2025年中考數(shù)學總復習課件(山東省專用)08 第一部分 第二章 第二節(jié) 一元二次方程及其應用

第二節(jié)一元二次方程及其應用第一部分基礎(chǔ)復習·突破核心第二章方程(組)與不等式(組)鏈接教材基礎(chǔ)過關(guān)考點一一元二次方程的有關(guān)定義1．定義：只含有__個未知數(shù)x的整式方程，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數(shù)，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式：______________(a，b，c為常數(shù)，a≠0)．一ax2＋bx＋c＝0考點二一元二次方程的解法直接開平方法適合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程因式分解法用因式分解法解一元二次方程的一般步驟：(1)將方程的右邊各項移到左邊，使右邊為0；(2)將方程左邊分解為兩個一次因式的積；(3)令每個因式為0，得到兩個一元一次方程；(4)解這兩個一元一次方程，它們的解就是原方程的解配方法用配方法解一元二次方程的一般步驟：(1)化二次項系數(shù)為1；(2)將含未知數(shù)的項保留在方程左邊，常數(shù)項移到方程右邊；(3)兩邊同時加上一次項系數(shù)____的平方；(4)將方程化成(x＋a)2＝b的形式；(5)若b≥0，則可以運用直接開平方法求出方程的解；若b<0，則原方程無解一半公式法

考點三一元二次方程的根的判別式一元二次方程的根的判別式：Δ＝_________，注意隱含條件a≠0．當Δ＞0時?方程有__________的實數(shù)根；當Δ＝0時?方程有________的實數(shù)根；當Δ<0時?方程____實數(shù)根，無解．b2－4ac兩個不相等兩個相等沒有

1．方程3x(x－1)＝2(x＋1)化成一般形式后，二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項分別為(

)A．3x2，－5x，－2 B．3x2，－5x，2C．3，－5，－2 D．3，－5，0√C

[3x(x－1)＝2(x＋1)，3x2－3x＝2x＋2，3x2－5x－2＝0，二次項系數(shù)是3，一次項系數(shù)是－5，常數(shù)項是－2．故選C．]2．方程(x－1)2－x＋1＝0的根為(

)A．x＝2 B．x＝3

C．x1＝0，x2＝1 D．x1＝1，x2＝2√D

[(x－1)2－x＋1＝0，(x－1)2－(x－1)＝0，(x－1)(x－1－1)＝0，x－1＝0或x－1－1＝0，所以x1＝1，x2＝2．故選D．]3．關(guān)于x的一元二次方程x2－(k＋3)x＋k＝0的根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根B．有兩個相等的實數(shù)根C．無實數(shù)根D．不能確定A

[因為Δ＝(k＋3)2－4k＝k2＋2k＋9＝(k＋1)2＋8>0，所以原方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選A．]√4．若x1，x2是方程x2－2x－5＝0的兩個實數(shù)根，則x1x2＋x1＋x2的值是(

)A．7 B．－7C．3 D．－3√D

[∵x1，x2是方程x2－2x－5＝0的兩個實數(shù)根，∴x1x2＝－5，x1＋x2＝2，則原式＝－5＋2＝－3．故選D．]

√

考點突破對點演練命題點1一元二次方程及其解法【典例1】

(2024·安徽)解方程：x2－2x＝3．[解]

法一：x2－2x＝3，x2－2x－3＝0，(x－3)(x＋1)＝0，∴x1＝3，x2＝－1．法二：x2－2x＝3，x2－2x＋12＝3＋12，∴(x－1)2＝4，∴x－1＝2或x－1＝－2，∴x1＝3，x2＝－1．歸納總結(jié)

靈活選擇方法解一元二次方程的口訣方程沒有一次項，直接開方最理想．如果缺少常數(shù)項，因式分解沒商量．b，c相等都為零，等根是零不要忘．b，c同時不為零，因式分解或配方．也可直接套公式，因題而異擇良方．A

[∵x2－8x－5＝0，∴x2－8x＝5，則x2－8x＋16＝5＋16，即(x－4)2＝21，∴a＝－4，b＝21．故選A．][對點演練]1．(2020·泰安)將一元二次方程x2－8x－5＝0化成(x＋a)2＝b(a，b為常數(shù))的形式，則a，b的值分別是(

)A．－4，21 B．－4，11

C．4，21 D．－8，69√

2．用適當?shù)姆椒ń庀铝蟹匠蹋?1)x2－2x＝0；(2)2x2－3x－1＝0．

命題點2一元二次方程根的判別式【典例2】

(2024·山東)若關(guān)于x的方程4x2－2x＋m＝0有兩個相等的實數(shù)根，則m的值為____________．

易錯警示

用根的判別式的前提條件是一元二次方程的二次項系數(shù)不能為0，并要把方程化為一元二次方程的一般形式，這是常常被忽略的問題．B

[A．(x－2)2＝－1化簡為x2－4x＋5＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝5，∴Δ＝(－4)2－4×1×5＝－4＜0，此方程沒有實數(shù)根，不符合題意；[對點演練]1．(2024·吉林)下列方程中，有兩個相等實數(shù)根的是(

