《橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第2課時(shí)）》教學(xué)設(shè)計(jì)

1/12.2.1橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程（第二課時(shí)）（楊軍君）一、教學(xué)目標(biāo)（一）學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程；2.會(huì)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（二）學(xué)習(xí)重點(diǎn)用待定系數(shù)法與定義法求橢圓方程（三）學(xué)習(xí)難點(diǎn)掌握求橢圓方程的基本方法.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）預(yù)習(xí)任務(wù)設(shè)計(jì)1.預(yù)習(xí)任務(wù)（1）讀一讀：閱讀教材第38頁(yè)至第40頁(yè).（2）想一想：如何求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程？（3）寫一寫：橢圓的一般方程：.2.預(yù)習(xí)自測(cè)（1）已知，則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A.B.C.D.以上都不對(duì)【解題過程】由于條件中只給出的值，橢圓的焦點(diǎn)位置不確定，有兩種可能性，故答案為D.【思路點(diǎn)撥】求橢圓方程時(shí)，要先定型后定量.【答案】D（2）已知橢圓的方程為，焦點(diǎn)在軸上，則的取值范圍是（）A.B.C.或D.【解題過程】由條件可知：可得：.【思路點(diǎn)撥】把握橢圓方程的結(jié)構(gòu)特征解題.【答案】B（3）若的兩個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)為，的周長(zhǎng)為，則頂點(diǎn)的軌跡方程為（）A.B.C.D.【解題過程】由條件可知：，故點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)，的橢圓.考慮到三點(diǎn)構(gòu)成三角形，故.【思路點(diǎn)撥】利用橢圓的定義解題.【答案】D（4）已知橢圓的方程是，它的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，且，弦過，則的周長(zhǎng)為（）A.B.C.D.【解題過程】.由橢圓的定義得：的周長(zhǎng)為：.【思路點(diǎn)撥】利用橢圓定義求解即可.【答案】D（二）課堂設(shè)計(jì)1.知識(shí)回顧（1）橢圓的定義；（2）橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.2.新知講解探究如何求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程●活動(dòng)①雙基口答練習(xí)①方程表示到焦點(diǎn)（-6,0）和__（6,0）_的距離和為常數(shù)____的橢圓；②求滿足下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）,（2）③如果方程表示焦點(diǎn)在軸的橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是(0,4).●活動(dòng)②歸納提煉方法例1已知橢圓兩個(gè)焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，并且經(jīng)過點(diǎn)，求它的標(biāo)準(zhǔn)方程.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】法一：定義法：因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由橢圓的定義知，所以.又因?yàn)椋砸虼?，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為法二：待定系數(shù)法：由題意，橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)在軸上，所以設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為由已知，，所以①又由已知，得②聯(lián)立①②解方程組，得.因此，所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為【思路點(diǎn)撥】先確定標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，用橢圓的定義或待定系數(shù)法求解.求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）用橢圓的定義或待定系數(shù)法確定a、b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【答案】同類訓(xùn)練求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦距為8，經(jīng)過點(diǎn)；（2）與橢圓有相同焦點(diǎn)，且過點(diǎn).【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】（1）∵焦距是8，即=1\*GB3①若焦點(diǎn)在軸上，則，∴橢圓方程為；=2\*GB3②若焦點(diǎn)在軸上，則，∴橢圓方程為.（2）由題意設(shè)所求方程為，∵過點(diǎn)∴，解得或（舍）∴橢圓方程為.【思路點(diǎn)撥】牢記橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程【答案】（1）；（2）.例2.如圖，已知一個(gè)圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)，半徑為2，從這個(gè)圓上任意一點(diǎn)向軸作垂線段，求線段的中點(diǎn)的軌跡.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】設(shè)動(dòng)點(diǎn)的坐標(biāo)為，則的坐標(biāo)為因?yàn)辄c(diǎn)在圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)半徑為2的圓上，所以有.即.所以點(diǎn)的軌跡是橢圓，方程是【思路點(diǎn)撥】這種利用未知點(diǎn)表示一個(gè)或幾個(gè)與之相關(guān)的已知點(diǎn)，從而求解未知點(diǎn)軌跡方程的方法，即為相關(guān)點(diǎn)法，是解析幾何中常用的求軌跡的方法.【答案】●活動(dòng)③強(qiáng)化提升靈活應(yīng)用例3.