安徽省安慶市部分示范高中2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（解析）

第頁，共頁2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷試題范圍：三角函數(shù)、平面向量及其應(yīng)用、復(fù)數(shù)第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.已知，則（）A. B. C.0 D.1【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算求出，再由共軛復(fù)數(shù)的概念得到，從而解出．【詳解】因?yàn)?，所以，即．故選：A．2.瑞士數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)現(xiàn)的歐拉公式：，其中為虛數(shù)單位，是自然對數(shù)的底數(shù)．公式非常巧妙地將三角函數(shù)與復(fù)指數(shù)函數(shù)關(guān)聯(lián)了起來．根據(jù)歐拉公式，則的最大值為（）A. B.1 C. D.2【答案】D【解析】【分析】現(xiàn)將歐拉公式代入，化簡求其模長即可.【詳解】，因?yàn)?，所以?dāng)時，的最大值為2.故選：D.3.如圖，在中，，，，則（）A.2 B. C. D.4【答案】C【解析】【分析】利用平面向量的運(yùn)算以及數(shù)量積的運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，?所以，即，因?yàn)?所以，故選:C.4.已知三角形ABC滿足，則三角形ABC的形狀一定是（）A.正三角形 B.等腰三角形 C.直角三角形 D.鈍角三角形【答案】B【解析】【分析】根據(jù)單位向量的定義及加法的幾何意義有對應(yīng)向量在的角平分線上，進(jìn)而有的角平分線與邊垂直，結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)即可得.【詳解】由幾何意義知，對應(yīng)向量在的角平分線上，由，即的角平分線與邊垂直，所以三角形ABC的形狀一定是等腰三角形.故選：B5.記函數(shù)的最小正周期為T．若，且的圖象關(guān)于點(diǎn)中心對稱，則（）A.1 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】由三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)可求得參數(shù)，進(jìn)而可得函數(shù)解析式，代入即可得解.【詳解】由函數(shù)的最小正周期T滿足，得，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，所以，且，所以，所以，，所以.故選：A6.已知，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)同角關(guān)系，兩角差正弦公式化簡可得，由此可求，由配方，結(jié)合平方關(guān)系可求結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以，故選：C.7.已知向量、滿足：，，向量與向量的夾角為，則的最大值為（）A. B.2 C. D.4【答案】D【解析】【分析】設(shè)，，，從而得到等邊三角形，進(jìn)一步可得的軌跡是兩段圓弧，畫出示意圖可知當(dāng)是所在圓的直徑時，取得最大值.【詳解】由，故，即，如圖，設(shè)，則是等邊三角形，向量滿足與的夾角為,，因?yàn)辄c(diǎn)在外且為定值，所以的軌跡是兩段圓弧，是弦AB所對的圓周角，因此：當(dāng)是所在圓的直徑時,取得最大值，在中，由正弦定理可得：，故取得最大值4.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：設(shè)，關(guān)鍵能夠根據(jù)已知條件確定的軌跡是弦所對的兩段圓弧，從而確定當(dāng)AC是所在圓的直徑時，取得最大值，即可求解.8.如圖，在中，，，與交于點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，分別交，于點(diǎn)，，若，，則的最小值為（）A. B. C.2 D.【答案】A【解析】【分析】利用平面向量基本定理將表示成，再根據(jù)共線確定，由三點(diǎn)共線，得，對照兩式得方程組，消去，推得，最后利用基本不等式即可求得的最小值.【詳解】因三點(diǎn)共線，則存在，使，因，則點(diǎn)為的中點(diǎn)，故，又點(diǎn)在上，故，解得，故①，因三點(diǎn)共線，則存在，使得②，由①，②可得，消去，即得，即，于是，當(dāng)且僅當(dāng)時，的最小值為.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知都是復(fù)數(shù)，下列選項(xiàng)中正確的是（）A若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BD【解析】【分析】取特殊復(fù)數(shù)計算判斷A，C，設(shè)復(fù)數(shù)結(jié)合復(fù)數(shù)乘法及復(fù)數(shù)模長計算判斷B，根據(jù)已知復(fù)數(shù)運(yùn)算律得出模長判斷D.【詳解】對于選項(xiàng)A，取，，則，，滿足，但，則A不正確；對于選項(xiàng)B，設(shè)，，因?yàn)?，所以不同時為0，，則B正確；對于選項(xiàng)C，取，，滿足，則C不正確；對于選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以，所以或，則，則D正確．故選：BD．10.將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（）A.與的圖象關(guān)于直線對稱B.與的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱C.當(dāng)時，D.當(dāng)時，與的圖象恰有4個交點(diǎn)【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象的平移變換得到，利用正弦函數(shù)圖象的對稱性判斷AB；驗(yàn)證即可判斷C；求出方程的解的個數(shù)即可判斷D.【詳解】由題得，，A：與的圖象關(guān)于直線對稱的函數(shù)為，故A正確；B：當(dāng)時，，，所以與的圖象不關(guān)于點(diǎn)對稱，故B錯誤；C：，當(dāng)時，，令，則，在上恒小于0，所以在上恒大于0，即，即，故C正確；D：令，即，得（無解）或，解得，又，所以，解得（），所以，即函數(shù)圖象共有4個交點(diǎn)，故D正確.故選：ACD11.在，角的對邊分別為，且的面積滿足，為的外心．若，下列結(jié)論中正確的有（）A B.C. D.