)A．(x－2)2＝－1 B．(x－2)2＝0

C．(x－2)2＝1 D．(x－2)2＝2√B．(x－2)2＝0，化簡為x2－4x＋4＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝4，∴Δ＝(－4)2－4×1×4＝0，∴此方程有兩個相等的實數(shù)根，符合題意；C．(x－2)2＝1，化簡為x2－4x＋3＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝3，∴Δ＝(－4)2－4×1×3＝4＞0，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意；D．方程(x－2)2＝2，化簡為x2－4x＋2＝0，∵a＝1，b＝－4，c＝2，∴Δ＝(－4)2－4×1×2＝8＞0，∴此方程有兩個不相等的實數(shù)根，不符合題意．故選B．]

√a＞－4

[根據(jù)題意，得Δ＝(－4)2－4×1×(－a)＞0，解得a＞－4．]【教師備選資源】(2023·泰安)已知關(guān)于x的一元二次方程x2－4x－a＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則a的取值范圍是________．a(chǎn)＞－4

√

[對點演練]1．(2024·四川成都)若m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的兩個實數(shù)根，則m＋(n－2)2的值為________．7

[∵m，n是一元二次方程x2－5x＋2＝0的兩個實數(shù)根，∴m2－5m＋2＝0，m＋n＝5，∴m2－5m＝－2，n＝5－m，∴m＋(n－2)2＝m＋(3－m)2＝m2－5m＋9＝－2＋9＝7．]7

p1

命題點4一元二次方程的應用【典例4】如圖，老李想用長為70m的柵欄，再借助房屋的外墻(外墻足夠長)圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2m寬的門(建在EF處，另用其他材料)．(1)當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640m2的羊圈？(2)羊圈的面積能達到650m2嗎？如果能，請你給出設(shè)計方案；如果不能，請說明理由．[解]

(1)設(shè)矩形ABCD的邊AB＝xm，則邊BC＝70－2x＋2＝(72－2x)m．根據(jù)題意，得x(72－2x)＝640，化簡，得x2－36x＋320＝0，解得x1＝16，x2＝20，當x＝16時，72－2x＝72－32＝40(m)，當x＝20時，72－2x＝72－40＝32(m)．答：當羊圈的長為40m，寬為16m或長為32m，寬為20m時，能圍成一個面積為640m2的羊圈．(2)不能，理由如下：由題意，得x(72－2x)＝650，化簡，得x2－36x＋325＝0，Δ＝(－36)2－4×325＝－4＜0，∴一元二次方程沒有實數(shù)根．∴羊圈的面積不能達到650m2．溫馨提示

因為通常情況下，一元二次方程有兩個根，所以解一元二次方程的應用題時一定要驗根，檢驗結(jié)果是否符合實際問題或是否滿足題目中隱含的條件．[對點演練]1．[數(shù)學文化](2022·泰安)我國古代著作《四元玉鑒》記載“買椽多少”問題：“六貫二百一十錢，遣人去買幾株椽．每株腳錢三文足，無錢準與一株椽．”其大意為：現(xiàn)請人代買一批椽，這批椽的價錢為6210文．如果每株椽的運費是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，試問6210文能買多少株椽？設(shè)這批椽的數(shù)量為x株，則符合題意的方程是(

)A．3(x－1)x＝6210 B．3(x－1)＝6210C．(3x－1)x＝6210 D．3x＝6210√A

[∵這批椽的數(shù)量為x株，每株椽的運費是3文，少拿一株椽后，剩下的椽的運費恰好等于一株椽的價錢，∴一株椽的價錢為3(x－1)文．依題意，得3(x－1)x＝6210．故選A．]2．有一個人患了流感，經(jīng)過兩輪傳染后共有121個人患了流感，每輪傳染中平均一個人傳染了幾個人？[解]設(shè)每輪傳染中平均一個人傳染了x個人．根據(jù)題意，得1＋x＋x(1＋x)＝121．解方程，得x1＝10，x2＝－12(不合題意，舍去)．所以平均一個人傳染了10個人．(說明：選擇題每題3分，填空題每題3分，本試卷共90分)

1．一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次項的系數(shù)是(

)A．2

B．3

C．4

D．5B

[∵一元二次方程3x2＋4x＋2＝0二次項是3x2，∴二次項的系數(shù)是3．故選B．]課時分層評價卷(六)一元二次方程及其應用√x…0.280.290.300.310.32…y＝x2＋3x－1…－0.0816－0.0459－0.010.02610.0264…2．[圖表信息題]根據(jù)如表可知，方程x2＋3x－1＝0的一個解的范圍為(