等腰直角三角形中，斜邊長(zhǎng)為，一個(gè)橢圓以為其中一個(gè)焦點(diǎn)，另一個(gè)焦點(diǎn)在線段上，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，求該橢圓方程.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】由題意知，設(shè)橢圓的另一個(gè)焦點(diǎn)為.以直線為軸，線段的中點(diǎn)為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系。設(shè)橢圓方程為則所以，.故：在中，故所求橢圓方程為【思路點(diǎn)撥】認(rèn)真分析等腰三角形特征，結(jié)合橢圓的定義及橢圓方程中的的關(guān)系最終確定橢圓的方程.【答案】同類訓(xùn)練已知的三邊長(zhǎng)成等差數(shù)列且，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是，求頂點(diǎn)的軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】設(shè)，因?yàn)槌傻炔顢?shù)列，所以，即，而，所以.根據(jù)橢圓的定義，易得點(diǎn)的軌跡方程為.又因?yàn)?，所以，即，即，所?故的軌跡是橢圓的一半，方程，又因?yàn)楫?dāng)時(shí)，點(diǎn)在同一直線上，不能構(gòu)成三角形，所以.【思路點(diǎn)撥】充分利用橢圓的定義確定的值.【答案】（-2<x<0）3.課堂總結(jié)知識(shí)梳理求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的解題步驟：（1）確定焦點(diǎn)的位置；（2）設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（3）用橢圓的定義或待定系數(shù)法確定a、b的值，寫出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.重難點(diǎn)歸納（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)常用“定義法”和“待定系數(shù)法”，待定系數(shù)法要點(diǎn)有兩個(gè)，一是“定位”，即確定焦點(diǎn)的位置從而確定橢圓方程的類型，當(dāng)焦點(diǎn)位置不明確時(shí)，需要進(jìn)行討論；二是定量，即利用已知條件確定方程中參數(shù)的值.（2）與橢圓共焦點(diǎn)的橢圓，必已知橢圓方程類型相同，且相同，故可統(tǒng)一表示為：或.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.設(shè)定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的軌跡是（）A.橢圓或線段B.線段C.橢圓D.不存在【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義【解題過程】，故的軌跡為橢圓或線段.【思路點(diǎn)撥】注意橢圓定義中，其中.【答案】A2.設(shè)，方程表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，則（）A.B.C.D.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】由焦點(diǎn)在軸上可知：，解得.【思路點(diǎn)撥】利用焦點(diǎn)在軸上橢圓方程.【答案】B3.設(shè)是橢圓上一點(diǎn)，到兩焦點(diǎn)的距離之差為，則是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等腰直角三角形【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義.【解題過程】由定義及條件可知：，故..【思路點(diǎn)撥】利用橢圓定義可已知條件直接求解三角形三邊，通過三邊關(guān)系判定形狀.【答案】B4.如果橢圓的焦距為2,，則為.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義.【解題過程】若焦點(diǎn)在軸上，則；若焦點(diǎn)在軸上，則.【思路點(diǎn)撥】注意確定焦點(diǎn)在哪個(gè)軸上.【答案】5或3.5.已知兩點(diǎn)，的周長(zhǎng)是6，則的頂點(diǎn)的軌跡方程是.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義.【解題過程】由條件知頂點(diǎn)滿足：，故的軌跡為橢圓，其中.【思路點(diǎn)撥】考慮到三角形形狀，故橢圓的上下頂點(diǎn)不能取.【答案】6.已知分別是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，過的直線交橢圓于兩點(diǎn)，若，則.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義.【解題過程】由.【思路點(diǎn)撥】過焦點(diǎn)直線注意靈活利用橢圓的定義解題.【答案】8.能力型師生共研7.橢圓eq\f(x2,9)＋eq\f(y2,2)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P在橢圓上，若|PF1|＝4，則|PF2|＝________；∠F1PF2的大小為________.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義.【解題過程】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程得a＝3，b＝eq\r(2)，則c＝eq\r(a2－b2)＝eq\r(7)，|F1F2|＝2c＝2eq\r(7).由橢圓的定義得|PF2|＝2a－|PF1|＝2.在△F1PF2中，由余弦定理得cos∠F1PF2＝eq\f(|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|2,2|PF1|·|PF2|)＝＝－eq\f(1,2)，所以∠F1PF2＝120°.【思路點(diǎn)撥】先利用橢圓定義求，再用余弦定理求角.【答案】2；120°.8.若點(diǎn)O和點(diǎn)F分別為橢圓eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1的中心和左焦點(diǎn)，點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))的最大值為________.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的方程.