現(xiàn)代數(shù)學(xué)專題選講學(xué)習(xí)報(bào)告格式

PAGE4PAGE3《現(xiàn)代數(shù)學(xué)專題選講》學(xué)習(xí)報(bào)告格式標(biāo)題（二小黑體加粗）二、學(xué)生姓名：×××指導(dǎo)老師：×××（小四號(hào)，宋體）三、電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2006級(jí)××××專業(yè)×班（小五號(hào)，宋體）四、摘要（200-250字）（小五號(hào)，宋體）五、關(guān)鍵詞（3-5個(gè)）（小五號(hào)，宋體）六、正文(300-6000字)（五號(hào)，宋體）1、引言2、主題內(nèi)容3、結(jié)束語(yǔ)（內(nèi)容總結(jié)）七、參考文獻(xiàn)示范論文拓?fù)鋵W(xué)在混沌等價(jià)刻畫與函數(shù)連續(xù)性研究中的一些應(yīng)用學(xué)生姓名：×××指導(dǎo)老師：×××（電子科技大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院2006級(jí)××××專業(yè)××班，學(xué)號(hào)××××××）摘要本文將Devaney混沌定義推廣到一般拓?fù)淇臻g,利用拓?fù)淇臻g結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單性,發(fā)現(xiàn)并且證明了Devaney混沌映射的周期點(diǎn)與拓?fù)淇臻g的開集之間的本質(zhì)聯(lián)系:連續(xù)自映射是Devaney混沌的當(dāng)且僅當(dāng)任何二非空開集共享同一周期軌.并且用類似的方法,在數(shù)學(xué)分析中得到了函數(shù)連續(xù)的一個(gè)充要條件.通過(guò)這兩個(gè)實(shí)例,在一定程度上說(shuō)明了點(diǎn)集拓?fù)湓跀?shù)學(xué)教學(xué)與研究中的重要性.關(guān)鍵詞拓?fù)淇臻g連續(xù)映射混沌周期軌逆像半個(gè)世紀(jì)以來(lái),拓?fù)鋵W(xué)一直被譽(yù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的“三大基礎(chǔ)”之一.各重點(diǎn)高校的數(shù)學(xué)專業(yè)(無(wú)論是本科數(shù)學(xué)專業(yè)還是研究生)都始終不移將其作為是一門專業(yè)基礎(chǔ)課程.然而,作為新步入數(shù)學(xué)專業(yè)的普通數(shù)學(xué)工作者自然要問(wèn):問(wèn)題1為什么拓?fù)鋵W(xué)是數(shù)學(xué)的一門基礎(chǔ)課程?問(wèn)題2拓?fù)鋵W(xué)對(duì)數(shù)學(xué)研究和大學(xué)數(shù)學(xué)課程的教學(xué)究竟有何指導(dǎo)作用?.關(guān)于問(wèn)題1,人們可以在學(xué)習(xí)了拓?fù)鋵W(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容(點(diǎn)集拓?fù)?之后,在繼續(xù)學(xué)習(xí)《泛函分析》、《微分幾何》（整體）、《動(dòng)力系統(tǒng)理論》、《非線性分析》等數(shù)學(xué)理論課程的過(guò)程中逐步地尋找到答案。本文就拓?fù)鋵W(xué)在混沌理論研究以及數(shù)學(xué)分析中連續(xù)函數(shù)性質(zhì)研究談兩點(diǎn)體會(huì).§1點(diǎn)集拓?fù)湓诨煦鐢?shù)學(xué)理論研究中的應(yīng)用1975年，Li-Yorke第一次間接地給出了混沌（chaos）的嚴(yán)格數(shù)學(xué)定義如下：Li-Yorke混沌定義設(shè)是一個(gè)區(qū)間，是一個(gè)連續(xù)映射，如果滿足下列條件被滿足：：對(duì)于任何自然數(shù)，有-周期點(diǎn)；：存在一個(gè)不可數(shù)集合使得下列二條件成立：(2.1）:都有,且;(2.2),,有.則稱是Li-Yorke意義下的混沌映射.其中:是的周期點(diǎn)集.由于混沌現(xiàn)象在現(xiàn)實(shí)世界中無(wú)所不有，因此，自Li-Yorke混沌定義給出以來(lái)就倍受各領(lǐng)域的普遍關(guān)注.但這定義在應(yīng)用研究中存在有如下兩方面的不足:(A1)映射是在區(qū)間上定義的,適用范圍太狹窄;(A2)這定義是高度抽象的數(shù)學(xué)定義,缺乏直觀性,不利于工程應(yīng)用.為克服（A1）在混沌研究中帶來(lái)的困難，1987年，周作領(lǐng)在文獻(xiàn)[2]中將上述Li-Yorke定義推廣到度量空間并且對(duì)其作了如下修正:周氏混沌定義對(duì)于度量空間,若存在不可數(shù)集使得:,有并且,則稱是一個(gè)混沌映射.