【答案】AB【解析】【分析】由余弦定理、面積公式、輔助角公式化簡條件可判斷A；利用面積公式計算可判斷B；分別取的中點(diǎn)可得，求出、，再計算可判斷D；對兩邊分別乘以，結(jié)合D選項(xiàng)，可判斷C．【詳解】對于A，由，得，由余弦定理得，即，得，又，故，∴，即，所以A正確；對于B，，所以B正確；對于D，如圖，分別取的中點(diǎn)，連接，，所以，，，所以D錯誤；對于C，，由，可知，得，解得：，，故，所以C錯誤．故選：AB.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，則__________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對出現(xiàn)得另一根，再結(jié)合韋達(dá)定理求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭顷P(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的一個復(fù)數(shù)根，所以是關(guān)于的實(shí)系數(shù)方程的另一個復(fù)數(shù)根，因此故答案為：13.已知中，，，，為的外心，若，則的值為____________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，O為外接圓的圓心，過O作，已知等式兩邊同乘以，結(jié)合數(shù)量積定義得，同理得，從而兩式聯(lián)立即可求得的值．【詳解】由題意可知，為的外心，設(shè)半徑為r，在圓O中，過O作，垂足分別為,因?yàn)?，兩邊乘以，即，的夾角為，而，則，得①，同理兩邊乘，即，，則得②，①②聯(lián)立解得，，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是將兩邊分別乘以，結(jié)合數(shù)量積定義化簡得到關(guān)于的方程，求得答案.14.如圖，在中，點(diǎn)在線段上，且，，則的面積的最大值為______.【答案】【解析】【分析】由平面向量基本定理易得，進(jìn)而可得，然后利用平面向量和基本不等式的知識計算可得，最后根據(jù)三角形面積公式，可求出面積的最大值．【詳解】因?yàn)?，，又，，所以，又，所以，又，的面積.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量，考查三角形面積公式，考查基本不等式，考查邏輯思維能力和計算能力，屬于?？碱}．四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步棸.15.已知復(fù)數(shù)．（1）若，求；（2）在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量分別是，其中是原點(diǎn)，求的大?。敬鸢浮浚?）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義和復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算法則化簡求出，再求其模長即得；（2）利用復(fù)數(shù)的幾何意義求出，和，由兩向量的夾角公式即可求得.【小問1詳解】【小問2詳解】依題意向量于是有為與的夾角，，16.在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．（I）求角B的大??；（II）求cosA+cosB+cosC的取值范圍．【答案】（I）；（II）【解析】【分析】（I）方法二：首先利用正弦定理邊化角，然后結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值即可確定角B的大小；（II）方法二：結(jié)合(Ⅰ)結(jié)論將含有三個角的三角函數(shù)式化簡為只含有角A的三角函數(shù)式，然后由三角形為銳角三角形確定角A的取值范圍，最后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求得的取值范圍.詳解】（I）[方法一]：余弦定理由，得，即.結(jié)合余弦定，∴，即，即，即，即，∵為銳角三角形，∴，∴，所以，又B為的一個內(nèi)角，故.[方法二]【最優(yōu)解】：正弦定理邊化角由，結(jié)合正弦定理可得：為銳角三角形，故.（II）[方法一]：余弦定理基本不等式因?yàn)椋⒗糜嘞叶ɡ碚淼?，?結(jié)合，得.由臨界狀態(tài)（不妨?。┛芍?而為銳角三角形，所以.由余弦定理得，，代入化簡得故的取值范圍是.[方法二]【最優(yōu)解】：恒等變換三角函數(shù)性質(zhì)結(jié)合(1)的結(jié)論有：.由可得：，，則，.即的取值范圍是.【整體點(diǎn)評】（I）的方法一，根據(jù)已知條件，利用余弦定理經(jīng)過較復(fù)雜的代數(shù)恒等變形求得，運(yùn)算能力要求較高；方法二則利用正弦定理邊化角，運(yùn)算簡潔，是常用的方法，確定為最優(yōu)解；（II）的三種方法中，方法一涉及到較為復(fù)雜的余弦定理代入化簡，運(yùn)算較為麻煩，方法二直接使用三角恒等變形，簡潔明快，確定為最優(yōu)解.17.在中，內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且．（1）求角大??；（2）若的角平分線交于D，且，求面積的最小值．【答案】（1）．（2）．【解析】【分析】（1）余弦定理角化邊化簡，然后再根據(jù)余弦定理轉(zhuǎn)化可求出角的余弦值，即可求出角；（2）應(yīng)用三角形面積公式以及角平分線將三角形面積拆分成兩個三角形的面積之和，根據(jù)均值不等式解出的最小值，從而求出三角形面積的最小值.【小問1詳解】由余弦定理，得，即整理得，所以，又，所以．【小問2詳解】因?yàn)?，所以．因?yàn)椋串?dāng)且僅當(dāng)時等號成立所以．故面積的最小值為．18.在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知．（1）求角B的大??；（2）若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】（1）利用正弦定理將邊化角，再由兩角和的正弦公式及誘導(dǎo)公式得到，即可得解;（2）利用正弦定理將轉(zhuǎn)化為關(guān)于A的三角函數(shù)，結(jié)合三角形為銳角三角形求出A的范圍，即可求出的范圍得解.【小問1詳解】因?yàn)椋烧叶ɡ砜傻?，，，則，，又，；【小問2詳解】在中，由正弦定理，，，又為銳角三角形，，，，，，，故周長的取值范圍為．19.如圖，已知是半徑為1，圓心角為的扇形，是扇形弧上的動點(diǎn)，記，（1）請用來表示平行四邊形的面積；（2）若.①求平行四邊形面積的最大值，以及面積最大時角的值；②記（其中），求的取值范圍.【答案】（1）（2）①，；②【解析】【分析】（1）過點(diǎn)作的垂線，在，中利用三角函數(shù)值表示邊長，即可表示出四邊形的面積