【解題過程】橢圓的左焦點(diǎn)F為(－1,0)，設(shè)P(x，y)，則eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))＝(x，y)·(x＋1，y)＝x(x＋1)＋y2＝eq\f(1,4)x2＋x＋3＝eq\f(1,4)(x＋2)2＋2∵－2≤x≤2∴當(dāng)x＝2時(shí)，eq\o(OP,\s\up6(→))·eq\o(FP,\s\up6(→))有最大值6.【思路點(diǎn)撥】利用橢圓的方程將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.【答案】6.探究型多維突破9.在中，的兩條中線之和為,求的重心軌跡方程.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義【解題過程】以BC所在直線為軸，BC的中垂線為軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，M為重心，則|MB|+|MC|=×39=26.根據(jù)橢圓定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以B、C為焦點(diǎn)的橢圓，故所求橢圓方程為(y≠0)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對(duì)稱性建立直角坐標(biāo)系，利用幾何關(guān)系認(rèn)識(shí)橢圓定義解題.【答案】(y≠0)10已知分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，是橢圓上一點(diǎn)，滿足，的平分線交于點(diǎn)，求橢圓的方程.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的方程.【解題過程】由角平分線定理知，橢圓方程為.【思路點(diǎn)撥】利用角平分線定理和橢圓定義解題.【答案】自助餐1.若方程eq\f(x2,25－m)＋eq\f(y2,m＋9)＝1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）A.－9＜m＜25B.8＜m＜25C.16＜m＜25D.m＞8【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的方程.【解題過程】依題意有eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(25－m＞0,m＋9＞0,m＋9＞25－m))，解得8＜m＜25，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是8＜m＜25，故選B.【思路點(diǎn)撥】利用焦點(diǎn)在軸上橢圓方程【答案】B2.已知橢圓的焦點(diǎn)為(－1,0)和(1,0)，點(diǎn)P(2,0)在橢圓上，則橢圓的方程為（）A.eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1B.eq\f(x2,4)＋y2＝1C.eq\f(y2,4)＋eq\f(x2,3)＝1D.eq\f(y2,4)＋x2＝1【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的方程.【解題過程】c＝1，a＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴橢圓的方程為eq\f(x2,4)＋eq\f(y2,3)＝1.【思路點(diǎn)撥】利用條件求.【答案】A3.已知(0，－4)是橢圓3kx2＋ky2＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，則實(shí)數(shù)k的值是（）A.6B.eq\f(1,6)C.24D.eq\f(1,24)【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的方程.【解題過程】∵3kx2＋ky2＝1，∴eq\f(x2,\f(1,3k))＋eq\f(y2,\f(1,k))＝1.又∵(0，－4)是橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)，∴a2＝eq\f(1,k)，b2＝eq\f(1,3k)，c2＝a2－b2＝eq\f(1,k)－eq\f(1,3k)＝eq\f(2,3k)＝16，∴k＝eq\f(1,24).【思路點(diǎn)撥】將方程轉(zhuǎn)化為橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解題.【答案】D4.橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的焦點(diǎn)為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點(diǎn)，已知eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，則△F1PF2的面積為（）A.12B.10C.9D.8【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】∵eq\o(PF1,\s\up6(→))·eq\o(PF2,\s\up6(→))＝0，∴PF1⊥PF2.∴|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2且|PF1|＋|PF2|＝2a.又a＝5，b＝3，∴c＝4，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(|PF1|2＋|PF2|2＝64①,|PF1|＋|PF2|＝10②))②2－①，得2|PF1|·|PF2|＝102－64，∴|PF1|·|PF2|＝18，∴△F1PF2的面積為9.【思路點(diǎn)撥】利用條件求解△F1PF2的三邊解題.【答案】C5.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)在x軸上，且經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和點(diǎn)(0,1)；（2）焦點(diǎn)在y軸上，與y軸的一個(gè)交點(diǎn)為P(0，－10)，P到它較近的一個(gè)焦點(diǎn)的距離等于2.【知識(shí)點(diǎn)】橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【解題過程】（1）因?yàn)闄E圓的焦點(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，∵橢圓經(jīng)過點(diǎn)(2,0)和(0,1)∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(22,a2)＋\f(0,b2)＝1,\f(0,a2)＋\f(1,b2)＝1))，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝4,b2＝1))，故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)