因?yàn)?，所以，所以，則.16.如圖所示，在中，，，，．（1）用表示；（2）求的值．【答案】（1）（2）13【解析】【分析】（1）由向量的線(xiàn)性運(yùn)算求解即可；（2）分別由，向量表示，由向量的數(shù)量積運(yùn)算求解即可.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以；【小?wèn)2詳解】，即的值為13．17.如圖，某地需要經(jīng)過(guò)一座山兩側(cè)的D，E兩點(diǎn)修建一條穿山隧道．工程人員先選取直線(xiàn)DE上的三點(diǎn)A，B，C，設(shè)在隧道DE正上方的山頂P處測(cè)得A處的俯角為，B處的俯角為，C處的俯角為，且測(cè)得，試求擬修建的隧道DE的長(zhǎng)．【答案】【解析】【分析】利用條件得出，再在和中，利用正弦定理，求出，從而求出結(jié)果.【詳解】由題意知，．在中，由正弦定理得，，即，所以．在中，因?yàn)?，由正弦定理得，即，所以，所以，即隧道DE的長(zhǎng)為．18.已知函數(shù)為偶函數(shù)，且圖象的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為．（1）求的解析式；（2）將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再把橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，若在上有兩個(gè)不同的根，求m的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】(1)：先利用輔助角公式化簡(jiǎn)，然后利用偶函數(shù)的性質(zhì)，和兩對(duì)稱(chēng)軸的距離可求出，便可寫(xiě)出；(2)：將圖像平移得到，求其在定義域內(nèi)的兩根轉(zhuǎn)為兩個(gè)函數(shù)由兩個(gè)交點(diǎn)，便可求出m的取值范圍.【小問(wèn)1詳解】函數(shù)為偶函數(shù)令，可得圖像的相鄰兩對(duì)稱(chēng)軸間的距離為【小問(wèn)2詳解】將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，可得的圖像，再將橫坐標(biāo)縮小為原來(lái)的（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖像若在上有兩個(gè)不同的根，則在上有兩個(gè)不同的根，即函數(shù)的圖像與直線(xiàn)在上有兩個(gè)不同的交點(diǎn).，，，求得故的取值范圍為．19.某摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點(diǎn)與地面的距離為2米，沿逆時(shí)針?lè)较騽蛩傩D(zhuǎn)﹐旋轉(zhuǎn)一周所需時(shí)間為分鐘．在圓周上均勻分布12個(gè)座艙，標(biāo)號(hào)分別為1～12（可視為點(diǎn)）．現(xiàn)4號(hào)座艙位于圓周最上端，從此時(shí)開(kāi)始計(jì)時(shí)，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t分鐘．（1）求1號(hào)座艙與地面的距離h與時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系的解析式；（2）在前24分鐘內(nèi)，求1號(hào)座艙與地面的距離為17米時(shí)t的值；（3）記1號(hào)座艙與5號(hào)座艙高度之差的絕對(duì)值為H米，若在這段時(shí)間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】（1）（2）14或（3）【解析】【分析】（1）設(shè)1號(hào)座艙與地面的距離與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，根據(jù)所給條件求出、、、，即可得到函數(shù)解析；（2）由（1）中的解析式得出，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）依題