為克服(A2)在應(yīng)用研究中的不足,1989年,R.L.Devaney對(duì)混沌作了如下更直觀的定義：Devaney混沌定義設(shè)是一度量空間，一個(gè)連續(xù)映射：稱為是的一個(gè)混沌映射(chaosmapping)，如果下列三條件被滿足:（?。┦峭?fù)鋫鬟f的.（ⅱ）的周期點(diǎn)在中稠密.（ⅲ）具有對(duì)初始條件的敏感依賴性.其中:條件（i）,稱映射是拓?fù)鋫鬟f的,如果對(duì)于上一切非空開集和,存在整數(shù)0使得;條件(ii)就是,其中是的周期點(diǎn)集的閉包;關(guān)于條件(iii),我們稱是對(duì)初始條件的敏感依賴的,如果存在實(shí)數(shù),對(duì)于及的任何開鄰域,存在和自然數(shù)使得.這里,為上度量,為非負(fù)整數(shù)集.混沌的周氏定義與Devaney定義都是建立在度量空間的基礎(chǔ)上的.因此,這兩個(gè)定義是否等價(jià)自然成為人們關(guān)注的熱點(diǎn)問(wèn)題.2002年,文獻(xiàn)[4]對(duì)于緊度量空間證明了:Devaney混沌意味著周氏混沌.2001年,文獻(xiàn)[5]在區(qū)間上如下等價(jià)刻畫定理1.1為混沌（Li-Yorke）的充要條件是存在使得,并且.在此,一個(gè)自然的問(wèn)題是:Devaney混沌是否象Li-Yorke混沌一樣有類似于上述定理1的充分必要條件?令人慶幸的是:早在1992年Banks等人在文獻(xiàn)[5]證明了：在Devaney定義中,條件（?。┖停áⅲ┛梢酝瞥觯á＃?，而（?。┖停áⅲ┦遣豢扇サ?由于Banks等人的這一工作,而今,使我們很容易地將Devaney混沌定義在拓?fù)淇臻g上作如下推廣：定義1.1設(shè)是一個(gè)拓?fù)淇臻g，連續(xù)映射：稱為在上是Devaney混沌的，如果它是拓?fù)鋫鬟f的并且其周期點(diǎn)集在中稠密.這種數(shù)學(xué)的再度抽象使Devaney混沌徹底地脫了離度量的限制.進(jìn)而,讓我們看到:Devaney混沌有望到更為廣泛的一類空間(拓?fù)淇臻g)中去建立自身理論.由于拓?fù)淇臻g研究只涉及開集、閉集、映射等基本數(shù)學(xué)內(nèi)容，雖然能使用的數(shù)學(xué)工具很少，但是當(dāng)問(wèn)題完全置身于拓?fù)淇臻g后，無(wú)疑這問(wèn)題就得到簡(jiǎn)化、變得單純而清澈見(jiàn)底.為說(shuō)明這一點(diǎn),現(xiàn)在,我們以定義1為例來(lái)探究當(dāng)前國(guó)內(nèi)外學(xué)者都努力想得到的Devaney混沌的充要條件.事實(shí)上,按照定義1,映射:的Devaney混沌性滿足拓?fù)鋫鬟f的和周期點(diǎn)集稠密兩個(gè)條件.這里,當(dāng)取實(shí)直線上通常取間時(shí),定理2.3,就是數(shù)學(xué)分析中的結(jié)果.§3結(jié)束語(yǔ)上面,我們將Devaney混沌在拓?fù)淇臻g的推廣以及《數(shù)學(xué)分析》中函數(shù)連續(xù)在拓?fù)淇臻g上的推廣，由于拓?fù)淇臻g結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,所推廣對(duì)象的本質(zhì)特征就變得非常特別清晰明朗.因此,在這樣的情況下,我們抓住所涉及對(duì)象的本質(zhì)特征,就相對(duì)比較容易地得到該對(duì)象的等價(jià)刻畫.作為特例,這種等價(jià)刻畫在原來(lái)的具體空間(例如:上面的度量空間或者實(shí)直線)是當(dāng)然的真命題.因此,這種方法無(wú)疑是推陳出新發(fā)現(xiàn)新結(jié)果的一種行之有效的方法.本文中,Devaney混沌的等價(jià)刻畫(定理1.2)是用這方法得到新結(jié)果的最好說(shuō)明.我們相信:這個(gè)等價(jià)刻畫在混沌的理論與應(yīng)用研究中將會(huì)得到很好地作用.參考文獻(xiàn)[1]Tien-YienLi,JamesYorke.Periodthreeimplieschaos[J].Amer.Math.Monthly(1975)82.985-992.[2]周作領(lǐng).紊動(dòng)與全紊動(dòng)[J].科學(xué)通報(bào),1987,32(4):248-250.[3]R.L.DevaneyAnIntroductiontoChaoticDynanicalSystems[M].Addioson-WeseyRedwoodCityCalif,1989.[3]WenHuang,XiangdongYe..Devaney’schaosor2-scatteringimpliesLi-Yorke’schaos[J].TopologyanditsApplications,117(2002),259-272.[4]耿祥義.Li-Yorke混沌的充要條件.數(shù)學(xué)學(xué)報(bào).(2001)929-932.[5]J.Banksetal,OnDevaneyDefinitionofChaosAmer.Math.Mon99.4(1992).334-334.[6]陳紀(jì)修等.數(shù)學(xué)分析(上、下兩冊(cè))[M].高等教育出版社,2004年8月（第二版）.[7]R.E