)√A．0.28＜x＜0.29 B．0.29＜x＜0.30

C．0.30＜x＜0.31 D．0.31＜x＜0.32C

[∵x＝0.30時，x2＋3x－1＝－0.01，x＝0.31時，x2＋3x－1＝0.0261，∴方程x2＋3x－1＝0的一個解x的范圍為0.30＜x＜0.31．故選C．]3．用配方法解方程x2＋10x＋9＝0，配方正確的是(

)A．(x＋5)2＝16 B．(x＋5)2＝34

C．(x－5)2＝16 D．(x＋5)2＝25√A

[∵x2＋10x＋9＝0，∴x2＋10x＝－9，∴x2＋10x＋52＝－9＋52，∴(x＋5)2＝16．故選A．]

√

√

6．(2024·四川自貢)關(guān)于x的方程x2＋mx－2＝0根的情況是(

)A．有兩個不相等的實數(shù)根

B．有兩個相等的實數(shù)根C．只有一個實數(shù)根

D．沒有實數(shù)根√A

[關(guān)于x的方程x2＋mx－2＝0中，∵a＝1，b＝m，c＝－2，∴Δ＝m2＋8＞0，∴方程有兩個不相等的實數(shù)根．故選A．]7．(2024·四川廣安)若關(guān)于x的一元二次方程(m＋1)x2－2x＋1＝0有兩個不相等的實數(shù)根，則m的取值范圍是(

)A．m＜0且m≠－1 B．m≥0C．m≤0且m≠－1 D．m＜0√

8．(2024·黑龍江綏化)小影與小冬一起寫作業(yè)，在解一道一元二次方程時，小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，因而得到方程的兩個根是6和1；小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，因而得到方程的兩個根是－2和－5．則原來的方程是(

)A．x2＋6x＋5＝0 B．x2－7x＋10＝0

C．x2－5x＋2＝0 D．x2－6x－10＝0√B

[∵小影在化簡過程中寫錯了常數(shù)項，得到方程的兩個根是6和1，∴x1＋x2＝6＋1＝7，∵小冬在化簡過程中寫錯了一次項的系數(shù)，得到方程的兩個根是－2和－5，∴x1x2＝10．A．x2＋6x＋5＝0中，x1＋x2＝－6，x1x2＝5，故該選項不符合題意；B．x2－7x＋10＝0中，x1＋x2＝7，x1x2＝10，故該選項符合題意；C．x2－5x＋2＝0中，x1＋x2＝5，x1x2＝2，故該選項不符合題意；D．x2－6x－10＝0中，x1＋x2＝6，x1x2＝－10，故該選項不符合題意．故選B．]9．(2024·云南)兩年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進步，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為60元．設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為x，根據(jù)題意，下列方程正確的是(

)A．80(1－x2)＝60 B．80(1－x)2＝60C．80(1－x)＝60 D．80(1－2x)＝60√B

[根據(jù)題意，一年前生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80(1－x)元，現(xiàn)在生產(chǎn)1千克甲種藥品的成本為80(1－x)2元，所以80(1－x)2＝60．故選B．]10．(2024·廣東深圳)一元二次方程x2－3x＋a＝0的一個根為x＝1，則a＝________．2

[由題意，將x＝1代入一元二次方程得，1－3＋a＝0，解得a＝2．]211．(2024·江蘇連云港)關(guān)于x的一元二次方程x2－x＋c＝0有兩個相等的實數(shù)根，則c的值為________．

12．(2024·四川瀘州)已知x1，x2是一元二次方程x2－3x－5＝0的兩個實數(shù)根，則(x1－x2)2＋3x1x2＝________．

1413．(2024·濱州)解方程：x2－4x＝0．[解]∵x2－4x＝0，∴x(x－4)＝0，∴x＝0或x－4＝0，∴x1＝0，x2＝4．

15．如圖，利用一面墻(墻的長度為20m)，用34m長的籬笆圍成兩個雞場，中間用一道籬笆隔開，每個雞場均留一道1m寬的門，設(shè)AB的長為xm．(1)若兩個雞場的面積和為S，求S關(guān)于x的關(guān)系式；(2)兩個雞場面積和S可以等于160m2嗎？如果可以，求出此時AB的值．[解]

(1)由題意可得，S＝x(34－3x＋2)＝x(36－3x)＝－3x2＋36x，即S關(guān)于x的關(guān)系式是S＝－3x2＋36x．(2)依題意，－3x2＋36x＝160，即3x2－36x＋160＝0，∵Δ＝b2－4ac＝362－4×3×160＝－624＜0，原方程無實數(shù)根，∴兩個雞場面積和S不能等于160m2．16．(2024·內(nèi)蒙古赤峰)等腰三角形的兩邊長分別是方程x2－10x＋21＝0的兩個根，則這個三角形的周長為(

)A．17或13 B．13或21C．17 D．13√C

[由方程x2－10x＋21＝0，得x1＝3，x2＝7，

∵3＋3<7，∴